专题8.2单项式乘多项式（1大考点+8大题型+强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年七年级数学下册同步学与练（苏科版）

专题8.2单项式乘多项式（1大考点+7大题型+强化训练） 1.会描述单项式乘多项式运算的算理，并能熟练进行单项式乘多项式的运算 2.体会乘法分配律的作用和转化的思想，发展合理思考问题的能力及语言表达能力. 3.体会探索单项式乘多项式运算法则的过程，感悟数与形的关系，知道使用符号可以进行运算和推理，得到的结论具有一般性. 知识点01 单项式与多项式相乘 1.法则：单项式与多项式相乘，先用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加 即m（a+b+c)=ma+mb+mc. 2.注意： (1)一般情况下，单项式与多项式相乘的结果仍是多项式，其项数与因式中多项式的项数相同，通常将这个多项式按某一字母的降幂（或升幂)进行排列。 (2)计算时要注意符号问题，多项式中每一项都包括它前面的符号，根据去括号法则，积的符号由单项式的符号与多项式的项的符号共同决定 (3)对于混合运算，要注意运算顺序，同时要注意运算结果中若有同类项要合并同类项，从而得出最简结果 （4）利用单项式乘多项式的法则，将单项式与多项式中的每一项相乘，但应注意多项式中的常数项，不能漏乘， 【即学即练】 1．计算x（x﹣3）的依据是（　　） A．乘法交换律 B．加法结合律 C．乘法分配律 D．加法分配律 2．计算（﹣3m2）（﹣2m+1）的正确结果是（　　） A．6m3+1 B．6m3﹣3 C．6m3﹣3m2 D．﹣6m3+3m2 3．已知x2﹣2x+1＝0，则代数式x（x﹣2）+3的值为（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 4．计算：﹣2x•（x2﹣x+1）＝　 　． 5．计算： （1） 　 　． （2） 　 　． 6．计算： （1）4xy（3x2+2xy﹣1）； （2）（﹣5x2y）（xy﹣xy2+3）； （3）a3﹣2a[2a2﹣3a（2a+2）]． 7．①3a（2a﹣1） ②（x2﹣2y）（xy2）3 ③（a2b2）（a2+ab﹣0.6b2） ④12ab[2a（a﹣b）b] ⑤（﹣a）3•（﹣2ab2）3﹣4ab2（7a5b4ab3﹣5） 题型一、单项式乘多项式法则 1．计算﹣2x（x2﹣y）正确的是（　　） A．﹣2x3﹣y B．﹣2x3﹣2xy C．2x3﹣2xy D．﹣2x3+2xy 2．计算2x（3x2+1），正确的结果是（　　） A．5x3+2x B．6x3+1 C．6x3+2x D．6x2+2x 3．计算（﹣2a3+3a2﹣4a）（﹣5a5）等于（　　） A．10a15﹣15a10+20a5 B．﹣7a8﹣2a7﹣9a6 C．10a8+15a7﹣20a6 D．10a8﹣15a7+20a6 4．计算：•ab＝　 　． 5．如果m2+m＝5，那么代数式m（m﹣2）+（m+2）2的值为（　　） A．14 B．9 C．﹣1 D．﹣6 题型二、单项式乘多项式法则的计算 6．计算： （1）； （2）3x（x2﹣2x﹣1）﹣2x2（x﹣2）． 7．计算： （1）； （2）a（a+2b）﹣2b（a+b）； （3）2m2﹣n（5m﹣n）﹣m（2m﹣5n）； （4）﹣5x2（﹣2xy）2﹣x2（7x2y2﹣2x）． 8．计算： （1）5m（m﹣n+2）； （2）（﹣2x）•（3x2﹣4x﹣2）； （3）（3x2+xy﹣y2）•3x2； （4）2a（﹣2abab2）． 题型三、单项式乘多项式法则求值问题 9．已知x2﹣4x﹣1＝0，则代数式x（x﹣4）+1的值为（　　） A．2 B．1 C．0 D．﹣1 10．已知ab2＝﹣1，则﹣ab（a2b5﹣ab3﹣b）的值等于（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．无法确定 11．先化简，再求值：（x﹣2y）2﹣x（x+3y）﹣4y2，其中x＝﹣4，y． 12．先化简，再求值：3a（2a2﹣4a+3）﹣2a2（3a+4），其中a＝﹣2． 题型四、单项式乘多项式法则看错算错问题 13．今天数学课上，老师讲了单项式乘以多项式，放学回到家，小明拿出课堂笔记复习，发现一道题：﹣3xy（4y﹣2x﹣1）＝﹣12xy2+6x2y+□，□的地方被钢笔水弄污了，你认为□内应填写（　　） A．3xy B．﹣3xy C．﹣1 D．1 14．某同学在计算﹣3x2乘一个多项式时错误的计算成了加法，得到的答案是x2﹣x+1，由此可以推断正确的计算结果是（　　） A．4x2﹣x+1 B．x2﹣x+1 C．﹣12x4+3x3﹣3x2 D．无法确定 15．某同学在计算一个多项式乘以﹣3x2时，因抄错运算符号，算成了加上﹣3x2，得到的结果是x2﹣4x+1，那么正确的计算结果是多少？ 16．老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了一个多项式，形式如下： ×（xy）＝3x2y﹣xy2xy （1）求所捂的多项式； （2）若x，y，求所捂多项式的值． 题型五、单项式乘多项式法则字母含参问题 17．要使（x2+ax+1）•（﹣6x3）的展开式中不含x4项，则a＝　 　． 18．要使﹣x3（x2+ax+1）+2x4中不含有x的四次项，则a等于（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 19．一个长方体的长、宽、高分别3a﹣4，2a，a，它的体积等于（　　） A．3a3﹣4a2 B．a2 C．6a3﹣8a2 D．6a2﹣8a 题型六、单项式乘多项式法则应用问题 20．通过计算几何图形的面积可表示一些代数恒等式，如图可表示的代数恒等式是（　　） A．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 B．2a（a+b）＝2a2+2ab C．（a+b）2＝a2+2ab+b2 D．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 21．通过计算几何图形的面积可表示一些代数恒等式（一定成立的等式），请根据图写出一个代数恒等式是：　 　． 22．一块长方形硬纸片，长为（5a2+4b2）米、宽为6a2米，在它的四个角上分别剪去一个边长为a2米的小正方形，然后折成一个无盖的盒子． （1）这个盒子的长为 　 　，宽为 　 　，高为 　 　； （2）求这个无盖盒子的外表面积． 题型七、单项式乘多项式的新定义问题 23．定义三角表示3abc，方框表示xz+wy，则×的结果为（　　） A．72m2n﹣45mn2 B．72m2n+45mn2 C．24m2n﹣15mn2 D．24m2n+15mn2 24．定义：若A﹣B＝1，则称A与B是关于1的单位数． （1）3与 　 　是关于1的单位数，x﹣3与 　 　是关于1的单位数．（填一个含x的式子） （2）若A＝3x（x+2）﹣1，，判断A与B是不是关于1的单位数，并说明理由． 一．选择题（共10小题） 1．（2024秋•礼县期末）下列运算正确的是（　　） A．﹣a8÷a3＝﹣a5 B．x2⋅x3＝x6 C．（﹣2a）3＝8a3 D．2x（x﹣y）＝2x﹣2xy 2．（2024秋•潜江月考）下列运算错误的是（　　） A．m2•m3＝m5 B．﹣x2+2x2＝x2 C．（﹣a3b）2＝a6b2 D．﹣2x（x﹣y）＝﹣2x2﹣2xy 3．（2024秋•思明区校级期中）若a2﹣2a﹣2＝3，则3a（a﹣2）的值为（　　） A．3 B．5 C．9 D．15 4．（2023秋•衡阳期末）若计算（x2+ax+5）•（﹣2x）﹣6x2的结果中不含有x2项，则a的值为（　　） A．﹣3 B． C．0 D．3 5．（2024秋•邓州市期中）数学课上，老师讲了单项式乘以多项式．放学回到家，小明拿出课堂笔记复习，发现一道题：﹣3xy（7y﹣5x﹣1）＝﹣21xy2+15x2y■，■的地方被钢笔水弄污了，你认为■内应填写（　　） A．3xy B．﹣3xy C．﹣1 D．1 6．（2024秋•柘城县期中）给出一种运算：a⊗b＝（a+b）b，如2⊗3＝（2+3）×3＝15，若方程2⊗x＝k的一个根为3，则另一个根为（　　） A．5 B．﹣5 C．10 D．﹣10 7．（2024秋•商水县期中）要使（﹣x）（x2﹣mx+2x）的展开式中不含x2的项，则m的值是（　　） A．﹣2 B．0 C．2 D．3 8．（2024秋•通州区期中）计算的结果是（　　） A．3m2n+mn2 B． C． D． 9．（2024秋•中山区期中）李老师做了个长方形教具，其中一边长为a+2b，另一边长为b，则该长方形的面积为（　　） A．a+3b B．2a+6b C．ab+2b D．ab+2b2 10．（2024秋•南阳月考）已知A＝x2+3x﹣a，B＝﹣x，C＝x3+3x2+5，若A•B+C的值与x的取值无关，当x＝﹣4时，A的值为（　　） A．0 B．4 C．﹣4 D．2 二．填空题（共6小题） 11．（2024秋•嘉定区校级期中）（﹣x3）2﹣x4（2x2﹣x+1）＝ 　 　． 12．（2024秋•内江期中）若a2+3a＝2，则代数式5a（a+3）﹣2的值是　 　． 13．（2024秋•仁寿县期中）若﹣5x3（x2+ax）+5x4+2的结果中不含x4项，则a＝　 　． 14．（2024秋•长宁区校级期中）计算： 　 　． 15．（2024秋•龙亭区校级期中）已知关于多项式（a﹣3）x2+（4+b）x﹣3y2+5的值与x无关，则（a+b）2024的值为　 　． 16．（2023秋•任城区校级月考）阅读材料回答问题：已知多项式2x3﹣x2+m有一个因式是2x+1，求m的值． 解法：设2x3﹣x2+m＝A（2x+1）（A为整式） ∵上式为恒等式， ∴当x时，， 即． 解得：m． 若多项式x4+mx2+nx﹣16含有因式（x﹣1）和（x﹣2），则mn＝　 　． 三．解答题（共7小题） 17．（2023秋•昆明期末）计算： （1）（﹣2x）×（3x﹣1）； （2）（12a3﹣6a2+3a）÷3a． 18．计算： （1）（2x2）3﹣6x3（x3+2x2+x）； （2）﹣2x2y（3xy2﹣2y2z）； （3）（a）•（a2a）； （4）（4a﹣b）•（﹣2b）2． 19．计算： （1）（﹣2xy）（3x2﹣2xy﹣4y2）； （2）（m2nmn+1）•（﹣6m3n）； （3）（﹣3x2y）2•（﹣4xy2﹣5y3﹣6x+1）； （4）﹣3a（2a﹣5）﹣2a（1﹣3a）． 20．（2024秋•武冈市期中）已知（2a﹣4）x2+（b+3）xy﹣（b﹣3）x+（2a+4）y﹣7是关于x、y的多项式，若该多项式不含二次项，试求3a+3b的值． 21．（2023秋•南昌期末）老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了一个多项式，形式如下： ×（xy）＝3x2y﹣xy2xy （1）求所捂的多项式； （2）若x，y，求所捂多项式的值． 22．（2024秋•铁西区期中）某学校计划利用一片空地为学生建一个矩形车棚，为了方便学生取车，施工单位决定在车棚内修建几条等宽的小路，其余部分停放自行车，已知矩形车棚的宽为x米，长为米，小路的宽为2米，求停放自行车的面积． 23．（2024春•青龙县期末）某居民小组在进行美丽乡村建设中，规划将一长为5a米、宽为2b米的长方形场地打造成居民健身场所，如图所示，具体规划为：在这个场地一角分割出一块长为（3a+1）米，宽为b米的长方形场地建篮球场，其余的地方安装各种健身器材，其中用作篮球场的地面铺设塑胶地面，用于安装健身器材的区域建水泥地面． （1）用含a、b的式子表示篮球场地的面积S1和安装健身器材区域的地面面积S2； （2）当a＝9米，b＝15米时，分别求出篮球场地的面积和安装健身器材区域的地面面积； （3）在（2）的条件下，如果铺设塑胶地面每平方米需100元，铺设水泥地面每平方米需50元，求建设该居民健身场所所需的地面总费用M（元）． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题8.2单项式乘多项式（1大考点+7大题型+强化训练） 1.会描述单项式乘多项式运算的算理，并能熟练进行单项式乘多项式的运算 2.体会乘法分配律的作用和转化的思想，发展合理思考问题的能力及语言表达能力. 3.体会探索单项式乘多项式运算法则的过程，感悟数与形的关系，知道使用符号可以进行运算和推理，得到的结论具有一般性. 知识点01 单项式与多项式相乘 1.法则：单项式与多项式相乘，先用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加 即m（a+b+c)=ma+mb+mc. 2.注意： (1)一般情况下，单项式与多项式相乘的结果仍是多项式，其项数与因式中多项式的项数相同，通常将这个多项式按某一字母的降幂（或升幂)进行排列。 (2)计算时要注意符号问题，多项式中每一项都包括它前面的符号，根据去括号法则，积的符号由单项式的符号与多项式的项的符号共同决定 (3)对于混合运算，要注意运算顺序，同时要注意运算结果中若有同类项要合并同类项，从而得出最简结果 （4）利用单项式乘多项式的法则，将单项式与多项式中的每一项相乘，但应注意多项式中的常数项，不能漏乘， 【即学即练】 1．计算x（x﹣3）的依据是（　　） A．乘法交换律 B．加法结合律 C．乘法分配律 D．加法分配律 【分析】利用单项式乘多项式的法则进行分析即可． 【详解】解：x（x﹣3）＝x2﹣3x（利用乘法的分配律）． 故选：C． 2．计算（﹣3m2）（﹣2m+1）的正确结果是（　　） A．6m3+1 B．6m3﹣3 C．6m3﹣3m2 D．﹣6m3+3m2 【分析】利用单项式乘多项式的法则进行运算即可． 【详解】解：（﹣3m2）（﹣2m+1） ＝（﹣3m2）（﹣2m）+（﹣3m2）×1 ＝6m3﹣3m2． 故选：C． 3．已知x2﹣2x+1＝0，则代数式x（x﹣2）+3的值为（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【分析】由x2﹣2x+1＝0，得x2﹣2x＝﹣1，再代入x（x﹣2）+3＝x2﹣2x+3＝﹣1+3＝2． 【详解】解：∵x2﹣2x+1＝0， ∴x2﹣2x＝﹣1． ∴x（x﹣2）+3＝x2﹣2x+3＝﹣1+3＝2． 故选：C． 4．计算：﹣2x•（x2﹣x+1）＝　﹣2x3+2x2﹣2x　． 【分析】根据单项式乘多项式的运算法则进行详解即可． 【详解】解：﹣2x•（x2﹣x+1）＝﹣2x3+2x2﹣2x． 故答案为：﹣2x3+2x2﹣2x． 5．计算： （1） 　﹣2a3b6　． （2） 　　． 【分析】（1）根据单项式乘单项式法则和同底数幂相乘法则进行计算即可； （2）根据单项式乘多项式法则、单项式乘单项式法则和同底数幂相乘法则进行计算即可． 【详解】解：（1）原式 ＝﹣2a3b6， 故答案为：﹣2a3b6； （2）原式 ， 故答案为：． 6．计算： （1）4xy（3x2+2xy﹣1）； （2）（﹣5x2y）（xy﹣xy2+3）； （3）a3﹣2a[2a2﹣3a（2a+2）]． 【分析】（1）．（2）单项式与多项式相乘，用单项式的每一项分别去乘多项式的每一项，然后将所得的积相加即可； （3）结合单项式乘多项式的法则先去小括号，再去中括号，最后合并同类项即可求解． 【详解】解：（1）4xy（3x2+2xy﹣1） ＝4xy•3x2+4xy•2xy﹣4xy ＝12x3y+8x2y2﹣4xy； （2）（﹣5x2y）（xy﹣xy2+3） ＝（﹣5x2y）•xy﹣（﹣5x2y）•xy2+（﹣5x2y）×3 ＝﹣3x3y2+5x3y3﹣15x2y； （3）a3﹣2a[2a2﹣3a（2a+2）] ＝a3﹣2a（2a2﹣6a2﹣6a） ＝a3﹣4a3+12a3+12a2 ＝9a3+12a2． 7．①3a（2a﹣1） ②（x2﹣2y）（xy2）3 ③（a2b2）（a2+ab﹣0.6b2） ④12ab[2a（a﹣b）b] ⑤（﹣a）3•（﹣2ab2）3﹣4ab2（7a5b4ab3﹣5） 【分析】单项式与多项式相乘的运算法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加． 【详解】解：①原式＝6a2﹣3a； ②原式＝（x2﹣2y）（x3y6）＝x5y6﹣2x3y7； ③原式＝2a4b2a3b3a2b4； ④原式＝12ab（b）＝33a2b﹣ab2； ⑤原式＝8a6b6﹣28a6b6﹣2a2b5+20ab2＝﹣20a6b6﹣2a2b5+20ab2． 题型一、单项式乘多项式法则 1．计算﹣2x（x2﹣y）正确的是（　　） A．﹣2x3﹣y B．﹣2x3﹣2xy C．2x3﹣2xy D．﹣2x3+2xy 【分析】根据单项式乘多项式的运算法则计算即可． 【详解】解：﹣2x（x2﹣y）＝﹣2x3+2xy， 故选：D． 2．计算2x（3x2+1），正确的结果是（　　） A．5x3+2x B．6x3+1 C．6x3+2x D．6x2+2x 【分析】原式利用单项式乘以多项式法则计算即可得到结果． 【详解】解：原式＝6x3+2x， 故选：C． 3．计算（﹣2a3+3a2﹣4a）（﹣5a5）等于（　　） A．10a15﹣15a10+20a5 B．﹣7a8﹣2a7﹣9a6 C．10a8+15a7﹣20a6 D．10a8﹣15a7+20a6 【分析】根据单项式乘以多项式的法则，单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，单项式乘以单项式的法则，系数与系数相乘，相同字母与相同字母相乘，对于只在一个单项式里出现的字母，则连同它的指数作为积的一个因式，计算即可． 【详解】解：（﹣2a3+3a2﹣4a）（﹣5a5）＝10a8﹣15a7+20a6． 故选：D． 4．计算：•ab＝　a2b3﹣a2b2　． 【分析】利用单项式乘多项式的计算方法直接计算出结果即可． 【详解】解：•ab ab2•ab﹣2ab•ab a2b3﹣a2b2． 故答案为：a2b3﹣a2b2． 5．如果m2+m＝5，那么代数式m（m﹣2）+（m+2）2的值为（　　） A．14 B．9 C．﹣1 D．﹣6 【分析】直接利用单项式乘多项式计算，再把已知代入得出答案． 【详解】解：m（m﹣2）+（m+2）2 ＝m2﹣2m+m2+4m+4 ＝2m2+2m+4． 当m2+m＝5时，原式＝2（m2+m）+4＝2×5+4＝10+4＝14． 故选：A． 题型二、单项式乘多项式法则的计算 6．计算： （1）； （2）3x（x2﹣2x﹣1）﹣2x2（x﹣2）． 【分析】单项式与多项式相乘的运算法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加． 【详解】解：（1） x3y2x2y3xy； （2）3x（x2﹣2x﹣1）﹣2x2（x﹣2） ＝3x3﹣6x2﹣3x﹣2x3+4x2 ＝x3﹣2x2﹣3x． 7．计算： （1）； （2）a（a+2b）﹣2b（a+b）； （3）2m2﹣n（5m﹣n）﹣m（2m﹣5n）； （4）﹣5x2（﹣2xy）2﹣x2（7x2y2﹣2x）． 【分析】（1）先根据积的乘方和单项式乘多项式法则即可求出答案． （2）根据单项式乘多项式法则即可求出答案． （3）根据单项式乘多项式法则以及整式的加减运算法则即可求出答案． （4）先根据积的乘方、单项式乘多项式法则以及整式的加减运算法则即可求出答案． 【详解】解：（1）原式＝4x2（x2x+1） ＝4x4﹣2x3+4x2． （2）原式＝a2+2ab﹣2ab﹣2b2 ＝a2﹣2b2． （3）原式＝2m2﹣5mn+n2﹣2m2+5mn ＝n2． （4）原式＝﹣5x2•4x2y2﹣7x4y2+2x3 ＝﹣20x4y2﹣7x4y2+2x3 ＝﹣27x4y2+2x3． 8．计算： （1）5m（m﹣n+2）； （2）（﹣2x）•（3x2﹣4x﹣2）； （3）（3x2+xy﹣y2）•3x2； （4）2a（﹣2abab2）． 【分析】（1）利用单项式乘多项式的法则进行运算即可； （2）利用单项式乘多项式的法则进行运算即可； （3）利用单项式乘多项式的法则进行运算即可； （4）利用单项式乘多项式的法则进行运算即可． 【详解】解：（1）5m（m﹣n+2） ＝5m•m﹣5m•n+5m×2 ＝5m2﹣5mn+10m； （2）（﹣2x）•（3x2﹣4x﹣2） ＝（﹣2x）•3x2﹣（﹣2x）•4x﹣（﹣2x）×2 ＝﹣6x3+8x2+4x； （3）（3x2+xy﹣y2）•3x2 ＝3x2•3x2+xy•3x2﹣y2•3x2 ＝9x4+3x3y﹣3x2y2； （4）2a（﹣2abab2） ＝2a•（﹣2ab）+2a•ab2 ＝﹣4a2ba2b2． 题型三、单项式乘多项式法则求值问题 9．已知x2﹣4x﹣1＝0，则代数式x（x﹣4）+1的值为（　　） A．2 B．1 C．0 D．﹣1 【分析】由条件可得x2﹣4x＝1，再把代数式x（x﹣4）+1展开计算可得答案． 【详解】解：∵x2﹣4x﹣1＝0， ∴x2﹣4x＝1， x（x﹣4）+1＝x2﹣4x+1＝1+1＝2， 故选：A． 10．已知ab2＝﹣1，则﹣ab（a2b5﹣ab3﹣b）的值等于（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．无法确定 【分析】原式利用单项式乘以多项式法则计算，变形后将已知等式代入计算即可求出值． 【详解】解：∵ab2＝﹣1， ∴原式＝﹣（ab2）3+（ab2）2+ab2＝1+1﹣1＝1， 故选：C． 11．先化简，再求值：（x﹣2y）2﹣x（x+3y）﹣4y2，其中x＝﹣4，y． 【分析】根据完全平方公式、单项式乘多项式的法则把原式进行化简，代入已知数据计算即可． 【详解】解：原式＝x2﹣4xy+4y2﹣x2﹣3xy﹣4y2 ＝﹣7xy， 当x＝﹣4，y时，原式＝﹣7×（﹣4）14． 12．先化简，再求值：3a（2a2﹣4a+3）﹣2a2（3a+4），其中a＝﹣2． 【分析】首先根据单项式与多项式相乘的法则去掉括号，然后合并同类项，最后代入已知的数值计算即可． 【详解】解：3a（2a2﹣4a+3）﹣2a2（3a+4） ＝6a3﹣12a2+9a﹣6a3﹣8a2 ＝﹣20a2+9a， 当a＝﹣2时，原式＝﹣20×4﹣9×2＝﹣98． 题型四、单项式乘多项式法则看错算错问题 13．今天数学课上，老师讲了单项式乘以多项式，放学回到家，小明拿出课堂笔记复习，发现一道题：﹣3xy（4y﹣2x﹣1）＝﹣12xy2+6x2y+□，□的地方被钢笔水弄污了，你认为□内应填写（　　） A．3xy B．﹣3xy C．﹣1 D．1 【分析】先把等式左边的式子根据单项式与多项式相乘，先用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加，所得结果与等式右边的式子相对照即可得出结论． 【详解】解：∵左边＝﹣3xy（4y﹣2x﹣1） ＝﹣12xy2+6x2y+3xy． 右边＝﹣12xy2+6x2y+□， ∴□内上应填写3xy． 故选：A． 14．某同学在计算﹣3x2乘一个多项式时错误的计算成了加法，得到的答案是x2﹣x+1，由此可以推断正确的计算结果是（　　） A．4x2﹣x+1 B．x2﹣x+1 C．﹣12x4+3x3﹣3x2 D．无法确定 【分析】根据整式的减法法则求出多项式，根据单项式与多项式相乘的运算法则计算，得到答案． 【详解】解：x2﹣x+1﹣（﹣3x2）＝x2﹣x+1+3x2＝4x2﹣x+1， ﹣3x2•（4x2﹣x+1）＝﹣12x4+3x3﹣3x2， 故选：C． 15．某同学在计算一个多项式乘以﹣3x2时，因抄错运算符号，算成了加上﹣3x2，得到的结果是x2﹣4x+1，那么正确的计算结果是多少？ 【分析】用错误结果减去已知多项式，得出原式，再乘以﹣3x2得出正确结果． 【详解】解：这个多项式是（x2﹣4x+1）﹣（﹣3x2）＝4x2﹣4x+1， 正确的计算结果是：（4x2﹣4x+1）•（﹣3x2）＝﹣12x4+12x3﹣3x2． 16．老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了一个多项式，形式如下： ×（xy）＝3x2y﹣xy2xy （1）求所捂的多项式； （2）若x，y，求所捂多项式的值． 【分析】（1）设多项式为A，则A＝（3x2y﹣xy2xy）÷（xy）计算即可． （2）把x，y代入多项式求值即可． 【详解】解：（1）设多项式为A， 则A＝（3x2y﹣xy2xy）÷（xy）＝﹣6x+2y﹣1． （2）∵x，y， ∴原式＝﹣621＝﹣4+1﹣1＝﹣4． 题型五、单项式乘多项式法则字母含参问题 17．要使（x2+ax+1）•（﹣6x3）的展开式中不含x4项，则a＝　0　． 【分析】根据单项式与多项式相乘的法则展开，然后让x4项的系数等于0，列式求解即可． 【详解】解：（x2+ax+1）•（﹣6x3）＝﹣6x5﹣6ax4﹣6x3， ∵展开式中不含x4项， ∴﹣6a＝0， 解得a＝0． 故答案为：0． 18．要使﹣x3（x2+ax+1）+2x4中不含有x的四次项，则a等于（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】先利用多项式乘以单项式法则及合并同类项法则进行运算，再根据不含x的四次项，确定a的值． 【详解】解：原式＝﹣x5﹣ax4﹣x3+2x4 ＝﹣x5+（2﹣a）x4﹣x3 ∵﹣x3（x2+ax+1）+2x4中不含有x的四次项， ∴2﹣a＝0， 解得，a＝2． 故选：B． 题型六、单项式乘多项式法则应用问题 19．一个长方体的长、宽、高分别3a﹣4，2a，a，它的体积等于（　　） A．3a3﹣4a2 B．a2 C．6a3﹣8a2 D．6a2﹣8a 【分析】根据长方体的体积＝长×宽×高，列出算式，再根据单项式乘多项式的运算法则计算即可． 【详解】解：由题意知，V长方体＝（3a﹣4）•2a•a＝6a3﹣8a2． 故选：C． 20．通过计算几何图形的面积可表示一些代数恒等式，如图可表示的代数恒等式是（　　） A．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 B．2a（a+b）＝2a2+2ab C．（a+b）2＝a2+2ab+b2 D．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 【分析】由题意知，长方形的面积等于长2a乘以宽（a+b），面积也等于四个小图形的面积之和，从而建立两种算法的等量关系． 【详解】解：长方形的面积等于：2a（a+b）， 也等于四个小图形的面积之和：a2+a2+ab+ab＝2a2+2ab， 即2a（a+b）＝2a2+2ab． 故选：B． 21．通过计算几何图形的面积可表示一些代数恒等式（一定成立的等式），请根据图写出一个代数恒等式是：　2a（a+b）＝2a2+2ab　． 【分析】由题意知，长方形的面积等于长2a乘以宽（a+b），面积也等于四个小图形的面积之和，从而建立两种算法的等量关系． 【详解】解：长方形的面积等于：2a（a+b）， 也等于四个小图形的面积之和：a2+a2+ab+ab＝2a2+2ab， 即2a（a+b）＝2a2+2ab． 故答案为：2a（a+b）＝2a2+2ab 22．一块长方形硬纸片，长为（5a2+4b2）米、宽为6a2米，在它的四个角上分别剪去一个边长为a2米的小正方形，然后折成一个无盖的盒子． （1）这个盒子的长为 　（2a2+4b2）米　，宽为 　3a2米　，高为 　a2米　； （2）求这个无盖盒子的外表面积． 【分析】（1）盒子的长＝长方形的长﹣小正方形边长的2倍，盒子的宽＝长方形的宽﹣小正方形边长的2倍，盒子的高＝小正方形边长； （2）利用纸片的面积减去剪去的4个小正方形的面积就是盒子的表面积． 【详解】解：（1）盒子的长为： （5a2+4b2）﹣2a2＝5a2+4b2﹣3a2＝（2a2+4b2）米； 盒子的宽为： 6a2﹣2a2＝6a2﹣3a2＝3a2米； 盒子的高为：a2米． 故答案为：（2a2+4b2）米，3a2米，a2米； （2）纸片的面积是：（5a2+4b2）•6a2＝（30a4+24a2b2）平方米； 小正方形的面积是：（a2）2a4平方米； 则无盖盒子的外表面积是：（30a4+24a2b2）﹣4a4＝（21a4+24a2b2）平方米． 题型七、单项式乘多项式的新定义问题 23．定义三角表示3abc，方框表示xz+wy，则×的结果为（　　） A．72m2n﹣45mn2 B．72m2n+45mn2 C．24m2n﹣15mn2 D．24m2n+15mn2 【分析】根据题意理解三角和方框表示的意义，然后即可求出要求的结果． 【详解】解：根据题意得：原式＝9mn×（8m+5n）＝72m2n+45mn2． 故选：B． 24．定义：若A﹣B＝1，则称A与B是关于1的单位数． （1）3与 　2或4　是关于1的单位数，x﹣3与 　x﹣4　是关于1的单位数．（填一个含x的式子） （2）若A＝3x（x+2）﹣1，，判断A与B是不是关于1的单位数，并说明理由． 【分析】（1）根据关于1的单位数的定义，计算和确定3与x﹣3的单位数； （2）计算A﹣B，根据关于1的单位数的定义判断． 【详解】解：（1）因为3﹣2＝1，4﹣3＝1， 所以3与2或4与3是关于1的单位数． 设x﹣3与M是关于1的单位数， 即x﹣3﹣M＝1，或M﹣（x﹣3）＝1 所以M＝x﹣4或M＝x﹣2． 故答案为：2或4；x﹣4． （2）A与B是关于1的单位数． 理由：∵A﹣B＝3x（x+2）﹣1﹣2（x2+3x﹣1） ＝3x2+6x﹣1﹣3x2﹣6x+2 ＝1 ∴A与B是关于1的单位数． 一．选择题（共10小题） 1．（2024秋•礼县期末）下列运算正确的是（　　） A．﹣a8÷a3＝﹣a5 B．x2⋅x3＝x6 C．（﹣2a）3＝8a3 D．2x（x﹣y）＝2x﹣2xy 【分析】利用单项式多项式的法则，同底数幂的除法的法则，同底数幂的乘法的法则，积的乘方的法则对各项进行运算即可． 【解答】解：A、﹣a8÷a3＝﹣a5，故A符合题意； B、x2⋅x3＝x5，故B不符合题意； C、（﹣2a）3＝﹣8a3，故C不符合题意； D、2x（x﹣y）＝2x2﹣2xy，故D不符合题意； 故选：A． 2．（2024秋•潜江月考）下列运算错误的是（　　） A．m2•m3＝m5 B．﹣x2+2x2＝x2 C．（﹣a3b）2＝a6b2 D．﹣2x（x﹣y）＝﹣2x2﹣2xy 【分析】根据相关计算法则分解计算出每个选项中式子的结果即可得到答案． 【解答】解：A、m2•m3＝m2+3＝m5，计算正确，不符合题意； B、﹣x2+2x2＝x2，计算正确，不符合题意； C、（﹣a3b）2＝a2×3b2＝a6b2，计算正确，不符合题意； D、﹣2x（x﹣y）＝﹣2x2+2xy，计算错误，符合题意． 故选：D． 3．（2024秋•思明区校级期中）若a2﹣2a﹣2＝3，则3a（a﹣2）的值为（　　） A．3 B．5 C．9 D．15 【分析】首先把3a（a﹣2）化成3（a2﹣2a﹣2）+6，然后把a2﹣2a﹣2＝3代入化简后的算式计算即可． 【解答】解：∵a2﹣2a﹣2＝3， ∴3a（a﹣2） ＝3a2﹣6a ＝3（a2﹣2a﹣2）+6 ＝3×3+6 ＝9+6 ＝15． 故选：D． 4．（2023秋•衡阳期末）若计算（x2+ax+5）•（﹣2x）﹣6x2的结果中不含有x2项，则a的值为（　　） A．﹣3 B． C．0 D．3 【分析】首先将（x2+ax+5）•（﹣2x）﹣6x2展开，合并同类项得﹣2x3+（﹣2a﹣6）x2﹣10x；接下来根据结果中不含有x2项可得﹣2a﹣6＝0，至此，就能求出a的值了． 【解答】解：原式＝﹣2x3﹣2ax2﹣10x﹣6x2 ＝﹣2x3+（﹣2a﹣6）x2﹣10x， ∵结果中不含有x2项， ∴﹣2a﹣6＝0， ∴a＝﹣3． 故选：A． 5．（2024秋•邓州市期中）数学课上，老师讲了单项式乘以多项式．放学回到家，小明拿出课堂笔记复习，发现一道题：﹣3xy（7y﹣5x﹣1）＝﹣21xy2+15x2y■，■的地方被钢笔水弄污了，你认为■内应填写（　　） A．3xy B．﹣3xy C．﹣1 D．1 【分析】根据单项式乘多项式运算法则进行运算判断即可． 【解答】解：﹣3xy（7y﹣5x﹣1）＝﹣21xy2+15x2y+3xy， 故■内应填写3xy． 故选：A． 6．（2024秋•柘城县期中）给出一种运算：a⊗b＝（a+b）b，如2⊗3＝（2+3）×3＝15，若方程2⊗x＝k的一个根为3，则另一个根为（　　） A．5 B．﹣5 C．10 D．﹣10 【分析】根据新运算的法则，列出一元二次方程，根据根与系数的关系求出另一个根即可． 【解答】解：由题意可知x2+2x﹣k＝0， 设方程的另一个根为m，则：m+3＝﹣2， ∴m＝﹣5， ∴方程的另一个根为﹣5． 故选：B． 7．（2024秋•商水县期中）要使（﹣x）（x2﹣mx+2x）的展开式中不含x2的项，则m的值是（　　） A．﹣2 B．0 C．2 D．3 【分析】先把多项式合并，然后令x2项系数等于0，再解方程即可． 【解答】解：∵多项式（﹣x）（x2﹣mx+2x）＝﹣x3+（m﹣2）x2不含x2项， ∴m﹣2＝0， 解得m＝2． 故选：C． 8．（2024秋•通州区期中）计算的结果是（　　） A．3m2n+mn2 B． C． D． 【分析】根据单项式乘多项式的运算法则计算即可． 【解答】解： ． 故选：C． 9．（2024秋•中山区期中）李老师做了个长方形教具，其中一边长为a+2b，另一边长为b，则该长方形的面积为（　　） A．a+3b B．2a+6b C．ab+2b D．ab+2b2 【分析】根据单项式乘多项式法则求解即可． 【解答】解：长方形的面积为＝b（a+2b）＝ab+2b2． 故选：D． 10．（2024秋•南阳月考）已知A＝x2+3x﹣a，B＝﹣x，C＝x3+3x2+5，若A•B+C的值与x的取值无关，当x＝﹣4时，A的值为（　　） A．0 B．4 C．﹣4 D．2 【分析】首先根据多项式乘多项式的方法，求出A•B的值是多少，然后用它加上C，求出A•B+C的值是多少，最后根据A•B+C的值与x的取值无关，可得x的系数是0，据此求出a的值，最后代入求值即可． 【解答】解：∵A＝x2+3x﹣a，B＝﹣x，C＝x3+3x2+5， ∴A•B+C ＝（x2+3x﹣a）（﹣x）+（x3+3x2+5） ＝﹣x3﹣3x2+ax+x3+3x2+5 ＝ax+5， ∵A•B+C的值与x的取值无关， ∴a＝0， ∴A＝x2+3x﹣a＝x2+3x， 当x＝﹣4时，A＝（﹣4）2+3×（﹣4）＝4， 故选：B． 二．填空题（共6小题） 11．（2024秋•嘉定区校级期中）（﹣x3）2﹣x4（2x2﹣x+1）＝ 　﹣x6+x5﹣x4　． 【分析】根据积的乘方法则、单项式乘多项式的运算法则计算，再合并同类项即可． 【解答】解：（﹣x3）2﹣x4（2x2﹣x+1） ＝x6﹣2x6+x5﹣x4 ＝﹣x6+x5﹣x4， 故答案为：﹣x6+x5﹣x4． 12．（2024秋•内江期中）若a2+3a＝2，则代数式5a（a+3）﹣2的值是　8　． 【分析】根据5a（a+3）﹣2＝5（a2+3a）﹣2进行求解即可． 【解答】解：∵a2+3a＝2， ∴5a（a+3）﹣2 ＝5（a2+3a）﹣2 ＝5×2﹣2 ＝10﹣2 ＝8， 故答案为：8． 13．（2024秋•仁寿县期中）若﹣5x3（x2+ax）+5x4+2的结果中不含x4项，则a＝　1　． 【分析】先利用单项式乘多项式的法则计算，根据结果中不含x4项即可确定出a的值． 【解答】解：原式＝﹣5x5﹣5ax4+5x4+2 ＝﹣5x5+（5﹣5a）x4+2， ∵不含x4项， ∴5﹣5a＝0， 解得a＝1， 故答案为：1． 14．（2024秋•长宁区校级期中）计算： 　4x4y﹣6x3y2+3x2y3　． 【分析】根据单项式乘多项式、单项式乘单项式的运算法则计算即可． 【解答】解： ＝4x4y﹣6x3y2+3x2y3， 故答案为：4x4y﹣6x3y2+3x2y3． 15．（2024秋•龙亭区校级期中）已知关于多项式（a﹣3）x2+（4+b）x﹣3y2+5的值与x无关，则（a+b）2024的值为　1　． 【分析】根据多项式的定义、乘方的运算法则即可得解． 【解答】解：由条件可知：a﹣3＝0，4+b＝0， ∴a＝3，b＝﹣4， ∴（a+b）2024＝（3﹣4）2024＝（﹣1）2024＝1， 故答案为：1． 16．（2023秋•任城区校级月考）阅读材料回答问题：已知多项式2x3﹣x2+m有一个因式是2x+1，求m的值． 解法：设2x3﹣x2+m＝A（2x+1）（A为整式） ∵上式为恒等式， ∴当x时，， 即． 解得：m． 若多项式x4+mx2+nx﹣16含有因式（x﹣1）和（x﹣2），则mn＝　﹣450．　． 【分析】根据范例进行分解因式即可． 【解答】解：设x4+mx2+nx﹣16＝B（x﹣1）（x﹣2）（B为整式）， ∵上式为恒等式， ∴当x＝1或x＝2时，等号右侧都为0， ∴， 整理得， 解， mn＝﹣15×30＝﹣450． 故答案为：﹣450． 三．解答题（共7小题） 17．（2023秋•昆明期末）计算： （1）（﹣2x）×（3x﹣1）； （2）（12a3﹣6a2+3a）÷3a． 【分析】（1）根据单项式乘以多项式的运算法则直接进行计算即可； （2）先算除法，再合并同类项即可． 【解答】解：（1）（﹣2x）×（3x﹣1）＝﹣6x2+2x； （2）（12a3﹣6a2+3a）÷3a＝4a2﹣2a+1． 18．计算： （1）（2x2）3﹣6x3（x3+2x2+x）； （2）﹣2x2y（3xy2﹣2y2z）； （3）（a）•（a2a）； （4）（4a﹣b）•（﹣2b）2． 【分析】（1）利用幂的乘方和单项式乘多项式的运算法则运算，最后合并同类项； （2）利用单项式乘多项式的运算法则计算即可； （3）利用单项式乘多项式的运算法则计算即可； （4）先利用幂的乘方运算，再利用单项式乘多项式的运算法则计算即可． 【解答】解：（1）原式＝8x6﹣6x6﹣12x5﹣6x4 ＝2x6﹣12x5﹣6x4； （2）原式＝﹣6x3y3+4x2y3z； （3）原式a； （4）原式＝（4a﹣b）•（4b2） ＝16ab2﹣4b3． 19．计算： （1）（﹣2xy）（3x2﹣2xy﹣4y2）； （2）（m2nmn+1）•（﹣6m3n）； （3）（﹣3x2y）2•（﹣4xy2﹣5y3﹣6x+1）； （4）﹣3a（2a﹣5）﹣2a（1﹣3a）． 【分析】（1）（2）根据单项式乘多项式的运算法则进行计算即可； （3）先算乘方，再根据单项式乘多项式的运算法则进行计算即可得出答案； （4）根据单项式乘多项式的运算法则分别进行计算，然后合并同类项即可． 【解答】解：（1）（﹣2xy）（3x2﹣2xy﹣4y2）＝﹣6x3y+4x2y2+8xy3； （2）（m2nmn+1）•（﹣6m3n）＝3m5n2+2m4n2﹣6m3n； （3）（﹣3x2y）2•（﹣4xy2﹣5y3﹣6x+1）＝﹣36x5y4﹣45x4y5﹣54x5y2+9x4y2； （4）﹣3a（2a﹣5）﹣2a（1﹣3a）＝﹣6a2+15a﹣2a+6a2＝13a． 20．（2024秋•武冈市期中）已知（2a﹣4）x2+（b+3）xy﹣（b﹣3）x+（2a+4）y﹣7是关于x、y的多项式，若该多项式不含二次项，试求3a+3b的值． 【分析】先根据多项式的项、次数与常数项求出a和b的值，然后代入3a+3b计算即可． 【解答】解：由原多项式不含二次项可知：2a﹣4＝0，b+3＝0， ∴a＝2，b＝﹣3， ∴原式＝3×2+3×（﹣3）＝6﹣9＝﹣3． 21．（2023秋•南昌期末）老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了一个多项式，形式如下： ×（xy）＝3x2y﹣xy2xy （1）求所捂的多项式； （2）若x，y，求所捂多项式的值． 【分析】（1）设多项式为A，则A＝（3x2y﹣xy2xy）÷（xy）计算即可． （2）把x，y代入多项式求值即可． 【解答】解：（1）设多项式为A， 则A＝（3x2y﹣xy2xy）÷（xy）＝﹣6x+2y﹣1． （2）∵x，y， ∴原式＝﹣621＝﹣4+1﹣1＝﹣4． 22．（2024秋•铁西区期中）某学校计划利用一片空地为学生建一个矩形车棚，为了方便学生取车，施工单位决定在车棚内修建几条等宽的小路，其余部分停放自行车，已知矩形车棚的宽为x米，长为米，小路的宽为2米，求停放自行车的面积． 【分析】根据题意列式化简即可． 【解答】解：根据题意，（平方米）． 故停放自行车的面积为平方米． 23．（2024春•青龙县期末）某居民小组在进行美丽乡村建设中，规划将一长为5a米、宽为2b米的长方形场地打造成居民健身场所，如图所示，具体规划为：在这个场地一角分割出一块长为（3a+1）米，宽为b米的长方形场地建篮球场，其余的地方安装各种健身器材，其中用作篮球场的地面铺设塑胶地面，用于安装健身器材的区域建水泥地面． （1）用含a、b的式子表示篮球场地的面积S1和安装健身器材区域的地面面积S2； （2）当a＝9米，b＝15米时，分别求出篮球场地的面积和安装健身器材区域的地面面积； （3）在（2）的条件下，如果铺设塑胶地面每平方米需100元，铺设水泥地面每平方米需50元，求建设该居民健身场所所需的地面总费用M（元）． 【分析】（1）根据长方形面积公式即可求解； （2）代入（1）中的式子计算即可； （3）根据每平方米的费用乘以面积计算即可． 【解答】解：（1）S1＝b（3a+1）＝3ab+b（平方米）， S2＝5a×2b﹣b（3a+1）＝7ab﹣b（平方米）； （2）当a＝9米，b＝15米时， S1＝3×9×15+15＝420（平方米）， S2＝7×9×15﹣15＝930（平方米）； （3）M＝420×100+930×50＝88500（元）． 1 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $$