第1部分 第2单元 第3节 一元二次方程及其应用(课件PPT)-【众相原创·赋能中考】2025年中考数学课堂精讲册（广西专用）

2025广西 数 学 课堂精讲册 1 第一部分 追本溯源夯基础 第二单元 方程（组）与不等式（组） 第三节 一元二次方程及其应用 2 【版本导航】人教：九上P1~P26； 湘教：九上P25~P60； 沪科：八下P18~P50. 3 一阶 教材知识全梳理 4 考点1 一元二次方程的有关概念 相关概念 ____________________________________________________________________________________________________ 三个条件 （1）整式方程；（2）只含有一个未知数；（3）未知数的 最高次数是①___ 2 5 【特别提醒】 （1）若题目中有“一元二次方程”，则必然隐含着 这一条件. （2）若未说明方程类型，则需分类讨论:①当 时，方程是一元一次方 程；②当 时，方程是一元二次方程. . . 6 考点2 一元二次方程的解法（重点） 解法 适用情况 方程的解 直接开 平方法 形如 或 的形式 或 配方法 二次项系数化为1后，一次项系 数为偶数，形如 ， 配方后为 ②_______________ 7 解法 适用情况 方程的解 公式法 适用于所有一元二次方程，应先 化为一般形式 （需满足b24ac≥0） ③_ __________ 因式分 解法 能化成 的形式 ④___， ⑤___ 续表 8 【特别提醒】（1）用因式分解法解一元二次方程时，若等号两边含相同 的未知数的因式，勿直接约去公因式，避免漏解； （2）四种解法的优先选择顺序：直接开平方法 因式分解法 公式法 配方法. . . 9 对点自测 用适当的方法解下列方程： (1) ； 解： ， ， ， 即或 ， ， . 10 (2) . 解：配方，得 ， ， ， . 11 考点3 一元二次方程根的判别式 根的判别式与方程根的关系（根的判别式为，用 表示，即 ）： （1） 一元二次方程 有两个 ⑥________的实数根； （2） 一元二次方程 有两个 ⑦______的实数根； 不相等 相等 12 （3） 一元二次方程 ⑧________实数根. 【特别提醒】在使用一元二次方程根的判别式解决问题时，如果二次项系 数中含有字母，那么要加上二次项系数不为0这个限制条件. 没有 . . 13 考点4 一元二次方程根与系数的关系 如果一元二次方程的两根分别是， ，那么 ⑨____， ⑩__. 14 【拓展变形】根据完全平方公式 和分式的性质填空： （1） ⑪________； （2） ⑫___________________； （3）⑬______； （4） . 【特别提醒】使用一元二次方程根与系数的关系的前提：（1） ; （2） . 15 考点5 一元二次方程的实际应用（重点） 常见类型及数量关系： 常见类型 等量关系 变化率问 题 设为原来的量， 为变化后的量. （1）若平均增长率为，增长次数为2，则 ； （2）若平均下降率为 ，下降次数为2，则⑭______________ 16 常见类型 等量关系 面积问题 在矩形中，设阴影部分的宽为，则图1中 ⑮_________________，图2中 ⑯______________，图3中 ⑰______________ ________________________________________________________________ 图1 图2 图3 续表 17 常见类型 等量关系 每每问题 （1）常用公式：①每件利润 每件售价-每件成本；②总利润 每件利润×销售总量； （2）每每问题中，单价每涨元，少卖件，则涨价 元时， 少卖的数量为⑱_____ 续表 18 常见类型 等量关系 循环、传 播问题 （1）病毒传播问题： 若初始数据为，每次传播个，则第一轮后共有 个，第二轮后共有⑲__________个； （2）握手、单循环赛问题：若共有 人，则握手（单循环赛）总次数为⑳_______； （3）互赠礼物问题：若共有 人，则送礼物总份数 为㉑_________ 续表 19 二阶 追本溯源练考点 20 考点1 一元二次方程的有关概念 1. （人教九上P4T1改编）已知关于的方程 . （1）若该方程是一元二次方程，则 的取值范围是_________； （2）若该方程是一元一次方程，则 的值是____； （3）若 ，则该方程的二次项是____，二次项系数是___，一次项是 _____，一次项系数是____，常数项是___. 1 2 21 考点2 一元二次方程的解法（常与其他知识结合考查） 2. （沪科八下P31T6改编）选择合适的方法解下列一元二次方程： （1） ； 解：， ， ， . 22 （2） ； 解：移项，得 ， 配方，得， 即 ， ， ， . 23 （3） ； 解：，，， ， ， ， . 24 （4） . 解：移项，得 ， 因式分解，得 ， 或 , ， . 25 考点3 一元二次方程根的判别式（北部湾5年1考） 3. （沪科八下P36练习2改编）已知方程 . （1）若该方程的一个根是2，求它的另一个根及 的值（尝试用两种方法 解决）； 解：解法一：设方程的另一个根为 ， 根据题意，得， ， 解得， ， 即它的另一个根为，的值为 ； 26 解法二：将代入方程，得 ， 解得 ， 由，得原方程为 ， 解方程，得， . 即它的另一个根为，的值为 ； 27 （2）试判断方程根的情况； 解： , 则方程有两个不相等的实数根； （3）小聪在求解时，误将方程抄写成.当 为何值时，方 程有两个相等的实数根？ 解： , 当时，即 ，方程有两个相等的实数根. 28 考点4 一元二次方程根与系数的关系 4. （人教九上P16例4改编）已知关于 的一元二次方程 的两个实数根分别为， . （1）当 时， ①___， ____； ②___， ____. 2 5 （2）若，则常数 的值为___. 2 29 考点5 一元二次方程的实际应用（2023.11，北部湾5年2考） 5.变化率问题 （2023广西11题3分）据国家统计局发布的《2022年 国民经济和社会发展统计公报》显示，2020年和2022年全国居民人均可支 配收入分别为3.2万元和3.7万元.设2020年至2022年全国居民人均可支配收 入的年平均增长率为 ，依题意可列方程为( ) B A. B. C. D. 30 【变式5.1】 某地区2022年人均可支配收入为3万元，已知2022年至2024年 各年人均可支配收入的和为10.92万元.设2022年至2024年人均可支配收入 的年平均增长率为 ，则可列方程为________________________________. 31 6.每每问题 （湘教九上P50T2改编）某品牌童装平均每天可售出 20件，每件盈利40元，为了迎接国庆节，商场决定采取适当的降价措施， 扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存.经市场调查发现：若每件童装降 价1元，则每天可多售出2件.如果要使每天销售这种童装盈利1 200元， 那么每件童装应降价多少元？ （1）填空：设每件童装降价 元，那么降价后，平均每天就可多售出____ 件，一天可售出__________件，每件盈利_________元； 32 （2）列方程求解上述问题. 解：根据题意，得 ， 整理，得 ， 解得， . 要扩大销售量，尽快减少库存， . 答：每件童装应降价20元. 33 7.面积问题 （人教九上P25T8改编）如图，利用一面墙 （墙的长度为），用 长的篱笆围成两个鸡场，中间用一道篱笆 隔开，每个鸡场均留一道宽的门，设的长为 . 34 （1）若两个鸡场的面积和为，求关于 的关系式；（不用写出自变 量的取值范围） 解：由题意，得 ， 即关于的关系式是 ； 35 （2）两个鸡场面积和可以等于吗？如果可以，求出此时 的长. 解：由题意，得 , 即 . ， 原方程无实数解， 两个鸡场面积和不能等于 . 36 温馨提醒 请完成分层进阶练习册P14~P15习题 37 38 $$