重难点03 七年级下册（第七章-第九章）热考题型全归纳（20种题型）-【寒假自学课】2025年七年级数学寒假提升精品讲义（人教版2024）

重难点03 七年级下册（第七章-第九章）热考题型全归纳 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 一．利用邻补角、对顶角的性质求解 二．平行线的判定 三．利用平行线的性质求解 四．利用平行线的性质与判定求解 五．添加辅助线，结合平行线的性质与判定求解 六．利用平行线间距离解决问题 七．利用平移的性质求解 八．利用平移解决实际问题 九．平方根与立方根综合 一十．利用实数的性质求解 一十一．无理数整数部分的有关计算 一十二．实数的混合运算 一十三．与实数运算有关的规律探究问题 一十四．与实数运算有关的新定义问题 一十五．利用点的坐标特征求解 一十六．点坐标规律探究 一十七．用有序数对求解 一十八．坐标方法的简单应用 一十九. 用坐标表示平移 二十．平行线的实际应用 一．利用邻补角、对顶角的性质求解 1．（24-25七年级上·陕西延安·期末）如图，已知直线相交于点O，与互余，平分，，求的度数． 2．（24-25七年级上·全国·期末）如图，直线相交于点O，平分，平分，若，求的度数． 3．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，直线交于点分别在内部，且平分． (1)的对顶角是___________； (2)若，则的度数为___________； (3)若平分，求的度数； (4)若，判断是否平分，并说明理由． 二．平行线的判定 4．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，已知，问：与平行吗？与呢？为什么？ 5．（23-24七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，直线交于点O，分别平分和，且． (1)求证：； (2)若，求的度数． 6．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，点G在上，已知，平分，平分，请说明的理由． 解：（已知）， （_______） （_______）． ∵平分，_______（_______）． 平分，_______，得（_______）， （_______）． 三．利用平行线的性质求解 7．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，，直线与交于点，与交于点，过点作射线，，求的度数． 8．（21-22七年级下·河北保定·期中）如图，已知． (1)，求的度数； (2)猜想三者之间的关系并加以说明． 9．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，已知，．点是射线上一动点（与点不重合），，分别平分和交射线于点E，F． (1)求的度数，若，请直接用含的式子表示； (2)随着点的运动，设，，与之间的数量关系是否改变？若不改变，请求出此数量关系；若改变，请说明理由； (3)当时，请直接写出的度数． 四．利用平行线的性质与判定求解 10．（21-22七年级下·山东济宁·期中）如图，，点E为两直线之间的一点． (1)如图1，若，，则_______； (2)如图2，试说明，； (3)如图3，若的平分线与的平分线相交于点F，判断与的数量关系，并说明理由． 11．（2024七年级上·全国·专题练习）综合与探究，问题情境：综合实践课上，王老师组织同学们开展了探究三角之间数量关系的数学活动． (1)如图1，，点A，B分别为直线上的一点，点P为平行线间一点且，求度数； 问题迁移 (2)如图2，射线与射线交于点O，直线，直线m分别交于点A，D，直线n分别交于点B，C，点P在射线上运动． ①当点P在A，B（不与A，B重合）两点之间运动时，设．则之间有何数量关系？请说明理由； ②若点P不在线段上运动时（点P与点A，B，O三点都不重合），请你直接写出间的数量关系． 12．（24-25七年级上·湖北武汉·阶段练习）已知，E、F分别为，上一点，P，H分别在，上，，． (1)如图1，求证：平分； (2)如图2，过点P作，交于点M，作的平分线交于点N，求的度数． 五．添加辅助线，结合平行线的性质与判定求解 13．（24-25七年级上·吉林长春·期末）【探究】如图①，已知， （1）若，，求的度数； （2）求证：； 【应用】如图②，已知，若，，，则_____________． 14．（2024七年级上·全国·专题练习）生活情境·山路 “公路村村通”的政策让公路修到了山里，蜿蜒的盘山公路连接了山里与外面的世界，数学活动课上，老师把山路抽象成图2的样子，并提出了一个问题： 在图2中，，，，，求的度数． 15．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，，猜想与、的关系，并说明理由． (1)填空： 解：猜想．理由：过点作，如图所示，所以 (①___________)．因为，，所以 (如果两条直线都和第三条直线平行，那么②___________)，所以 (③___________)，所以④___________，即； (2)依照上面的解题方法，观察图，已知，猜想图中的与、的关系，并说明理由； (3)观察图和图，已知，猜想图中的与、的关系，不需要说明理由． 16．（2024七年级上·全国·专题练习）（1）如图①，，试问与的关系是什么？并说明理由； （2）如图②，，试问与的关系是什么？请直接写出结论； （3）如图③，，试问与的关系是什么？请直接写出结论． 六．利用平行线间距离解决问题 17．（23-24八年级下·全国·课后作业）如图，直线，A、B为直线n上两点，C、P为直线m上两点． (1)如果A、B、C为三个定点，点P在直线m上移动，那么无论点P移动到何位置，总有________与的面积相等．理由是____________________； (2)如果点P在如图所示的位置，请写出另外两对面积相等的三角形：____________________． 18．（24-25八年级上·广西桂林·开学考试）如图，，的面积等于4，则的面积是 ． 19．（24-25七年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，P是长方形外一点，的面积为a．若的面积为b，则的面积为 ．（用含a、b的代数式表示）    20．（23-24七年级下·湖南邵阳·期末）如图，四边形中，，与相交于点，下列说法：①三角形与三角形周长相等；②三角形与三角形面积相等；③三角形与三角形面积相等；④与之间的公垂线段相等．其中说法正确的是 （填序号） 七．利用平移的性质求解 21．（23-24七年级下·湖北武汉·期末）在直角中，，，，将沿直线向右平移得到，若，．    (1)求向右平移的距离． (2)求四边形的周长． 22．（23-24七年级下·河南新乡·期中）如图，在一次课本剧的展演中，两个三角形道具重合在一起，小王把其中一个沿三角形的边所在的直线向右移动，使之平移到三角形的位置． (1)若，，求的长． (2)若，求的度数． 23．（23-24七年级下·河北邯郸·阶段练习）如图，在三角形中，，，．将三角形沿向左平移，得到三角形，与交于点，连接． (1)分别求和的度数； (2)若，，求图中阴影部分的面积； (3)已知点在三角形约内部，三角形平移到三角形后，点的对应点为，连接．若三角形的周长为，四边形的周长为，请直接写出的长度． 八．利用平移解决实际问题 24．（2024七年级上·上海·专题练习）探究证明图形的操作过程（本题中四个长方形的水平方向的边长均为，竖直方向的边长均为 在图①中，将线段向右平移1个单位长度到，得到封闭图形（即阴影部分） 在图②中，将折线向右平移1个单位长度到，得到封闭图形（即阴影部分）．请你分别写出上述两个图形中除去阴影部分后剩余部分的面积： ， ． 结论应用在图③中，请你类似的画一条有两个折点的线，同样向右平移1个单位长度，从而得到一个封闭图形，并用斜线画出阴影，则阴影部分的面积 ． 联系拓展如图④，在一块长方形草地上，有一条弯曲的柏油小路（小路任何地方的水平宽度都是1个单位长度），请你猜想空白部分表示的草地面积是多少，并证明你的猜想是正确的． 25．（23-24七年级下·山西朔州·期中）综合与实践 在综合实践课上，白老师带领同学们为我市劳动公园的三块空地提供铺草和设计小路的方案，三块长方形空地的长都为，宽都为．白老师的设计方案如图1所示，阴影部分为一条平行四边形小路，，长方形除去阴影部分后剩余部分为草地． 数学思考：（1）求图1中草地的面积． 深入探究：（2）白老师让同学们开发想象并完成本组的设计，并让小组成员提出相关的问题 ①“善思小组”提出问题：设计方案如图2所示，有两条宽均为1米的小路（图中阴影部分），其余部分为草地，求草地的面积，请你解答此问题． ②“智慧小组”提出问题：设计方案如图3所示，阴影部分为草地，非阴影部分为1米宽的小路，沿着小路的中间从入口P处走到出口Q处，求所走的路线（图中虚线）长．请你思考此问题，并直接写出结果．    26．（23-24七年级下·吉林·阶段练习）图形操作：（图1、图2、中的长方形的长均为10米，宽均为5米） 在图1中，将线段向上平移1米到，得到封闭图形（阴影部分）； 在图2中，将折线（其中点叫做折线的一个“折点”）向上平移1米到折线，得到封闭图形（阴影部分）． (1)问题解决，设图1，图2中除去阴影部分后剩下部分的面积分别为，则 平方米；并比较大小： （填“”“”或”）； (2)联想探索：如图3，在一块长方形草地上，有一条弯曲的柏油小路（小路的宽度是1米），长方形的长为，宽为，请你直接写出空白部分表示的草地的面积是 平方米（用含，的式子表示）． (3)实际运用：如图4，在长方形地块内修筑同样宽的两条“相交”的道路（道路与长方形的边平行或垂直），余下部分作为耕地，若道路宽为4米，则剩余的耕地面积为 平方米． 九．平方根与立方根综合 27．（24-25八年级上·四川成都·阶段练习）已知的立方根是3，的算术平方根是，c是的整数部分，求的算术平方根． 28．（24-25八年级上·福建泉州·阶段练习）（1）已知的平方根是，的算术平方根是4，求的算术平方根． （2）若x，y都是实数，且，求的立方根． 29．（20-21八年级上·四川·阶段练习）已知是的算术平方根，是的立方根，求的立方根． 30．（23-24七年级上·山东烟台·期末）已知正数a的两个平方根分别是和，且与相等，求的算术平方根． 一十．利用实数的性质求解 31．（23-24七年级下·广西南宁·期中）情境：一天小明在复习数学的时候，看到课本多次出现无理数，于是他展开了联想； 提出问题：有多大？小数部分是什么样的？能在数轴上表示出来吗？怎么表示呢？ 实践操作：小明按计算器，发现计算器显示…，了解到是一个大于1且小于2的无限不循环小数，计算器不能全部地把小数部分显示出来，于是小明用来表示的小数部分．随即小明又想到，如果没有计算器，该如何去估计一个无理数的大小呢？于是小明继续翻阅资料，获取了两条重要材料．材料如下： 材料一：以1个单位长度为边长画一个正方形，这个正方形的对角线就是，借助圆规就可以在数轴上表示和，B两点：    材料二：∵，即， ∴的整数部分为2，小数部分为． 学以致用：（1）的整数部分是_______，小数部分是_______； 拓展应用：（2）小明继续发散思维，发现还可以借助坐标平移和绝对值等知识比较实数的大小，进行数的计算，于是小明自己出题，请你独立思考并解决以下问题： ①写出介于哪两个相邻整数之间？去绝对值等于多少？ ②若，求x的值． 32．（23-24七年级下·湖北恩施·期中） 实数a，b，c是数轴上三点A，B，C所对应的数，如图， (1)比较大小 a 0； 0； 0 ； 0 (2)化简： 33．（23-24七年级下·安徽黄山·期中）阅读下列材料并解决有关问题． 我们知道，．现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式. 如化简代数式时，可令和，分别求得，（称分别为与的零点值）．在实数范围内，零点值和可将全体实数分成不重复且不遗漏的如下种情况： ； ； ． 从而化简代数式可分以下种情况： 当时，原式； 当时，原式； 当时，原式． 综上讨论， . 通过以上阅读，请你解决以下问题： (1)分别求出和的零点值； (2)化简． 34．（23-24七年级下·福建莆田·阶段练习）【发现】 ① ② ③ ④… （1）根据上述等式反映的规律，请再写出一个等式：______． 【归纳】等式①，②，③，④，所反映的规律，可归纳为一个真命题：对于任意两个有理数，，若，则，满足的数量关系为______； 【应用】根据上述所归纳的真命题，解决下列问题： （2）若与的值互为相反数，且，求的值． 一十一．无理数整数部分的有关计算 35．（24-25八年级上·河北邢台·期中）我们知道，是一个无理数，无理数是无限不循环小数，若将这个数减去它的整数部分，差就是小数部分，即的整数部分是1，则小数部分是，请回答以下问题： (1)已知为的整数部分，是的小数部分，则___________，___________． (2)若，其中是整数，且，求的算术平方根． 36．（24-25八年级上·四川甘孜·期中）大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用来表示的小数部分，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是其小数部分．请解答： (1)的整数部分是______，小数部分是______； (2)如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值； (3)已知：，其中x是整数部分，y是小数部分，求的值． 37．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）材料：2.5的整数部分是2，小数部分是0.5，小数部分可以行成是得来的，类比来看，是无理数，而，所以的整数部分是1，于是可用来表示的小数部分． 根据以上材料，完成下列问题： (1)的整数部分是__________，小数部分是__________； (2)也是夹在相邻两个整数之间的，可以表示为，求的平方根． 一十二．实数的混合运算 38．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 39．（24-25七年级上·浙江温州·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)．（精确到，其中 40．（24-25七年级上·浙江绍兴·期中）（1）用“”、“”或“”填空： ； （2）由（1）可知： ① ； ② ； ③ ； （3）计算（结果保留根号）： ①； ②． 一十三．与实数运算有关的规律探究问题 41．（24-25七年级上·安徽亳州·阶段练习）先观察下列等式，再回答问题： ①； ②； ③ (1)根据上面三个等式提供的信息，请你猜想_______ (2)请按照上面各等式反映的规律，试写第n个等式：_______ (3)对任何实数a，表示不超过a的最大整数，如， 计算： 42．（24-25八年级上·山西临汾·阶段练习）先阅读材料，再回答问题： …… (1)请根据以上规律写出第七个等式； (2)根据以上规律，若一个等式的最右边的值是，请写出这个等式； (3)根据以上规律，写出第n个等式．（用含有n的式子表示，n为整数，且） 43．（23-24七年级下·广东江门·期中）先观察下列各式4； (1)计算： (2)已知n为正整数，通过观察并归纳，请写出： (3)应用上述结论，请计算的值． 44．（23-24七年级下·广东东莞·期中）先观察下列等式，再回答问题： ① ②； ③ …… (1)请根据上面三个等式提供的信息，则_________=_________； (2)请利用上述规律，猜想_________=_________； (3)计算：的值． 一十四．与实数运算有关的新定义问题 45．（24-25七年级上·浙江温州·期中）对任意实数定义一种新运算“⊕”，规定：．如：． (1)求的值； (2)已知x为的整数部分，化简并求值：； (3)若比小，请直接写出一个满足条件的m值． 46．（23-24七年级下·广西南宁·阶段练习）【阅读与应用】 【问题提出】 对于任意实数，定义一种新运算，例如：． 【初步感知】 （1）求的值； 【拓展运用】 （2）若实数满足，求的值． 47．（22-23七年级上·河南洛阳·期末）用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定．如：． (1)求的值； (2)的值． 48．（23-24七年级下·山西朔州·阶段练习）对于任意实数，用“#”和“”定义新运算如下： (1)，如．已知计算的结果为19，求的值． (2)，如．已知计算的结果为，求的值． 一十五．利用点的坐标特征求解 49．（24-25七年级上·山东威海·阶段练习）已知点， (1)若点在第一象限的角平分线上时，求的值； (2)若点到轴的距离是到轴的距离的3倍，求点坐标； (3)若线段轴，求点，的坐标及线段的长． 50．（23-24七年级下·云南曲靖·期中）在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为，且轴． (1)求a的值； (2)求的面积； (3)在y轴上是否存在一点P，使得的面积等于面积的一半？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 51．（24-25八年级上·陕西渭南·期中）已知平面内有一点，分别根据下列条件求点的坐标． (1)点在第三象限，且点到轴的距离为4； (2)点的坐标为，且直线与轴平行． 52．（23-24七年级下·全国·单元测试）在平面直角坐标系中，已知点，试分别根据下列条件，求出点P的坐标： (1)当点P在y轴上时； (2)当时； (3)当时； (4)点P在过点，且与x轴平行的直线上． 53．（23-24七年级下·山东济宁·阶段练习）已知点在轴的负半轴上． (1)求点的坐标； (2)求式子的值． 一十六．点坐标规律探究 54．（23-24七年级下·广东东莞·期中）在平面直角坐标系中，一只电子蚂蚁从原点O出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断移动，每次移动1个单位长度，其行走路线如图所示．    (1)填写下列各点的坐标：（ ， ），（ ， ），（ ， ）． (2)写出点的坐标（n是正整数）． (3)求出电子蚂蚁从点到点的移动方向． 55．（23-24七年级下·安徽阜阳·期中）【观察发现】如图，一些点按照一定的规律排列：点，点，点，点，点，… 【归纳应用】 (1)直接写出：点的坐标为______；点的坐标为______． (2)用含（为正整数）的代数式表示点的坐标为______，点的坐标为______． (3)在（2）的条件下，若点的坐标为，求的值． 56．（2024七年级下·全国·专题练习）如图，在直角坐标系中，第一次将变换成，第二次将变换成，第三次将变换成，已知，，，；，，，． (1)观察每次变换前后的三角形有何变化，找出规律，按此变化规律再将变换成，则的坐标是 ，的坐标是 ． (2)若按（1）找到的规律将进行了次变换，得到，比较每次变换中三角形顶点有何变化，找出规律，推测的坐标是 ，的坐标是 ． 57．（23-24八年级上·安徽六安·阶段练习）如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动： 第一次：原点，； 第二次：，； 第三次：，； 第四次：，； 第五次：，；… 归纳上述规律，完成下列任务． (1)直接写出下列坐标：　　，　　，　　； (2)第2023次运动后，的坐标为________； (3)点距轴的距离为 　　，点距轴的距离为 　　． 一十七．用有序数对求解 58．（23-24七年级下·吉林·期末）下图是游乐园一角的平面示意图，图中1个单位长度表示100m． (1)如果用有序数对表示跳跳床的位置，填写下列游乐设施的位置：跷跷板______，摩天轮____，碰碰车_____； (2)秋千的位置是，请在图中标出来； (3)旋转木马在大门以东，再往北处，请在图中标出来． 59．（23-24七年级下·湖北·期中）如图，如果“将”的位置用有序数对表示为． (1)用同样的方式表示“相”与“象”的位置； (2)“馬”走“日”字对角线．用同样的方式表示“馬7进8”（即第7列的马前进到第8列）后的位置． 60．（23-24七年级下·全国·课后作业）如图，一只甲虫在的网格（每个小网格边长均为1）上沿着网格线运动，它从C处出发想去看望A，B，D，E处的其他甲虫，规定：向下、向左走为正，向上、向右走为负．如果从C到B记为（第一个数表示左、右方向的移动，第二个数表示上、下方向的移动），请解答下列各题． (1)填空：（________，________）；（________，________）； ________； ________； (2)若这只甲虫的行走路线是．请计算该甲虫走过的路程； (3)这只甲虫从C处去P处的行走路线依次为，请在图中标出P的位置，并找出该甲虫从C处去P处的最短行走路线． 一十八．坐标方法的简单应用 61．（24-25七年级上·河北唐山·阶段练习）如图，一只甲虫在的方格（每小格边长为1个单位长度）上沿网格线运动．规定：向上向右走为正，向下向左走为负． 例：记为：；记为：．其中第一个数表示左右方向，第二个数表示上下方向． (1)记为：（________，________）； (2)记为：，在图2中标出的位置，若甲虫从出发，行走路线依次为、，到达处，在图2中标出的位置； (3)若甲虫行走路线为，计算该甲虫走过的路程； (4)若甲虫从到达处，行走路线为，，，…，，则________． 62．（23-24七年级下·河北廊坊·期末）淇淇在学校的创客空间活动中，给她的小机器人设置了长方形的运动轨迹，并以长方形的一个顶点为原点，长方形的两条边为坐标轴建立如图的平面直角坐标系．点A坐标为，点C的坐标为，且、满足．机器人从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着的线路移动． (1)求点B的坐标． (2)当机器人移动14秒时，到达M点，请求出M点的坐标． (3)若机器人到x轴的距离为6时，机器人就会唱一首10秒钟的歌，且唱歌时机器人停止前进．那么当机器人出发几秒钟后会开始唱歌？ 63．（23-24八年级下·河北邢台·阶段练习）如图，点表示小明家，分别表示学校，高铁站，博物馆，影院，公园，且是的中点，． (1)判断到点的距离相等的地方有哪些？ (2)以小明家为参照点，请用方位角和实际距离分别表示学校，公园，博物馆，影院，高铁站的位置． 一十九. 用坐标表示平移 64．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）如图，在边长为个单位长度的小正方形网格中建立平面直角坐标系．已知的顶点的坐标为，顶点的坐标为，顶点的坐标为． (1)把向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到，请你画出，并直接写出点的坐标； (2)求的面积． 65．（23-24七年级下·湖北十堰·期中）如图，在平面直角坐标系中，三角形的三个顶点A，B，C的坐标分别为，，，将三角形向左平移3个单位长度，再向下平移5 个单位长度． (1)画出平移后的三角形 并写出平移后三个顶点A，B，C 的对应点． 的坐标； (2)若三角形 内部一点P 的坐标为，写出平移后点 P 的对应点． 的坐标． 66．（23-24七年级下·河北保定·期末）在平面直角坐标系中，点在x轴上，将点A向右平移5个单位长度，再向上平移m个单位长度得到点B，将点A向下平移个单位长度，再向右平移5个单位长度得到点C，在此过程中m始终满足． (1) ______；A点的坐标是________； (2)写出点B、C的坐标：B________，C________；（用含m的式子表示） (3)若的面积是10，求m的值； (4)若交y轴于点N，的长度为1，请直接写出m的值． 二十．平行线的实际应用 67．（23-24七年级下·山西晋中·期中）如图1的晾衣架中存在多组平行关系，将晾衣架的侧面抽象成如图2的数学平面图形，已知，若，，求的度数．    68．（23-24七年级下·山西晋城·期中）汛期即将来临，防汛指挥部在某水域一危险地带的两岸各安置了一探照灯，便于夜间察看河水及两岸河堤的情况，如图1，探照灯射出的光束自AM顺时针旋转至AN便立即回转，探照灯射出的光束自BP顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若探照灯射出的光束的转动速度是/秒，探照灯射出的光束的转动速度是/秒，且，满足，假定这一带水域两岸河堤是平行的，即，且． (1)求，的值． (2)如图2，两探照灯同时转动，在探照灯射出的光束到达AN之前，两探照灯射出的光束交于点，若，求的度数． (3)若探照灯射出的光束先转动40秒，探照灯射出的光束才开始转动，在探照灯射出的光束第一次到达BQ之前，当两探照灯的光束互相平行时，请直接写出探照灯转动的时间． 69．（21-22七年级下·江苏泰州·阶段练习）光线照射到镜面会产生反射现象，由光学知识，入射光线与镜面的夹角与反射光线与镜面的夹角相等，例如：在图1中，有∠1＝∠2． (1)如图2，已知镜子MO与镜子ON的夹角∠MON＝90°，请判断入射光线AB与反射光线CD的位置关系，并说明理由； (2)如图3，有一口井，已知入射光线AO与水平线OC的夹角为50°，当平面镜MN与水平线OC的夹角为 °，能使反射光线OB正好垂直照射到井底； (3)如图4，直线EF上有两点A、C，分别引两条射线AB、CD．∠BAF＝120°，∠DCF＝40°，射线AB、CD分别绕A点、C点以3度/秒和1度/秒的速度同时逆时针转动，设时间为t秒，在射线AB转动一周的时间内，是否存在某时刻，使得CD与AB平行？若存在，求出所有满足条件的时间t． 70．（20-21七年级下·河南三门峡·期中）2018年9月，习近平总书记在全国教育大会上提出“要树立健康第一的教育理念，开齐开足体育课，帮助学生在体育锻炼中享受乐趣、增强体质、健全人格、锤炼意志”，依据《国家学生体质健康标准》“使每个学生掌握至少两项终身受益的体育锻炼项目”的目标要求，我市某学校增设了篮球项目的教学，如图①，为该校放置在水平操场上的篮球架的横截面图形，初始状志时，篮球架的横梁平行于，主柱垂直于地面，与上拉杆形成的角度为，且，这一篮球架可以通过调整和后拉杆的位置来调整篮筐的高度．在调整的高度时，为使和平行，需要改变和的度数，如图②，调整使其上升到的位置，此时，与平行，，并且点，，在同一直线上，请你帮忙求出的大小． $$重难点03 七年级下册（第七章-第九章）热考题型全归纳 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 一．利用邻补角、对顶角的性质求解 二．平行线的判定 三．利用平行线的性质求解 四．利用平行线的性质与判定求解 五．添加辅助线，结合平行线的性质与判定求解 六．利用平行线间距离解决问题 七．利用平移的性质求解 八．利用平移解决实际问题 九．平方根与立方根综合 一十．利用实数的性质求解 一十一．无理数整数部分的有关计算 一十二．实数的混合运算 一十三．与实数运算有关的规律探究问题 一十四．与实数运算有关的新定义问题 一十五．利用点的坐标特征求解 一十六．点坐标规律探究 一十七．用有序数对求解 一十八．坐标方法的简单应用 一十九. 用坐标表示平移 二十．平行线的实际应用 一．利用邻补角、对顶角的性质求解 1．（24-25七年级上·陕西延安·期末）如图，已知直线相交于点O，与互余，平分，，求的度数． 【答案】 【分析】此题考查了余角的定义，角的平分线，以及角的和差，关键是理清图中角之间的关系，利用数形结合的思想求解．先计算出的度数，进而可得的度数，即可求得的度数，由对顶角的定义即可解答． 【详解】解：∵与互余，， ∴， ∵平分， ∴， ∴ ∴． 2．（24-25七年级上·全国·期末）如图，直线相交于点O，平分，平分，若，求的度数． 【答案】 【分析】此题主要考查了对顶角、邻补角，以及角平分线，关键是正确理清图中角之间的关系．先利用角平分线性质计算出的度数和的度数，然后求两角之差即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 3．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，直线交于点分别在内部，且平分． (1)的对顶角是___________； (2)若，则的度数为___________； (3)若平分，求的度数； (4)若，判断是否平分，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3) (4)平分，理由见解析 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，对顶角的性质，几何中角度的计算，解题的关键是数形结合，熟练掌握角平分线的定义． （1）根据对顶角的定义即可解答； （2）根据角平分线的定义得出，再根据，求出结果即可； （3）由，得到，根据角平分线的定义得出，根据，求出，根据角平分线的定义得出，根据，求出结果即可； （4）由，利用平角的定义得到，再根据，求出，结合得出结论． 【详解】（1）解：根据题意：的对顶角是； （2）解： 平分， ， ； （3）解： 与为对顶角， ， ，即． 平分， ， ， ， ． 又 平分， ， ； （4）解：平分，理由如下： ， ． ， ， ， ， 平分． 二．平行线的判定 4．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，已知，问：与平行吗？与呢？为什么？ 【答案】．理由见解析 【分析】本题考查的是邻补角的性质，平行线的判定，证明，即可得到结论． 【详解】解：． 理由：， ． ， ， ∴． 5．（23-24七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，直线交于点O，分别平分和，且． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)． 【分析】本题考查了平行线的判定、对顶角的性质、同角的余角相等、角平分线的定义等知识点，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． （1）先利用角平分线的定义可得，从而利用平角定义可得，然后利用同角的余角相等可得，再利用平行线的判定即可得到结论； （2）利用（1）的结论可得，然后利用平角定义可得，然后利用对顶角相等可得，再利用角平分线的定义可得，从而利用平角定义即可解答． 【详解】（1）证明：分别平分和， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 6．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，点G在上，已知，平分，平分，请说明的理由． 解：（已知）， （_______） （_______）． ∵平分， _______（_______）． 平分， _______， 得（_______）， （_______）． 【答案】邻补角的定义；同角的补角相等；；角平分线的定义；；等量代换；内错角相等，两直线平行；理由见解析 【分析】本题主要考查平行线的判定，由题意可求得，再由角平分线的定义得，，从而得，即可判定． 【详解】解：∵（已知）， （邻补角的定义）， ∴（同角的补角相等）． ∵平分， ∴（角平分线的定义）． ∵平分， ∴， ∴（等量代换）， ∴（内错角相等，两直线平行）． 故答案为：邻补角的定义；同角的补角相等；；角平分线的定义；；等量代换；内错角相等，两直线平行． 三．利用平行线的性质求解 7．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，，直线与交于点，与交于点，过点作射线，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，根据平行线的性质求出的度数，根据平角定义可求出的度数，然后结合垂直定义和角的和差关系求解即可． 【详解】解：，， ， ． 又， ， ． 8．（21-22七年级下·河北保定·期中）如图，已知． (1)，求的度数； (2)猜想三者之间的关系并加以说明． 【答案】(1)30度 (2)，见解析 【分析】本题考查的是平行线的性质，一元一次方程的应用； （1）由可得，由可得，再进一步解答即可； （2）由（1）可得，即，再整理即可． 【详解】（1）解： ， ． ， ． ， ， ． （2）解：． 理由如下： 由（1）可知，， 即， ， 整理，得． 9．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，已知，．点是射线上一动点（与点不重合），，分别平分和交射线于点E，F． (1)求的度数，若，请直接用含的式子表示； (2)随着点的运动，设，，与之间的数量关系是否改变？若不改变，请求出此数量关系；若改变，请说明理由； (3)当时，请直接写出的度数． 【答案】(1)， (2)不改变，恒为，理由见解析 (3) 【分析】本题主要考查了平行线的性质、角平分线的定义的运用等知识点，掌握两直线平行，内错角相等是解题的关键． （1）先根据平行线的性质得出，再根据分别平分和，即可得出的度数；同理：当，用含的式子表示即可； （2）根据平行线的性质得出，再根据平分，即可得到进而得出，进而完成解答； （3）根据，得出，进而得，根据，进而求得的度数． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∵分别平分和， ∴ ∴； 若， ∵，． ∴， ∴， ∵分别平分和， ∴， ∴； （2）解：不变．恒为，理由如下： ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴，， 当时，则有， ∴， ∴， ∴． 四．利用平行线的性质与判定求解 10．（21-22七年级下·山东济宁·期中）如图，，点E为两直线之间的一点． (1)如图1，若，，则_______； (2)如图2，试说明，； (3)如图3，若的平分线与的平分线相交于点F，判断与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)； (2)见解析； (3)，理由见解析． 【分析】本题考查平行线的判定及性质，解题的关键是掌握平行线的性质，利用平行线的性质探索角之间的关系． （1）过点E作直线，利用平行线的性质证明，，即可得到； （2）过点E作，利用平行线的性质证明，，即可证明，即； （3）由（1）可得，再证明，由（2）可知，，即可证明． 【详解】（1）解：过点E作直线， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴． （2）解：如图所示，过点E作， ， ， ，， ， 即． （3）解：①，理由如下： 由（1）可得， 平分，平分， ，， ， 由（2）可知，， ． 11．（2024七年级上·全国·专题练习）综合与探究，问题情境：综合实践课上，王老师组织同学们开展了探究三角之间数量关系的数学活动． (1)如图1，，点A，B分别为直线上的一点，点P为平行线间一点且，求度数； 问题迁移 (2)如图2，射线与射线交于点O，直线，直线m分别交于点A，D，直线n分别交于点B，C，点P在射线上运动． ①当点P在A，B（不与A，B重合）两点之间运动时，设．则之间有何数量关系？请说明理由； ②若点P不在线段上运动时（点P与点A，B，O三点都不重合），请你直接写出间的数量关系． 【答案】(1) (2)①理由见解析；② 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，正确的作出辅助线、灵活运用平行线的性质成为解题的关键． （1）如图：过P作，则，根据平行线的性质得出，再将已知条件代入即可解答； （2）①同（1）求解即可；②如图：当P在延长线时，过P作交于E，结合图形可得；同理：可求当P在之间时． 【详解】（1）解：如图：过P作， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴； （2）解∶①理由如下： 如图：过P作交于E， ∵， ∴， ∴， ∴； ②如图：当P在延长线时， 此时； 如图：当P在之间时， 此时． 12．（24-25七年级上·湖北武汉·阶段练习）已知，E、F分别为，上一点，P，H分别在，上，，． (1)如图1，求证：平分； (2)如图2，过点P作，交于点M，作的平分线交于点N，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题主要考查平行线的性质，角平分线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键． （1）根据平行线的性质可得，，再由得，即可得证； （2）设，则，得出，再由求出值即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴，， ∵， ∴ ∴平分． （2）设， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 五．添加辅助线，结合平行线的性质与判定求解 13．（24-25七年级上·吉林长春·期末）【探究】如图①，已知， （1）若，，求的度数； （2）求证：； 【应用】如图②，已知，若，，，则_____________． 【答案】（1）；（2）见解析；【应用】． 【分析】本题考查的是平行公理的应用，平行线的性质，利用平行公理作出辅助线是解本题的关键． （1）如图所示，过点P作，首先得到，求出，然后证明出，即可得到； （2）根据得到，根据得到，进而求解即可； 应用：过点P作，延长到点M，由（2）得，进而得到，同理得到，进而求解即可． 【详解】解：（1）如图所示，过点P作， ∵， ∴； ∵， ∴； ∵， ∴， ∴； （2）∵， ∴； ∵， ∴， ∴； 应用：如图所示，过点P作，延长到点M， 由（2）得，， ∵，， ∴， ∴； ∵， ∴； 由（2）得，， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：138． 14．（2024七年级上·全国·专题练习）生活情境·山路 “公路村村通”的政策让公路修到了山里，蜿蜒的盘山公路连接了山里与外面的世界，数学活动课上，老师把山路抽象成图2的样子，并提出了一个问题： 在图2中，，，，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了平行的判定及性质；过点向左作，过点向右作，由平行线的判定方法得，由平行线的性质得 ，，由角的和差得，即可求解；掌握平行的判定及性质是解题的关键． 【详解】解：如图，过点向左作，过点向右作， 则， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ． 15．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，，猜想与、的关系，并说明理由． (1)填空： 解：猜想．理由：过点作，如图所示，所以 (①___________)．因为，，所以 (如果两条直线都和第三条直线平行，那么②___________)，所以 (③___________)，所以④___________，即； (2)依照上面的解题方法，观察图，已知，猜想图中的与、的关系，并说明理由； (3)观察图和图，已知，猜想图中的与、的关系，不需要说明理由． 【答案】(1)①两直线平行，同旁内角互补；②这两条直线也互相平行；③两直线平行，同旁内角互补；④ (2)，见解析 (3)图中，图中 【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质，添加适当的辅助线是解此题的关键． （1）根据平行线的性质补充完整即可； （2）过点P作，根据平行线的性质求解即可； （3）过点P作，根据平行线的性质求解即可． 【详解】（1）解：猜想． 理由：过点作，如图所示， 所以 (①两直线平行，同旁内角互补)． 因为，， 所以 (如果两条直线都和第三条直线平行，那么②这两条直线也互相平行)， 所以 (③两直线平行，同旁内角互补)， 所以④，即． 故答案为：①两直线平行，同旁内角互补；②这两条直线也互相平行；③两直线平行，同旁内角互补；④ （2）解：猜想． 理由：过点P作，如图所示， 所以． 因为，， 所以， 所以， 所以，即； （3）解：图中，图中． 如图，过作， ， 则， 因为，， 所以， 所以， ∴； 如图，过作， ， 则， 因为，， 所以， 所以， ∴． 16．（2024七年级上·全国·专题练习）（1）如图①，，试问与的关系是什么？并说明理由； （2）如图②，，试问与的关系是什么？请直接写出结论； （3）如图③，，试问与的关系是什么？请直接写出结论． 【答案】（1），见解析；（2）；（3） 【分析】此题考查了平行线的性质，解题的关键是掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用． （1）过点作，从而推出，根据两直线平行，内错角相等，可知，，从而推出与的关系； （2）分别过点，，，作，，，从而推出，根据两直线平行，内错角相等，可推出与的关系； （3）分别过点，，，，，作，，，，，从而知道，根据两直线平行，内错角相等，可推出与的关系． 【详解】解：（1），理由如下： 如图，过点作， ，， ， ，， ； （2）同理（1）得：，理由如下： 分别过点，，，作，，， ，，， （3）同理（1）得：． 理由如下：分别过点，，，，，作，，，，， ， ， ，，，，，， ． 六．利用平行线间距离解决问题 17．（23-24八年级下·全国·课后作业）如图，直线，A、B为直线n上两点，C、P为直线m上两点． (1)如果A、B、C为三个定点，点P在直线m上移动，那么无论点P移动到何位置，总有________与的面积相等．理由是____________________； (2)如果点P在如图所示的位置，请写出另外两对面积相等的三角形：____________________． 【答案】(1)，同底等高的两个三角形的面积相等 (2)与，与 【分析】本题主要考查了三角形的面积、平行线之间的距离等知识点，掌握“平行线间的距离相等”和“同底等高的三角形的面积相等”是解题的关键． （1）利用“平行线间的距离相等”和“同底等高的三角形的面积相等”即可解答； （2）利用“平行线间的距离相等”和“同底等高的三角形的面积相等”即可解答． 【详解】（1）解：∵直线，, ∴点P和点C到直线n的距离相等． 又∵在和中，， ∴（同底等高的两个三角形的面积相等）． 故答案为：，同底等高的两个三角形的面积相等． （2）解：设直线m和n之间的距离为h ∵, ∴． ∴,即． 故答案为：与，与． 18．（24-25八年级上·广西桂林·开学考试）如图，，的面积等于4，则的面积是 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了平行线的性质，由平行线间间距相等可得与是同底等高的三角形，据此可得答案． 【详解】解：∵，的面积等于4， ∴， 故答案为：4． 19．（24-25七年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，P是长方形外一点，的面积为a．若的面积为b，则的面积为 ．（用含a、b的代数式表示）    【答案】/ 【分析】作于M，交于N，根据长方形的性质，三角形面积的公式，分割法求面积解答即可． 本题考查了三角形的面积公式，分割法表示面积，熟练掌握三角形面积表示是解题的关键． 【详解】解：作于M，交于N， ∵四边形是长方形， ∴，， ∴，， ∵的面积为a．若的面积为b， ∴， ∵， ∴， 即 ∴， 故答案为．    20．（23-24七年级下·湖南邵阳·期末）如图，四边形中，，与相交于点，下列说法：①三角形与三角形周长相等；②三角形与三角形面积相等；③三角形与三角形面积相等；④与之间的公垂线段相等．其中说法正确的是 （填序号） 【答案】②③④ 【分析】本题考查了平行线间的距离，根据，得出间的距离相等，进而根据三角形的面积公式，逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：∵， ∴间的距离相等， ①三角形与三角形周长不一定相等，故①不正确 ②三角形与三角形面积相等，故②正确； ③∵ ∴ 即三角形与三角形面积相等，故③正确； ④与之间的公垂线段相等，故④正确． 故答案为：②③④． 七．利用平移的性质求解 21．（23-24七年级下·湖北武汉·期末）在直角中，，，，将沿直线向右平移得到，若，．    (1)求向右平移的距离． (2)求四边形的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查四边形综合，涉及平移性质及求四边形周长等知识，熟记平移性质，数形结合是解决问题的关键． （1）由平移性质得到，数形结合，进而列式求解即可得到向右平移的距离是； （2）由平移性质得到，，利用四边形的周长为，代值求解即可得到答案． 【详解】（1）解：将沿直线向右平移得到， ，则， ，， ，即，解得， 向右平移的距离是； （2）解：将沿直线向右平移得到， ，， ，， 四边形的周长为． 22．（23-24七年级下·河南新乡·期中）如图，在一次课本剧的展演中，两个三角形道具重合在一起，小王把其中一个沿三角形的边所在的直线向右移动，使之平移到三角形的位置． (1)若，，求的长． (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平移的性质，平行线的性质，解题关键是掌握平移的性质及平行线的性质． （1）由平移的性质可知，，再根据即可得出答案； （2）由平移的性质得，，，再根据平行线的性质“两直线平行，同位角相等”，“两直线平行，内错角”，即可得． 【详解】（1）解：由平移的性质可知，， ， ． （2）解： 沿射线方向平移，得到， ，， ，， ， ． 23．（23-24七年级下·河北邯郸·阶段练习）如图，在三角形中，，，．将三角形沿向左平移，得到三角形，与交于点，连接． (1)分别求和的度数； (2)若，，求图中阴影部分的面积； (3)已知点在三角形约内部，三角形平移到三角形后，点的对应点为，连接．若三角形的周长为，四边形的周长为，请直接写出的长度． 【答案】(1)； (2)10 (3)6 【分析】此题主要考查了图形的平移变换及其性质，熟练掌握图形的平移变换及其性质是解决问题的关键． （1）由平移的性质得，，，，，则，由此可得的度数；由得，由此可得的度数； （2）先根据，得，再根据三角形的面积公式可求出图中阴影部分的面积； （3）依题意得，，即，由此得，再根据平移的性质得，据此可得的长． 【详解】（1）由平移性质得：，，，，， ， ， ， ， ； （2），， ， 又， ； （3）的周长为， ， 又四边形的周长为， ， 即， ， ， 由平移的性质得：， ， ， 即的长度为6． 八．利用平移解决实际问题 24．（2024七年级上·上海·专题练习）探究证明图形的操作过程（本题中四个长方形的水平方向的边长均为，竖直方向的边长均为 在图①中，将线段向右平移1个单位长度到，得到封闭图形（即阴影部分） 在图②中，将折线向右平移1个单位长度到，得到封闭图形（即阴影部分）．请你分别写出上述两个图形中除去阴影部分后剩余部分的面积： ， ． 结论应用在图③中，请你类似的画一条有两个折点的线，同样向右平移1个单位长度，从而得到一个封闭图形，并用斜线画出阴影，则阴影部分的面积 ． 联系拓展如图④，在一块长方形草地上，有一条弯曲的柏油小路（小路任何地方的水平宽度都是1个单位长度），请你猜想空白部分表示的草地面积是多少，并证明你的猜想是正确的． 【答案】探究证明， 结论应用 联系拓展，理由见解析 【分析】本题主要考查了平移的性质． 探究证明阴影部分的平行四边形的底是1，高是，即可得阴影面积，进而可答案； 结论应用可看成两个平行四边形，它们的底都是1，而两个平行四边形高的和为，故可得阴影面积，即得答案； 联系拓展考虑图形的拆分和拼凑，可利用平移把空白部分凑成长为，宽是的长方形，进而得到草地的面积． 【详解】解：探究证明平行四边形的面积底高， ，， 故答案为：，； 结论应用画图如下： ； 故答案为：； 联系拓展空白部分表示的草地面积是：，理由如下： 1、将“小路”沿着左右两个边界“剪去”； 2、将左侧的草地向右平移一个单位； 3、得到一个新的长方形． 在新得到的长方形中，其纵向宽仍然是．其水平方向的长变成了，所以草地的面积就是：． 25．（23-24七年级下·山西朔州·期中）综合与实践 在综合实践课上，白老师带领同学们为我市劳动公园的三块空地提供铺草和设计小路的方案，三块长方形空地的长都为，宽都为．白老师的设计方案如图1所示，阴影部分为一条平行四边形小路，，长方形除去阴影部分后剩余部分为草地． 数学思考：（1）求图1中草地的面积． 深入探究：（2）白老师让同学们开发想象并完成本组的设计，并让小组成员提出相关的问题 ①“善思小组”提出问题：设计方案如图2所示，有两条宽均为1米的小路（图中阴影部分），其余部分为草地，求草地的面积，请你解答此问题． ②“智慧小组”提出问题：设计方案如图3所示，阴影部分为草地，非阴影部分为1米宽的小路，沿着小路的中间从入口P处走到出口Q处，求所走的路线（图中虚线）长．请你思考此问题，并直接写出结果．    【答案】（1）；（2）①；② 【分析】本题结合图形的平移考查有关面积的问题，需要注意的是：平移前后图形的大小、形状都不改变，熟练掌握平移的性质和长方形的面积公式是解题的关键． （1）结合图形，利用面积公式求解即可； （2）结合图形，利用平移的性质求解； （3）结合图形，利用平移的性质求解． 【详解】（1）根据题意草地的面积为：(平方米)； 故答案为：； （2）小路往、边平移，直到小路与草地的边重合， 则草地的面积为：(平方米)； （3）将小路往、、边平移，直到小路与草地的边重合， 则所走的路线(图中虚线)长为：(米)． 故答案为：． 26．（23-24七年级下·吉林·阶段练习）图形操作：（图1、图2、中的长方形的长均为10米，宽均为5米） 在图1中，将线段向上平移1米到，得到封闭图形（阴影部分）； 在图2中，将折线（其中点叫做折线的一个“折点”）向上平移1米到折线，得到封闭图形（阴影部分）． (1)问题解决，设图1，图2中除去阴影部分后剩下部分的面积分别为，则 平方米；并比较大小： （填“”“”或”）； (2)联想探索：如图3，在一块长方形草地上，有一条弯曲的柏油小路（小路的宽度是1米），长方形的长为，宽为，请你直接写出空白部分表示的草地的面积是 平方米（用含，的式子表示）． (3)实际运用：如图4，在长方形地块内修筑同样宽的两条“相交”的道路（道路与长方形的边平行或垂直），余下部分作为耕地，若道路宽为4米，则剩余的耕地面积为 平方米． 【答案】(1)， (2)或 (3)448 【分析】本题主要考查了平移变换、矩形面积等知识点，利用平移的性质，把不规则的图形拆分或拼凑为基本图形计算面积成为解题的关键． （1）依据平移变换可知，图1，图2中除去阴影部分后剩下部分可以拼成一个长为10米，宽为4米，进而得出其面积即可； （2）依据平移变换可知，图3中除去阴影部分后剩下部分可以拼成一个长为a个单位，宽为个单位的长方形，进而得出其面积； （3）依据平移变换可知，图4中除去阴影部分后剩下部分可以拼成一个长为28米，宽为16米的长方形，进而得出其面积． 【详解】（1）解：设图1，图2中除去阴影部分后剩下部分的面积分别为， 则平方米，平方米； ∴． 故答案为：40，=． （2）解：如图3，长方形的长为32米，宽为20米，小路的宽度是1米， ∴空白部分表示的草地的面积是平方单位． 故答案为：． （3）解：如图4，长方形的长为，宽为，道路宽为4米， ∴空白部分表示的草地的面积是平方米． 故答案为：448． 九．平方根与立方根综合 27．（24-25八年级上·四川成都·阶段练习）已知的立方根是3，的算术平方根是，c是的整数部分，求的算术平方根． 【答案】6 【分析】本题考查立方根、算术平方根以及无理数的估算，理解立方根、算术平方根的定义是正确解答的前提．根据立方根、算术平方根以及估算无理数的大小即可求出、、的值，再将、、的值代入求出结果，再根据算术平方根的定义进行计算即可． 【详解】解： 的立方根是3，的算术平方根是，是的整数部分， ，， ，， 又， ∴， 的整数部分， 当，，时，， 的算术平方根为6． 28．（24-25八年级上·福建泉州·阶段练习）（1）已知的平方根是，的算术平方根是4，求的算术平方根． （2）若x，y都是实数，且，求的立方根． 【答案】（1）5；（2）3 【分析】本题考查了算术平方根、平方根和立方根，掌握概念是解题的关键． （1）根据平方根的定义求出a、b的值，代入求出的值，再求算术平方根即可； （2）根据算术平方根的含义求出x，进而得到y的值，代入求出的值，再求立方根即可． 【详解】解：（1） 的平方根是，的算术平方根是4， ，， ，， ， 的算术平方根为5； （2）由可知，， ，， ， 的立方根为3． 29．（20-21八年级上·四川·阶段练习）已知是的算术平方根，是的立方根，求的立方根． 【答案】 【分析】本题考查算术平方根、立方根，掌握算术平方根、立方根的性质是解题的关键．根据是的算术平方根，得到，求出a的值，根据是的立方根，得到，求出b的值，从而求出A，B，进而求出的值，即可求出结果． 【详解】解：是的算术平方根， ， ， 是的立方根， ， 又， ， ，， ， ． 30．（23-24七年级上·山东烟台·期末）已知正数a的两个平方根分别是和，且与相等，求的算术平方根． 【答案】 【分析】本题主要考查了平方根和立方根，算术平方根，相反数的定义，解题的关键是熟练掌握平方根的定义和性质． 根据平方根的性质可得x的值，代入可得a的值；根据立方根的性质和相反数的性质即可求得b，然后代入求解即可． 【详解】解：因为正数a的两个平方根分别是和， 所以 所以 所以 因为与相等 所以 所以 所以． 所以的算术平方根是． 一十．利用实数的性质求解 31．（23-24七年级下·广西南宁·期中）情境：一天小明在复习数学的时候，看到课本多次出现无理数，于是他展开了联想； 提出问题：有多大？小数部分是什么样的？能在数轴上表示出来吗？怎么表示呢？ 实践操作：小明按计算器，发现计算器显示…，了解到是一个大于1且小于2的无限不循环小数，计算器不能全部地把小数部分显示出来，于是小明用来表示的小数部分．随即小明又想到，如果没有计算器，该如何去估计一个无理数的大小呢？于是小明继续翻阅资料，获取了两条重要材料．材料如下： 材料一：以1个单位长度为边长画一个正方形，这个正方形的对角线就是，借助圆规就可以在数轴上表示和，B两点：    材料二：∵，即， ∴的整数部分为2，小数部分为． 学以致用：（1）的整数部分是_______，小数部分是_______； 拓展应用：（2）小明继续发散思维，发现还可以借助坐标平移和绝对值等知识比较实数的大小，进行数的计算，于是小明自己出题，请你独立思考并解决以下问题： ①写出介于哪两个相邻整数之间？去绝对值等于多少？ ②若，求x的值． 【答案】（1）4；；（2）①介于3和4两个相邻整数之间；去绝对值等于；②或 【分析】本题考查无理数的估算，掌握夹逼法，判断无理数的范围，是解题的关键． （1）利用夹逼法确定的范围，即可得出结果； （2）①结合的范围，确定的范围，根据绝对值的意义，去绝对值即可； ②根据绝对值的意义，解绝对值方程即可． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴的整数部分是4，小数部分为：； （2）①∵， ∴， ∴； 即：介于3和4之间； ∵， ∴； ②∵， ∴， ∴或． 32．（23-24七年级下·湖北恩施·期中） 实数a，b，c是数轴上三点A，B，C所对应的数，如图， (1)比较大小 a 0； 0； 0 ； 0 (2)化简： 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了实数与数轴，实数的性质： （1）根据数轴可得，据此可得答案； （2）根据（1）所求先计算算术平方根，立方根和绝对值，再合并同类项即可得到答案． 【详解】（1）解：由数轴可知，， ∴，； 故答案为：； （2）解：∵，， ∴ ． 33．（23-24七年级下·安徽黄山·期中）阅读下列材料并解决有关问题． 我们知道，．现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式. 如化简代数式时，可令和，分别求得，（称分别为与的零点值）．在实数范围内，零点值和可将全体实数分成不重复且不遗漏的如下种情况： ； ； ． 从而化简代数式可分以下种情况： 当时，原式； 当时，原式； 当时，原式． 综上讨论， . 通过以上阅读，请你解决以下问题： (1)分别求出和的零点值； (2)化简． 【答案】(1)和的零点值分别为、； (2)． 【分析】（）令和，求出的值即可求解； （）根据零点值分、和三种情况解答即可求解； 本题考查了绝对值的性质，解绝对值方程，理解零点值的定义是解题的关键． 【详解】（1）解：令和， 解得，， 和的零点值分别为、； （2）解：在实数范围内，零点值和可将全体实数分成不重复且不遗漏的如下种情况：、和， 当时， ； 当时， ；     当时， ； 综上，． 34．（23-24七年级下·福建莆田·阶段练习）【发现】 ① ② ③ ④… （1）根据上述等式反映的规律，请再写出一个等式：______． 【归纳】等式①，②，③，④，所反映的规律，可归纳为一个真命题：对于任意两个有理数，，若，则，满足的数量关系为______； 【应用】根据上述所归纳的真命题，解决下列问题： （2）若与的值互为相反数，且，求的值． 【答案】（1）；； （2）． 【分析】本题考查了立方根的性质，互为相反数的性质等知识，解题的关键是明确题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据题目给出的规律解答； 归纳：根据，则，满足的数量关系为则； （2）根据题意列出方程，与已知方程联立解得a的值． 【详解】解：（1）， 故答案为：， 归纳：若，则，满足的数量关系为则； 故答案为：； （2）∵与的值互为相反数， ∴， ∴， 解得， 代入中， 解得，， ∴． 一十一．无理数整数部分的有关计算 35．（24-25八年级上·河北邢台·期中）我们知道，是一个无理数，无理数是无限不循环小数，若将这个数减去它的整数部分，差就是小数部分，即的整数部分是1，则小数部分是，请回答以下问题： (1)已知为的整数部分，是的小数部分，则___________，___________． (2)若，其中是整数，且，求的算术平方根． 【答案】(1)3； (2)4 【分析】本题考查了无理数的大小的估算和算术平方根，根据平方根的意义正确确定无理数的整数部分与小数部分是解题的关键． （1）根据，即可求出的值； （2）先求出的整数部分和分数部分，再求出x和y的值，把x和y值代入中，最后求出答案即可． 【详解】（1）解：∵，为的整数部分，是的小数部分， ∴，， 故答案为：3，． （2）解：，即， 的整数部分是2，小数部分是， ， ， 是整数，且， ，， ， 的算术平方根为4， 的算术平方根为4． 36．（24-25八年级上·四川甘孜·期中）大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用来表示的小数部分，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是其小数部分．请解答： (1)的整数部分是______，小数部分是______； (2)如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值； (3)已知：，其中x是整数部分，y是小数部分，求的值． 【答案】(1) (2)1 (3) 【分析】本题主要考查了无理数整数部分和小数部分的计算，解题的关键是熟练掌握无理数的估算方法． （1）先用夹逼法估算，即可解答； （2）先用夹逼法估算和，得出和的值，即可解答； （3）先得出的取值范围，再得出的取值范围，进而得出和的值，即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴，即， ∴的整数部分是4，小数部分是； 故答案为：； （2）解：， ， ， ∵的小数部分为的整数部分为， ， ． （3）解：∵， ∴，即， ， ∵是整数部分，是小数部分， ， ． 37．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）材料：2.5的整数部分是2，小数部分是0.5，小数部分可以行成是得来的，类比来看，是无理数，而，所以的整数部分是1，于是可用来表示的小数部分． 根据以上材料，完成下列问题： (1)的整数部分是__________，小数部分是__________； (2)也是夹在相邻两个整数之间的，可以表示为，求的平方根． 【答案】(1)4， (2) 【分析】本题考查估算无理数的大小，掌握算术平方根的意义是正确解答的前提． （1）根据算术平方根的定义估算无理数的大小即可； （2）根据算术平方根的定义估算无理数的大小，确定a、b的值，再代入计算即可； 【详解】（1）解：∵， ∴ ∴的整数部分是4，小数部分是， 故答案为：4，； （2）解：∵， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴的平方根为． 一十二．实数的混合运算 38．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查实数的混合运算，熟练掌握相关运算法则，正确的计算，是解题的关键： （1）利用减法法则进行计算即可； （2）先进行开方运算，再进行乘除运算，最后进行加减运算即可； （3）根据混合运算的法则进行计算即可； （4）先乘方，再乘除，最后算加减． 【详解】（1）解：原式； （2）原式； （3）原式； （4）原式． 39．（24-25七年级上·浙江温州·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)．（精确到，其中 【答案】(1)0 (2)14 (3)12 (4) 【分析】本题考查了实数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）先把减法运算变为加法运算，再根据有理数加法法则计算即可； （2）根据乘法分配律计算即可； （3）先根据有理数的乘方、立方根、算术平方根的定义计算，再根据有理数的加减法则计算即可； （4）先算乘法，再算加减，最后取近似值即可． 【详解】（1）解：， ， ； （2）解：， ， ， ， ； （3）解：， ， ， ； （4）解：， ， ， ， ． 40．（24-25七年级上·浙江绍兴·期中）（1）用“”、“”或“”填空： ； （2）由（1）可知： ① ； ② ； ③ ； （3）计算（结果保留根号）： ①； ②． 【答案】（1）（2）①②③（3）①② 【分析】本题考查比较实数大小，化简绝对值，实数的运算： （1）平方法比较大小即可； （2）利用（1）中的大小关系，结合绝对值的意义，化简即可； （3）①先化简再计算即可；②先化简再计算即可． 【详解】解：（1）∵， ∴； 故答案为：； （2）∵， ∴， ∴①； ②； ③； 故答案为：①②③； （3）①原式； ②原式． 一十三．与实数运算有关的规律探究问题 41．（24-25七年级上·安徽亳州·阶段练习）先观察下列等式，再回答问题： ①； ②； ③ (1)根据上面三个等式提供的信息，请你猜想_______ (2)请按照上面各等式反映的规律，试写第n个等式：_______ (3)对任何实数a，表示不超过a的最大整数，如， 计算： 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查的是实数的运算规律的探究与运用，掌握“探究的方法以及灵活运用”是解本题的关键． （1）根据题干例举的等式，即可答案； （2）根据题干例举的等式，总结规律可得答案； （3）先总结规律可得，再利用规律进行计算即可． 【详解】（1）解：根据题意： ； （2）解：； （3）解：原式 ． 42．（24-25八年级上·山西临汾·阶段练习）先阅读材料，再回答问题： …… (1)请根据以上规律写出第七个等式； (2)根据以上规律，若一个等式的最右边的值是，请写出这个等式； (3)根据以上规律，写出第n个等式．（用含有n的式子表示，n为整数，且） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了二次根式的规律探究．根据题意推导出一般性规律是解题的关键． （1）由题意知，； （2）由，可求当一个等式的最右边的值是的等式； （3）由题意可推导一般性规律为，第n个等式为，然后作答即可． 【详解】（1）解：∵， ， ， ， …… ∴第七个等式为； （2）解：∵， ∴当一个等式的最右边的值是，这个等式为； （3）解：由题意可推导一般性规律为，第n个等式为， ∴第n个等式为． 43．（23-24七年级下·广东江门·期中）先观察下列各式4； (1)计算： (2)已知n为正整数，通过观察并归纳，请写出： (3)应用上述结论，请计算的值． 【答案】(1)6 (2) (3)52 【分析】本题主要考查算术平方根与数字的变化规律，解题的关键是根据已知等式得出规律：个连续奇数和的算术平方根等于． （1）由个连续奇数和的算术平方根等于可得答案； （2）利用以上所得规律可得； （3）将被开方数提取公因数4，再利用所得规律求解可得 【详解】（1）解：， 故答案为：6； （2） ， 故答案为：； （3） ． 44．（23-24七年级下·广东东莞·期中）先观察下列等式，再回答问题： ① ②； ③ …… (1)请根据上面三个等式提供的信息，则_________=_________； (2)请利用上述规律，猜想_________=_________； (3)计算：的值． 【答案】(1)， (2)， (3) 【分析】本题主要考查了数字的变化类规律型及有理数加减混合运算，根据题意，理解题目所给的规律，并应用规律进行计算是解决本题的关键． （1）根据题目所给的例题可知可化为，计算即可得出答案； （2）根据规律写出猜想即可； （3）根据题意可化为，根据有理数加法计算即可得出答案． 【详解】（1）解：根据题意可得： ； （2）解：① ②； ③ …… ； （3）解： ． 一十四．与实数运算有关的新定义问题 45．（24-25七年级上·浙江温州·期中）对任意实数定义一种新运算“⊕”，规定：．如：． (1)求的值； (2)已知x为的整数部分，化简并求值：； (3)若比小，请直接写出一个满足条件的m值． 【答案】(1) (2)30 (3)（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了有理数混合运算，无理数的估算，解题的关键是理解新定义，列出算式． （1）根据题干提供的信息列出算式进行计算即可； （2）根据x为的整数部分，得出，然后把代入列式求解即可； （3）先求出，，比小，得出m的取值范围，得出答案即可． 【详解】（1）解：∵， ∴ ； （2）解：∵， 又∵x为的整数部分， ∴， ∴ ． （3）解：∵， ， 又∵比小， ∴， ∴， ∴满足条件的m值可以是．（答案不唯一） 46．（23-24七年级下·广西南宁·阶段练习）【阅读与应用】 【问题提出】 对于任意实数，定义一种新运算，例如：． 【初步感知】 （1）求的值； 【拓展运用】 （2）若实数满足，求的值． 【答案】（1）1；（2） 【分析】此题主要考查了有理数的混合运算，立方根的应用． （1）运用运算公式，计算即可； （2）利用公式，列出方程，求解方程即可． 【详解】解：（1）根据题意得： ； （2）根据题意得：，即， 整理得：， ， ， ． 47．（22-23七年级上·河南洛阳·期末）用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定．如：． (1)求的值； (2)的值． 【答案】(1) (2)0 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，准确理解新定义是解题的关键． （1）利用题中的新定义列出计算式计算即可； （2）利用题中的新定义列出计算式计算即可； 【详解】（1）解： ； （2） ， ． 48．（23-24七年级下·山西朔州·阶段练习）对于任意实数，用“#”和“”定义新运算如下： (1)，如．已知计算的结果为19，求的值． (2)，如．已知计算的结果为，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了新定义下的实数运算： （1）根据题意可得方程，再根据求平方根的方法解方程即可； （2）根据题意可得方程，再根据求立方根的方法解方程即可． 【详解】（1）解：由题意，得． ， ，则， ． （2）解：由题意，得． ， ，则， ， ． 一十五．利用点的坐标特征求解 49．（24-25七年级上·山东威海·阶段练习）已知点， (1)若点在第一象限的角平分线上时，求的值； (2)若点到轴的距离是到轴的距离的3倍，求点坐标； (3)若线段轴，求点，的坐标及线段的长． 【答案】(1) (2)或 (3)，；4 【分析】本题主要考查坐标与图形的性质，解题的关键在于理解点到坐标轴的距离与点坐标之间的关系． （1）根据第一象限的角平分线上点的横纵坐标相等得出关于a的方程，解之可得； （2）根据点到轴的距离是到轴的距离的3倍得出关于a的方程，解之可得a再写出坐标即可； （3）由轴知横坐标相等求出a的值，再得出点的坐标，从而求得的长度． 【详解】（1）已知点， ∵点A在第一象限的角平分线上， ∴， 解得：． （2）∵点到轴的距离是到轴的距离的3倍， 且到轴的距离为1， ∴或， 解得或， ∴点坐标为或． （3）∵线段轴， ∴， 解得， ∴点，， ∴线段的长为． 50．（23-24七年级下·云南曲靖·期中）在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为，且轴． (1)求a的值； (2)求的面积； (3)在y轴上是否存在一点P，使得的面积等于面积的一半？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，或 【分析】本题考查的是坐标与图形的综合应用； （1）由轴可得，再解方程即可； （2）先求解，可得，再利用三角形的面积公式计算即可； （3）设点P的坐标为，求解，可得，再解方程即可. 【详解】（1）解：∵轴， ∴， 解得：； （2）解：∵， ∴， ∵点B的坐标为， ∴， ∴； （3）解：设点P的坐标为， ∵， ∴， ∴， 解得：或， ∴点P的坐标为或． 51．（24-25八年级上·陕西渭南·期中）已知平面内有一点，分别根据下列条件求点的坐标． (1)点在第三象限，且点到轴的距离为4； (2)点的坐标为，且直线与轴平行． 【答案】(1)的坐标为 (2)的坐标为 【分析】本题考查坐标与图形： （1）根据第三象限的点的符号特征，以及点到轴的距离等于纵坐标的绝对值进行求解即可； （2）根据平行于轴的直线上的点的横坐标相同，进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得：， 解得：， ∴，即：； （2）∵直线与轴平行 ∴， ∴， ∴，即：． 52．（23-24七年级下·全国·单元测试）在平面直角坐标系中，已知点，试分别根据下列条件，求出点P的坐标： (1)当点P在y轴上时； (2)当时； (3)当时； (4)点P在过点，且与x轴平行的直线上． 【答案】(1) (2) (3)或 (4) 【分析】本题考查了坐标与图形、立方根、算术平方根，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据轴上的点的横坐标为0得出，求出的值即可得解； （2）利用立方根解方程得出的值即可得解； （3）利用平方根解方程得出的值即可得解； （4）根据平行轴的直线上的点的纵坐标相等，求出的值即可得解． 【详解】（1）解：由题意得：，解得：， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴ ∴ （3）解：∵， ∴或， ∴，， ∴ （4）解：由题意得： ∴， ∴ ∴． 53．（23-24七年级下·山东济宁·阶段练习）已知点在轴的负半轴上． (1)求点的坐标； (2)求式子的值． 【答案】(1)点的坐标为； (2)． 【分析】（）根据轴上点的纵坐标为列方程求出的值，再根据点在x轴负半轴求出的取值范围，从而确定出的值，然后求解即可； （）将的值代入代数式进行计算即可得解； 本题考查了点的坐标，坐标轴上点的坐标特点，代数式求值，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）∵点在轴负半轴上， ∴，解得， ∵， ∴， ∴， ∴点的坐标为； （2）由（）得：， ∴原式 ． 一十六．点坐标规律探究 54．（23-24七年级下·广东东莞·期中）在平面直角坐标系中，一只电子蚂蚁从原点O出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断移动，每次移动1个单位长度，其行走路线如图所示．    (1)填写下列各点的坐标：（ ， ），（ ， ），（ ， ）． (2)写出点的坐标（n是正整数）． (3)求出电子蚂蚁从点到点的移动方向． 【答案】(1)2，0；4，0；6，0 (2) (3)向右 【分析】本题考查了平面直角坐标系中的找规律问题，熟练掌握平面直角坐标系中坐标的特征是解题的关键． （1）观察图形可知，，，都在轴上，求出，，的长度，然后写出坐标即可； （2）根据（1）中规律写出的坐标即可； （3）根据是2的倍数，可知从点到点的移动方向与从点到点的移动方向一致． 【详解】（1）解：由图可知，，，都在轴上， ∵小蚂蚁每次移动1个单位， ∴，， ∴，，， 故答案为：2，0；4，0；6，0； （2）解：根据（1）可得： ∴ ∴点的坐标为； （3）解：∵， ∴是的整数倍， ∴从点到点的移动方向与从点到点的移动方向一致，为向右． 55．（23-24七年级下·安徽阜阳·期中）【观察发现】如图，一些点按照一定的规律排列：点，点，点，点，点，… 【归纳应用】 (1)直接写出：点的坐标为______；点的坐标为______． (2)用含（为正整数）的代数式表示点的坐标为______，点的坐标为______． (3)在（2）的条件下，若点的坐标为，求的值． 【答案】(1)； (2)； (3) 【分析】本题考查规律型中的点的坐标， （1）根据点的下标（分偶数和奇数两种情况）以及平移规律“向右平移个单位，再向上平移个单位”，可找出点与点的坐标； （2）根据（1）中的平移规律即可得出和点的坐标； （3）根据（2）的结论即可求解； 找出点的变化规律是解题的关键． 【详解】（1）解：当点的下标为偶数或奇数时，发现点平移的规律：向右平移个单位，再向上平移个单位， ∴点的坐标为，点的坐标为， 故答案为：；； （2）由（1）中的平移的规律可得： 点的坐标为，点的坐标为， 故答案为：；； （3）由（2）知：点的坐标为，点的坐标为， 当时， 解得：， 由，符合题意； 当时， 解得：（不符合题意，舍去）； 综上所述，的值为． 56．（2024七年级下·全国·专题练习）如图，在直角坐标系中，第一次将变换成，第二次将变换成，第三次将变换成，已知，，，；，，，． (1)观察每次变换前后的三角形有何变化，找出规律，按此变化规律再将变换成，则的坐标是 ，的坐标是 ． (2)若按（1）找到的规律将进行了次变换，得到，比较每次变换中三角形顶点有何变化，找出规律，推测的坐标是 ，的坐标是 ． 【答案】(1) (2) 【分析】考查了坐标与图形性质，坐标规律，仔细观察图形中点的横坐标的变化并熟悉2的指数次幂是解题的关键． （1）根据规律直接写出结论； （2）由题可得，点的规律为：可以发现它们各点坐标的关系为横坐标是，纵坐标都是4；点坐标规律为：可以发现它们各点坐标的关系为横坐标是，纵坐标都是0，再写出，的坐标即可． 【详解】（1）解：∵，，，， ∴的横坐标为：，纵坐标为：4， ∴点的坐标为：． 又∵，，，， ∴的横坐标为：，纵坐标为：0， ∴点的坐标为：． 故答案为：； （2）解：由，，，，可以发现它们各点坐标的关系为横坐标是，纵坐标都是4． 故的坐标为：． 由，，，，可以发现它们各点坐标的关系为横坐标是，纵坐标都是0． 故的坐标为：． 故答案为：． 57．（23-24八年级上·安徽六安·阶段练习）如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动： 第一次：原点，； 第二次：，； 第三次：，； 第四次：，； 第五次：，； … 归纳上述规律，完成下列任务． (1)直接写出下列坐标：　　，　　，　　； (2)第2023次运动后，的坐标为________； (3)点距轴的距离为 　　，点距轴的距离为 　　． 【答案】(1)；； (2) (3)； 【分析】本题考查点的坐标变化规律，能根据点的运动方式发现其坐标的变化规律是解题的关键． （1）根据动点的运动方式，即可解决问题． （2）根据（1）中发现的规律即可解决问题． （3）求出点的坐标即可解决问题． 【详解】（1）由题知， 因为，，，，， 所以点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，(为正整数）． 令， 解得， 所以． 即点的坐标为． 同理可得， 点的坐标为，点的坐标为． 故答案为：，，． （2）根据（1）的发现可知， 令， 解得， 所以点的坐标为． 故答案为：． （3）根据（1）的发现可知， 令， 解得， 所以点的坐标为． 则点到轴的距离是4，到轴的距离是199． 故答案为：4，199． 一十七．用有序数对求解 58．（23-24七年级下·吉林·期末）下图是游乐园一角的平面示意图，图中1个单位长度表示100m． (1)如果用有序数对表示跳跳床的位置，填写下列游乐设施的位置：跷跷板______，摩天轮____，碰碰车_____； (2)秋千的位置是，请在图中标出来； (3)旋转木马在大门以东，再往北处，请在图中标出来． 【答案】(1)，， (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了用有序数对表示位置； （1）根据题意找到跷跷板、摩天轮、碰碰车的位置即可； （2）根据位置标出坐标即可； （3）根据位置标出坐标即可求解． 【详解】（1）解：根据题意，得跷跷板，摩天轮，碰碰车， 故答案为：，，； （2）解：如图所示，秋千的位置是， （3）解：如图所示，旋转木马的位置是， 59．（23-24七年级下·湖北·期中）如图，如果“将”的位置用有序数对表示为． (1)用同样的方式表示“相”与“象”的位置； (2)“馬”走“日”字对角线．用同样的方式表示“馬7进8”（即第7列的马前进到第8列）后的位置． 【答案】(1)“相”表示为，“象”表示为(9，3) (2)或 【分析】本题主要考查有序数对表示位置，正确理解数对的意义是解题关键． （1）直接利用已知得出有序数对的意义，从而得出“相”与“象”的位置； （2）利用已知结合“马7进8”得出符合题意的答案． 【详解】（1）解：∵“将”的位置用有序数对表示为，即第5列第2行． ∴“相”的位置是，“象”的位置是； （2）解：“马7进8”（即第7列的马前进到第8列）后的位置是或． 60．（23-24七年级下·全国·课后作业）如图，一只甲虫在的网格（每个小网格边长均为1）上沿着网格线运动，它从C处出发想去看望A，B，D，E处的其他甲虫，规定：向下、向左走为正，向上、向右走为负．如果从C到B记为（第一个数表示左、右方向的移动，第二个数表示上、下方向的移动），请解答下列各题． (1)填空：（________，________）；（________，________）； ________； ________； (2)若这只甲虫的行走路线是．请计算该甲虫走过的路程； (3)这只甲虫从C处去P处的行走路线依次为，请在图中标出P的位置，并找出该甲虫从C处去P处的最短行走路线． 【答案】(1)；；； (2)29 (3)见解析，该甲虫从C处去P处的最短行走路线为 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—平移： （1）根据新定义进行求解即可； （2）写出每一步变化的有序数对，再把这些有序数对中的所有数字取绝对值相加即可得到答案； （3）根据所给的有序数对，找到点P的位置，再根据新定义求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，，； ∵点D向左走5，向上走6到达点A， ∴， 同理可得； 故答案为：；；；； （2）解：∵， ∴该甲虫走过的路程为； （3）解：如图所示，P的位置即为所求；． ∴该甲虫从C处去P处的最短行走路线为． 一十八．坐标方法的简单应用 61．（24-25七年级上·河北唐山·阶段练习）如图，一只甲虫在的方格（每小格边长为1个单位长度）上沿网格线运动．规定：向上向右走为正，向下向左走为负． 例：记为：；记为：．其中第一个数表示左右方向，第二个数表示上下方向． (1)记为：（________，________）； (2)记为：，在图2中标出的位置，若甲虫从出发，行走路线依次为、，到达处，在图2中标出的位置； (3)若甲虫行走路线为，计算该甲虫走过的路程； (4)若甲虫从到达处，行走路线为，，，…，，则________． 【答案】(1) (2) (3) (4)7 【分析】本题考查了正数与负数，利用坐标确定点的位置的方法．解题的关键是正确的理解从一个点到另一个点移动时，如何用坐标表示． （1）根据规定及实例即可解答； （2）按题目所示平移规律从点B向右1个格点，节课得到点P坐标；从点P向左4个格点、向下1个格点，然后表示为向右2个格点、向下1个格点；即可得到点Q的坐标，在图中标出即可； （3）根据甲虫的运动路线列式计算即可得解； （4）根据点的运动路径，表示出运动的距离，相加即可得到行走的总路径长． 【详解】（1）解：规定：向上向右走为正，向下向左走为负， 记为：； 故答案为：； （2）解： 表示为向右1个格点； ：表示为向左4个格点、向下1个格点，然后表示为向右2个格点、向下1个格点； 点P，Q位置如图所示： , （3）解： 记为：；记为：；记为：． 甲虫走过的路程为：； （4）解：∵这只甲虫从B处去D处的行走路程最小为：， ∴． 故答案为：7． 62．（23-24七年级下·河北廊坊·期末）淇淇在学校的创客空间活动中，给她的小机器人设置了长方形的运动轨迹，并以长方形的一个顶点为原点，长方形的两条边为坐标轴建立如图的平面直角坐标系．点A坐标为，点C的坐标为，且、满足．机器人从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着的线路移动． (1)求点B的坐标． (2)当机器人移动14秒时，到达M点，请求出M点的坐标． (3)若机器人到x轴的距离为6时，机器人就会唱一首10秒钟的歌，且唱歌时机器人停止前进．那么当机器人出发几秒钟后会开始唱歌？ 【答案】(1)点B的坐标是 (2)点M的坐标是 (3)13秒或57秒 【分析】本题考查矩形的性质 ，坐标与图形的性质，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答问题. （1）利用非负数的性质可以求得a、b的值，根据长方形的性质，可以求得点B的坐标; （2）根据题意点M从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着的线路移动，可以得到当点M移动14秒时，点M的位置和点M的坐标; （3）由题意可以得到符合要求的有两种情况，分别求出两种情况下点M移动的时间即可 【详解】（1）解：、满足． ，， 解得，， 点的坐标是； （2）解：机器人点从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着的线路移动， 点的路程：， ，， 当点移动14秒时，在线段上，． 即当点移动14秒时，此时点的坐标是 （3）解：由题意可得，在移动过程中，当机器人到轴的距离为6个单位长度时，存在两种情况， 第一种情况，当机器人在上时， 点移动的时间是：（秒）， 第二种情况，当机器人在上时． 点移动的时间是：（秒）， 故在移动过程中，当机器人到轴的距离为6个单位长度时，机器人移动的时间是13秒或57秒． 63．（23-24八年级下·河北邢台·阶段练习）如图，点表示小明家，分别表示学校，高铁站，博物馆，影院，公园，且是的中点，． (1)判断到点的距离相等的地方有哪些？ (2)以小明家为参照点，请用方位角和实际距离分别表示学校，公园，博物馆，影院，高铁站的位置． 【答案】(1)到点距离相等的地方有影院．公园与学校．均为 (2)见解析 【分析】此题主要考查了坐标确定位置，正确理解方向角的定义是解题关键． （1）结合图象利用各方向角以及线段之间的和差关系可得答案； （2）结合图象及位置特点，用方位角和实际距离分别表示学校，公园，博物馆，影院，高铁站的位置，进而得出答案． 【详解】（1）， ， 是的中点， 到点距离相等的地方有影院．公园与学校．均为． （2）学校在小明家东北方向，且到小明家的距离为； 公园在小明家南偏东50°的方向上，且到小明家的距离为； 博物馆在小明家南偏东50°的方向上．且到小明家的距离为； 影院在小明家南偏西65°的方向上．且到小明家的距离为； 高铁站在小明家南偏西65°的方向上．且到小明家的距离为． 一十九. 用坐标表示平移 64．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）如图，在边长为个单位长度的小正方形网格中建立平面直角坐标系．已知的顶点的坐标为，顶点的坐标为，顶点的坐标为． (1)把向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到，请你画出，并直接写出点的坐标； (2)求的面积． 【答案】(1)画图见解析，； (2)． 【分析】（）根据平移的性质作图，然后写出点的坐标即可； （）利用正方形面积减去三个直角三角形面积即可； 本题考查作图——平移变换，三角形的面积，熟练掌握平移的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：如图，即为所求； 由图可得，点的坐标为； （2）解：的面积为． 65．（23-24七年级下·湖北十堰·期中）如图，在平面直角坐标系中，三角形的三个顶点A，B，C的坐标分别为，，，将三角形向左平移3个单位长度，再向下平移5 个单位长度． (1)画出平移后的三角形 并写出平移后三个顶点A，B，C 的对应点． 的坐标； (2)若三角形 内部一点P 的坐标为，写出平移后点 P 的对应点． 的坐标． 【答案】(1)图见解析，，， (2) 【分析】本题考查了作图-平移变换，点的坐标，平移的坐标变换，确定平移后图形的基本要素有两个：平移方向、平移距离．作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形；平移的坐标变换规律：左减右加，上加下减． （1）利用点平移的性质作出三个顶点A，B，C的对应点，然后再顺次连接即可，然后根据点的位置写出坐标即可； （2）利用点平移的坐标变换规律求解． 【详解】（1）解：如图，即为所求，，，； （2）解：∵点左平移3个单位长度，再向下平移5 个单位长度， ∴平移后点P的对应点的坐标为． 66．（23-24七年级下·河北保定·期末）在平面直角坐标系中，点在x轴上，将点A向右平移5个单位长度，再向上平移m个单位长度得到点B，将点A向下平移个单位长度，再向右平移5个单位长度得到点C，在此过程中m始终满足． (1) ______；A点的坐标是________； (2)写出点B、C的坐标：B________，C________；（用含m的式子表示） (3)若的面积是10，求m的值； (4)若交y轴于点N，的长度为1，请直接写出m的值． 【答案】(1)1， (2) (3)； (4) 【分析】本题考查了两条直线相交或平行问题、坐标与图形变化中的平移、三角形的面积，解题的关键是根据点的坐标利用三角形的面积公式得出的方程． （1）由点在轴上可求出值，将其代入点的坐标中即可得出点的坐标； （2）依据点的平移可得出点、的坐标； （3）设直线与x轴的交点为D，则点D的坐标为，可求出根据三角形的面积公式结合，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出的值； （4）连接，根据可得出，再列出方程并求解即可． 【详解】（1）解：点在轴上， ，解得：， 点． 故答案为：1，； （2）解：将将点A向右平移5个单位长度，再向上平移m个单位长度得到点B， 点，即， 将点A向下平移个单位长度，再向右平移5个单位长度得到点C， 点，即， 故答案为：； （3）解：设直线与x轴的交点为D，则点D的坐标为， ∴， ∴， ， ， ， ， ∴． （4）解：, 理由：如图所示，连接， ∵， ∴， ∴， ∴． 二十．平行线的实际应用 67．（23-24七年级下·山西晋中·期中）如图1的晾衣架中存在多组平行关系，将晾衣架的侧面抽象成如图2的数学平面图形，已知，若，，求的度数．    【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，延长到点C，根据求出，得到，再根据得到． 【详解】解：如图：延长到点C，      ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 68．（23-24七年级下·山西晋城·期中）汛期即将来临，防汛指挥部在某水域一危险地带的两岸各安置了一探照灯，便于夜间察看河水及两岸河堤的情况，如图1，探照灯射出的光束自AM顺时针旋转至AN便立即回转，探照灯射出的光束自BP顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若探照灯射出的光束的转动速度是/秒，探照灯射出的光束的转动速度是/秒，且，满足，假定这一带水域两岸河堤是平行的，即，且． (1)求，的值． (2)如图2，两探照灯同时转动，在探照灯射出的光束到达AN之前，两探照灯射出的光束交于点，若，求的度数． (3)若探照灯射出的光束先转动40秒，探照灯射出的光束才开始转动，在探照灯射出的光束第一次到达BQ之前，当两探照灯的光束互相平行时，请直接写出探照灯转动的时间． 【答案】(1)； (2)； (3)当或两探照灯的光束互相平行． 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，一元一次方程的应用，分类思想，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． （1）根据非负性，得到，，解方程组即可； （2）设A灯转动时间为t秒，则，，分别表示出的三个内角，利用平行线的判定和性质，计算即可． （3）设灯A转动了t秒时，两束光线平行，分类计算即可． 【详解】（1）解：∵． ∴，． ∴； （2）解：作， ∵， ∴， 设A灯转动时间为t秒， 则，， ∵， ∴，， ∵， ∴， 解得， ∴； （3）解：设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行． ①当时， 由题意得， 解得； ②当时， 解得； ③当时， ， 解得（不合题意） 综上所述，当或两探照灯的光束互相平行． 69．（21-22七年级下·江苏泰州·阶段练习）光线照射到镜面会产生反射现象，由光学知识，入射光线与镜面的夹角与反射光线与镜面的夹角相等，例如：在图1中，有∠1＝∠2． (1)如图2，已知镜子MO与镜子ON的夹角∠MON＝90°，请判断入射光线AB与反射光线CD的位置关系，并说明理由； (2)如图3，有一口井，已知入射光线AO与水平线OC的夹角为50°，当平面镜MN与水平线OC的夹角为 °，能使反射光线OB正好垂直照射到井底； (3)如图4，直线EF上有两点A、C，分别引两条射线AB、CD．∠BAF＝120°，∠DCF＝40°，射线AB、CD分别绕A点、C点以3度/秒和1度/秒的速度同时逆时针转动，设时间为t秒，在射线AB转动一周的时间内，是否存在某时刻，使得CD与AB平行？若存在，求出所有满足条件的时间t． 【答案】(1)ABCD，理由见解析 (2)70 (3)在射线AB转动一周的时间内，存在时间t，使得CD与AB平行，其t=10s或100s． 【分析】（1）计算∠ABC+∠BCD的值便可得出结论； （2）先计算出∠AOB，进而得∠AOM+∠BON的值，再根据入射光线与镜面的夹角与反射光线与镜面的夹角相等，得出结果； （3）分四种情况讨论：当0s≤t≤20s时，当20s＜t≤40s时，当40s＜t≤80s时，当80s＜t≤120s时，根据角度大小变化关系锁确ABCD时的t值． 【详解】（1）解： ABCD．理由如下： ∵∠1=∠2，∠3=∠4， ∴∠ABC=180°-∠1-∠2=180°-2∠2，∠BCD=180°-∠3-∠4=180°-2∠3， ∴∠ABC+∠BCD=360°-2（∠2+∠3）， ∵∠BOC=90°， ∴∠2+∠3=90°， ∴∠ABC+∠BCD=180°， ∴AB∥CD； （2）解：∵∠AOC=50°，∠BOC=90°， ∴∠AOM+∠BON=180°-90°-50°=40°， ∵∠AOM=∠BON， ∴∠AOM=∠BON=20°， ∴∠COM=20°+50°=70°，∠CON=20°+90°=110°， ∴当平面镜MN与水平线OC的夹角为70°时，能使反射光线OB正好垂直照射到井底， 故答案为：70； （3）解：①当0s≤t≤20s时，如下图， 若ABCD，则∠BAC=∠ACD， 即120+3t=140+t， 解得t=10， ∴当t=10s时ABCD； ②当20s＜t≤40s时，如下图， 有∠BAE＜90°＜∠ACD，则AB与CD不平行； ③当40s＜t≤80s时，如下图， 有∠BAC＜∠ACD，AB与CD不平行； ④当80s＜t≤120s时，如下图， 若ABCD，则∠BAC=∠DCF， 即3t-240=t-40， 解得t=100， ∴当t=100s时，ABCD； 综上可知，在射线AB转动一周的时间内，存在时间t，使得CD与AB平行，其t=10s或100s． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定，关键是应用分类讨论思想解决问题． 70．（20-21七年级下·河南三门峡·期中）2018年9月，习近平总书记在全国教育大会上提出“要树立健康第一的教育理念，开齐开足体育课，帮助学生在体育锻炼中享受乐趣、增强体质、健全人格、锤炼意志”，依据《国家学生体质健康标准》“使每个学生掌握至少两项终身受益的体育锻炼项目”的目标要求，我市某学校增设了篮球项目的教学，如图①，为该校放置在水平操场上的篮球架的横截面图形，初始状志时，篮球架的横梁平行于，主柱垂直于地面，与上拉杆形成的角度为，且，这一篮球架可以通过调整和后拉杆的位置来调整篮筐的高度．在调整的高度时，为使和平行，需要改变和的度数，如图②，调整使其上升到的位置，此时，与平行，，并且点，，在同一直线上，请你帮忙求出的大小． 【答案】 【分析】过D作DI∥EF，根据平行线的性质、对顶角性质可以得到解答． 【详解】如图，过点作． ∵， ∴． 又∵， ∴． ∵，， ∴， 又∵， ∴． ∴． 【点睛】本题考查平行线的应用，熟练掌握平行线的判定与性质是解题关键 ．　 $$