精品解析：江苏省南京外国语学校2024-2025学年八年级上学期期中考试数学试卷

2024-2025学年江苏省南京外国语学校八年级（上）期中数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列图形中，不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解． 【详解】解：A、图形是轴对称图形，不符合题意； B、图形是轴对称图形，不符合题意； C、图形是轴对称图形，不符合题意； D、图形不是轴对称图形，符合题意． 故选：D． 2. 一个数的算术平方根是，则这个数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查算术平方根的定义，解题的关键是正确理解算术平方根的定义，根据算术平方根的定义即可求出这个数． 【详解】解：一个数的算术平方根是， 这个数 故选： 3. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据算术平方根和立方根的性质逐项判断即可得． 【详解】解：A、，则此项错误，不符合题意； B、，则此项错误，不符合题意； C、，则此项正确，符合题意； D、，则此项错误，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了算术平方根、立方根，熟练掌握算术平方根和立方根是解题关键． 4. 如图，已知，添加下列条件不能判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意已知 ，是公共边，选项A可利用全等三角形判定定理“角边角”可得，选项B可利用全等三角形判定定理“角角边”可得；选项C可利用全等三角形判定定理“边角边”可得，唯有选项D不能判定. 【详解】选项A，∵∴ 即 ∵ ，是公共边，，∴（角边角），故选项A不符合题意； 选项B，∵，，是公共边，∴（角角边）， 故选项B不符合题意； 选项C，∵，，是公共边，∴（边角边） 故选项C不符合题意； 添加DB=CB后不能判定两个三角形全等，故选项D符合题意； 故选D 【点睛】本题旨在考查全等三角形判定定理，熟练掌握此知识点是解题的关键. 5. 等腰三角形的周长为13cm，其中一边长为3cm，则该等腰三角形的底边长为（　　） A. 7cm B. 3cm C. 9cm D. 5cm 【答案】B 【解析】 【分析】分3cm长的边是腰和底边两种情况进行讨论即可求解． 【详解】当长是3cm的边是底边时，三边为3cm，5cm，5cm，等腰三角形成立； 当长是3cm的边是腰时，底边长是：13﹣3﹣3=7（cm），而3+3＜7，不满足三角形的三边关系． 故底边长是：3cm． 故选：B． 【点睛】本题考查了等腰三角形的计算，正确理解分两种情况讨论，并且注意到利用三角形的三边关系定理，是解题的关键． 6. 满足下列条件的中，不是直角三角形的是（ ） A. B. ，， C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，以及勾股定理逆定理．根据三角形内角和定理，以及勾股定理逆定理，逐项判断即可求解． 【详解】解：A、， 设，，， ， ， ，，， 不直角三角形，符合题意． B、，，， ，即, 为直角三角形．不符合题意； C、， ， ， ， ， 为直角三角形．不符合题意； D、， ， ， 为直角三角形．不符合题意． 故选：A． 7. 如图，在中，，，交于点D，，则的长是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】先根据，求出的度数，再根据，求出的长，从而得出的度数，再根据30度角所对的直角边等于斜边的一半求出的长，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、三角形内角和定理、含30°角的直角三角形的性质；熟练掌握等腰三角形的性质，求出和的长度是解决问题的关键． 8. 如图，点E在等边的边上，，射线，垂足为C，点P是射线上一动点，点F是线段上一动点，当的值最小时，，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称最短路径问题，等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，作E点关于的对称点，过作于点F，交于点P，连接，则当，，三点共线，且时，此时的值最小，由题意可得，则，再由，，可得，可求，即可求解． 【详解】解：作E点关于的对称点，过作于点F，交于点P，连接， ， ， 此时的值最小， 是等边三角形， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， 故选：B． 二、填空题：本题共9小题，共19分． 9. 9的立方根是______；的平方根是______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题主要考查立方根及平方根，熟练掌握立方根及平方根是解题的关键；因此此题可根据立方根及平方根可进行求解． 【详解】解：由题意得：9的立方根是， ，则5的平方根是； 故答案为：，． 10. 如图，点、、、在一条直线上，，，若用“”判定，则添加的一个条件是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定，解答本题的关键是明确全等三角形的判定方法．根据题目中的条件和各个选项中的条件，可以写出用“”判断的依据 【详解】解：，， 当添加条件时，， 故答案为：． 11. 已知等腰三角形的一个内角为，则这个等腰三角形的顶角为______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理；分情况讨论这个的角是顶角还是底角． 【详解】解：若的角是顶角，则这个等腰三角形的顶角为； 若的角是底角，则顶角是， 综上所述， 这个等腰三角形的顶角为或． 故答案是：或． 12. 已知直角三角形的两直角边长分别为5和12，则斜边长是_____． 【答案】13 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理， 熟知勾股定理是解题的关键，在直角三角形中，如果两直角边的长为a、b，斜边的长为c，那么．根据勾股定理求解即可． 【详解】解∶∵直角三角形的两直角边长分别为5和12， ∴斜边长是， 故答案为∶13． 13. 如图，在中，的垂直平分线交于点，连接．若，，则的周长等于______． 【答案】16 【解析】 【分析】此题考查线段垂直平分线的性质：根据线段垂直平分线得到，直接根据周长公式计算即可，熟记线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等是解题的关键． 【详解】∵垂直平分， ∴， ∵， ∴的周长， 故答案：16． 14. 如图，已知是等边三角形，，，则的度数是______． 【答案】##80度 【解析】 【分析】本题结合了等边三角形性质、等腰三角形性质和三角形外角的性质，熟练运用等边对等角是解题关键．利用等边三角形性质先得到，可得到是等腰三角形，然后根据等腰三角形性质得到，再通过三角形外角的性质计算出的度数即可． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 15. 如图，在中，的平分线交于点．若，则的面积是___________． 【答案】12 【解析】 【分析】过点D作于点E，根据角平分线上的点到角两边的距离相等，可得，即可解答． 详解】解：过点D作于点E，如图所示： 的平分线交于点，, , , 故答案为：12． 【点睛】本题考查的是角平分线的性质，解题的关键是熟练掌握角平分线上的点到角两边的距离相等． 16. 一次数学课上，老师请同学们在一张长为18厘米，宽为16厘米的长方形纸板上，剪下一个腰长为10厘米的等腰三角形，且要求等腰三角形的一个顶点与长方形的一个顶点重合，其它两个顶点在长方形的边上，则剪下的等腰三角形的面积为_______平方厘米． 【答案】50或40或30 【解析】 【分析】因为等腰三角形的腰的位置不确定，所以分三种情况：①两腰在矩形相邻的两边上，②一腰在长方形的宽上，③一腰在长方形的长上，画出图形，分别求出等腰三角形的面积即可．本题主要考查了等腰三角形的性质、勾股定理等知识，解题的关键在于能够进行正确的讨论． 【详解】解：依题意，在一张长为18厘米，宽为16厘米的长方形纸板上，剪下一个腰长为10厘米的等腰三角形，且要求等腰三角形的一个顶点与长方形的一个顶点重合，其它两个顶点在长方形的边上， ∴分三种情况讨论： ①如图1所示： ， 等腰三角形的面积； ②如图2所示： ∴ ∴， 则在中，， 等腰三角形的面积； ③如图3所示： ∴ 则， 则在中，， 等腰三角形的面积． 综上：则剪下的等腰三角形的面积为50或40或30平方厘米． 故答案为：50或40或30 17. 如图，在中，，将沿折叠至，，连接，平分，则的度数是______．（用含的代数式表示） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是翻折变换，等边三角形的判定和性质，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理等，连接，过点作于E，于F，可得是等边三角形，得出，，运用可证得，得出，再运用三角形内角和定理即可求得答案． 【详解】解：如图，连接，过点作于E，于F， 则， 由折叠可知，，，， ∴， ∴是等边三角形， ，， ∵平分，， ∴， 又∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 即， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题：本题共9小题，共65分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 18. 已知，如图长方形中，，，将此长方形折叠，使点与点重合，折痕为，求的面积． 【答案】 【解析】 【分析】过点作于点，由四边形是长方形和折叠知，再用平行线的性质和勾股定理即可求解． 【详解】解：过点作于点， 过点作于点， 四边形是长方形 四边形是矩形 设， 由折叠知， ， 在中， 解得， ， ， 又， ， ， ∴的面积为 【点睛】此题考查了折叠的性质、长方形的性质以及勾股定理，解题的关键是掌握折叠前后图形的对应关系，注意数形结合思想与方程思想的应用． 19. 求出下列x的值： （1）； （2）． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查立方根与平方根，解题的关键是掌握立方根和平方根的定义． （1）先化简得到，再根据立方根的定义进行解题即可； （2）先化简得到，再根据平方根的定义进行解题即可． 【小问1详解】 解：， ∴， 则， 解得； 【小问2详解】 解：， ， ， 解得，． 20. 已知，求作，使（尺规作图，保留作图痕迹） 【答案】图见解析 【解析】 【分析】此题考查了三角形的作图和全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键．画线段；分别以E、F为圆心，线段为半径画弧，两弧交于点D；连结线段．根据，则． 【详解】解：画线段； 分别以E、F为圆心，线段为半径画弧，两弧交于点D； 连结线段． ∴就是所求作的三角形． 21. 如图，△ACB和△ECD都是等边三角形，点A、D、E在同一直线上，连接BE． (1)求证：AD=BE； (2)求∠AEB的度数． 【答案】（1）证明见解析；（2）∠AEB=60°． 【解析】 【分析】（1）根据等边三角形的性质得出AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，求出∠ACD=∠BCE，然后根据SAS证明△ACD≌△BCE，即可得出AD=BE； （2）由△ECD是等边三角形可得∠CDE=∠CED=60°，根据补角的性质可求∠ADC=120°，根据全等三角形的性质可得∠BEC=∠ADC=120°，进而根据∠AEB=∠BEC﹣∠CED可得出答案． 【详解】证明：（1）∵△ACB和△ECD都是等边三角形， ∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°， 又∵∠ACD=∠ACB﹣∠DCB，∠BCE=∠DCE﹣∠DCB， ∴∠ACD=∠BCE， 在△ACD和△BCE中， ∴△ACD≌△BCE（SAS）． ∴AD=BE； （2）在等边△ECD中， ∠CDE=∠CED=60°， ∴∠ADC=120°， ∵△ACD≌△BCE， ∴∠BEC=∠ADC=120°， ∴∠AEB=∠BEC﹣∠CED=120°﹣60°=60°． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质的应用，能推出△ACD≌△BCE是解此题的关键． 22. 如图，A、B是公路l同侧的两个村庄，A村到公路l的距离，B村到公路l的距离，且．为方便村民出行，计划在公路边新建一个公交站点P，要求该站到村庄A、B的距离相等．请求出点P与点C之间的距离． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理及应用，一元一次方程的应用等，设，根据勾股定理可得，即可解得的长． 【详解】解：设，则， 在中，， 在中，， ， ∴， ∴， 解得， ∴． 23. 如图， 中， ，点D、E分别在上，，、相交于点 O． （1）求证： （2）连接， 求证： 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质和等腰三角形的判定与性质． （1）由“”可证，由全等三角形的性质可得，由等腰三角形的性质可得，可证，可得． （2）根据“”证明与全等，进而利用全等三角形的性质和等腰三角形的三线合一的性质解答即可． 【小问1详解】 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 连接， ∵， ∴， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 24. 证明：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】画出图形，写出已知，求证，取AB中点D，连接CD，根据直角三角形斜边上中线性质得出AC＝AD＝CD，得出等边三角形ACD，求出∠A，根据三角形内角和定理求出即可． 【详解】已知：在△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝AB， 求证：∠B＝30°. 证明：取AB中点D，连接CD， ∵△ACB是直角三角形，∠ACB＝90°， ∴CD＝AB＝AD＝BD， ∵AC＝AB， ∴AC＝AD＝CD， ∴△ACD是等边三角形， ∴∠A＝60°， ∴∠B＝180°−90°−60°＝30°． 【点睛】本题考查了直角三角形斜边上中线性质，等边三角形性质和判定，三角形内角和定理的应用，主要考查学生的推理能力． 25. 如图，在Rt中，90°，，，动点P从B出发沿射线以的速度运动，设运动时间为t秒． （1）当______时，平分的面积； （2）当为等腰三角形时，求t的值； （3）若点E，F分别为，上的动点，则的最小值是______． 【答案】（1）3 （2）当为等腰三角形时，t的值是或或 （3） 【解析】 【分析】本题考查三角形的综合题，考查了等腰三角形的性质和判定，轴对称的性质，三角形中线的性质，垂线段最短，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用对称把问题转化为垂线段最短. (1)先由勾股定理可得的长，当是中线时， 平分的面积，即，可得结论； (2) 当为等腰三角形时，存在三种情况：或或，根据和等量关系列方程可解答： (3)如图4中，如图4，延长至A，连接，过点A作于F，在上取，根据对称可知： 的最小值就是的长，根据面积法可得结论， 【小问1详解】 解：，，， 当时，AP平分的面积， 即， ， 则当时，平分的面积； 故答案为：3； 【小问2详解】 分三种情况： ①如图1，， 由题意得：， ， 由勾股定理得：， ， ； ②如图2，， ， ； ③如图3，， ， ， ， ， ； 综上所述，当为等腰三角形时，t的值是或或； 【小问3详解】 如图4，延长至，连接，过点A作于，在上取， 则AB与关于BC对称， ， ，即此时的值最小，且最小值是的长， ，， 的面积， ， 的最小值是， 故答案为： 26. （1）已知：中，，，点D为直线上一动点，连接，在直线右侧作，且． ①如图1，当点D在线段上时，过点E作于H，直接写出的关系：______； ②如图2，连接，当点D在线段的延长线上时，连接交的延长线于点．求证：； （2）如图3，已知，直线，垂足为D，点E在直线l上，利用无刻度直尺和圆规分别在射线上作出点F，G，使得且．（画出一种图形即可，保留作图痕迹，写出必要的文字说明） 【答案】（1）①；②见解析；（2）见解析 【解析】 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、正方形的判定和性质、基本作图等知识． （1）①证明，，，进一步即可证明结论； ②过点E作，证明，则，再证明，即可得到结论； （2）以D为圆心，为半径作圆，交于点H，再以点H为垂足作的垂线，交于点F，连接，过点E作的垂线，垂足为M；再以D为圆心，为半径作圆交于点G，点F，G即为所求． 【详解】（1）①；理由如下： ，， ， ，， ， 又，， ， ，， ， ， ， ， 故答案为：； ②图2，过点E作， ，， ， ，， ， 又，， ， ， ， ， 又，， ， ； （2）解：如图3，以D为圆心，为半径作圆，交于点H，再以点H为垂足作的垂线，交于点F，连接，过点E作的垂线，垂足为M；再以D为圆心，为半径作圆交于点G，点F，G即为所求． 由作图可知， ， ∴四边形是矩形， 由作图可知，， ∴四边形是正方形， ∴ 由作图可知，， ∴， ∴， ∴ 即， 综上可知，且． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年江苏省南京外国语学校八年级（上）期中数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列图形中，不是轴对称图形是（ ） A B. C. D. 2. 一个数的算术平方根是，则这个数是（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确是（　　） A. B. C. D. 4. 如图，已知，添加下列条件不能判定的是（ ） A. B. C. D. 5. 等腰三角形的周长为13cm，其中一边长为3cm，则该等腰三角形的底边长为（　　） A. 7cm B. 3cm C. 9cm D. 5cm 6. 满足下列条件的中，不是直角三角形的是（ ） A. B. ，， C. D. 7. 如图，在中，，，交于点D，，则的长是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 8. 如图，点E在等边的边上，，射线，垂足为C，点P是射线上一动点，点F是线段上一动点，当的值最小时，，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 二、填空题：本题共9小题，共19分． 9. 9的立方根是______；的平方根是______． 10. 如图，点、、、在一条直线上，，，若用“”判定，则添加的一个条件是______． 11. 已知等腰三角形一个内角为，则这个等腰三角形的顶角为______． 12. 已知直角三角形的两直角边长分别为5和12，则斜边长是_____． 13. 如图，在中，的垂直平分线交于点，连接．若，，则的周长等于______． 14. 如图，已知是等边三角形，，，则度数是______． 15. 如图，在中，的平分线交于点．若，则的面积是___________． 16. 一次数学课上，老师请同学们在一张长为18厘米，宽为16厘米的长方形纸板上，剪下一个腰长为10厘米的等腰三角形，且要求等腰三角形的一个顶点与长方形的一个顶点重合，其它两个顶点在长方形的边上，则剪下的等腰三角形的面积为_______平方厘米． 17. 如图，在中，，将沿折叠至，，连接，平分，则的度数是______．（用含的代数式表示） 三、解答题：本题共9小题，共65分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 18. 已知，如图长方形中，，，将此长方形折叠，使点与点重合，折痕为，求的面积． 19. 求出下列x的值： （1）； （2）． 20. 已知，求作，使（尺规作图，保留作图痕迹） 21. 如图，△ACB和△ECD都是等边三角形，点A、D、E在同一直线上，连接BE． (1)求证：AD=BE； (2)求∠AEB的度数． 22. 如图，A、B是公路l同侧的两个村庄，A村到公路l的距离，B村到公路l的距离，且．为方便村民出行，计划在公路边新建一个公交站点P，要求该站到村庄A、B的距离相等．请求出点P与点C之间的距离． 23. 如图，在 中， ，点D、E分别在上，，、相交于点 O． （1）求证： （2）连接， 求证： 24. 证明：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于． 25. 如图，在Rt中，90°，，，动点P从B出发沿射线以的速度运动，设运动时间为t秒． （1）当______时，平分的面积； （2）当为等腰三角形时，求t的值； （3）若点E，F分别为，上的动点，则的最小值是______． 26. （1）已知：中，，，点D为直线上一动点，连接，在直线右侧作，且． ①如图1，当点D在线段上时，过点E作于H，直接写出的关系：______； ②如图2，连接，当点D在线段的延长线上时，连接交的延长线于点．求证：； （2）如图3，已知，直线，垂足为D，点E在直线l上，利用无刻度直尺和圆规分别在射线上作出点F，G，使得且．（画出一种图形即可，保留作图痕迹，写出必要的文字说明） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $