专题08 对数运算与对数函数（13大巩固提升练+能力提升练+高考真题练）-【寒假分层作业】2025年高一数学寒假培优练（人教A版2019必修第一册）

专题08 对数运算与对数函数 内容早知道 ☛第一层 巩固提升练 题型一：换底公式 题型二：对数运算：恒等变形 题型三：值域为R求参 题型四：解对数不等式 题型五：复合型对数函数值域 题型六：复合型对数函数单调性求参 题型七：对数函数图像性质：绝对值型 题型八：解对数不等式 题型九：复合型对数核心性质：真数无理型 题型十：复合型对数核心性质：真数反比例型 题型十一：恒成立求参 题型十二：幂指对比大小 题型十三：指数与对数图像特性 ☛第二层 能力提升练 ☛第三层 高考真题练 巩固提升练 题型01 换底公式 ⭐技巧积累与运用 对数的换底公式 ①换底公式：logbN＝； ②换底推广：logab＝， logab·logbc·logcd＝logad. . 1．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用对数运算性质和对数换底公式即可求得的变形式. 【详解】， 又，则 故选：B 2．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用对数的换底公式和对数的运算性质进行运算求解即可． 【详解】， 故选：B． 3．已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用换底公式用a，b表示，，然后将换底可求得答案. 【详解】解：由题意得： 因为， 所以，，则. 故选：A 题型02 对数运算：恒等变形 ⭐技巧积累与运用 对数运算公式与对数函数 (a>0且a≠1，M>0，N>0) (1)指对互化： x＝logaN . (2)对数的运算法则： ①loga(MN)＝logaM＋logaN ②loga＝logaM－logaN； ③logaMn＝nlogaM (n∈R)； ④logamMn＝logaM． (3)对数的性质：①a＝ N ； ②logaaN＝ N (a>0且a≠1)． 1．设，则x的值等于（    ） A．10 B．13 C．100 D． 【答案】B 【分析】由公式指数性质和对数的性质即即得. 【详解】由得，所以. 故选：B. 2．已知，且，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由指数与对数的互化可得出，，再利用对数的换底公式以及对数的运算性质可得出的值. 【详解】因为，则，， 所以，. 故选：C. 3．已知，且，则的值为（    ） A． B．2 C． D．20 【答案】D 【分析】由题意可得，然后代入中可求出的值. 【详解】由，得， 因为， 所以， 所以， 所以，得， 故选：D 题型03 值域为R求参 ⭐技巧积累与运用 图象       定义域 值域 函数值的变化 当时， 当时， 当时，； 当时， 性质 均过定点 单调性：单调减 单调性：单调增 1．函数的值域为.则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令，由题意知，函数的值域包含，结合已知列关于的不等式，解不等式得的取值范围. 【详解】令，由于函数的值域为， 所以，函数的值域包含. 所以，解得或. 综上所述，实数的取值范围是. 故选：D. 2．已知函数的值域为，则实数的取值范围是（    ） A．(0，4) B．[1，4]∪{0} C．(0，1]∪[4，+∞） D．[0，1]∪[4，+∞） 【答案】D 【分析】令，由题意可知，函数的值域包含，分和两种情况讨论，结合已知条件可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围. 【详解】令，由于函数的值域为， 所以，函数的值域包含. ①当时，函数的值域为，符合题意； ②当时，若函数的值域包含， 则，解得或. 综上所述，实数的取值范围是. 故选：D. 3．若函数的值域是，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据值域为得到且或 且，解得答案. 【详解】函数的值域是， 则且，解得； 或且，解得. 综上所述：. 故选：B 题型04 解对数不等式 ⭐技巧积累与运用 解对数不等式，可以采用“同底法”，利用对数的单调性求解。要注意以下两点： 1. 对数的真数大于0，底数大于0且不等于1. 2. (a>0且a≠1，M>0，N>0) 指对互化： x＝logbN 1．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由根式内部的代数式大于等于0，分类求解对数不等式得答案． 【详解】要使原函数有意义，则， 当时，，得，舍去； 当时，，得． 所以函数的定义域为． 故选：C． 2．若对任意的实数，不等（）恒成立，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据对数函数的单调性得到，参变分离后换元，得到，利用在上的单调性求出最大值，从而得到实数m的取值范围. 【详解】当时，要使得不等式有意义， 需要在恒成立，可得， 此时不等式恒成立等价于恒成立， 即.令，则，且， 所以. 因为在上单调递减， 所以，当时，取得最大值为1， 所以实数m的取值范围是. 故选：C. 3．已知函数的值域为，若不等式在上恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据题意，先求得，把不等式在上恒成立，转化为在上恒成立，结合指数幂的运算性质，即可求解. 【详解】由题意，函数的值域为，可得函数的最大值为， 当时，函数显然不存在最大值； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减，当时，函数有最大值，即，解得； 当时，在上单调递减，在上单调递增， 此时函数无最大值， 所以在上恒成立， 即在上恒成立， 由在上恒成立，可得； 由在上恒成立，即在上恒成立，可得； 由在上恒成立，即在上恒成立， 令，可得函数在上单调递增，所以，即， 综上可得，即实数的取值范围是. 故选：A. 题型05 复合型对数函数值域 ⭐技巧积累与运用 对数函数的值域。 1. 常规型，利用单调性，在定义域内求。 2. 复合型，首先求出定义域，可以采用换元的方式，内外函数单调性满足“同增异减”由内向外求解值域。 1．函数的最小值为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对数的运算性质和二次函数的图象与性质计算即可求解. 【详解】． 当，即时，取到最小值 故选：D 2．已知函数的定义域为，函数的值域为，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先化简集合与，再利用，即可求解 【详解】根据题意得， 因为，所以 所以， 由可得，则． 故选：D． 3．函数的最小值是（    ）． A．10 B．1 C．11 D． 【答案】B 【分析】利用换元法，令，则，先求出的范围，从而可求出函数的最小值 【详解】设，则， 因为， 所以，所以的最小值为1， 故选：B 题型06 复合型对数函数单调性求参 ⭐技巧积累与运用 (1)单调性的运算关系： ①一般情况下，－f(x)和均与函数f(x)的单调性 相反 ； ②同区间，↑+↑= ↑ ，↓+↓= ↓ ，↑－↓= ↑ ，↓－↑= ↓ ； (2) 单调性的定义的等价形式：设x1，x2∈[a，b]，那么有： ①>0⇔f(x)是[a,b]上的 增函数 ； ②<0⇔f(x)是[a,b]上的__减函数__； (3)复合函数单调性结论： 同增异减 （4）对数函数单调性，在定义域内，结合底数大于1还是小于1，分类讨论 1．若函数在上为减函数，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据复合函数的单调性，结合对数函数的定义域和单调性及二次函数的单调性求解即可． 【详解】由函数在上为减函数，且函数在上为增函数， 则在上为减函数，且， 则有，解得， 所以实数的取值范围为． 故选：A． 2．若函数在上单调递增，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题知在上单调递增，且在恒成立，进而解即可得答案. 【详解】解：因为函数在上单调递增， 所以在上单调递增，且在恒成立， 所以，，解得 所以，实数的取值范围为 故选：D 3．已知函数在上是减函数，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据单调区间是定义域的子集可知：在上恒成立，然后再将原函数看成一个对数和一个一次函数的复合函数，根据复合函数的单调性特性可得答案. 【详解】依题意在上恒成立且， 又可看成的复合函数，单调递减，欲使是减函数，只需递增，. 故选：B 题型07 对数函数图像性质：绝对值型 ⭐技巧积累与运用 对数绝对值 对于，若有两个零点，则满足 1. 2. 3.要注意上述结论在对称轴作用下的“变与不变” 1．已知函数，，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题得，则有，首先解出的范围，则，设，，利用对勾函数的图象与性质即可得到其范围. 【详解】由题知，显然， 则，即， 则，则，，即，解得， ，设，， 令，解得， 根据对勾函数的图象与性质可知函数在上单调递减， 故其值域为. 故选：C. 2．已知函数，若，有，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据的图象，得到且，再利用对勾函数的性质得到的取值范围. 【详解】画出的图象如下： 因为，有， 所以，故，且， ， 由对勾函数性质可知：在上单调递减， 故， 故的取值范围是. 故选：D 3．已知函数，，且，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，判断出是偶函数，结合图象平移规律得出的图象，结合图象和对数函数的性质求出最小值即可. 【详解】解：设，因为，所以是偶函数， ，（当且仅当时等号成立）， 故是偶函数，且最小值为， 函数可以由函数的图象向右平移个单位长度得到， 函数的图象如图所示： 则，且， 因为，所以， 所以，即， 因为，即，所以 所以， 又因为，，任取，，且， 则 因为，，所以，即. 所以在上单调递减， 所以， 所以的最小值是． 故选：D. 题型08 解对数方程 ⭐技巧积累与运用 解对数方程，主要利用指对互换以及一下俩公式： 1．已知函数，则方程的解为（    ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】换底公式化简可得出关于的等式，求出的值，再利用对数式与指数式的互化可得出的值. 【详解】因为， 由可得， 得或， 当时，；当时，. 综上所述，原方程的解为或. 故选：C. 2．若关于x的方程有解，则实数的取值范围为(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将对数方程化为指数方程，用x表示出a，利用基本不等式即可求a的范围． 【详解】， ， 当且仅当时取等号， 故． 故选：C． 3．方程的解集为M，方程的解集为N，那么M与N的关系是（    ） A．M＝N B．MN C．M  N D． 【答案】B 【分析】分别求得集合M与N，即可判断出M与N的关系 【详解】方程等价于，解之得，即 则或，即或.故 则MN 故选：B 题型09 复合型对数核心性质：真数无理型 ⭐技巧积累与运用 形如)是奇函数。 1．已知函数，函数满足，若函数恰有2025个零点，则所有零点之和为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分析函数、的性质，确定函数的对称中心，再利用此性质求得答案. 【详解】由，得函数的定义域为R， 又，即函数是奇函数， 函数的图象关于点对称，则函数的图象关于点对称， 由，得函数的图象关于点对称， 因此函数的图象关于点对称，由函数恰有2025个零点， 得函数有一个零点为，其余零点关于对称， 所以所有零点之和为. 故选：A 2．已知函数，若，，且，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分析函数的单调性与奇偶性，由已知等式可得出，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值. 【详解】对任意的，，即恒成立， 所以，函数的定义域为， 因为， 所以，， 所以，，故函数为奇函数， 当时，函数、均为增函数， 所以，函数在上为增函数， 因为外层函数为增函数， 由复合函数法可知，函数在上为增函数， 由奇函数的性质可知，函数在上也为增函数， 所以，函数在上为增函数， 由可得， 所以，，可得， 又因为，，则， 当且仅当时，即当时，等号成立， 因此，的最小值为8. 故选：D. 3．已知函数，不等式对恒成立，则a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】确定函数为奇函数，且单调递减，不等式转化为，利用双勾函数单调性求最值得到答案． 【详解】定义域显然为，，是奇函数， ， 易知，，均在区间上为减函数，又是奇函数， 故且在上单调递减， 不等式，即， 结合函数的单调性可得，即， 设，，故单调递减，故， 当，即时取最大值，所以． 故选：C． 题型10 复合型对数核心性质：真数反比例型 ⭐技巧积累与运用 1．设函数，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用，代入函数，得到，再利用不等式“1”的妙用即可得解. 【详解】因为函数，所以， 即，解得， 所以， 当且仅当时取等号. 故选：A 2．已知函数，有成立，则实数的取值集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用对数型函数的单调性求出的值域，令，根据值域关系建立不等式求解，解指数不等式即可求解. 【详解】令，则该函数在上单调递减， 又在定义域上单调递增，所以函数在上单调递减， 所以，即函数在上的值域为， 令，则，令，， 因为，，有成立， 所以值域为值域的子集，即为函数值域的子集， 当时，，显然不满足题意； 当时，的对称轴，且开口向上， 所以在上单调递增，且， 所以，，即，所以，所以， 所以或（与矛盾舍去），所以， 所以，即实数的取值集合为. 故选：B 3．已知函数，且，则（    ） A． B．5 C． D．1 【答案】C 【分析】由可得，表示出，整体代入计算即可. 【详解】由题意，，即， 所以. 故选：C. 题型11 恒成立求参 ⭐技巧积累与运用 般地，已知函数， 不等关系 (1)若，，总有成立，故； (2)若，，有成立，故； (3)若，，有成立，故； (4) 若，，有成立，故． 1．设函数，若对任意，存在实数，使得，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对进行分类讨论，结合的值域求得正确答案. 【详解】当时，. 当时，， ①若，则， 此时对于时，有，不符合题意. ②若，是增函数，， 此时对于时，有，符合题意. ③若，是减函数，， 要使“对任意，存在实数，使得”， 则需. 综上所述，的取值范围是. 故选：D 【点睛】求解含参数的分段函数的值域问题，首先要观察参数的位置，如果分段函数在某个区间上的表达式没有参数，则可以直接求得函数在这个区间上的值域.若果分段函数在某个区间上的表达式有参数，则需要对参数进行分类讨论，分类讨论要做到不重不漏. 2．已知函数 在区间的最大值与最小值的和，则的取值为 （    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】令，转化为求在上的最大值、最小值可得答案. 【详解】当时，令， 则，为开口向上、对称轴为的抛物线， 在上单调递增， 所以当时有最小值，为， 当时有最大值，为， 可得，解得. 故选：B. 3．设函数，，若对任意的，都存在实数，使得成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出的值域，由题意可知的值域包含于的值域，由此得到包含于的值域，分类讨论的取值范围，结合值域的要求求得实数的取值范围. 【详解】设的值域为，而的值域为， 由已知有，所以是值域的子集， 当时，开口向下且对称轴， 又因为当时，，显然是值域上的子集，符合题设； 当时，，显然是值域上的子集，符合题设； 当时，开口向上且对称轴， 此时只需，即时，是值域上的子集. 综上，. 故选：A. 题型12 幂指对型比大小 ⭐技巧积累与运用 指、对、幂大小比较的常用方法： （1）底数相同，指数不同时，如和，利用指数函数的单调性； （2）指数相同，底数不同，如和利用幂函数单调性比较大小； （3）底数相同，真数不同，如和利用指数函数单调性比较大小； （4）底数、指数、真数都不同，寻找中间变量0，1或者其它能判断大小关系的中间量，借助中间量进行大小关系的判定. 1．已知，，均为正数，，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将所求拆分成，，，令，，，，且，可看作函数与，，的交点，通过函数单调性以及函数的增长速度结合零点存在性定理可比较出的大小. 【详解】解：可变形为：，可变形为：，可变形为：， 令，，，，且， 可知分别为函数与，，的交点横坐标， 当时，单调递增且，， ，，这三个函数全部单调递减，且，，，， 由零点存在性定理可知：，所以只需判断，，这三个函数的单调性，在范围内下降速度快的，交点横坐标小，下降速度慢的交点横坐标大， 由图象可知，下降速度最慢，所以最大， ，，时，，所以交点， 故选：B    【点睛】关键点点睛：将等式变形为函数交点的问题，通过比较函数增长的快慢来求解. 2．已知三个互不相等的正数满足，（其中是一个无理数），则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由对数函数和指幂函数的单调性和运算性质放缩，再加上基本不等式求解即可. 【详解】因为，所以 所以根据幂函数的性质可得， 因为都是正数， ， ， 因为是递增函数，又因为， 作出和的图像，如图可得，当时，两函数值相等；时，图像一直在的上方，所以    故， 故选：B 【点睛】将利用幂函数的单调性进行放缩；把用指数函数的运算性质和基本不等式放缩；再把用对数函数的性质放缩，最终得到结果. 题型13指数与对数图像特性 1．已知函数，，的零点依次为，，，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，将函数的零点转化为两个基本函数的交点的横坐标，从而画出函数，，，的图象，观察函数图象，即可判断，，的大小关系. 【详解】令，则， 即的零点为函数与交点的横坐标， 令，则， 即的零点为函数与交点的横坐标， 令，则， 即的零点为函数与交点的横坐标， 画出函数，，，的图象，如图所示， 观察图象可知，函数，，的零点依次是点，，的横坐标， 由图象可知. 故选：C. 2．已知实数，满足，，则（   ） A．2 B． C．3 D． 【答案】C 【分析】根据题意，由，得到，结合函数为增函数，得到 ，求得，代入即可求解. 【详解】由，可得，则， 可得， 因为函数在定义域上为单调递增函数， 又由，所以 ， 可得，即， 所以. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：将，转化为，再构造函数是解决本题的关键. 3．若函数的零点为，函数的零点为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对于C，由零点存在定理判断端点；对于AB，由函数单调性判断不等式；对于D，由对数运算形式分别得，，结合函数单调性即可得，从而得以判断. 【详解】对于C，，， ，， 由零点存在定理得，函数的零点，函数的零点，故C错误； 对于AB，由解析式知，、均为增函数， 则，，故AB错误； 对于D，， ， 令，则，即， 因为是增函数，故，故D正确. 故选：D. 能力培优 1．已知定义在R上的函数满足：为奇函数，，且对任意，都有，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】D 【分析】由题设可得、，根据有，结合、即可求解. 【详解】由题设，则， 所以，即关于对称，又，则， 由于，又任意都有， 所以， 由，故， 而，故，故. 综上，. 故选：D 【点睛】关键点点睛：根据已知条件得到，结合对称性和递推关系求得. 2．已知函数，若方程有4个不同的根，，，，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】作出函数与的图像，得到关于对称，化简条件，利用对勾函数的性质可求解. 【详解】作函数与的图像如下： 方程有4个不同的根，，，，且， 可知关于对称，即，且， 则，即，则 即，则； 当得或，则；； 故，； 则函数，在上为减函数，在上为增函数； 故取得最小值为，而当时，函数值最大值为. 即函数取值范围是. 故选：D. 【点睛】本题主要考查了分段函数的运用，主要考查函数的单调性的运用，运用数形结合的思想方法是解题的关键，属于难题. 3．已知，则下列关系中成立的是 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用对数式特殊值，解对数方程，再比较x,y,z的大小关系． 【详解】由题意知，，， 解得． 同理可解得， 比较x和y：取， 比较x和z：取， 比较y和z：取， 综上所述：，故选C． 【点睛】对数式特殊值有，结合对数式指数式互化，解决一些特殊的对数方程．再构造同指数幂比较大小． 4．已知函数，若将函数图象上所有点的坐标先沿轴向右平移1个单位长度，再沿轴向下平移1个单位长度后得到函数的图象，则下列说法正确的是（    ） A．在上单调递增 B． C．若，，且，则 D．函数有2个零点 【答案】BCD 【分析】根据函数的定义域，即可判断A，根据公式，即可判断B，由条件等式变形得，再结合函数的单调性，即可判断C，根据零点存在性定理，即可判断D. 【详解】对于A，依题意的定义域为，故A错误， 对于B，由题意得，其定义域为， 函数和在区间和都是增函数， 所以在区间和是增函数， 因为， 所以，又， 所以，故B正确， 对于C，因为，在和上为增函数， 所以的单调递增区间为和， 由题意得， 因为，所以，又， 所以，故，故C正确， 对于D，在和上单调递增， 当时，， ， 故在区间上有1个零点； 当时，， ， 故在区间上有1个零点， 所以在和各有1个零点，共2个零点，故D正确. 故选：BCD. 5．已知函数，若函数有四个零点，，，，且，则下列正确的是（    ） A．的范围 B．的范围 C．的取值范围 D．的范围 【答案】AC 【分析】根据给定的分段函数，作出函数的图象，把函数零点问题转化为直线与函数图象交点求解，再逐项分析、计算判断作答. 【详解】函数有四个零点， 等价于直线与函数的图象有4个交点，其横坐标依次为， 在同一坐标系内作出直线与函数的图象，如图， 观察图象知，，由，得， 由，即得，且有， 对于A，因此的范围是，A正确； 对于B，由得，， 显然在上递减， 因此，则，B错误； 对于C，，显然函数在上单调递减， 则，当且仅当时取等号，C正确； 对于D，因为，，则有， 当时，，当时，，即的取值范围是，D错误. 故选：AC 【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解. 6．为实数，且，则下列式子中一定成立的是 （    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】先分别求出，根据幂函数的性质即可判断A；根据换底公式结合对数函数的单调性即可判断B；根据对数的加法即可判断C；利用基本不等式中“1”的整体代换即可判断D. 【详解】因为， 所以， 对于A，因为函数在上单调递增，， 所以，故A正确； 对于B，，所以，故B错误； 对于C，因为，所以，即，故C正确； 对于D，， 又因为，即， 所以，故D正确. 故选：ACD. 7．已知函数，则不等式的解集为 . 【答案】 【分析】将已知不等式化为，在同一坐标系下作出两个函数的图象，可得不等式的解集． 【详解】由题意，不等式，即， 等价于求在上的解， 令，，则不等式为， 在同一坐标系下作出两个函数的图象，如图所示， 又，由图可得不等式的解集为． 故答案为： 8．已知函数，且，若函数在区间上单调递减，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】分和，根据复合函数单调性结合对数函数性质分析求解即可. 【详解】令，可知其图象开口向上，对称轴为， 若，则在定义域内单调递减， 由题意可知：在区间上单调递增，且在区间上恒成立， 则，解得； 若，则在定义域内单调递增， 由题意可知：在区间上单调递减，且在区间上恒成立， 则，解得； 综上所述：的取值范围是. 故答案为：. 9．已知函数，若对任意的，总存在，使得成立，则实数a的取值范围为 【答案】 【分析】根据给定条件，利用单调性求出在上的最大值，再分类讨论函数在上的最大值，结合不等式建立关系求解. 【详解】函数，函数在上单调递增，函数在上单调递减， 又在上单调递增，因此在上单调递减，， 由对任意的，总存在，使得成立， 得函数在上的最大值小于在上的最大值，即， 当时，，满足，则； 当时，在上单调递增，则，则； 当时，在上单调递减，则，则， 所以实数a的取值范围为. 故答案为：. 高考真题 1．（2024北京高考）已知，是函数的图象上两个不同的点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数函数和对数函数的单调性结合基本不等式分析判断AB；举例判断CD即可. 【详解】由题意不妨设，因为函数是增函数，所以，即， 对于选项AB：可得，即， 根据函数是增函数，所以，故B正确，A错误； 对于选项D：例如，则， 可得，即，故D错误； 对于选项C：例如，则， 可得，即，故C错误， 故选：B. 2．（2024天津高考）设，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用指数函数和对数函数的单调性分析判断即可. 【详解】因为在上递增，且， 所以， 所以，即， 因为在上递增，且， 所以，即， 所以， 故选：D 3．（2024全国高考新课标2卷）设函数，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】解法一：由题意可知：的定义域为，分类讨论与的大小关系，结合符号分析判断，即可得，代入可得最值；解法二：根据对数函数的性质分析的符号，进而可得的符号，即可得，代入可得最值. 【详解】解法一：由题意可知：的定义域为， 令解得；令解得； 若，当时，可知， 此时，不合题意； 若，当时，可知， 此时，不合题意； 若，当时，可知，此时； 当时，可知，此时； 可知若，符合题意； 若，当时，可知， 此时，不合题意； 综上所述：，即， 则，当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为； 解法二：由题意可知：的定义域为， 令解得；令解得； 则当时，，故，所以； 时，，故，所以； 故， 则， 当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：分别求、的根，以根和函数定义域为临界，比较大小分类讨论，结合符号性分析判断. 4．（2023北京高考）下列函数中，在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用基本初等函数的单调性，结合复合函数的单调性判断ABC，举反例排除D即可. 【详解】对于A，因为在上单调递增，在上单调递减， 所以在上单调递减，故A错误； 对于B，因为在上单调递增，在上单调递减， 所以在上单调递减，故B错误； 对于C，因为在上单调递减，在上单调递减， 所以在上单调递增，故C正确； 对于D，因为，， 显然在上不单调，D错误. 故选：C. 5．（2024全国高考甲卷）已知且，则 ． 【答案】64 【分析】将利用换底公式转化成来表示即可求解. 【详解】由题，整理得， 或，又， 所以，故 故答案为：64. 6．（2023北京高考）已知函数，则 ． 【答案】1 【分析】根据给定条件，把代入，利用指数、对数运算计算作答. 【详解】函数，所以. 故答案为：1 结束 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题08 对数运算与对数函数 内容早知道 ☛第一层 巩固提升练 题型一：换底公式 题型二：对数运算：恒等变形 题型三：值域为R求参 题型四：解对数不等式 题型五：复合型对数函数值域 题型六：复合型对数函数单调性求参 题型七：对数函数图像性质：绝对值型 题型八：解对数不等式 题型九：复合型对数核心性质：真数无理型 题型十：复合型对数核心性质：真数反比例型 题型十一：恒成立求参 题型十二：幂指对比大小 题型十三：指数与对数图像特性 ☛第二层 能力提升练 ☛第三层 高考真题练 巩固提升练 题型01 换底公式 ⭐技巧积累与运用 对数的换底公式 ①换底公式：logbN＝； ②换底推广：logab＝， logab·logbc·logcd＝logad. . 1．已知，则（    ） A． B． C． D． 2．已知，则（    ） A． B． C． D． 3．已知，，则（    ） A． B． C． D． 题型02 对数运算：恒等变形 ⭐技巧积累与运用 对数运算公式与对数函数 (a>0且a≠1，M>0，N>0) (1)指对互化： x＝logaN . (2)对数的运算法则： ①loga(MN)＝logaM＋logaN ②loga＝logaM－logaN； ③logaMn＝nlogaM (n∈R)； ④logamMn＝logaM． (3)对数的性质：①a＝ N ； ②logaaN＝ N (a>0且a≠1)． 1．设，则x的值等于（    ） A．10 B．13 C．100 D． 2．已知，且，则的值是（    ） A． B． C． D． 3．已知，且，则的值为（    ） A． B．2 C． D．20 题型03 值域为R求参 ⭐技巧积累与运用 图象       定义域 值域 函数值的变化 当时， 当时， 当时，； 当时， 性质 均过定点 单调性：单调减 单调性：单调增 1．函数的值域为.则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．已知函数的值域为，则实数的取值范围是（    ） A．(0，4) B．[1，4]∪{0} C．(0，1]∪[4，+∞） D．[0，1]∪[4，+∞） 3．若函数的值域是，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型04 解对数不等式 ⭐技巧积累与运用 解对数不等式，可以采用“同底法”，利用对数的单调性求解。要注意以下两点： 1. 对数的真数大于0，底数大于0且不等于1. 2. (a>0且a≠1，M>0，N>0) 指对互化： x＝logbN 1．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 2．若对任意的实数，不等（）恒成立，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．已知函数的值域为，若不等式在上恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型05 复合型对数函数值域 ⭐技巧积累与运用 对数函数的值域。 1. 常规型，利用单调性，在定义域内求。 2. 复合型，首先求出定义域，可以采用换元的方式，内外函数单调性满足“同增异减”由内向外求解值域。 1．函数的最小值为（   ） A．1 B． C． D． 2．已知函数的定义域为，函数的值域为，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．函数的最小值是（    ）． A．10 B．1 C．11 D． 题型06 复合型对数函数单调性求参 ⭐技巧积累与运用 (1)单调性的运算关系： ①一般情况下，－f(x)和均与函数f(x)的单调性 相反 ； ②同区间，↑+↑= ↑ ，↓+↓= ↓ ，↑－↓= ↑ ，↓－↑= ↓ ； (2) 单调性的定义的等价形式：设x1，x2∈[a，b]，那么有： ①>0⇔f(x)是[a,b]上的 增函数 ； ②<0⇔f(x)是[a,b]上的__减函数__； (3)复合函数单调性结论： 同增异减 （4）对数函数单调性，在定义域内，结合底数大于1还是小于1，分类讨论 1．若函数在上为减函数，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．若函数在上单调递增，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．已知函数在上是减函数，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型07 对数函数图像性质：绝对值型 ⭐技巧积累与运用 对数绝对值 对于，若有两个零点，则满足 1. 2. 3.要注意上述结论在对称轴作用下的“变与不变” 1．已知函数，，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．已知函数，若，有，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．已知函数，，且，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 题型08 解对数方程 ⭐技巧积累与运用 解对数方程，主要利用指对互换以及一下俩公式： 1．已知函数，则方程的解为（    ） A． B．或 C．或 D．或 2．若关于x的方程有解，则实数的取值范围为(    ) A． B． C． D． 3．方程的解集为M，方程的解集为N，那么M与N的关系是（    ） A．M＝N B．MN C．M  N D． 题型09 复合型对数核心性质：真数无理型 ⭐技巧积累与运用 形如)是奇函数。 1．已知函数，函数满足，若函数恰有2025个零点，则所有零点之和为（   ） A． B． C． D． 2．已知函数，若，，且，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 3．已知函数，不等式对恒成立，则a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 题型10 复合型对数核心性质：真数反比例型 ⭐技巧积累与运用 1．设函数，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．已知函数，有成立，则实数的取值集合为（    ） A． B． C． D． 3．已知函数，且，则（    ） A． B．5 C． D．1 题型11 恒成立求参 ⭐技巧积累与运用 般地，已知函数， 不等关系 (1)若，，总有成立，故； (2)若，，有成立，故； (3)若，，有成立，故； (4) 若，，有成立，故． 1．设函数，若对任意，存在实数，使得，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．已知函数 在区间的最大值与最小值的和，则的取值为 （    ） A．0 B．1 C．2 D．3 3．设函数，，若对任意的，都存在实数，使得成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型12 幂指对型比大小 ⭐技巧积累与运用 指、对、幂大小比较的常用方法： （1）底数相同，指数不同时，如和，利用指数函数的单调性； （2）指数相同，底数不同，如和利用幂函数单调性比较大小； （3）底数相同，真数不同，如和利用指数函数单调性比较大小； （4）底数、指数、真数都不同，寻找中间变量0，1或者其它能判断大小关系的中间量，借助中间量进行大小关系的判定. 1．已知，，均为正数，，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 2．已知三个互不相等的正数满足，（其中是一个无理数），则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 题型13指数与对数图像特性 1．已知函数，，的零点依次为，，，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 2．已知实数，满足，，则（   ） A．2 B． C．3 D． 3．若函数的零点为，函数的零点为，则（    ） A． B． C． D． 能力培优 1．已知定义在R上的函数满足：为奇函数，，且对任意，都有，则（    ） A． B． C． D．1 2．已知函数，若方程有4个不同的根，，，，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．已知，则下列关系中成立的是 A． B． C． D． 4．已知函数，若将函数图象上所有点的坐标先沿轴向右平移1个单位长度，再沿轴向下平移1个单位长度后得到函数的图象，则下列说法正确的是（    ） A．在上单调递增 B． C．若，，且，则 D．函数有2个零点 5．已知函数，若函数有四个零点，，，，且，则下列正确的是（    ） A．的范围 B．的范围 C．的取值范围 D．的范围 6．为实数，且，则下列式子中一定成立的是 （    ） A． B． C． D． 7．已知函数，则不等式的解集为 . 8．已知函数，且，若函数在区间上单调递减，则的取值范围是 . 9．已知函数，若对任意的，总存在，使得成立，则实数a的取值范围为 高考真题 1．（2024北京高考）已知，是函数的图象上两个不同的点，则（    ） A． B． C． D． 2．（2024天津高考）设，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 3．（2024全国高考新课标2卷）设函数，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D．1 4．（2023北京高考）下列函数中，在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 5．（2024全国高考甲卷）已知且，则 ． 6．（2023北京高考）已知函数，则 ． 结束 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$