第02讲 平行线的性质与判定（知识串讲+12考点+过关检测）-【寒假自学课】2025年七年级数学寒假提升精品讲义（人教版2024）

第02讲 平行线的性质与判定 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1.理解与掌握平行线的性质与判定定理； 2.利用平行线的性质与判定定理求解. 平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，平行用符号“∥”表示.如图，直线AB与CD平行，记作;AB∥CD，读作：AB平行于CD. 【补充说明】 1）平行线必在同一平面内，分别在两个平面内的两条直线，即使不相交，也可以不平行，因此“在同一平面内”是平行线存在的前提条件. 2）平行线指的是“两条直线”而不是两条射线或线段，今后遇到线段、射线平行时，特指线段、射线所在的直线平行. 平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行. 平行公理的前提条件：经过直线外一点. 平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也相互平行. 【拓展】 1）平行线具有传递性：若多条直线都与同一条直线平行，则这多条直线也相互平行. 2）在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线相互平行，即在同一平面内，若a⊥b，b⊥c，则a∥c. 平行线的判定 判定方法1 判定方法2 判定方法3 两条直线平行的判定 同位角相等，两直线平行 内错角相等，两直线平行 同旁内角互补，两直线平行 图示 符号语言 ∵∠1＝∠2∴AB∥CD ∵∠1＝∠2∴AB∥CD ∵∠1+∠2=180°∴AB∥CD 平行线的性质： 性质1 性质2 性质3 两条直线平行的性质 两直线平行，同位角相等 两直线平行，内错角相等 两直线平行，同旁内角互补 图示 符号语言 ∵AB∥CD∴∠1＝∠2 ∵AB∥CD∴∠1＝∠2 ∵AB∥CD∴∠1+∠2=180° 【注意】在两直线平行的前提下才存在同位角相等、内错角相等、同旁内角互补的结论.这是平行线特有的性质不要一提同位角或内错角就认为它们相等，一提同旁内角就认为互补，若没有两直线平行的条件，这些是不成立的. 【总结】从角的关系得到两直线平行，是平行线的判定；从平行线得到角相等或互补关系，是平行线的性质. 平行线之间的距离：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离叫做这两条平行线之间的距离. 性质：1）夹在两条平行线间的平行线段处处相等； 2）平行线间的距离处处相等. 考点一： 平面内两直线的位置关系 1．（24-25七年级上·全国·课后作业）在同一平面内有三条不同的直线，若，则a与b的位置关系为（   ） A．相交但不垂直 B．垂直 C．平行 D．无法确定 2．（23-24七年级下·山东淄博·期中）在同一平面内，有12条互不重合的直线，，，，若， ，，，…，依此类推，则与的位置关系是 ．（填“平行”或“垂直”） 3．（23-24七年级下·黑龙江绥化·阶段练习）设a，b，l为平面内三条不同直线．①若，，则l与b的位置关系是 ；②若，，则a与b的位置关系是 ；③若，，则l与b的位置关系是 ． 4．（22-23七年级下·全国·课后作业）在同一平面内，直线与满足下列条件，把它们的位置关系填在后面的横线上． （1）若与没有公共点，则与 ； （2）若与有且只有一个公共点，则与 ； （3）若与有两个公共点，则与 ． 考点二： 用直尺、三角尺画平行线 5．（23-24七年级下·四川成都·期末）下列各图中的直线，用推三角尺的方法验证，其中的有 （填序号）． 6．（23-24七年级下·河北邢台·阶段练习）已知直线以及直线外一点P，如图1，图2、图3的作图结果可以说明的基本事实是 ；其依据是 ． 7．（23-24七年级上·江苏连云港·期末）如图，已知直线和直线外一点，我们可以用直尺和三角尺，过点画已知直线的平行线．下面的操作步骤：①沿直尺上移三角尺使三角尺一边经过点；②用直尺紧靠三角尺的另一边；③沿三角尺的边作出直线；④用三角尺的一边紧贴住直线；正确的操作顺序是： ．（填序号）    考点三： 平行公理推论的应用 8．（23-24七年级下·北京朝阳·阶段练习）如图是一个可折叠的衣架，是地平线，当时，；时，，就可确定点N、P、M在同一条直线上的依据是 9．（23-24七年级下·广东深圳·期末）如图1，杆秤是中国最古老也是现今人们仍然在使用的衡量工具，它利用杠杆原理来称物体的质量，由木制的带有秤星的秤杆、金属秤砣、提绳等组成．如图2，是杆秤的示意图，，，经测量发现，则的度数是 度． 10．（23-24七年级下·陕西西安·期末）如图，已知直线，将一块直角三角板按如图所示方式放置，若，则 ． 11．（23-24七年级下·河南商丘·期中）如图是一款长臂折叠护眼灯示意图，与桌面垂直，当发光的灯管恰好与桌面平行时，，，则的度数为 ．    考点四： 根据已知条件判定两直线能否平行 12．（2024七年级上·全国·专题练习）学习情境·推理论证如图所示，下列推理中正确的有（   ） ①，； ②，； ③，； ④，． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 13．（2024七年级上·全国·专题练习）如图所示，下列条件不能判定直线的是（   ） A． B． C． D． 14．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，有以下四个条件：①；②；③；④．其中能判定的序号是（   ） A．①② B．②③ C．①②③ D．①③④ 考点五： 添加一个条件使两直线平行 15．（23-24七年级下·湖北荆门·期中）如图，B，D分别在上，添加条件， 即可判定．（写出一个即可） 16．（24-25八年级上·陕西汉中·阶段练习）如图，已知，点，分别在射线，上，点为内一点，连接，，不添加辅助线，请添加一个条件使得，则可添加为 ．（写出一个即可） 17．（23-24七年级下·北京·期中）如图，点E在的延长线上，请添加一个恰当的条件 ，使． 18．（23-24七年级下·云南昭通·期末）如图，要使“直线”，需要添加的条件是 （只填一个即可） 考点六： 证明两直线平行 19．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，若，，，，试说明． 20．（23-24七年级下·辽宁铁岭·期中）如图，已知，，，与平行吗？ 21．（24-25七年级上·山东淄博·阶段练习）如图，，，点、在上，且．与平行吗？请说明理由． 22．（22-23七年级下·山东济南·期末）如图所示，已知，，试说明：． 考点七： 补全两直线的证明过程 23．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在三角形中，点在上，于，于，．求证：．请将下列证明过程补充完整： 证明：∵，， ∴，（____________________） ∴ ∴（____________________） ∴（____________________） ∵ ∴__________ ∴__________（____________________） ∴ 24．（21-22七年级下·广东清远·期末）把下列的推理过程补充完整，并在括号里填上推理的依据： 如图，，，平分，试说明：． 解：因为平分， 所以　　　　　　 （             ）       又因为（ 已 知 ） ， 所以（等量代换） ． 所以　　　　　 （                         ）， 所以（                             ）． 又因为（ 已 知 ） ， 所以　　　　　　　　（             ）， 所以（                ） 25．（22-23七年级下·广东清远·期末）把下列的推理过程补充完整，并在括号里填上推理的依据： 如图，已知直线a，b，c，d，e，且 ，，试说明：． 解：因为， 所以　　　 　　　　　　　（       ） 又因为， 所以　　　　　　　　　　　 （        ） 所以（   　　　 ） 26．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，已知点分别在上，交于点G，交于点． (1)与平行吗？请说明理由． (2)试说明． 解：（1）．理由如下： 因为，（已知），（_______）， 所以_______（_______）， 所以______________（_______）． （2）因为（已知）， 所以_______（________）． 又因为，（已知） 所以______（_______）． 所以______________（_______）， 所以（_______）． 考点八： 利用平行线的性质求解 27．（24-25七年级上·重庆沙坪坝·阶段练习）如图，，，，则 ． 28．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，为了加固房屋，要在屋架上加一根横梁，使．如果， ． 29．（2024·江苏常州·一模）如图，直线，点A在直线a上，点C在直线b上，，若，则 ． 30．（22-23九年级下·吉林长春·自主招生）如图，直线，将一直角三角形的直角顶点置于直线b上，若，则等于 度． 考点九： 利用平行线的性质解决实际生活问题 31．（23-24七年级下·山西朔州·期末）如图，在一条公路的两侧铺设了两条平行管道和，如果管道与纵向联通管道的夹角，那么管道与纵向联通管道的夹角的度数等于 ． 32．（23-24七年级下·云南曲靖·期末）光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中射向空气时，会发生折射，由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图，，则的度数为 ． 33．（23-24七年级下·山东潍坊·期中）某小区地下停车场的限高栏杆如图所示，当栏杆抬起到最大高度时，若此时平行地面，则 度． 34．（23-24七年级下·广东清远·期中）为增强学生身体素质、感受中国的优秀传统文化，学校将国家级非物质文化遗产“抖空竹”引入阳光特色大课间．如图1是某同学“抖空竹”时的一个瞬间，小明把它抽象成如图2的数学问题：已知，，．则的度数为 ． 35．（23-24七年级下·全国·期中）如图①是一盏可以伸缩的台灯，它的优点是可以变化伸缩，找到合适的照明角度．图②是这盏台灯的示意图．已知台灯水平放置，当灯头与支架平行时可达到最佳照明角度，此时支架与水平线的夹角，两支架和的夹角． (1)求此时支架与底座的夹角的度数； (2)求此时灯头与水平线的夹角的度数． 考点十： 利用平行线间的距离解决问题 36．（23-24七年级下·江苏扬州·期中）小孙和小悟同学在探究四边形内作一条直线将它分成面积相等的两部分时，遇到了困难，于是两位同学想到了先从三角形研究起． 【问题思考】 （1）如图1，是的中线，试判断：_________（请填 “”、“”或“”）； （2）如图2，，试判断：_________（请填“”、“”或“”）； 【深入思考】有了这样思考问题的经历，于是小孙同学对探究四边形内作一条直线将它分成面积相等的两部分给出一种思路：如图3，小孙同学的辅助线：①连接对角线，②作交的延长线于；③取的中点，则直线为所求直线．小孙同学还尝试从理论上给予说明，请你帮助将说理过程补充完整： ∵， ∴_________（由问题2的结论得） ∴_________， 即_________， ∵是的中点， ∴_________（由问题1的结论得） ∴平分的面积，即平分四边形的面积． 【推广探究】小悟同学又给出另一种思路：如图4，小悟同学的辅助线：①连接对角线和；②取的中点，③连接、；④过点作的平行线与四边形的边交点于，则直线则为所求直线． 请你独立尝试完成小悟同学的说理过程． 37．（23-24八年级下·全国·课后作业）如图，在四边形中，，对角线，交于点O，若的面积为8，求的面积．    38．（23-24八年级下·全国·课后作业）如图，直线，A、B为直线n上两点，C、P为直线m上两点． (1)如果A、B、C为三个定点，点P在直线m上移动，那么无论点P移动到何位置，总有________与的面积相等．理由是____________________； (2)如果点P在如图所示的位置，请写出另外两对面积相等的三角形：____________________． 考点十一：利用平行线的性质与判定求角度 39．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，已知，，，求的度数． 40．（23-24七年级下·云南曲靖·阶段练习）如图，已知，点E在直线之间，连接． 【感知】如图1，若，则 ； 【探究】如图2，猜想和之间的数量关系，并说明理由： 【应用】如图3，若平分，将线段沿方向平移至，若，平分，求的度数． 41．（23-24七年级下·全国·单元测试）【阅读理解】 如图①，已知点是外一点，连接，求的度数． （1）请将下面推理过程补充完整； 解：如图①，过点作， 则________． 因为________________________， 所以． 【解题反思】从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决． 【方法运用】 （2）如图②，已知，试说明：． 【深化拓展】 （3）已知，点在点的右侧，，平分平分交于点，点在与两条平行线之间． ①如图③，若点在点的左侧，，求的度数． ②如图④，若点在点的右侧，，直接写出的度数． 考点十二：利用平行性的性质与判定证明 42．（21-22七年级下·山东济宁·期中）如图，，点E为两直线之间的一点． (1)如图1，若，，则_______； (2)如图2，试说明，； (3)如图3，若的平分线与的平分线相交于点F，判断与的数量关系，并说明理由． 43．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知：如图，，点B为上一点，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，点E为线段上一点，的角平分线与的角平分线相交于点H，请直接写出与的数量关系，不必写出证明过程； (3)如图3，在（2）的条件下，连接，且平分，延长交的延长线于点F，过点F作交线段于点G，平分交线段的延长线于点P，若，，求的度数． 44．（23-24七年级下·黑龙江鹤岗·期末）如图1，已知，求证：；小明想到了以下方法，请帮助他完成证明过程： 证明： (1)如图1，过点作，则___________．（        ） ， __________（            ） ____________（        ） 又， ． (2)如图2，，请写出的和并说明理由； (3)如图3，，请直接写出图3中的和． 1．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，直线a与直线b交于点A，与直线c交于点B，，若使直线b与直线c平行，则可将直线b绕点A逆时针旋转（   ） A． B． C． D． 2．（2024七年级上·全国·专题练习）若将一副三角板按如图所示的方式放置，则下列结论不正确的是（   ） A． B．若，则有 C．若，则有 D．若，必有 3．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，直线、被直线所截，平分交于点．下列条件中，不能判定的是（） A． B． C． D． 4．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，已知，则图中所有平行的直线是（   ）    A． B． C． D．， 5．（24-25七年级上·云南文山·期中）如图，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 6．（2024七年级上·全国·专题练习）如图所示，直线，则的度数为（   ） A． B． C． D． 7．（2024七年级上·全国·专题练习）把一张长方形的纸条按如图所示那样折叠后，若得到，则的度数是（    ） A． B． C． D．无法确定 8．（2024七年级上·全国·专题练习）有两个直角三角形纸板，一个含角，另一个含角，如图所示叠放，使，的度数为（    ） A． B． C． D． 9．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，，，则、、的关系为（   ） A． B． C． D． 10．（24-25七年级上·全国·课后作业）下列说法：①在同一平面内，若直线，，则；②在同一平面内，若直线，直线与相交，则直线与相交；③若直线与直线相交，直线与直线相交，则直线与直线相交；④过一点有且只有一条直线与已知直线平行，其中说法正确的是 ．（填序号） 11．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，已知：，．是否能证明出？ ．（填能或不能） 12．（2024九年级上·河南安阳·学业考试）将一副三角板按如图所示摆放，过点E作直线，过点F作直线，且．若，则 ． 13．（24-25八年级上·山东济南·阶段练习）如图，一束平行光线照射平面镜后反射，若入射光线与平面镜夹角，则反射光线与平面镜夹角的度数为 14．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，点分别在直线上，且，若在同一平面内存在一点O，使，则 ． 15．（22-23七年级下·贵州遵义·阶段练习）如图，已知， (1)求证：； (2)求． 16．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，点O在直线上，平分平分是上一点，连接． (1)判断与是否垂直，并说明理由； (2)若与互余，判断与是否平行，并说明理由． 17．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，，直线与交于点，与交于点，过点作射线，，求的度数． 18．（2024七年级上·全国·专题练习）（1）如图①，，则________； 如图②，，则________，请你说明理由； （2）如图③，，则________； （3）利用上述结论解决问题：如图④，，和的平分线相交于点F，，求的度数． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！20 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲 平行线的性质与判定 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1.理解与掌握平行线的性质与判定定理； 2.利用平行线的性质与判定定理求解. 平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，平行用符号“∥”表示.如图，直线AB与CD平行，记作;AB∥CD，读作：AB平行于CD. 【补充说明】 1）平行线必在同一平面内，分别在两个平面内的两条直线，即使不相交，也可以不平行，因此“在同一平面内”是平行线存在的前提条件. 2）平行线指的是“两条直线”而不是两条射线或线段，今后遇到线段、射线平行时，特指线段、射线所在的直线平行. 平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行. 平行公理的前提条件：经过直线外一点. 平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也相互平行. 【拓展】 1）平行线具有传递性：若多条直线都与同一条直线平行，则这多条直线也相互平行. 2）在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线相互平行，即在同一平面内，若a⊥b，b⊥c，则a∥c. 平行线的判定 判定方法1 判定方法2 判定方法3 两条直线平行的判定 同位角相等，两直线平行 内错角相等，两直线平行 同旁内角互补，两直线平行 图示 符号语言 ∵∠1＝∠2∴AB∥CD ∵∠1＝∠2∴AB∥CD ∵∠1+∠2=180°∴AB∥CD 平行线的性质： 性质1 性质2 性质3 两条直线平行的性质 两直线平行，同位角相等 两直线平行，内错角相等 两直线平行，同旁内角互补 图示 符号语言 ∵AB∥CD∴∠1＝∠2 ∵AB∥CD∴∠1＝∠2 ∵AB∥CD∴∠1+∠2=180° 【注意】在两直线平行的前提下才存在同位角相等、内错角相等、同旁内角互补的结论.这是平行线特有的性质不要一提同位角或内错角就认为它们相等，一提同旁内角就认为互补，若没有两直线平行的条件，这些是不成立的. 【总结】从角的关系得到两直线平行，是平行线的判定；从平行线得到角相等或互补关系，是平行线的性质. 平行线之间的距离：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离叫做这两条平行线之间的距离. 性质：1）夹在两条平行线间的平行线段处处相等； 2）平行线间的距离处处相等. 考点一： 平面内两直线的位置关系 1．（24-25七年级上·全国·课后作业）在同一平面内有三条不同的直线，若，则a与b的位置关系为（   ） A．相交但不垂直 B．垂直 C．平行 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题主要考查垂直的定义，熟练掌握垂直的定义是解题关键．根据在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，即可得出结果． 【详解】在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行． ， 故选：C． 2．（23-24七年级下·山东淄博·期中）在同一平面内，有12条互不重合的直线，，，，若， ，，，…，依此类推，则与的位置关系是 ．（填“平行”或“垂直”） 【答案】平行 【分析】本题考查了平行线的性质，灵活运用“在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行”是解决此类问题的关键．如果一条直线垂直于两平行线中的一条，那么它与另一条一定也垂直．再根据“在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行”，可知与的位置关系是平行． 【详解】解：∵， ，，… ∴，，…， ∴， ∵， ∴， 故答案为∶平行． 3．（23-24七年级下·黑龙江绥化·阶段练习）设a，b，l为平面内三条不同直线．①若，，则l与b的位置关系是 ；②若，，则a与b的位置关系是 ；③若，，则l与b的位置关系是 ． 【答案】 垂直 平行 平行 【分析】本题考查平行线的判定．利用平行线的性质，可求解①；在同一平面内，如果两条直线同时垂直于同一条直线，那么这两条直线平行可求解②；由平行于同一条直线的两条直线互相平行，可求解③． 【详解】解：①如图，∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴l与b的位置关系是垂直； ②若，，则a与b的位置关系是平行； ③若，，则l与b的位置关系是平行． 故答案为：垂直；平行；平行． 4．（22-23七年级下·全国·课后作业）在同一平面内，直线与满足下列条件，把它们的位置关系填在后面的横线上． （1）若与没有公共点，则与 ； （2）若与有且只有一个公共点，则与 ； （3）若与有两个公共点，则与 ． 【答案】 互相平行 相交 重合 考点二： 用直尺、三角尺画平行线 5．（23-24七年级下·四川成都·期末）下列各图中的直线，用推三角尺的方法验证，其中的有 （填序号）． 【答案】①②③ 【分析】本题考查的是用三角板和直尺判定判定平行线，将三角板的一条边靠在直线上，用直尺靠在三角板的另一条边上，固定直尺不动，推动三角板即可判定． 【详解】解：将三角板的一条边靠在直线上，用直尺靠在三角板的另一条边上，固定直尺不动，推动三角板，可判定三个图形中的有①②③， 故答案为：①②③． 6．（23-24七年级下·河北邢台·阶段练习）已知直线以及直线外一点P，如图1，图2、图3的作图结果可以说明的基本事实是 ；其依据是 ． 【答案】 经过已知直线外一点，有且只有一条直线和已知直线平行 同位角相等，两直线平行 【分析】本题考查的是画平行线，平行线的判定，根据画平行线的方法可得答案． 【详解】解：直线以及直线外一点P，如图1，图2、图3的作图结果可以说明的基本事实是经过已知直线外一点，有且只有一条直线和已知直线平行；其依据是同位角相等，两直线平行； 故答案为：经过已知直线外一点，有且只有一条直线和已知直线平行；同位角相等，两直线平行； 7．（23-24七年级上·江苏连云港·期末）如图，已知直线和直线外一点，我们可以用直尺和三角尺，过点画已知直线的平行线．下面的操作步骤：①沿直尺上移三角尺使三角尺一边经过点；②用直尺紧靠三角尺的另一边；③沿三角尺的边作出直线；④用三角尺的一边紧贴住直线；正确的操作顺序是： ．（填序号）    【答案】④②①③ 【分析】本题考查的是画平行线，根据“用直尺和三角板过直线外一点画已知直线的平行线的操作步骤”即可作答； 【详解】解：正确的步骤是： ④用三角尺的一边贴住直线a； ②用直尺紧靠三角尺的另一边； ①沿直尺上移三角尺使三角尺一边经过点P； ③沿三角尺的边作出直线b； 故答案为：④②①③； 考点三： 平行公理推论的应用 8．（23-24七年级下·北京朝阳·阶段练习）如图是一个可折叠的衣架，是地平线，当时，；时，，就可确定点N、P、M在同一条直线上的依据是 【答案】过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行 【分析】本题考查平行线的判定，平行公理，根据平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行进行判断即可，掌握经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行是解题关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行， ∴点N，P，M在同一条直线上， 故答案为：过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行． 9．（23-24七年级下·广东深圳·期末）如图1，杆秤是中国最古老也是现今人们仍然在使用的衡量工具，它利用杠杆原理来称物体的质量，由木制的带有秤星的秤杆、金属秤砣、提绳等组成．如图2，是杆秤的示意图，，，经测量发现，则的度数是 度． 【答案】74 【分析】本题考查邻补角的定义，平行公理的推论，平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．先根据邻补角的定义求出，再根据平行公理的推论得出，最后平行线的性质得到，即可求解． 【详解】解：∵， ∴ ∵，， ∴ ∴ 故答案为：74． 10．（23-24七年级下·陕西西安·期末）如图，已知直线，将一块直角三角板按如图所示方式放置，若，则 ． 【答案】/34度 【分析】本题考查了平行线的性质，平行公理的推论，角的和差等相关知识，作，则，则，然后根据平行线的性质和角度和差即可求解，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 【详解】如图，作，则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 11．（23-24七年级下·河南商丘·期中）如图是一款长臂折叠护眼灯示意图，与桌面垂直，当发光的灯管恰好与桌面平行时，，，则的度数为 ．    【答案】/100度 【分析】本题考查平行线的判定和性质．解题的关键是过拐点构造平行线．过点作，过点作，根据平行线的性质和垂直的定义，进行求解即可． 【详解】解：过点作，过点作，则    ∴,, ∵，，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 考点四： 根据已知条件判定两直线能否平行 12．（2024七年级上·全国·专题练习）学习情境·推理论证如图所示，下列推理中正确的有（   ） ①，； ②，； ③，； ④，． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题主要考查平行线的判定，熟练掌握平行线的判定是解题的关键．根据平行线的判定可进行求解． 【详解】解：①∵， ∴，故错误； ②∵， ∴，故错误； ③∵， ∴，故错误； ④∵， ，故正确． 故选：A． 13．（2024七年级上·全国·专题练习）如图所示，下列条件不能判定直线的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定条件是解题的关键．根据两直线平行同旁内角互补，同位角、内错角相等逐项判断即可． 【详解】解：A、和不是同位角，也不是内错角，所以不能判断，故A选项符合题意； B、和是内错角，根据内错角相等，两直线平行，所以能判断，故B选项不符合题意； C、和是同旁内角，所以能判断，故C选项不符合题意； D、和是同位角，所以能判断，故D选项不符合题意； 故选：A． 14．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，有以下四个条件：①；②；③；④．其中能判定的序号是（   ） A．①② B．②③ C．①②③ D．①③④ 【答案】D 【分析】此题考查了平行线的判定．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用，弄清截线与被截线．根据平行线的判定定理求解，即可求得答案． 【详解】解：①∵， ∴（同旁内角互补两直线平行）； ②∵， ∴（内错角相等两直线平行）； ③∵， ∴（内错角相等两直线平行）； ④∵， ∴（同位角相等两直线平行）； ∴能得到的条件是①③④． 故选：D． 考点五： 添加一个条件使两直线平行 15．（23-24七年级下·湖北荆门·期中）如图，B，D分别在上，添加条件， 即可判定．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了平行线的判定．根据平行线的判定定理，即可求解． 【详解】解：添加，理由： ∵， ∴（同位角相等，两直线平行）． 故答案为：（答案不唯一） 16．（24-25八年级上·陕西汉中·阶段练习）如图，已知，点，分别在射线，上，点为内一点，连接，，不添加辅助线，请添加一个条件使得，则可添加为 ．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了平行线的判定，解答本题的关键是熟练掌握平行线的判定定理．平行线判定方法有：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．据此可得结论． 【详解】解：添加利用同位角相等，两直线平行判定； 添加利用内错角相等，两直线平行判定； 添加利用同旁内角互补，两直线平行判定． 故答案为：(答案不唯一)· 17．（23-24七年级下·北京·期中）如图，点E在的延长线上，请添加一个恰当的条件 ，使． 【答案】 (答案不唯一) 【分析】本题考查了平行线的判定．熟练掌握平行线的判定是解题的关键． 根据平行线的判定求解作答即可． 【详解】解：由题意知，∵， ∴， 故答案为：（答案不唯一）． 18．（23-24七年级下·云南昭通·期末）如图，要使“直线”，需要添加的条件是 （只填一个即可） 【答案】（或或） 【分析】本题考查平行线的判定，关键是掌握平行线的判定方法．由平行线的判定，即可得到答案． 【详解】解：要使直线，则需要添加的条件可以为，也可以为，也可以为， 故答案为：（或或）． 考点六： 证明两直线平行 19．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，若，，，，试说明． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查同旁内角互补、平行公理判断两直线平行，由可得，又由可得，则． 【详解】解：，，，， ， ， ∵， ∴， ． 20．（23-24七年级下·辽宁铁岭·期中）如图，已知，，，与平行吗？ 【答案】，理由见解析 【分析】本题考查了平行线的判定，垂直的定义，得到是解题的关键．由，得到，继而，即可求证． 【详解】解：，理由如下， 证明，∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 21．（24-25七年级上·山东淄博·阶段练习）如图，，，点、在上，且．与平行吗？请说明理由． 【答案】，理由见解析 【分析】本题考查的知识点是平行线的性质与判定、全等三角形的判定与性质，解题关键是熟练掌握全等三角形的判定方法． 先根据平行线的性质推得，再推得即可根据“边角边”证明，根据全等三角形性质可得，结合点、在上，推得即可证明． 【详解】解：，理由如下： ， ， ， ， 即， 在和中， ， ， ， 又点、在上， ， 即， ． 22．（22-23七年级下·山东济南·期末）如图所示，已知，，试说明：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解题的关键．利用，，，等量代换得出，即可判定． 【详解】证明：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴（内错角相等，两直线平行）． 考点七： 补全两直线的证明过程 23．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在三角形中，点在上，于，于，．求证：．请将下列证明过程补充完整： 证明：∵，， ∴，（____________________） ∴ ∴（____________________） ∴（____________________） ∵ ∴__________ ∴__________（____________________） ∴ 【答案】垂直的定义；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；；；内错角相等，两直线平行 【分析】本题考查平行线的判定和性质，根据垂直的定义得，推出，根据平行线的性质得，继而得到，，再根据平行线的性质即可得证．掌握平行线的判定和性质是解题的关键． 【详解】证明：∵，， ∴，，（垂直的定义） ∴， ∴，（同位角相等，两直线平行） ∴，（两直线平行，同位角相等） ∵， ∴， ∴，（内错角相等，两直线平行） ∴． 故答案为：垂直的定义；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；；；内错角相等，两直线平行． 24．（21-22七年级下·广东清远·期末）把下列的推理过程补充完整，并在括号里填上推理的依据： 如图，，，平分，试说明：． 解：因为平分， 所以　　　　　　 （             ）       又因为（ 已 知 ） ， 所以（等量代换） ． 所以　　　　　 （                         ）， 所以（                             ）． 又因为（ 已 知 ） ， 所以　　　　　　　　（             ）， 所以（                ） 【答案】，角平分线的定义；；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；；同角的补角相等；同位角相等，两直线平行 【分析】本题考查的是平行线的判定和性质，根据题意、结合图形，根据平行线的判定定理和性质定理解答即可． 【详解】解：因为平分， 所以∠1=∠2（角平分线的定义），       又因为（ 已 知 ） ， 所以（等量代换） ． 所以（内错角相等，两直线平行）， 所以（ 两直线平行，同旁内角互补）． 又因为（ 已 知 ） ， 所以（同角的补角相等）， 所以（ 同位角相等，两直线平行）， 故答案为：，角平分线的定义；；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；；同角的补角相等；同位角相等，两直线平行． 25．（22-23七年级下·广东清远·期末）把下列的推理过程补充完整，并在括号里填上推理的依据： 如图，已知直线a，b，c，d，e，且 ，，试说明：． 解：因为， 所以　　　 　　　　　　　（       ） 又因为， 所以　　　　　　　　　　　 （        ） 所以（   　　　 ） 【答案】；内错角相等，两直线平行；；同旁内角互补，两直线平行；如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 【分析】本题考查平行线的判定和性质以及平行公理．根据平行线的性质得出，，即可推出答案． 【详解】解：∵， ∴ (内错角相等，两直线平行)， ∵， ∴ (同旁内角互补，两直线平行)， ∴ (如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行)， 故答案为：；内错角相等，两直线平行；；同旁内角互补，两直线平行；如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． 26．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，已知点分别在上，交于点G，交于点． (1)与平行吗？请说明理由． (2)试说明． 解：（1）．理由如下： 因为，（已知），（_______）， 所以_______（_______）， 所以______________（_______）． （2）因为（已知）， 所以_______（________）． 又因为，（已知） 所以______（_______）． 所以______________（_______）， 所以（_______）． 【答案】(1)．理由见解析 (2)见解析 【分析】此题考查了平行线的性质和判定，解题的关键是掌握平行线的性质和判定． （1）首先根据对顶角相等得到，然后等量代换根据同位角相等两直线平行证明即可； （2）首先得到，推出，然后证明出，即可得到． 【详解】（1）解：（1）．理由如下： 因为（已知），（对顶角相等）， 所以（等量代换）， 所以（同位角相等，两直线平行）； （2）因为（已知）， 所以（两直线平行，同位角相等）． 又因为（已知）， 所以（等量代换）， 所以（内错角相等，两直线平行）， 所以（两直线平行，内错角相等）． 考点八： 利用平行线的性质求解 27．（24-25七年级上·重庆沙坪坝·阶段练习）如图，，，，则 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，邻补角，先过点作，分别得，，再根据邻补角互补列式计算，即可作答． 【详解】解：过点作，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 28．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，为了加固房屋，要在屋架上加一根横梁，使．如果， ． 【答案】 【分析】本题考查的是平行线的性质，即两直线平行，同位角相等．直接根据平行线的性质进行解答即可． 【详解】解： ， ， 故答案为： 29．（2024·江苏常州·一模）如图，直线，点A在直线a上，点C在直线b上，，若，则 ． 【答案】46 【分析】本题考查了平行线的判定与性质、垂直的定义，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键． 过点B作射线，再根据，得出，，再根据即可求解． 【详解】解：过点B作射线，如图所示， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：46． 30．（22-23九年级下·吉林长春·自主招生）如图，直线，将一直角三角形的直角顶点置于直线b上，若，则等于 度． 【答案】114 【分析】本题主要考查平行线的性质，由平行线的性质得,又，即可得. 【详解】解：如图， ∵， ∴ ∵ ∴. 故答案为：. 考点九： 利用平行线的性质解决实际生活问题 31．（23-24七年级下·山西朔州·期末）如图，在一条公路的两侧铺设了两条平行管道和，如果管道与纵向联通管道的夹角，那么管道与纵向联通管道的夹角的度数等于 ． 【答案】/80度 【分析】本题考查平行线的性质的应用，根据平行线的性质，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴； 故答案为：． 32．（23-24七年级下·云南曲靖·期末）光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中射向空气时，会发生折射，由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图，，则的度数为 ． 【答案】/122度 【分析】本题考查了平行线的性质，根据两直线平行同位角相等得出，再由两直线平行同旁内角互补即可得出答案． 【详解】解：如图： ∵水中的两条光线平行，， ∴， ∵水面和杯底互相平行， ∴， ∵， 故答案为：． 33．（23-24七年级下·山东潍坊·期中）某小区地下停车场的限高栏杆如图所示，当栏杆抬起到最大高度时，若此时平行地面，则 度． 【答案】150 【分析】本题主要考查了平行线的性质，熟练应用平行线的性质进行求解是解决本题的关键．过点B作，可得，进而得到，由即可得出答案． 【详解】解：过点B作，如图， ∵平行地面， ∴， ∵， ∴ ∵， ， ， ∴， ∴， 故答案为：150． 34．（23-24七年级下·广东清远·期中）为增强学生身体素质、感受中国的优秀传统文化，学校将国家级非物质文化遗产“抖空竹”引入阳光特色大课间．如图1是某同学“抖空竹”时的一个瞬间，小明把它抽象成如图2的数学问题：已知，，．则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题主要考查了平行线的性质应用，三角形的外角的性质；直接利用平行线的性质得出，进而利用三角形的外角得出答案； 【详解】如图所示：延长交于点， ，， ， ， ， ， ．    故答案为：． 35．（23-24七年级下·全国·期中）如图①是一盏可以伸缩的台灯，它的优点是可以变化伸缩，找到合适的照明角度．图②是这盏台灯的示意图．已知台灯水平放置，当灯头与支架平行时可达到最佳照明角度，此时支架与水平线的夹角，两支架和的夹角． (1)求此时支架与底座的夹角的度数； (2)求此时灯头与水平线的夹角的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了平行线的性质，熟记平行线的性质定理是解题的关键． （1）过点作，根据平行线的性质求解即可； （2）根据平行线的性质及角的和差求解即可． 【详解】（1）解：如图，过点作， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）， ， ， ， ， ． 考点十： 利用平行线间的距离解决问题 36．（23-24七年级下·江苏扬州·期中）小孙和小悟同学在探究四边形内作一条直线将它分成面积相等的两部分时，遇到了困难，于是两位同学想到了先从三角形研究起． 【问题思考】 （1）如图1，是的中线，试判断：_________（请填 “”、“”或“”）； （2）如图2，，试判断：_________（请填“”、“”或“”）； 【深入思考】有了这样思考问题的经历，于是小孙同学对探究四边形内作一条直线将它分成面积相等的两部分给出一种思路：如图3，小孙同学的辅助线：①连接对角线，②作交的延长线于；③取的中点，则直线为所求直线．小孙同学还尝试从理论上给予说明，请你帮助将说理过程补充完整： ∵， ∴_________（由问题2的结论得） ∴_________， 即_________， ∵是的中点， ∴_________（由问题1的结论得） ∴平分的面积，即平分四边形的面积． 【推广探究】小悟同学又给出另一种思路：如图4，小悟同学的辅助线：①连接对角线和；②取的中点，③连接、；④过点作的平行线与四边形的边交点于，则直线则为所求直线． 请你独立尝试完成小悟同学的说理过程． 【答案】【问题思考】，；【深入思考】；；；；【推广探究】证明见解析 【分析】本题考查三角形中线的性质、平行线的性质及三角形的面积， 【问题思考】（1）根据三角形中线的性质及三角形的面积可得结论； （2）根据平行线的性质及三角形的面积可得结论； 【深入思考】根据问题思考的结论即可得证； 【推广探究】根据问题思考的结论即可得证； 理解并掌握问题思考的结论并灵活运用是解题的关键． 【问题思考】解：（1）∵是的中线， ∴， ∴和等底同高， ∴， 故答案为：； （2）∵， ∴和同底同高， ∴， 故答案为：； 【深入思考】证明：∵， ∴（由问题2的结论得） ∴， 即， ∵是的中点， ∴（由问题1的结论得） ∴平分的面积，即平分四边形的面积； 【推广探究】证明：∵点是的中点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ， ∴， ∴直线平分四边形的面积， 则直线即为所求直线． 37．（23-24八年级下·全国·课后作业）如图，在四边形中，，对角线，交于点O，若的面积为8，求的面积．    【答案】8 【分析】本题考查平行线间距离相等，三角形面积公式．根据题意过点B，C分别作的垂线，交直线于点E，F，可得，继而得到，再减去公共部分三角形即，即可得到答案． 【详解】解：过点B，C分别作的垂线，交直线于点E，F，    ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 38．（23-24八年级下·全国·课后作业）如图，直线，A、B为直线n上两点，C、P为直线m上两点． (1)如果A、B、C为三个定点，点P在直线m上移动，那么无论点P移动到何位置，总有________与的面积相等．理由是____________________； (2)如果点P在如图所示的位置，请写出另外两对面积相等的三角形：____________________． 【答案】(1)，同底等高的两个三角形的面积相等 (2)与，与 【分析】本题主要考查了三角形的面积、平行线之间的距离等知识点，掌握“平行线间的距离相等”和“同底等高的三角形的面积相等”是解题的关键． （1）利用“平行线间的距离相等”和“同底等高的三角形的面积相等”即可解答； （2）利用“平行线间的距离相等”和“同底等高的三角形的面积相等”即可解答． 【详解】（1）解：∵直线，, ∴点P和点C到直线n的距离相等． 又∵在和中，， ∴（同底等高的两个三角形的面积相等）． 故答案为：，同底等高的两个三角形的面积相等． （2）解：设直线m和n之间的距离为h ∵, ∴． ∴,即． 故答案为：与，与． 考点十一：利用平行线的性质与判定求角度 39．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，已知，，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了利用平行线的性质求角的度数，过点E作，则，由平行线的性质可得，，代入数据计算即可得解． 【详解】解：如答图，过点E作， ∵， ∴， ∴，． ∵，， ∴，， ． 40．（23-24七年级下·云南曲靖·阶段练习）如图，已知，点E在直线之间，连接． 【感知】如图1，若，则 ； 【探究】如图2，猜想和之间的数量关系，并说明理由： 【应用】如图3，若平分，将线段沿方向平移至，若，平分，求的度数． 【答案】感知：；探究：，理由见解析；应用： 【分析】本题主要考查了平移的性质，平行线的性质与判定，角平分线的定义： 感知：过点E作，由平行线的性质得出，证出，由平行线的性质得出，据此可得，再代值计算即可； 探究：仿照感知方法求解即可； 应用：由平移的性质得到，再由角平分线的定义得到，，根据探究的结论证明 证明，再根据，可得结论． 【详解】解：感知：如图所示，过点E作， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：； 探究：，理由如下： 如图所示，过点E作， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴； 应用：由平移的性质可得， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∵， ∴． 41．（23-24七年级下·全国·单元测试）【阅读理解】 如图①，已知点是外一点，连接，求的度数． （1）请将下面推理过程补充完整； 解：如图①，过点作， 则________． 因为________________________， 所以． 【解题反思】从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决． 【方法运用】 （2）如图②，已知，试说明：． 【深化拓展】 （3）已知，点在点的右侧，，平分平分交于点，点在与两条平行线之间． ①如图③，若点在点的左侧，，求的度数． ②如图④，若点在点的右侧，，直接写出的度数． 【答案】[阅读理解]（1） [方法运用]（2）证明过程见详解 [深化拓展]（3）①；② 【分析】本题主要考查平行线的性质，角平分线的性质，角的和差计算方法， [阅读理解]（1）根据平行线的性质可得，结合平角的性质即可求解； [方法运用]（2）如图所示，过点作，可得，根据平行线的性质可得，由此即可求解； [深化拓展]（3）①如图所示，过点作，可得，根据平行线的性质可得，再根据角平分线的性质即可求解； ②如图所示，过点作，同理可得，，根据平行线，角平分线的性质即可求解． 【详解】解：[阅读理解]（1）如图所示，过点作，则， ∵， ∴， 故答案为：； [方法运用]（2）如图2所示，过点作， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； [深化拓展]（3）①如图3所示，过点作， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分，平分，， ∴， ∴； ②如图4所示，过点作， 同理可得，， ∴， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴． 考点十二：利用平行性的性质与判定证明 42．（21-22七年级下·山东济宁·期中）如图，，点E为两直线之间的一点． (1)如图1，若，，则_______； (2)如图2，试说明，； (3)如图3，若的平分线与的平分线相交于点F，判断与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)； (2)见解析； (3)，理由见解析． 【分析】本题考查平行线的判定及性质，解题的关键是掌握平行线的性质，利用平行线的性质探索角之间的关系． （1）过点E作直线，利用平行线的性质证明，，即可得到； （2）过点E作，利用平行线的性质证明，，即可证明，即； （3）由（1）可得，再证明，由（2）可知，，即可证明． 【详解】（1）解：过点E作直线， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴． （2）解：如图所示，过点E作， ， ， ，， ， 即． （3）解：①，理由如下： 由（1）可得， 平分，平分， ，， ， 由（2）可知，， ． 43．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知：如图，，点B为上一点，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，点E为线段上一点，的角平分线与的角平分线相交于点H，请直接写出与的数量关系，不必写出证明过程； (3)如图3，在（2）的条件下，连接，且平分，延长交的延长线于点F，过点F作交线段于点G，平分交线段的延长线于点P，若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 (3) 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义，垂线的定义等知识点，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键． （1）由平行线的性质得到，再根据，等量代换推出，即可证明结论； （2）分别过点作的平行线，设，利用平行线的性质分别表示出，即可得出结论； （3）设，则，根据角平分线的定义结合平行线的性质求出，，根据，求出，过点P作，过点H作，求出，，根据，求出，即可解答． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： 如图：分别过点作的平行线， ∵，， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴； （3）解：设，则， ∵平分， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴，，， ∴， 如图，过点P作，过点H作， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 44．（23-24七年级下·黑龙江鹤岗·期末）如图1，已知，求证：；小明想到了以下方法，请帮助他完成证明过程： 证明： (1)如图1，过点作，则___________．（        ） ， __________（            ） ____________（        ） 又， ． (2)如图2，，请写出的和并说明理由； (3)如图3，，请直接写出图3中的和． 【答案】(1)；两直线平行，内错角相等；；平行于同一直线的两条直线平行；；两直线平行，内错角相等 (2)，理由见解析 (3) 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，平行公理的应用，正确的添加辅助线是解题的关键． （1）如图1，过点作，则，证明，可得，再结合角的和差运算可得答案； （2）过点作，证明，可得，结合，从而可得答案； （3）过点分别作，可得，再利用角的和差关系可得结论． 【详解】（1）证明：如图1，过点作，则（两直线平行，内错角相等）， ， （平行于同一直线的两条直线平行）． （两直线平行，内错角相等）． 又， ； 故答案为：；两直线平行，内错角相等；；平行于同一直线的两条直线平行；；两直线平行，内错角相等； （2）解：， 理由如下： 过点作， ， （平行于同一直线的两直线互相平行）， （两直线平行，同旁内角互补）， 又， ； （3）解：如图：过点分别作，而， ， ， ． 1．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，直线a与直线b交于点A，与直线c交于点B，，若使直线b与直线c平行，则可将直线b绕点A逆时针旋转（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的判定，先根据邻补角的定义得到，根据平行线的性质，由此得到直线b绕点A逆时针旋转． 【详解】解：如图，当直线b与直线c平行时，直线b与直线夹角锐角是， ， 的邻补角为， 当直线b与直线c平行时，， 直线b绕点A逆时针旋转． 故选：A． 2．（2024七年级上·全国·专题练习）若将一副三角板按如图所示的方式放置，则下列结论不正确的是（   ） A． B．若，则有 C．若，则有 D．若，必有 【答案】C 【分析】本题主要考查平行线判定与性质、余角和补角，根据两种三角板的各角的度数，利用平行线的判定与性质结合已知条件对各个结论逐一验证，即可得出答案． 【详解】解：A、∵， ∴， ∴，正确，不符合题意． B、∵， ∴， ∵， ∴， ∴，正确，不符合题意． C、∵， ∴， ∵， ∴不平行于，原来的结论错误，符合题意． D、由可得，正确，不符合题意． 故选：C． 3．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，直线、被直线所截，平分交于点．下列条件中，不能判定的是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行线的判定及角平分线的定义，解题时注意：平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．根据平行线的判定及角平分线的定义进行判断即可． 【详解】解：A．根据内错角相等，两直线平行，由可得，故本选项不符合题意； B．∵平分交于点． ， ∵， ， 根据内错角相等，两直线平行，由可得，故本选项不符合题意； C．∵，， ∴， 根据同位角相等，两直线平行，由可得，故本选项不符合题意； D．不能得出，故本选项符合题意． 故选：D． 4．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，已知，则图中所有平行的直线是（   ）    A． B． C． D．， 【答案】D 【分析】本题考查的是平行线的判定，根据内错角相等两直线平行直接证明结论即可． 【详解】解：， ∴， ∴， ， ． 故选：D． 5．（24-25七年级上·云南文山·期中）如图，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平行线的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 根据，得到，再结合三角形内角和为，即可求解． 【详解】解： ， ， ， ， ． 故选：D． 6．（2024七年级上·全国·专题练习）如图所示，直线，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质求角度，根据得到，再根据平角定义结合进行求解即可． 【详解】解：如图， ， ，， ， 故选：C． 7．（2024七年级上·全国·专题练习）把一张长方形的纸条按如图所示那样折叠后，若得到，则的度数是（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】本题主要考查了折叠的性质、平行线的性质等知识点，掌握折叠的性质成为解题的关键． 根据折叠的性质可得，再根据平行线的性质求解即可． 【详解】解：∵一张长方形的纸条按如图所示那样折叠后得到， ∴， ∵， ∴． 故选A． 8．（2024七年级上·全国·专题练习）有两个直角三角形纸板，一个含角，另一个含角，如图所示叠放，使，的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质以及三角形的内角和定理，设交于点，由题意得，推出即可求解； 【详解】解：设交于点， 由题意得, ∵， ． 故选：C． 9．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，，，则、、的关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是平行线的判定与性质，根据题意作出辅助线是解答此题的关键．分别过点作，利用平行线的性质建立角之间的关系即可解答． 【详解】解：分别过点作， ， ， ， ， ， ． 故选：D． 10．（24-25七年级上·全国·课后作业）下列说法：①在同一平面内，若直线，，则；②在同一平面内，若直线，直线与相交，则直线与相交；③若直线与直线相交，直线与直线相交，则直线与直线相交；④过一点有且只有一条直线与已知直线平行，其中说法正确的是 ．（填序号） 【答案】①②/②① 【分析】本题考查平行线的性质和判定、相交线．利用同一个平面内，两条直线的位置关系依次对各选项进行判断即可．掌握平行线的性质和判定是解题的关键． 【详解】解：①在同一平面内，若直线，，则；故此说法正确； ②在同一平面内，若直线，直线与相交，则直线与相交，故此说法正确； ③若直线与直线相交，直线与直线相交，则直线与直线也有可能平行，故此说法错误； ④过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行，故此说法错误． ∴说法正确的是①②． 故答案为：①②． 11．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，已知：，．是否能证明出？ ．（填能或不能） 【答案】能 【分析】本题考查了平行线的判定，同角的补角相等，先由“同角的补角相等”可得，由然后根据同位角相等，两直线平行即可得证，熟记平行线的判定是解题的关键． 【详解】解：能 理由： ∵，， ∴， 又， ∴， ∴， 故答案为：能. 12．（2024九年级上·河南安阳·学业考试）将一副三角板按如图所示摆放，过点E作直线，过点F作直线，且．若，则 ． 【答案】45 【分析】本题主要考查平等线的判定与性质，根据题意得，再证明，由平行线的性质可得结论． 【详解】解：如图， 由题意得 ， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：45． 13．（24-25八年级上·山东济南·阶段练习）如图，一束平行光线照射平面镜后反射，若入射光线与平面镜夹角，则反射光线与平面镜夹角的度数为 【答案】/50度 【分析】本题考查平行线的性质，由平行线的性质推出，由反射定律得到，因此． 【详解】解：∵入射光线是平行光线， ∴， 由反射定律得：， ∴． 故答案为：． 14．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，点分别在直线上，且，若在同一平面内存在一点O，使，则 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了平行线的性质，解决问题的关键是作平行线，利用平行线的性质以及角的和差关系进行计算．分两种情况：点O在和之间，点在上方，过O作，依据平行线的性质，即可得到的度数． 【详解】解：分两种情况： 当点O在和之间时， 过点O作，如图①，则， ； 当点O在上方时， 过点O作，如答图②，则 ．           图①                     图② 15．（22-23七年级下·贵州遵义·阶段练习）如图，已知， (1)求证：； (2)求． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，掌握平行线的判定与性质是关键； （1）及，得，由平行线的判定即可证明； （2）由及已知得，即可得，从而有，由已知即可求解． 【详解】（1）证明：， ． ； （2）解：， ， ， ． ． ． ， ． 16．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，点O在直线上，平分平分是上一点，连接． (1)判断与是否垂直，并说明理由； (2)若与互余，判断与是否平行，并说明理由． 【答案】(1)，见解析； (2)，见解析 【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的判定，解题的关键是： （1）利用角平分线的定义结合平角的性质即可证明； （2）利用，结合已知求得，根据“内错角相等，两直线平行”即可证明． 【详解】（1）解：， 证明：平分，平分， ，， ， ； （2）证明：， ， 与互余， ， ， ． 17．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，，直线与交于点，与交于点，过点作射线，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，根据平行线的性质求出的度数，根据平角定义可求出的度数，然后结合垂直定义和角的和差关系求解即可． 【详解】解：，， ， ． 又， ， ． 18．（2024七年级上·全国·专题练习）（1）如图①，，则________； 如图②，，则________，请你说明理由； （2）如图③，，则________； （3）利用上述结论解决问题：如图④，，和的平分线相交于点F，，求的度数． 【答案】（1），，见解析；（2）；（3） 【分析】本题考查的是平行线的判定与性质，平行公理的应用，角平分线的定义； （1）直接由两直线平行，同旁内角互补可得图①答案；如图，过点作，证明，再利用平行线的性质可得图②的答案； （2）如图，过点作，证明，再结合（1）的结论可得答案； （3）过作．证明，可得．求解，再结合角平分线的定义可得答案． 【详解】解：（1）  ，理由如下： 理由：∵， ∴． 如图，过点作． ， ， ， ． （2）如图，过点作． ， ， ∴， 结合（1）的结论可得：， ∴； （3）如图，过作． ， ， ． ， ． 平分，平分， ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$