第1部分 第3单元 第4节 反比例函数及其应用(课件PPT)-【众相原创·赋能中考】2025年中考数学课堂精讲册（广西专用）

2025广西 数 学 课堂精讲册 1 第一部分 追本溯源夯基础 第三单元 函数 第四节 反比例函数及其应用 2 【版本导航】人教：九下P1~P22； 湘教：九上P1~P24； 沪科：九上P43~P50. 3 一阶 教材知识全梳理 4 考点1 反比例函数的图象与性质（重点） 概念 一般地，形如为常数， 的函数，叫做反 比例函数，其中是自变量，是 的函数 解析式 为常数， 取值范围 ， 的符号 ①___ ②___ 大致图象 ______________________________ ________________________________ 5 所在象限 第③________象限 第④________象限 图象特征 双曲线，无限接近坐标轴，但不与坐标轴相交 图象上点的坐标 特征 横坐标与纵坐标的积恒为⑤___ 增减性 在每个象限内，随 的增 大而⑥______ 在每个象限内，随 的增 大而⑦______ 对称性 中心对称：关于⑧______成中心对称 轴对称：关于直线和直线 对称 一、三 二、四 减小 增大 原点 续表 6 【特别提醒】（1）反比例函数的图象只在每个分支上具有增减性，不能 认为在整个自变量取值范围内增大（或减小）；（2）在比较反比例函数 图象上点的纵坐标大小时，需要分情况讨论：①若两点在同一象限，则根 据函数增减性来比较；②若两点在不同象限，则根据所在象限的纵坐标的 符号进行比较，正数 负数. 7 考点2 反比例函数k的几何意义（重点） 的几何 意义 如图，过双曲线上任一点分 别作轴， 轴的垂线，，所得矩 形的面积 ⑨______________________________________ 8 基本图 形面积 ⑩_____ ⑪____ ⑫_____ ⑬____ 续表 【特别提醒】（1）利用 的几何意义解题时，通常过图象上的点向坐标轴 作垂线；（2）因为有正、负之分，所以用 表示三角形或四边形的面积 时，要给 加绝对值. 10 考点3 反比例函数解析式的确定 1. 用待定系数法确定反比例函数的解析式. 2. 利用 的几何意义确定反比例函数的解析式. 【特别提醒】结合函数图象所在象限确定的正负，从而得出 的值. 11 考点4 反比例函数的实际应用 1. 行程问题：速度 ，路程一定时，速度与时间成反比例关系. 2. 销售问题：销量 ，销售额一定时，销量与售价成反比例关系. 3. 面积问题（以矩形为例）：长 ，面积一定时，长与宽成反比例 关系. 4. 表格数据类问题：当给出， 的多组对应值，且每组对应值的乘积相 同时，是关于 的反比例函数. 12 5. 跨学科问题：①压强 ，压力一定时，压强与受力面积成反 比例关系； ②电流 ，电压一定时，电流与电阻成反比例关系. 【特别提醒】一般情况下，在反比例函数的实际应用题中， 是大于0的， 的取值范围也是大于0的，图象只经过第一象限. 13 考点5 反比例函数与一次函数的综合 1. 图象问题 假设法：针对每一个选项中的图象，先假设一次函数的图象正确，由此确 定<m></m>的符号，再根据<m></m>的符号判断反比例函数的图象，若符合，则图象正确； 若出现矛盾，则图象不正确. 14 2. 交点个数问题 （1）大致图象判断法 函数类型 与 同号 与 异号 结论 反比例函数 与正比例函数 _______________________ ______________________ ________________________ _______________________ 与 同号，必有2个交点，且两个交点关于原点成中心对称； 与 异号，无交点 15 函数类型 与 同号 与 异号 结论 反比例函数 与一次函数 ______________________ _____________________ ________________________ _______________________ 与 同号，必有2个交点； 与 异号，交点可能有2个，1个或没有 续表 16 （2）联立解析式判断法 步骤：①联立反比例函数和一次函数的解析式<m></m>得到 <m></m>； ②化为一元二次方程<m></m>； ③计算一元二次方程根的判别式<m></m>; 17 ④由判别式的符号判断交点的个数： 反比例函数的图象与一次函数的图象有⑭______交点； 反比例函数的图象与一次函数的图象有⑮______交点； 反比例函数的图象与一次函数的图象⑯______交点. 两个 一个 没有 18 3. 不等式问题 （此类题的设题背景通常为反比例函数和一次函数的图象有两个交点） 步骤 举例 （1）确定反比例函数与一次函数图 象的两个交点的横坐标 ， ________________________________ （2）分区：过两个交点分别作 轴的 平行线，连同 轴将坐标平面分为四 个部分 区域Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ ____________________________________ 19 步骤 举例 （3）观察函数图象找 答案：根据图象在上 方的函数值比图象在 下方的函数值大，在 各区域内找相应的 的 取值范围 若 ，则位于区域Ⅰ，Ⅲ， 的取值范围为 或 ； 若 ，则位于区域Ⅱ，Ⅳ， 的取值范围为或 _______________________________ 续表 20 二阶 追本溯源练考点 21 考点1 反比例函数的图象与性质 （2024.9，2023.12，北部湾5年2考） 1. （人教九下P6T2改编）对于函数 ，下列说法不正确的是 ( ) D A. 它的图象分布在第二、四象限 B. 点 在它的图象上 C. 它的图象是轴对称图形且关于原点对称 D. 随 的增大而增大 22 2. （2024广西9题3分）已知点， 在反比例函数 的图象上，若 ，则有( ) A A. B. C. D. 23 考点2 反比例函数k的几何意义（2023.12，北部湾5年2考） 3. （2023广西12题3分）如图，过 的 图象上的点，分别作轴，轴的平行线交 的图 象于，两点，以，为邻边的矩形 被坐标 轴分割成四个小矩形，面积分别记为，，， .若 ，则 的值为( ) C A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 24 【解析】设点A的坐标为轴，轴，点B，D在 的图象上， 点B的坐标为，，点D的坐标为 ， ，解得 . 25 考点3 反比例函数的实际应用 4. （人教九下P17T8改编）在物理学中，功率表示做功的快慢，功 与做功时间的比叫做功率，即所做的功一定时，功率 与做功所用的 时间 成反比例函数关系，图象如图所示，下列说法不正确的是( ) C A. 与的函数关系式为 B. 当时， C. 当时， D. 随 的增大而减小 26 考点4 反比例函数与一次函数的综合（北部湾5年1考） 5. （湘教九上P13T7改编）在同一平面直角坐标系中，函数 与 的图象大致是( ) D A. B. C. D. 27 6. （人教九下P22T10改编）如图，在平面直角坐标系中， 直线与反比例函数 的图象有唯一公共点，若直线 与反比例函数 的图象有2个公共点，则 的取值 范围是_______________. 或 28 三阶 分层设问攻重难 29 重难点 反比例函数与一次函数的综合 7.如图，一次函数的图象与反比例函数 的图象交于 点，与轴的负半轴交于点，且 . 30 （2）求点 的坐标. 解：由（1）知. ， . 又 点在 轴负半轴上， 点的坐标为 . （1） 的长为___； 5 31 （3）求反比例函数和一次函数的表达式； 解：将代入，得 ， 反比例函数的表达式为 . 将，代入，得解得 一次函数的表达式为 ； 32 （4）若是反比例函数的图象上的一点，且 ，求 点 的坐标. 解：设点的坐标为，其中 . ，， , ， 点的坐标为 . 33 （5）若点与点关于轴对称，试在轴上确定一点，使 最小， 求此时点 的坐标; 解图1 解：如解图1，连接 . 点与点关于轴对称，点在 轴上， ， . ， 当，，三点共线时，最小，此时 点 为一次函数的图象与 轴的交点. 在中，令，得 ， 当最小时，点的坐标为 ; （6）若是一次函数图象上一动点，当最短时，求点 的坐标; 解图2 解：由“垂线段最短”可知，当时， 最短. 如解图2，设与轴的交点为，过点作 于点，过点作轴于点 . 在中，令，得， . ， . ， 35 . ， ， . ， ， ，即 ， ，， 点的坐标为 ; 解图2 （7）若在轴上存在一点，使是直角三角形，求此时点 的坐标. 解： 在轴上存在一点，使是直角三角形， 可设点 的坐标为 . ①如解图3，当 时， 轴， ，， . 解图3 37 ②如解图4，当 时，过点作轴于点 . ，，， . ， ， ， ， ， ， ， . 综上所述，点的坐标为或 ． 解图4 38 温馨提示 请完成分层进阶练习册P25~P27习题 39 40 $$