第11讲 解二元一次方程组（知识串讲+12考点+过关检测）-【寒假自学课】2025年七年级数学寒假提升精品讲义（人教版2024）

第11讲解二元一次方程组 模块一思维导图串知识 模块二基础知识全梳理（吃透教材） 模块三核心考点举一反三 模块四小试牛刀过关测 1. 会运用加减消元法求二元一次方程组的解，掌握用加减消元法解简单的二元一次方程组的一般步骤; 2. 会用代入消元法求稍复杂的二元一次方程组的解，进一步体会“消元”思想; 消元思想：二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，那么就把二元一次方程组转化为我们熟悉的一元一次方程，我们就可以先求出一个未知数，然后再求出另一个未知数，这种将未知数的个数由多变少，逐一解决的思想，叫做消元思想. 1.代入消元法 定义：把二元一次方程组中的一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫做代入消元法，简称代入法. 用代入消元法解二元一次方程组的一般步骤： 1）变形.从方程组中选一个未知数的系数比较简单的方程，将这个方程中的一个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来； 2）代入.将变形后的方程代入没变形的方程，得到一个一元一次方程； 3）解元.解这个一元一次方程，求出一个未知数的值； 4）求值.将求得的未知数的值代入变形后的方程，求出另一个未知数的值，从而得到方程组的解. 2.加减消元法 定义：当二元一次方程组的两个方程中同一未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法. 用加减消元法解二元一次方程组的一般步骤： 1）变形.先观察系数特点，将同一个未知数的系数化成互为相反数或相等的数； 2）加减.把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程； 3）解元.解这个一元一次方程，求出一个未知数的值； 4）求值.将求得的未知数的值代入原方程组中任意一个方程，求出另一个未知数的值，并把求得的两个未知数的值用“大括号”联立起来，就是方程组的解． 3.整体消元法 解题思路：当二元一次方程组的结构比较复杂，但又有一定的规律时，可以考虑利用整体消元法，从而使原方程组变成结构比较简单、求解方便的二元一次方程组.例如： 4.解二元一次方程组的一般步骤 1）把二元一次方程组中的一个未知数消掉(代入消元或加减消元)使其变成一元一次方程； 2）解一元一次方程，求出一个未知数的值； 3）将求出的未知数的值代入原方程，求出另一个未知数的值； 4）写出方程组的解. 5.三元一次方程（组） 解三元一次方程组的一般步骤：（基本思路;化“三元”为“二元”，再化“二元”为“一元”） 1）利用代入(或加减)消元法消去一个未知数，得出一个二元一次方程组； 2）解这个二元一次方程组，求得这两个未知数的值； 3）将这两个未知数的值代入原方程组中较简单的一个方程，求出第三未知数的值，把这三个数用“”联立起来,就是原方程组的解. 考点一：利用代入消元法解二元一次方程 1．（24-25七年级上·全国·期中）已知与是同类项，则x和y的值分别为（   ） A．5和1 B．1和5 C．和5 D．和1 【答案】B 【分析】本题考查了同类项、二元一次方程组，熟练掌握同类项的定义，二元一次方程组的解法是解题的关键．结合与是同类项，可列出二元一次方程组，解方程组求x和y的值即可解答． 【详解】解：与是同类项， ， 解得：， 和y的值分别为1和5． 故选：B． 2．（24-25七年级上·四川遂宁·阶段练习）与互为相反数，则 ． 【答案】24 【分析】本题主要考查了相反数的定义、代数式求值、非负数的性质、二元一次方程组等知识点，掌握两个非负数的和为0，则这两个数均为0成为解题的关键． 先根据相反数的性质列出算式，再根据非负数的性质列出二元一次方程组可求得a和b的值，然后代入计算即可． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴， ∴，解得：， ∴． 故答案为：24． 3．（2024七年级上·全国·专题练习）解方程组时，把第一个方程代入第二个方程，可以得到x的值为 ，这时 ． 【答案】 2 3 【分析】此题考查了方程组的解法，关键是熟练掌握代入消元法解方程组的方法； 先将第一个方程代入第二个方程消去，从而可得关于的方程，解方程可得的值；然后把的值代入求y的值即可． 【详解】解：， 把①代入②得，， 解得：， 把代入①，得． 故答案为：2，3． 考点二：利用加减消元法解二元一次方程 4．（23-24七年级下·福建泉州·期末）关于、的方程组，则的值等于（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解二元一次方程组，观察方程组中未知数系数的特点是解题的关键． 即可得出的值． 【详解】解：， ，得， 故选：C． 5．（2024七年级上·全国·专题练习）解方程组的思路可用如图的框图表示，圈中应填写的对方程①②所做的变形为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】消去未知数，变形思路是①②，再得出选项即可．本题考查了解二元一次方程组，能把二元一次方程组转化成一元一次方程是解此题的关键． 【详解】解：依题意，， ①，得③， ②，得④， ③④，得， 即变形的思路是． 故选：C． 6．（23-24七年级下·福建泉州·期末）已知，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，非负数的性质，根据非负数的性质得到方程组，然后求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 7．（2024七年级上·浙江宁波·竞赛）若与互为相反数，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了非负数的性质，相反数及解方程组等知识点，根据互为相反数两数和为0可得，再根据非负数的性质可得出关于x和y的方程组，解出可得x和y的值，代入可得出答案，熟练掌握其性质并能灵活解方程组是解决此题的关键． 【详解】解：由题意得：， 又，， ∴，， ∴，解得：， ∴， 故答案为：． 考点三：选用合适的方法解二元一次方程 8．（24-25八年级上·山东济南·期中）解方程组： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了解二元一次方程组，能选择适当的方法解方程组是解此题的关键，注意：解二元一次方程组的方法有代入消元法和加减消元法． （1）运用加减消元法解出的值，再代入解出的值，即可作答； （2）先去分母，再运用代入消元法解出的值，即可作答． 【详解】（1）解：， ，得， 解得， 把代入①，得， 解得， 所以方程组的解为； （2）解：， 整理①得，即， 所以整理②得， 把代入， 得， 解得， 把代入， 解得， 所以方程组的解为． 9．（24-25七年级上·吉林长春·期末）解二元一次方程组： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了利用代入消元法和加减消元法解二元一次方程组，解题关键是能把二元一次方程组转化成一元一次方程． （1）利用代入消元法，先求出，再求出即可； （2）利用加减消元法，先求出，再求出即可． 【详解】（1）解：， 把代入，得， 解得， 把代入得， 所以，原方程组的解是； （2）解：， 得， 解得， 把代入得， 解得， 所以，原方程组的解是． 10．（24-25八年级上·陕西西安·期中）解二元一次方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组，解题关键是要掌握加减消元法、代入消元法解二元一次方程组． （1）利用代入消元法解方程即可； （2）整理方程①得方程，然后利用加减消元后解方程组即可． 【详解】（1）解：， 将①代入②可得，解得：， 将代入①可得， 故方程组的解为：． （2）解：， 整理①得：③， 得：，解得：， 把代入②得，， ∴方程组的解为． 考点四：以开放性试题的形式考查解二元一次方程 11．（2024七年级上·全国·专题练习）在《二元一次方程组》的小节复习时，李老师给出方程组，请同学们用自己喜欢的方法解这个方程组．小丽和小华解方程组的部分过程如下表： 小丽：，得 小华．由②得③，把①代入③，得 (1)小丽和小华解方程组的过程是否正确：小丽的过程___________，小华的过程___________；（填“正确”或“不正确”） (2)请你用喜欢的方法解二元一次方程组． 【答案】(1)正确，不正确 (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组，理解题意，找出合适的解方程组的方法是解此题的关键． （1）根据解方程组的步骤分别判断即可； （2）由②得，把①代入，得，求解即可． 【详解】（1）解：小丽：，得，正确； 小华．由②得③，把①代入③，得，故不正确； （2）解：， 由②，得， 把①代入，得， 解得， 把代入①得，， 所以方程组的解是． 12．（23-24七年级下·贵州遵义·期中）下面是马小虎同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解方程组： 解：①，得．③…（第一步） ②③，得，解得，…（第二步） 将代入①，得…（第三步） 所以原方程组的解为…（第四步） (1)这种求解二元一次方程组的方法叫做______法，以上求解步骤中，马小虎同学从第______步开始出现错误． (2)请写出此题正确的解答过程． 【答案】(1)加减消元法，第二步 (2)见解析 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，熟练掌握方程组的解法是解题的关键． （1）根据解方程组的特点判断，注意系数化为1时的计算． （2）按照解方程组的步骤求解即可 【详解】（1）解：根据解题步骤分析，这种求解方程组的方法是加减消元法，在第二步合并同类项出错， 故答案为：加减消元法，第二步． （2）解：方程组： 解：①，得……③  ， ②③，得 ， 解得．   将代入①，得3． 解得x=． 所以，原方程组的解为． 13．（23-24七年级下·广西南宁·期末）下面是数学课上小颖同学上黑板解课本第96页练习1（2）方程组的过程，老师为了方便与同学们一起讲评在旁边标注了步骤，请认真阅读并完成相应的任务． 解：由①×3得③  第一步 由②×5得④  第二步 ③-④得  第三步   第四步 把代入①得，  第五步 ∴原方程组的解为  第六步 (1)小颖用______消元法解方程组；（填“代入”或“加减”）； (2)小颖的解题从第______步出现了错误； (3)请直接写出该方程组的解． 【答案】(1)加减 (2)二 (3) 【分析】本题主要考查了加减消元法解二元一次方程组． （1）根据解方程组的过程即可得出答案． （2）根据解方程组的过程即可得出答案． （3）按照加减消元法解二元一次方程组即可． 【详解】（1）解：由③④得可得出小颖用加减消元法解方程组， 故答案为：加减． （2）解：∵第二步没有做到每一项都乘以5， ∴小颖的解题从第二步出现了错误， 故答案为：二． （3）解： 解：由①×3得③ 由②得④ ③④得 解得： 把代入①得，， 解得：． ∴原方程组的解为 14．（23-24七年级下·河南洛阳·阶段练习）下面是小马同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解方程组：． 解：得③……第一步 ②③得……第二步 ……第三步 将代入①得……第四步 所以，原方程组的解为．……第五步 (1)这种求解二元一次方程组的方法叫做 ，其中第一步的依据是 ； (2)第 步开始出现错误； (3)请你从出现错误的那步开始，写出后面正确的解题过程． (4)请选择你喜欢的方法解方程组 【答案】(1)加减消元法，等式的基本性质 (2)二 (3)过程见解析 (4) 【分析】本题考查了二元一次解方程组的方法与基本步骤，熟练掌握解方程组的基本步骤是解题的关键． （1）根据加减消元法的特征判断，结合等式的性质判断即可； （2）根据②③得 ，判断即可； （3）根据解方程组的基本步骤求解即可； （4）先把方程组中的两方程去分母、去括号，再用加减消元法求解即可． 【详解】（1）解：根据解方程组的基本特征，判定为加减消元法，第一步是利用等式性质变形得到， 故答案为：加减消元法，等式的基本性质； （2）②③得 ， 第二步错误，原因是合并同类项时出现错误， 故答案为：二； （3）， 得③， ②③得， ， 将代入①得：， 方程组的解为； （4）， 整理得：， 得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， 方程组的解为． 考点五：二元一次方程组错解复原问题 15．（21-22七年级下·广东湛江·期中）甲、乙两名同学在解方程组时，甲解题时看错了m，解得；，乙解题时看错了n，解得．请你根据以上两种结果： (1)求m，n的值； (2)求出原方程组的正确解． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，加减消元法解方程组． （1）把甲的解代入中求出n的值，把乙的解代入中求出m的值； （2）把与n的值代入方程组，利用加减消元法解方程组即可． 【详解】（1）解：把代入得，解得， 把代入得，解得， ∴，； （2） 解：①②得：， 解得， 把代入①得， 解得， ∴方程组的解为． 16．（23-24七年级下·四川德阳·期末）甲、乙两人共同解方程组，由于甲看错了方程①中的，得到方程组的解为，乙看错了方程②中的，得到方程组的解为．试计算的值． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组错解问题，关键是将解代入没看错的方程即可求出参数的值． 将代入，求得的值，将代入，求得的值，即可求出最后结果． 【详解】解：将代入，得， 解得， 将代入，得， 解得， ∴． 17．（23-24七年级下·河南安阳·阶段练习）在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的a，而得解为，乙看错了方程组中的，而得解为，根据上面的信息解答∶ (1)甲把a看成了什么数，乙把b看成了什么数？ (2)求出正确的的值； (3)求出原方程组的正确解． 【答案】(1)甲把a看成了1，乙把b看成了3 (2)， (3) 【分析】本题考查了解二元一次方程组、二元一次方程组的解和求代数式的值等知识点，能得出关于、的方程是解此题的关键． （1）把代入①，能求出，把代入②，能求出； （2）把代入①，能求出，把代入②，求出即可； （3）加减消元法求解即可． 【详解】（1）解：（1）把代入①，得， 解得：； 把代入②，得， 解得， 所以甲把看成了1，乙把看成了3； （2）解：把代入①，得， 解得：， 把代入②，得， 解得：； ∴，； （3）解：原方程组为，解得原方程组的正确解为：． 考点六：与解二元一次方程组有关的污染/遮挡问题 18．（23-24七年级下·湖北孝感·期末）方程组的解为，则被遮盖的两个数⊗，*分别为（    ） A．2，1 B．1，2 C．2，3 D．3，2 【答案】A 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，根据题意可得，解方程组即可． 【详解】解：由题意得，， ∴， 故选：A． 19．（23-24七年级下·河南周口·期中）芳芳解方程组的解为，由于不小心两滴墨水遮住了两个数和，则与表示的数分别是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了解二元一次方程组，二元一次方程组的解．熟练掌握解二元一次方程组，二元一次方程组的解是解题的关键． 先将代入，可求，然后将方程组的解代入，计算求解即可． 【详解】解：将代入得，， 解得，， 将，代入得，， ∴， ∴， 故选：D． 20．（22-23七年级下·广西北海·期中）小玲解方程组的解为，由于不小心滴上两滴墨水，刚好遮住了两个数（用“a”和“b”表示），则这两个数分别为（      ） A．，5 B．，4 C．，6 D．8， 【答案】D 【分析】把代入原方程组得到关于a、b得方程组，解方程组即可得到答案． 【详解】解：∵方程组的解为， ∴ 得：，解得， 把代入①得：，解得， 故选D． 【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组，二元一次方程组的解的定义，正确得到关于a、b的方程组是解题的关键． 考点七：构造二元一次方程组求解 21．（23-24七年级下·全国·单元测试）若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了非负数的性质、求代数式的值．根据非负数的性质可求出的值，再代入进行计算即可得到答案． 【详解】解：，，， ∴， 解得：，， ， 故答案为：0． 22．（24-25七年级上·全国·期末）若与互补，且，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是补角定义及二元一次方程组的应用，根据补角定义得出方程组，解方程组即可得出答案． 【详解】解：与互补， ， ， 由题意得：， 解得：， 故选：B． 23．（23-24七年级下·广西桂林·开学考试）在方程中，当时，；当时，．则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的其他应用，根据题意正确列出二元一次方程组是解题的关键． 将，与，分别代入可得关于字母、的方程组，再解二元一次方程组求出、的值，再求的值即可． 【详解】解：根据题意得，， 得，， ∴， 将代入①得，， ∴， ∴， 故答案为：． 24．（23-24七年级下·全国·单元测试）已知的平方根是，的算术平方根是4，求的平方根． 【答案】 【分析】本题考查代数式求值，涉及平方根定义及求法、算术平方根定义及求法、二元一次方程组的解法等知识，先由题意得到关于的二元一次方程组，解方程组求得，代入代数式求值，最后由平方根求法即可得到答案．熟记平方根定义及求法、算术平方根定义及求法、二元一次方程组的解法等知识是解决问题的关键． 【详解】解：∵的平方根是，的算术平方根是4， ∴，，即，解得， 把代入得：， ∴的平方根是． 考点八：已知二元一次方程组的解的情况求参数 25．（2024七年级上·全国·专题练习）已知关于x，y的二元一次方程组的解x，y互为相反数，求a的值． 【答案】 【分析】利用加减消元法求得x，y关于a的解，然后根据x，y互为相反数求解即可．本题主要考查解二元一次方程组，相反数的性质，解此题的关键在于熟练掌握其知识点． 【详解】解：， ，得，即． 把代入①，得． 由题意得，即， 解得． 26．（23-24八年级上·陕西咸阳·阶段练习）已知关于x，y的方程组的解满足，求a的值． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程的解、解一元一次方程，利用加减消元法解二元一次方程组得出，结合题意得出，解方程即可得出答案． 【详解】解：， 由得：， ∴， ∵， ∴， ∴． 27．（20-21七年级下·天津和平·期末）已知关于x，y的方程满足方程组， (1)若，求m的值； (2)若x，y，m均为非负数，求m的取值范围，并化简式子； (3)在（2）的条件下求的最小值及最大值． 【答案】(1) (2)2 (3)的最小值为，最大值为9 【分析】此题考查了解二元一次方程组，一元一次不等式组， （1）把m看作已知数表示出方程组的解，得到x、y，代入求出m的值即可； （2）根据x、y为非负数求出m的范围，判断出绝对值里边式子的正负，利用绝对值的代数意义化简，计算即可得到结果； （3）把表示出的x与y代入s，利用求出最大值与最小值即可． 【详解】（1） 得：得： 将代入②得， 解得③ 把和代入， ， 解得； （2）∵x，y，m均为非负数， ∴ ∴； （3）∵，， ∴ ∵， ∴ ∴． 答：的最小值为，最大值为9． 28．（23-24七年级下·福建泉州·期末）关于，的方程组，其中常数． (1)直接写出的值（结果用含的代数式表示）； (2)无论取何值，试说明的值总是不变的． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查解二元一次方程组及二元一次方程组的解，熟练掌握解方程组的方法是解题的关键． （1）将两个方程相加并整理即可； （2）结合（1）中所求解得，，然后相加计算即可． 【详解】（1）解：①②得：， 两边同除以3得：； （2）解：由（1）知③， ①③得：， 则， 把代入③得：， ， 即无论取何值，的值总是不变． 考点九：方程组相同的解问题 29．（24-25八年级上·重庆长寿·阶段练习）关于x， y的方程组 与 有相同的解，求a，b的值． 【答案】， 【分析】本题主要考查同解方程组和解二元一次方程组，根据题意可知x、y一定满足方程组，解方程组得到，，则，据此解方程组即可得到答案． 【详解】解：∵关于x， y的方程组 与 有相同的解， ∴x、y一定满足方程组， 得：，解得， 把代入①得：，解得， ∴， 得：，解得， 把代入④得：，解得． 30．（23-24七年级下·江苏扬州·阶段练习）已知关于x、y的方程组和的解相同，求的值． 【答案】1 【分析】此题考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组，乘方的性质，解题的关键是掌握二元一次方程组的求解，正确求得a、b的值．将两个方程组中不含有a，b的两个方程联立，组成新的方程组，求出x和y的值，再代入含有a，b的两个方程中，解关于a，b的方程组得出a，b的值，代入计算即可． 【详解】解：∵关于x、y的方程组和的解相同， ∴， 由得， ， 解得， 把代入①得， ， 解得， ∴方程组的解为， 把代入得， ， 得， ， 把代入③得， ， 解得， ∴． 31．（23-24七年级下·贵州铜仁·期中）已知方程组和方程组的解相同． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了同解方程组的问题、解二元一次方程组： （1）根据题意可得方程组，解得，据此代值计算即可； （2）根据（1）所求得到方程组，解得，据此代值计算即可． 【详解】（1）解：∵方程组和方程组的解相同， ∴方程和方程有相同的解， 联立，解得， ∴； （2）解：由（1）可知方程组， 解得， ∴． 32．（23-24七年级下·山东济南·阶段练习）若关于x，y的二元一次方程组与有公共的解．求的值． 【答案】4 【分析】本题考查根据方程组的解的情况，求参数的值，以及代数式求值．熟练掌握消元法解方程组，是解题的关键．根据方程有公共解，得到的解，即为方程组与的公共解，进行求解即可，将方程组的解方程组中，求出a，b的值，将代数式转化为，再代值计算即可． 【详解】解：∵关于x，y的二元一次方程组与有公共的解， ∴的解即为两个方程组的公共解， 解得：， ∴， 解得：， ∴． 33．（23-24七年级下·福建泉州·阶段练习）已知关于、的方程组． (1)试用含的式子表示方程组的解； (2)若上述方程组的解也是方程组的解，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，同解方程组问题： （1）利用加减消元法解方程组即可； （2）根据题意可得，解方程得到，进而得到，据此求出n的值即可得到答案． 【详解】（1）解： 得，解得， 把代入①得：，解得， ∴方程组的解为； （2）解：∵上述方程组的解也是方程组的解， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴， ∴． 考点十：二元一次方程组的特殊解法 34．（23-24七年级下·重庆酉阳·期末）关于，的二元一次方程组解为，则关于，的二元一次方程组的解为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查二元一次方程组的解，熟练掌握二元一次方程组的解的定义是解决本题的关键． 将第二个方程组中的分别作为一个整体，参照第一个方程组的解即可得到结果． 【详解】解：根据题意可得，， 解得． 关于，的二元一次方程组的解为． 故答案为：． 35．（22-23七年级下·浙江湖州·阶段练习）若关于、的二元一次方程组的解为，则关于、的二元一次方程组的解为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，二元一次方程组的解，结合题意，利用整体代入法求解即可． 【详解】令，， ∵关于、的二元一次方程组的解为， 则， ∴关于、的二元一次方程组的解为， ∴关于、的二元一次方程组的解为， 故答案为：． 36．（23-24七年级下·甘肃定西·期末）已知关于x，y的方程组的解是，求关于x，y的方程组的解． 【答案】 【分析】本题考查了代入消元法，以及二元一次方程组的特殊解法，先整理原方程组为，结合关于x，y的方程组的解是，则，然后解出，即可作答． 【详解】解：∵， ， 关于x，y的方程组的解是， 由得， 把代入， 解得， ∴， 解得． 37．（23-24七年级下·广东湛江·期末）阅读下列解方程组的方法，然后回答并解决有关问题： 解方程组时，如果我们直接考虑消元，那会很麻烦，而采用下面的解法求解会更方便． 解：得，，所以③，将③，得④， ，得，从而可得，所以原方程组的解为． (1)请你用上述方法解方程组． (2)猜想：关于、的方程组（是常数，）的解，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】本题考查的是解二元一次方程组，熟知解二元一次方程组的加减消元法和代入消元法并灵活变通是解答此题的关键． （1）利用“加减消元法”解方程组； （2）先假设该方程组的解，利用“加减消元法”解方程组验证即可． 【详解】（1）解：， ，得 ③ ，得④ ，得 解得 把代入③，得， 解得， 原方程组的解是； （2）解：猜想关于、的方程组的解为， 理由如下： 得， ③ ，得④ ，得 解得 把代入③，得， 解得， 原方程组的解是． 38．（24-25七年级上·湖南湘潭·阶段练习）数学方法： 解方程组：，若设，，则原方程组可化为，解方程组得，所以，解方程组得，我们把某个式子看成一个整体，用一个字母去替代它，这种解方程组的方法叫做换元法． (1)直接填空：已知关于的二元一次方程组，的解为，那么关于的二元一次方程组的解为： ． (2)知识迁移：请用这种方法解方程组 ． (3)拓展应用：已知关于的二元一次方程组的解为， 求关于的方程组的解． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了用换元法解二元一次方程组，根据题目给出的示例，用换元法解二元一次方程组是解答本题的关键． （1）设，即可得到，解方程组即可求解； （2）设，则原方程组化为，解方程组即可求解； （3）设，则原方程组化为，，根据已知，可得，得到，即可得到答案． 【详解】（1）解：设， 则原方程组化为， ∵关于的二元一次方程组的解为， ∴， 解得：， 故答案为：； （2）解：设， 则原方程组化为， 解得， ∴， 解得； （3）解：设， 则原方程组化为， 整理得， ∵关于的二元一次方程组的解为， ∴， ∴， ∴． 考点十一：与解二元一次方程有关的新定义问题 39．（23-24七年级下·全国·单元测试）对x，y定义一种新运算“※”，规定：（其中m，n均为非零常数），若，．则的值是（     ） A．3 B．5 C．9 D．11 【答案】C 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组．根据题意联立二元一次方程组，解出m，n的值，再代入运算中即可求解． 【详解】解：由题意得：， 整理得， 得：， 把代入得：， ∴， 则， 故选：C． 40．（23-24七年级下·山东临沂·期末）对实数定义一种新的运算，规定，例如：，若，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法解二元一次方程组是解题的关键．根据题意联立二元一次方程组，解出m，n的值，再代入运算中即可求解． 【详解】解：由题意得：， 得：， ∴， ∴， ∴； 故答案为：2． 41．（2024七年级上·全国·专题练习）新趋势·新定义  对于未知数为的二元一次方程组，如果方程组的解满足．我们就说方程组的解与具有“邻好关系”． (1)方程组的解是否具有“邻好关系”？说明你的理由： (2)若方程组 的解与具有“邻好关系”，求的值． 【答案】(1)具有“邻好关系”，见解析 (2)或6 【分析】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握新定义，是解题的关键： （1）根据方程，即可得到，即可得出结论； （2）先解二元一次方程组，根据新定义，得到关于的绝对值方程，进行求解即可． 【详解】（1）具有“邻好关系”．理由如下：方程组 由②得． 所以方程组的解具有“邻好关系”； （2）解方程组得 因为方程组的解具有“邻好关系”， 所以， 所以，即． 所以或， 所以或6． 42．（2024·江苏扬州·二模）对于有序实数对，定义关于“”的一种运算如下：．例如． (1)求的值； (2)若，且，求+的值． 【答案】(1)1； (2) ． 【分析】本题主要考查了新定义，解二元一次方程组： （1）根据新定义列式计算即可； （2）根据新定义可得方程组，解方程组即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，； （2）解：由题意得，，        ， 则有方程组，        解得，           ∴． 考点十二：解三元一次方程 43．（2024七年级上·全国·专题练习）解方程组若要使运算简便，消元的方法应选取（   ） A．先消去x B．先消去y C．先消去z D．以上说法都不对 【答案】B 【分析】此题考查了解三元一次方程组．根据消元法的简单的角度即可得到答案． 【详解】解：经观察发现，3个方程中先消去y，即可得到一个关于x、z的二元一次方程组，再用加减消元法和代入法解方程即可． 故选：B 44．（23-24七年级下·全国·单元测试）关于的方程组的解是，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三元一次方程组的解，代数式求值，把代入方程求出的值，再把的值代入代数式计算即可求解，掌握三元一次方程组解的定义是解题的关键． 【详解】解：把 代入得，， ∴， ∴， 故选：． 45．（23-24七年级下·山东威海·期末）方程组的解使代数式的值为，则的值为（    ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了解三元一次方程组，解题的关键是掌握消元的方法并熟练运用． 用加减消元法求解该三元一次方程组，再将方程组的解代入即可求出k． 【详解】解：， 得：， 得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， 把代入③得：， 解得：， ∴原方程组的解为， 把代入得：， 解得：． 故选：C． 46．（23-24七年级下·四川眉山·期中）在等式中，当时，；当时，；当时，．则这个等式为 【答案】 【分析】本题主要考查了三元一次方程组的应用，代值列出三元一次方程组进行解答，即可． 【详解】解：由题可得：， 解得， ∴等式为， 故答案为：． 47．（2024七年级上·全国·专题练习）解方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是三元一次方程组的解法，掌握三元一次方程组的解法是解答本题的关键． （1）先消去未知数，再求解，再进一步解答，从而可得答案； （2）先消去未知数，再求解，再进一步解答，从而可得答案． 【详解】（1）解：， 得：， 得：， 把代入得：， 把，代入得， 方程组的解为：； （2）解： 由，得：． 由，得：， 解得：， 把代入，得：， 把代入，得：， 原方程组的解集是． 1．（24-25七年级上·吉林·期末）关于x、y的方程组的解是则的值是（   ） A．4 B．9 C．5 D．11 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的解的定义，把方程组的解代入方程组求出、的值是解题的关键． 【详解】解：∵方程组的解是， ∴， 解得， 所以，． 故选：B． 2．（23-24七年级下·广东湛江·期末）下列各组值中，是方程组的解的是（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解二元一次方程组，关键在于观察未知数的系数，再利用加减消元法求解．观察可知的系数互为相反数，故可以利用加减消元法中令方程两个方程组相加即得，故得，再将代入 得． 【详解】解： ，得， 解得， 将代入①，得， 所以二元一次方程组的解是 故选：A． 3．（23-24八年级上·山东济南·期中）已知关于和的方程组的解满足，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了本题考查解二元一次方程组求参数，解题的关键注意整体思想的应用，先根据得出，再根据得出，解一元一次方程求出即可． 【详解】解：， 得：， ， ， 解得：． 故选： B． 4．（2024七年级上·全国·专题练习）两位同学在解关于、的方程组时，甲看错①中的，解得：，，乙看错②中的，解得，那么和的正确值应是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的错解问题，甲看错了a，则甲的结果满足②，乙看错了b，则乙的结果满足①，由此建立关于a、b的方程求解即可． 【详解】解：由题意，得把，代入②，得， 解得， 把，代入①，得， 解得， 所以，． 故选C． 5．（2024七年级上·全国·专题练习）已知关于、的方程组和有相同的解，那么值是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了列二元一次方程组求解，、的方程组和有相同的解，列出方程组求出、的值，再代入计算求出a、b的值，最后代入计算即可． 【详解】解：由题意，得， 解得， 因为两方程有相同的解， 所以将代入， 得， 解得， 所以． 故选：B． 6．（2024七年级上·全国·专题练习）若方程的两个解是，，则的值是（   ） A．6 B． C． D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查方程的解的定义以及解二元一次方程组，熟练掌握方程的解的定义以及解二元一次方程组是解决本题的关键． 根据方程的解的定义，得，，故，，进而求得． 【详解】解：由题意得， ，得， 解得，代入，得． 所以． 故选：B． 7．（2024九年级上·全国·专题练习）若与互为相反数，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相反数的定义，非负数的性质，解二元一次方程组；解题的关键是根据非负数的性质求出的值．首先根据与互为相反数，可得：，据此求出的值即可． 【详解】解：与互为相反数， ， 即，， 解得， 故选C． 8．（2024七年级上·全国·专题练习）有下列方程组： ①；②；③；其中用加减消元法解较为简便的是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】C 【分析】本题考查解二元一次方程组－加减消元法．通过观察所给的方程组中各式子特点，②和③的方程组，可以直接利用加减进行消元． 【详解】解：①宜用代入消元法； ②中，的系数相同，宜用加减消元法； ③中，的系数互为相反数，宜用加减消元法； 故选：C． 9．（24-25八年级上·全国·期末）我们在解二元一次方程组时，可将第一个方程代入第二个方程消去y，得到，从而求解．这种解法体现的数学思想是（　　） A．数形结合思想 B．分类讨论思想 C．转化思想 D．整体思想 【答案】C 【分析】本题主要考查对解二元一次方程组解法的理解，掌握转化思想解决数学问题是解题的关键．根据解二元一次方程组的方法即可求解． 【详解】解：将第一个方程代入算二个方程消去得，是代入消元法解二元一次方程组，体现了转化思想， 故选：C． 10．（23-24七年级下·全国·期中）两位同学在解方程组 时，甲同学正确地解出，乙同学因把c抄错了解得 ，则a，b，c正确的值应为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的错解问题，解题的关键理解题意得出正确的方程组．把甲的结果代入方程组两方程中，乙的结果代入第一个方程中，分别求出a， b，c的值，即可求出所求． 【详解】解：把代入方程组得： 把代入得： ， 联立得解得： ， 由，得到， 故选：． 11．（24-25七年级上·全国·期中）若，，则 ． 【答案】24 【分析】本题考查了解二元一次方程组，利用整体思想直接解答是解题的关键．即可得到． 【详解】解：， 得，， 得，， 故答案为：24． 12．（24-25八年级上·陕西西安·期中）若关于x，y的方程组有无数组解，其中m、n不为0，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，将方程两边同乘2，得，该方程与完全一样时，方程组有无数组解，即可求出、的值，再计算的值． 【详解】解：， ②，得， 关于，的方程组有无数组解，、不为0， ，， ， ， 故答案为：． 13．（24-25八年级上·四川成都·阶段练习）关于x，y的二元一次方程，不论m取何值，方程总有一组固定不变的解，这组解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解决含字母参数的二元一次方程组的能力，准确理解题意并能用特殊值法求解时解题关键．分别求出和时的值，再代入方程求出、的值即可． 【详解】解：， 当时，， 将代入方程得：， 解得：， 当时，， 将代入方程得：， 解得：， 不论m取何值，方程总有一组固定不变的解，这组解为， 故答案为：． 14．（2024七年级上·全国·专题练习）解方程组时，小强正确解得而小刚看错了c，解得求出a、b、c的值． 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，二元一次方程组的解；根据题意把，代入①得出，③．把代入③得，把②得出，即可求解． 【详解】解：把代入①得，即③． 把代入，得． 把③代入，得， 解得，把代入③得． 把代入方程得， 解得． 故． 15．（24-25七年级上·上海·阶段练习）如果关于x、y的单项式与的和是一个单项式，那么 ． 【答案】13 【分析】本题考查同类项的定义，所含字母相同且相同字母的指数也相同的项是同类项．注意同类项定义中的两个相同是解题的关键． 根据同类项的定义中相同字母的指数也相同，可先列出关于和的二元一次方程组，再解方程组求出它们的值，再代入代数式求值即可． 【详解】解：由题意得，， ， ， 故答案为：13． 16．（2024七年级上·全国·专题练习）解下列方程组． (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握解方程组的方法是解题的关键． （1）利用加减消元法解方程组即可； （2）先整理方程组，再利用加减消元法进行计算即可． 【详解】（1）解：， 得， 解得， 把代入②得， 解得， 故原方程组的解是； （2）整理原方程组得， 得， 解得， 把代入①得， 解得， 故原方程组的解为． 17．（23-24八年级上·陕西咸阳·期中）甲、乙两人同时解方程组甲看错了，求得解为；乙看错了，求得解为．请你求出的值． 【答案】 【分析】本题考查了方程组的解，代数式的值计算，熟练掌握解方程组的解的性质，是解题的关键． 把，代入，求得a值，把，代入，求得b值，后求的值即可． 【详解】解：把，代入， 得， 解得， 把，代入， 得， 解得， 所以． 18．（2024七年级上·全国·专题练习）两个同学对问题“若方程组的解是，求方程组的解”提出各自的想法．甲说：“这个题目好像条件不够，不能求解”；乙说：“它们的系数有一定的规律，可以试试”；参考他们的讨论，谈谈你的看法． 【答案】见解析 【分析】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值．先将第二个方程组变形为第一个方程组的格式，设，，第一个方程组即可变形为关于，的方程组，解出，的值；然后把，的值代入，，即可解出、的解集． 【详解】解：可变形为①， 设，， 所以方程组①可变为②， 又因为的解是， 所以方程组②的解是，所以，， 所以，． 故方程组的解是． 19．（2023七年级上·全国·专题练习）数学思想·整体思想  综合与实践 【问题情境】小明同学在学习二元一次方程组时遇到了这样一个问题： 解方程组：． 【观察发现】 （1）如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，容易出错．如果把方程组中的看成一个整体，把看成一个整体，通过换元，可以解决问题．设，则原方程组可化为_____，解关于m，n的方程组，得，所以，解方程组，得_____； 【探索猜想】 （2）运用上述方法解下列方程 组：． 【答案】（1），；（2） 【分析】本题考查了解二元一次方程组． （1）根据换元法和加减消元法可得答案； （2）利用换元法将原方程组变形，解关于m，n的方程组，然后得到关于x，y的新的二元一次方程组，再解方程组可得答案； 【详解】解：（1）设， 则原方程组可化为， 解关于m，n的方程组，得， ∴， 解方程组，得， 故答案为：，； （2）设，， 则原方程组可化为， 解关于m，n的方程组，得， ∴， 解方程组，得． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第11讲 解二元一次方程组 模块一思维导图串知识 模块二基础知识全梳理（吃透教材） 模块三核心考点举一反三 模块四小试牛刀过关测 1. 会运用加减消元法求二元一次方程组的解，掌握用加减消元法解简单的二元一次方程组的一般步骤; 2. 会用代入消元法求稍复杂的二元一次方程组的解，进一步体会“消元”思想; 消元思想：二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，那么就把二元一次方程组转化为我们熟悉的一元一次方程，我们就可以先求出一个未知数，然后再求出另一个未知数，这种将未知数的个数由多变少，逐一解决的思想，叫做消元思想. 1.代入消元法 定义：把二元一次方程组中的一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫做代入消元法，简称代入法. 用代入消元法解二元一次方程组的一般步骤： 1）变形.从方程组中选一个未知数的系数比较简单的方程，将这个方程中的一个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来； 2）代入.将变形后的方程代入没变形的方程，得到一个一元一次方程； 3）解元.解这个一元一次方程，求出一个未知数的值； 4）求值.将求得的未知数的值代入变形后的方程，求出另一个未知数的值，从而得到方程组的解. 2.加减消元法 定义：当二元一次方程组的两个方程中同一未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法. 用加减消元法解二元一次方程组的一般步骤： 1）变形.先观察系数特点，将同一个未知数的系数化成互为相反数或相等的数； 2）加减.把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程； 3）解元.解这个一元一次方程，求出一个未知数的值； 4）求值.将求得的未知数的值代入原方程组中任意一个方程，求出另一个未知数的值，并把求得的两个未知数的值用“大括号”联立起来，就是方程组的解． 3.整体消元法 解题思路：当二元一次方程组的结构比较复杂，但又有一定的规律时，可以考虑利用整体消元法，从而使原方程组变成结构比较简单、求解方便的二元一次方程组.例如： 4.解二元一次方程组的一般步骤 1）把二元一次方程组中的一个未知数消掉(代入消元或加减消元)使其变成一元一次方程； 2）解一元一次方程，求出一个未知数的值； 3）将求出的未知数的值代入原方程，求出另一个未知数的值； 4）写出方程组的解. 5.三元一次方程（组） 解三元一次方程组的一般步骤：（基本思路;化“三元”为“二元”，再化“二元”为“一元”） 1）利用代入(或加减)消元法消去一个未知数，得出一个二元一次方程组； 2）解这个二元一次方程组，求得这两个未知数的值； 3）将这两个未知数的值代入原方程组中较简单的一个方程，求出第三未知数的值，把这三个数用“”联立起来,就是原方程组的解. 考点一：利用代入消元法解二元一次方程 1．（24-25七年级上·全国·期中）已知与是同类项，则x和y的值分别为（   ） A．5和1 B．1和5 C．和5 D．和1 2．（24-25七年级上·四川遂宁·阶段练习）与互为相反数，则 ． 3．（2024七年级上·全国·专题练习）解方程组时，把第一个方程代入第二个方程，可以得到x的值为 ，这时 ． 考点二：利用加减消元法解二元一次方程 4．（23-24七年级下·福建泉州·期末）关于、的方程组，则的值等于（  ） A． B． C． D． 5．（2024七年级上·全国·专题练习）解方程组的思路可用如图的框图表示，圈中应填写的对方程①②所做的变形为（   ） A． B． C． D． 6．（23-24七年级下·福建泉州·期末）已知，则 ． 7．（2024七年级上·浙江宁波·竞赛）若与互为相反数，则的值是 ． 考点三：选用合适的方法解二元一次方程 8．（24-25八年级上·山东济南·期中）解方程组： (1)； (2)． 9．（24-25七年级上·吉林长春·期末）解二元一次方程组： (1)； (2)． 10．（24-25八年级上·陕西西安·期中）解二元一次方程组： (1) (2) 考点四：以开放性试题的形式考查解二元一次方程 11．（2024七年级上·全国·专题练习）在《二元一次方程组》的小节复习时，李老师给出方程组，请同学们用自己喜欢的方法解这个方程组．小丽和小华解方程组的部分过程如下表： 小丽：，得 小华．由②得③，把①代入③，得 (1)小丽和小华解方程组的过程是否正确：小丽的过程___________，小华的过程___________；（填“正确”或“不正确”） (2)请你用喜欢的方法解二元一次方程组． 12．（23-24七年级下·贵州遵义·期中）下面是马小虎同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解方程组： 解：①，得．③…（第一步） ②③，得，解得，…（第二步） 将代入①，得…（第三步） 所以原方程组的解为…（第四步） (1)这种求解二元一次方程组的方法叫做______法，以上求解步骤中，马小虎同学从第______步开始出现错误． (2)请写出此题正确的解答过程． 13．（23-24七年级下·广西南宁·期末）下面是数学课上小颖同学上黑板解课本第96页练习1（2）方程组的过程，老师为了方便与同学们一起讲评在旁边标注了步骤，请认真阅读并完成相应的任务． 解：由①×3得③  第一步 由②×5得④  第二步 ③-④得  第三步   第四步 把代入①得，  第五步 ∴原方程组的解为  第六步 (1)小颖用______消元法解方程组；（填“代入”或“加减”）； (2)小颖的解题从第______步出现了错误； (3)请直接写出该方程组的解． 14．（23-24七年级下·河南洛阳·阶段练习）下面是小马同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解方程组：． 解：得③……第一步 ②③得……第二步 ……第三步 将代入①得……第四步 所以，原方程组的解为．……第五步 (1)这种求解二元一次方程组的方法叫做 ，其中第一步的依据是 ； (2)第 步开始出现错误； (3)请你从出现错误的那步开始，写出后面正确的解题过程． (4)请选择你喜欢的方法解方程组 考点五：二元一次方程组错解复原问题 15．（21-22七年级下·广东湛江·期中）甲、乙两名同学在解方程组时，甲解题时看错了m，解得；，乙解题时看错了n，解得．请你根据以上两种结果： (1)求m，n的值； (2)求出原方程组的正确解． 16．（23-24七年级下·四川德阳·期末）甲、乙两人共同解方程组，由于甲看错了方程①中的，得到方程组的解为，乙看错了方程②中的，得到方程组的解为．试计算的值． 17．（23-24七年级下·河南安阳·阶段练习）在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的a，而得解为，乙看错了方程组中的，而得解为，根据上面的信息解答∶ (1)甲把a看成了什么数，乙把b看成了什么数？ (2)求出正确的的值； (3)求出原方程组的正确解． 考点六：与解二元一次方程组有关的污染/遮挡问题 18．（23-24七年级下·湖北孝感·期末）方程组的解为，则被遮盖的两个数⊗，*分别为（    ） A．2，1 B．1，2 C．2，3 D．3，2 19．（23-24七年级下·河南周口·期中）芳芳解方程组的解为，由于不小心两滴墨水遮住了两个数和，则与表示的数分别是（    ） A． B． C． D． 20．（22-23七年级下·广西北海·期中）小玲解方程组的解为，由于不小心滴上两滴墨水，刚好遮住了两个数（用“a”和“b”表示），则这两个数分别为（      ） A．，5 B．，4 C．，6 D．8， 考点七：构造二元一次方程组求解 21．（23-24七年级下·全国·单元测试）若，则的值为 ． 22．（24-25七年级上·全国·期末）若与互补，且，则的度数为（     ） A． B． C． D． 23．（23-24七年级下·广西桂林·开学考试）在方程中，当时，；当时，．则的值是 ． 24．（23-24七年级下·全国·单元测试）已知的平方根是，的算术平方根是4，求的平方根． 考点八：已知二元一次方程组的解的情况求参数 25．（2024七年级上·全国·专题练习）已知关于x，y的二元一次方程组的解x，y互为相反数，求a的值． 26．（23-24八年级上·陕西咸阳·阶段练习）已知关于x，y的方程组的解满足，求a的值． 27．（20-21七年级下·天津和平·期末）已知关于x，y的方程满足方程组， (1)若，求m的值； (2)若x，y，m均为非负数，求m的取值范围，并化简式子； (3)在（2）的条件下求的最小值及最大值． 28．（23-24七年级下·福建泉州·期末）关于，的方程组，其中常数． (1)直接写出的值（结果用含的代数式表示）； (2)无论取何值，试说明的值总是不变的． 考点九：方程组相同的解问题 29．（24-25八年级上·重庆长寿·阶段练习）关于x， y的方程组 与 有相同的解，求a，b的值． 30．（23-24七年级下·江苏扬州·阶段练习）已知关于x、y的方程组和的解相同，求的值． 31．（23-24七年级下·贵州铜仁·期中）已知方程组和方程组的解相同． (1)求的值； (2)求的值． 32．（23-24七年级下·山东济南·阶段练习）若关于x，y的二元一次方程组与有公共的解．求的值． 33．（23-24七年级下·福建泉州·阶段练习）已知关于、的方程组． (1)试用含的式子表示方程组的解； (2)若上述方程组的解也是方程组的解，求的值． 考点十：二元一次方程组的特殊解法 34．（23-24七年级下·重庆酉阳·期末）关于，的二元一次方程组解为，则关于，的二元一次方程组的解为 ． 35．（22-23七年级下·浙江湖州·阶段练习）若关于、的二元一次方程组的解为，则关于、的二元一次方程组的解为 ． 36．（23-24七年级下·甘肃定西·期末）已知关于x，y的方程组的解是，求关于x，y的方程组的解． 37．（23-24七年级下·广东湛江·期末）阅读下列解方程组的方法，然后回答并解决有关问题： 解方程组时，如果我们直接考虑消元，那会很麻烦，而采用下面的解法求解会更方便． 解：得，，所以③，将③，得④， ，得，从而可得，所以原方程组的解为． (1)请你用上述方法解方程组． (2)猜想：关于、的方程组（是常数，）的解，并说明理由． 38．（24-25七年级上·湖南湘潭·阶段练习）数学方法： 解方程组：，若设，，则原方程组可化为，解方程组得，所以，解方程组得，我们把某个式子看成一个整体，用一个字母去替代它，这种解方程组的方法叫做换元法． (1)直接填空：已知关于的二元一次方程组，的解为，那么关于的二元一次方程组的解为： ． (2)知识迁移：请用这种方法解方程组 ． (3)拓展应用：已知关于的二元一次方程组的解为， 求关于的方程组的解． 考点十一：与解二元一次方程有关的新定义问题 39．（23-24七年级下·全国·单元测试）对x，y定义一种新运算“※”，规定：（其中m，n均为非零常数），若，．则的值是（     ） A．3 B．5 C．9 D．11 40．（23-24七年级下·山东临沂·期末）对实数定义一种新的运算，规定，例如：，若，，则 ． 41．（2024七年级上·全国·专题练习）新趋势·新定义  对于未知数为的二元一次方程组，如果方程组的解满足．我们就说方程组的解与具有“邻好关系”． (1)方程组的解是否具有“邻好关系”？说明你的理由： (2)若方程组 的解与具有“邻好关系”，求的值． 42．（2024·江苏扬州·二模）对于有序实数对，定义关于“”的一种运算如下：．例如． (1)求的值； (2)若，且，求+的值． 考点十二：解三元一次方程 43．（2024七年级上·全国·专题练习）解方程组若要使运算简便，消元的方法应选取（   ） A．先消去x B．先消去y C．先消去z D．以上说法都不对 44．（23-24七年级下·全国·单元测试）关于的方程组的解是，则的值是（   ） A． B． C． D． 45．（23-24七年级下·山东威海·期末）方程组的解使代数式的值为，则的值为（    ） A．0 B． C． D． 46．（23-24七年级下·四川眉山·期中）在等式中，当时，；当时，；当时，．则这个等式为 47．（2024七年级上·全国·专题练习）解方程组： (1) (2) 1．（24-25七年级上·吉林·期末）关于x、y的方程组的解是则的值是（   ） A．4 B．9 C．5 D．11 2．（23-24七年级下·广东湛江·期末）下列各组值中，是方程组的解的是（） A． B． C． D． 3．（23-24八年级上·山东济南·期中）已知关于和的方程组的解满足，则的值是（   ） A． B． C． D． 4．（2024七年级上·全国·专题练习）两位同学在解关于、的方程组时，甲看错①中的，解得：，，乙看错②中的，解得，那么和的正确值应是（   ） A．， B．， C．， D．， 5．（2024七年级上·全国·专题练习）已知关于、的方程组和有相同的解，那么值是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 6．（2024七年级上·全国·专题练习）若方程的两个解是，，则的值是（   ） A．6 B． C． D．4 7．（2024九年级上·全国·专题练习）若与互为相反数，则的值是（   ） A． B． C． D． 8．（2024七年级上·全国·专题练习）有下列方程组： ①；②；③；其中用加减消元法解较为简便的是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 9．（24-25八年级上·全国·期末）我们在解二元一次方程组时，可将第一个方程代入第二个方程消去y，得到，从而求解．这种解法体现的数学思想是（　　） A．数形结合思想 B．分类讨论思想 C．转化思想 D．整体思想 10．（23-24七年级下·全国·期中）两位同学在解方程组 时，甲同学正确地解出，乙同学因把c抄错了解得 ，则a，b，c正确的值应为（    ） A． B． C． D． 11．（24-25七年级上·全国·期中）若，，则 ． 12．（24-25八年级上·陕西西安·期中）若关于x，y的方程组有无数组解，其中m、n不为0，则 ． 13．（24-25八年级上·四川成都·阶段练习）关于x，y的二元一次方程，不论m取何值，方程总有一组固定不变的解，这组解为 ． 14．（2024七年级上·全国·专题练习）解方程组时，小强正确解得而小刚看错了c，解得求出a、b、c的值． 15．（24-25七年级上·上海·阶段练习）如果关于x、y的单项式与的和是一个单项式，那么 ． 16．（2024七年级上·全国·专题练习）解下列方程组． (1) (2) 17．（23-24八年级上·陕西咸阳·期中）甲、乙两人同时解方程组甲看错了，求得解为；乙看错了，求得解为．请你求出的值． 18．（2024七年级上·全国·专题练习）两个同学对问题“若方程组的解是，求方程组的解”提出各自的想法．甲说：“这个题目好像条件不够，不能求解”；乙说：“它们的系数有一定的规律，可以试试”；参考他们的讨论，谈谈你的看法． 19．（2023七年级上·全国·专题练习）数学思想·整体思想  综合与实践 【问题情境】小明同学在学习二元一次方程组时遇到了这样一个问题： 解方程组：． 【观察发现】 （1）如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，容易出错．如果把方程组中的看成一个整体，把看成一个整体，通过换元，可以解决问题．设，则原方程组可化为_____，解关于m，n的方程组，得，所以，解方程组，得_____； 【探索猜想】 （2）运用上述方法解下列方程 组：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$