5.7（第1课时）二次函数的应用（6大题型提分练）（题型专练）数学青岛版九年级下册

5.7（第1课时）二次函数的应用 题型一 图形问题 1．用长为的铝合金条制成如图所示的矩形窗框，设为x（），则窗框的透光面积关于x（）的函数表达式为（   ） A． B． C． D． 2．在平面直角坐标系中，已知点，，连结，在线段上有一动点P，过点P作轴，轴，垂足分别是M，N，记四边形的面积为S，则S的取值范围是 ． 3．如图1，有两面互相垂直且长度均为10米的墙，现要建一个矩形花圃，矩形两边由墙围成，另两边和中间隔离带用篱笆围成，篱笆总长24米，隔离带，均与接触的墙垂直． (1)若矩形花圃面积为32平方米，求长； (2)求能围成的矩形花圃的最大面积； (3)因种植需要，仍利用24米的篱笆将花圃重建成如图2所示的矩形花圃，求能围成的矩形花圃的最大面积． 题型二 图形与运动问题 1．如图，四边形是边长为的正方形，分别为边的中点，点O为正方形的中心，连接，点P从点E出发，沿运动，同时点Q从点B出发，沿运动，两点运动的速度均为，当点P运动到点F时，两点同时停止运动，连接．设运动时间为的面积为，下列图象能大致反映S与t之间函数关系的是（   ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，，．动点从点出发，以每秒的速度沿向终点移动，同时动点从点出发，以每秒的速度沿向终点移动，连接，设移动时间为（）． (1)当时，求的值． (2)设四边形的面积为，求与之间的函数关系式： (3)是否存在某一时刻，使以，，为顶点的三角形与相似？若存在，求出相应的值：若不存在，说明理由． 3．如图1，抛物线与x轴、y轴分别交于点、、点C三点． (1)试求抛物线的解析式； (2)点在第一象限的抛物线上，连接．试问，在对称轴左侧的抛物线上是否存在一点P，满足？如果存在，请求出点P点的坐标；如果不存在，请说明理由； (3)如图2，在（2）的条件下，将沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度向右平移，记平移后的三角形为．在平移过程中，与重叠的面积记为S，设平移的时间为t秒，试求S与t之间的函数关系式？ 4．已知：如图，是边长的等边三角形，动点同时从两点出发，分别沿方向匀速移动，它们的速度都是，当点到达点时，两点停止运动．设点的运动时间为，解答下列问题： (1)当为何值时，是直角三角形？ (2)当为何值时，是等腰三角形？ (3)设四边形的面积为，求与的关系式． 题型三 拱桥问题 1．建水双龙桥，俗称“十七孔桥”，位于云南省建水县，是一座具有极高历史，艺术和科学价值的古桥，如图，古桥横断面是抛物线形状，当水面在时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面，水面宽．则水面上升米后水面宽度为 米． 2．如图是抛物线形拱桥，以顶点建立平面直角坐标系满足，此时拱顶离水面，若再下降时，水面宽度增加 ． 3．如图，在水平地面点A处有一网球发射器向空中发射网球，网球飞行路线是一条抛物线，在地面上落点为B，小武在直线上点C（靠点B一侧）竖直向上摆放若干个无盖的圆柱形桶，已知米，米，网球飞行最大高度米，圆柱形桶的直径为米，高为米（网球的体积和圆柱形桶的厚度忽略不计）．当竖直摆放圆柱形桶至少 个时，网球能落入桶内． 4．如图1，一大桥主桥拱呈抛物线状，主桥拱两侧各由10根钢索固定．两侧主桥拱示意图如图2所示，已知，其中最短的钢索，每两根钢索的间距均为2m． (1)请在图2中建立适当的平面直角坐标系，并求出抛物线的函数解析式． (2)求最长钢索的长度． 5．完成项目化学习：《蔬菜大棚的设计》． 驱动问题 1、如何利用函数模型，刻画蔬菜大棚的棚面？ 2、如何安装排气装置，保证蔬菜大棚的通风性？ 3、如何设计大棚间距，保障蔬菜大棚的采光性？ 项目背景 蔬菜大棚是一种具有出色的保温性能的框架覆膜结构，它出现使得人们可以吃到反季节蔬菜．如图，一般蔬菜大棚使用竹结构或者钢结构的骨架，这样就形成了一个温室空间． 数学建模 如图，某个温室大棚的横截面可以看作矩形和抛物线构成，其中，，取中点O，过点O作线段的垂直平分线交抛物线于点E，所在直线为x轴，为y轴建立如图所示平面直角坐标系．抛物线的顶点，求抛物线的解析式． 问题解决 如图，为了保证该蔬菜大棚的通风性，该大棚要安装两个正方形孔的排气装置，若，求两个正方形装置的间距的长． 问题解决 为了保证两个蔬菜大棚间的采光不受影响，如图，在某一时刻，太阳光线透过A点刚好照射到C点，此时大棚截面的阴影为，求的长． 6．如图，有一座抛物线型拱桥，在正常水位时，水面宽为，水位上升就达到警戒线，这时水面宽米． (1)建立适当的直角坐标系，求抛物线的函数表达式． (2)若洪水到来时，水位以每时的速度上升，从警戒线开始，再持续多久就达到拱桥顶？ 7．高速隧道是为了更好地适应地形、保护环境、节省土地和提高通行效率等方面的需要，除此之外高速隧道还有重要的战略意义．如图所示，某高速隧道的下部近似为矩形，上部近似为一条抛物线．已知米，米，高速隧道的最高点P（抛物线的顶点）离地面的距离为6米． (1)建立如图所示的平面直角坐标系，求抛物线的解析式； (2)若在高速隧道入口的上部安装两个车道指示灯E，F，若平行线段与之间的距离为米，则点E与隧道左壁之间的距离为多少米？ 题型四 销售问题 1．某商店经销一种成本为每千克40元的水产品，据市场分析，按每千克50元销售，一个月能售出．售价每涨1元，月销量就减少．若要使月销售利润达到最大，则销售单价应定为每千克（  ） A．55元 B．60元 C．65元 D．70元 2．某商店一月份销售额为万元，月平均增长率，一季度的销售额为万元，那么关于月平均增长率的函数解析式是 ． 3．某市今年第一季度的专项教育投入为亿元，第二季度比第一季度增长的百分比为，第三季度增长的百分比是第二季度增长百分比的倍，则第三季度专项教育投入（亿元）关于的函数关系式为 ．（不要求写自变量的取值范围） 4．天台黄精是一味药食同源的中药材．某商家准备在市场上销售天台黄精，经过市场调研发现，黄精的成本为每千克200元，其销售价格x（元/千克）（）与每周的销售量y（千克）之间存在一次函数关系．当销售价格为每千克360元时，每周的销售量为200千克；当销售价格为每千克400元时，每周的销售量为160千克． (1)求销售量y与销售价格x之间的函数关系式； (2)设该商家销售天台黄精每周的利润为W元，求利润W的最大值． 5．“一分钟跳绳”是中考体育考试科目之一，近年来受到社会各界的高度重视．某经销商抓住商机，以每件10元的价格购进一种跳绳，销售时该跳绳的销售单价不低于进价且不高于18元．经过市场调查发现，该跳绳的每天销售数量（条）与销售单价（元）之间满足一次函数关系，部分数据如下表所示： 销售单价元 … 15 16 17 … 每天销售数量条 … 30 28 26 … (1)求与之间的函数关系式； (2)设销售这种跳绳每天获利（元），当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大获利是多少元？ 6．某公司销售某种电子产品，该产品的进价为元/件，根据市场调查发现，该产品每周的销售量（单位：件）与售价（单位：元/件）（为正整数）之间满足一次函数的关系，如表记录的是某三周的有关数据． （元/件） （件） (1)求与的函数表达式（不求自变量的取值范围）； (2)若某周该产品的销售量不少于件，求这周该商场销售这种产品获得的最大利润． 7．某公司生产医用口罩供应市场，每件制造成本为元，试销过程中发现，每月销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的关系满足下表． 销售单价x（元/件） … 2 3 4 … 每月销售量y（万件） … 6 5 4 2 … (1)在你学过的一次函数、反比例函数和二次函数等三种函数中，哪种函数能恰当地描述y与x的变化规律，并直接写出函数表达式； (2)如果公司每月的制造成本不超过万元，那么当销售单价为多少元时，公司每月获得的利润最大？最大利润为多少万元？ 8．某文具店出售一种新上市的文具，每套进价为20元，在销售过程中发现，当销售单价为25元时，日销售量为250套，销售单价每上涨1元，日销售量就减少10套． (1)设日销售量为y套，销售单价为x元，则y＝ ．（用含x的代数式表示） (2)设销售该文具的日利润为w元，求销售单价为多少元时，当日的利润最大，最大利润是多少？ (3)临近儿童节，文具店准备搞促销活动，顾客每购买一套文具，就送一袋价值m元的小零食（），要使该文具销售单价不低于30元，日销售量不少于160套时，日销售最大利润是2112元，求m的值． 9．某商场销售一种商品，进价为每个20元，规定每个商品售价不低于进价，且不高于60元．经调查发现，每天的销售量（个）与每个商品的售价（元）之间满足一次函数关系，其部分数据如表所示： 每个商品的售价（元） … 30 40 50 … 每天的销售量（个） … 100 80 60 … (1)求与之间的函数关系式； (2)设商场每天获得的总利润为（元），求与之间的函数关系式； (3)不考虑其他因素，当商品的售价为多少元时，商场每天获得的总利润最大?最大利润是多少? 10．某商业公司为指导某种应季商品的生产和销售，对三月份至七月份该商品的售价和生产进行了调研，结果如下：一件商品的售价M（元）与时间t（月）的关系可用一条线段上的点来表示（如图甲），一件商品的成本（元）与时间t（月）的关系可用一条抛物线上的点来表示，其中6月份成本最高（如图乙）． 根据图象提供的信息解答下面问题： (1)一件商品在6月份出售时的利润是多少元？（利润售价成本） (2)求出图（乙）中表示的一件商品的成本Q（元）与时间t（月）之间的函数关系式； (3)请求出3月份至7月份一件商品的利润W（元）与时间t（月）之间的函数关系式．若该公司能在一个月内售出此种商品6万件，请你计算该公司在一个月内最少获利多少元？ 题型五 投球问题 1．在投掷铅球项目中，铅球脱手后的飞行路线可以看做如图所示抛物线的一部分．设铅球落地点离投掷者的距离为，则S的范围为（   ） A． B． C． D． 2．如图，小刚在某次投篮中，球的运动路线是抛物线的一部分，若命中篮圈中心，则他与篮底的距离l是（    ） A． B． C． D．都不对 3．要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高，高度为3m，水柱落地处离池中心3m，则水管的长为（   ） A．m B．2m C．m D．1m 4．随着自动化设备的普及，家庭庭院也引入自动喷灌系统．从喷水口喷出的水柱成抛物线形．如图是该喷灌器喷水时的截面示意图，喷水口点离地高度为，喷出的水柱在离喷水口水平距离为处达到最高，高度为，且水柱刚好落在庭院围墙和地面的交界点处．喷灌器与围墙的距离为（　　） A． B． C． D． 5．如图，铅球运动员掷铅球的高度与水平距离之间的函数关系式是，则该运动员此次掷铅球的成绩是 ． 6．如图，小亮同学投掷实心球，出手（点处）的高度是，出手后实心球沿一段抛物线路径运动．实心球到达最高点时，与小亮的水平距离是，高度是．若实心球的落地点为，则 ． 7．某排球队员站在发球区发球，排球发出后向正前方行进，行进高度与水平距离之间函数的表达式是 求： (1)已知发球点到排球网的水平距离为，网高，排球是否能打过网？ (2)当排球走过的水平距离是多少时，排球距离地面最高？ (3)已知排球场地的长为，排球将落在界内还是界外？ 8．图1展示的发石车是古代一种攻城器械，据《三国志》记载：曹操创制发石车，攻破袁绍军壁楼．如图，发石车位于点处，其前方有一堵壁楼，其防御墙的竖直截面为矩形，墙宽为米，点与点的水平距离为米，垂直距离为米．以点为原点，水平方向为轴方向，建立平面直角坐标系，将发射出去的石块当作一个点看，其飞行路线可以近似看作抛物线的一部分． (1)若发射石块在空中飞行的最大高度为米． ①求抛物线的解析式（不用写出的取值范围）； ②石块能否飞越防御墙． (2)若要使石块恰好落在防御墙顶部上（不包括端点，，直接写出的取值范围． 9．羽毛球作为国际球类竞技比赛的一种，发球后羽毛球的飞行路线可以看作是抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系，羽毛球从发出到落地的过程中竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系．某次发球时，羽毛球的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下： 水平距离x/m 0 2 4 6 8                竖直高度y/m (1)根据上述数据，求y与x之间的函数关系式； (2)已知羽毛球场的球网高度为，当发球点距离球网时，羽毛球能否越过球网？请说明理由． 10．从地面竖直向上抛出一小球，小球离地面的高度与小球的运动时间之间的函数关系式是． (1)求小球落回地面时对应的值； (2)求小球运动中离地面的最大高度； (3)某科学小组在研究小球运动过程中，汇总小组成员得出的结论如下： ①小球从抛出到落地需要； ②小球运动中的高度不能达到； ③小球运动时的高度小于运动时的高度． 上述结论中，正确结论的序号为 ． 11．某俱乐部购进一台如图1的篮球发球机，用于球员篮球训练．该发球机可以以不同力度发射出篮球，篮球运行的路线都是抛物线．出球口离地面高1米，以出球口为原点，平行于地面的直线为x轴，垂直于地面的直线为y轴，建立平面直角坐标系．力度变化时，抛物线的顶点在直线上移动，从而产生一组不同的抛物线（如图2）． (1)若． ①发球机发射出的篮球运行到距发球机水平距离为时，离地面的高度为，该球在运行过程中离地面的最大高度为_______m； ②若发球机发射出的篮球在运行过程中离地面的最大高度为，求此球落地点离发球机的水平距离； (2)球员小刚训练时发现：当篮球运行到离地面高度为至之间（包含端点）是最佳接球区间，若，求出当a满足什么条件时，距发球机水平距离的小刚在前后不挪动位置的前提下，能在最佳区间接到球． 12．市民广场雕塑安装喷水装置从顶端点处喷出的水柱为抛物线形状，如图，以水平方向为轴，点为原点建立直角坐标系，点在轴上，轴上的点为水柱的落水点，记为水柱喷水的半径，设水柱上点的坐标为，下面的表中记录了关于x，y的五组数据： 1 2 3 4 5 3 (1)求雕塑高； (2)求水柱喷水的半径． 13．小江自制了一把水枪（图1），他将水枪固定，在喷水头距离地面1米的位置进行实验．当喷射出的水流与喷水头的水平距离为2米时，水流达到最大高度3米，该水枪喷射出的水流可以看成抛物线，图2为该水枪喷射水流的平面示意图． (1)求该抛物线的解析式； (2)在距离喷水头水平距离为4米的位置处放置一个障碍物，试问当障碍物的高度小于多少米时，水流能越过该障碍物． 14．如图，儿童公园草坪的地面处有一根直立水管，喷水口可上下移动，喷出的抛物线形水线也随之上下平移，图是其示意图．开始喷水后，若喷水口在处，水线落地点为，；若喷水口上升到处，水线落地点为，． (1)求水线最高点与点之间的水平距离； (2)当喷水口在处时， 求水线的最大高度； 身高的小安要从水线下某点经过，为了不被水喷到，该点与的水平距离应满足什么条件？请说明理由． 15．综合与实践 【问题情境】图1是喷水管从点A向四周喷出水花的喷泉，喷出的水花是形状相同的抛物线．如图2，以点O为原点，建立平面直角坐标系，水平方向为x轴，所在直线为y轴，点C、D为水花的落水点在x轴上，抛物线的解析式为． 【问题解决】 (1)求喷水管的高度； (2)现重新改建喷泉，降低喷水管，使落水点与喷水管的水平距离为，已知喷水管降低后，喷水管喷出的水花抛物线形状不改变，且水柱在距原点的水平距离处达到最高，求喷水管要降低的高度． 16．2024年巴黎奥运会跳水比赛项目中，中国“梦之队”以8金2银1铜完美收官．如图，某跳水运动员进行3米跳板跳水比赛，身体（看成一点）在空中运动的路线是如图所示的一条抛物线，已知跳板长为2米，跳板距离水面的高为3米，跳水曲线在离起跳点水平距离1米时达到距水面最大高度米，现以所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系． (1)当时，求这条抛物线的解析式； (2)在（1）的条件下，求运动员落水点与点的距离； (3)图中米，米，若跳水运动员在区域内（含点）入水时才能达到训练要求，求的取值范围． 17．综合与实践：根据以下素材，探索完成任务． 如何设计大棚苗木种植方案？ 【素材1】如图①是一个大棚苗木种植基地及其截面图，其下半部分是一个长为，宽为的矩形，其上半部分是一条抛物线，现测得，大棚顶部的最高点距离地面． 【素材2】种植苗木时，每棵苗木高．为了保证生长空间，相邻两棵苗木种植点之间间隔，苗木顶部不触碰大棚，且种植后苗木成轴对称分布．（即苗木的数目为偶数个） 【解决问题】 (1)大棚上半部分形状是一条抛物线，设大棚的高度为y，种植点的横坐标为x．根据图②建立的平面直角坐标系，通过素材1提供的信息确定点的坐标，求出抛物线的解析式； (2)探究种植范围．在图②的坐标系中，在不影响苗木生长的情况下（即），确定种植点的横坐标x的取值范围； (3)拟定种植方案．给出最前排符合所有种植条件的苗木数量，并求出最左边一棵苗木种植点的横坐标x的值． 题型六 增长率问题 1．最新报道显示，2023年我国新能源汽车累计销量为万辆，销量逐年增加，若2025年的累计销量为y万辆，平均每年增长率为x，则y关于x的函数解析式为（   ） A． B． C． D． 2．某厂今年一月份新产品的研发资金为10万元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x，则该厂今年一季度新产品的研发资金（元）关于x的函数关系式为（     ） A． B． C． D． 3．公安部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔7月份到9月份的销量，该品牌头盔7月份销售1500个，9月份销售个，设7月份到9月份销售量的月增长率为，那么与的函数关系是（    ） A． B． C． D． 4．为了解决药价虚高给老百姓带来的求医难的问题，国家决定对某药品分两次降价．若设平均每次降价的百分率为x，该药品的原价是50元，降价后的价格是y元，则y与x之间的函数关系式是（   ） A． B． C． D． 5．某种商品的价格是200元，准备进行两次降价，若每次降价的百分率都是x，两次降价后的价格y（元）随每次降价的百分率的变化而变化，则y与x之间的关系式为（   ） A． B． C． D． 1．如图，已知二次函数的图象与x轴的负半轴交于点，与y轴的正半轴交于点B，对称轴直线上有一个动点C，现有下列结论：①；②是方程的一个根；③当时，符合条件的点C有且只有一个．其中所有正确结论的序号是 ． 2．汽车的制动距离是衡量一款车的制动性能的关键性参数之一，它的意思是在车辆处于某一时速的情况下，从开始制动到汽车完全静止时，车辆所开过的路程．制动距离越小，汽车的制动性能就越好．一般的道路制动距离（单位：）与车辆速度（单位：）之间的关系满足：．现测得几组对应值如下表： 20 30 40 50 60 70 …… 2 4.5 8 12.5 18 24.5 …… (1)写出制动距离与车辆速度之间的关系式． (2)某一路段的限速为，如果一辆汽车超速，则该汽车的制动距离将延长多少米？ (3)如图，一辆长为以的速度匀速行驶的小车行驶在路上，前方有一座桥，桥面宽．当车头外轮廓线距离桥侧面的距离为时，司机开始制动，车恰好停在桥上（车头和车尾的外轮廓线完全在桥面上），求的取值范围． 3．初二一班同学到实践基地参加综合实践活动．基地讲解员：“同学们看到的大棚的横截面顶部为抛物线，大棚的一端固定在离地面高1m的墙体处，另一端固定在离地面高2m的墙体处．”该班同学对横截面建立如图所示平面直角坐标系．已知大棚上某处离地面的高度与其离墙体的水平距离之间的关系满足，现测得A，B两墙体之间的水平距离为4m． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)某同学发现一树苗，树顶刚好触碰到大棚顶部（如图），通过测量她发现该树苗与墙体之间的水平距离为0.5米，请求出该树苗的高度． 4．如图平面直角坐标系中，运动员通过助滑道后在点A处起跳经空中飞行后落在着陆坡上的点处，他在空中飞行的路线可以看作抛物线的一部分．从起跳到着陆的过程中，运动员到地面的竖直距离y（单位：m）与他在水平方向上移动的距离（单位：m）近似满足二次函数关系，已知，，落点到的水平距离是，到地面的竖直高度是． (1)求y与的函数表达式； (2)进一步研究发现，运动员在空中飞行过程中，其水平方向移动的距离（m）与飞行时间t（秒）具备一次函数关系，当他在起跳点腾空时，，；当他在点着陆时，飞行时间为5秒． ①求与t的函数表达式； ②当运动员与着陆坡在竖直方向上的距离达到最大时，求出此时他飞行时间t的值． 5．随着时代的进步，我国交通出行结构发生根本性变化．汽车出行成为交通常态．某数学兴趣小组观察校门口的汽车发现，很多车部贴上了保持车距的贴纸．小组成员产生了一个困惑——“保持怎样的车距才能保障道路安全?”为解决这一困惑．小组成员分上开展活动： 成员小金查阅某型号汽车官网数据得到汽车行驶速度与刹车距离的关系如下表．（刹车距离：从发现前方道路有异常情况到车辆完全停止所行驶的距离．） 某型号汽车行驶速度x（m/s）与刹车距离y（m）的关系 行驶速度（） 0 5 10 15 20 25 30 刹车距离（） 0 3.25 9 17.25 28 41.25 57 (1)任务1： 小金认为该型号汽车的行驶速度（）与刹车距离（）之间存在函数关系，请你协助小金画出函数图像，并直接写出该函数解析式． (2)任务2： 成员小芳发现小区门口路段限速．请你帮小芳计算，如果该型号汽车以最高限速行驶，至少保持多少车距才能保障道路安全? (3)任务3： 实际驾驶过程中，驾驶员难以预估与前车的距离，且难以实时计算不同行驶速度对应的安全距离．是否存在简单、实用且能维持适当安全距离的方案?小组成员带着困惑与陈老师进行交流，陈老师分享了他保持车距常用的方案“2秒定律”——跟车行驶时设定一个参照物，前车超越参照物后，后车如果在两秒内到达该参照物，说明与前车的距离不足，反之距离充足．你认为陈老师常用的“2秒定律”是否适用于该型号汽车的日常驾驶（）?如果适用，说明理由；如果不适用，请求出“2秒定律”的适用范围． 6．如图是南水北调某段河道的截面图．河道轮廓为某抛物线的一部分，小红在枯水期测得河道宽度米，河水水面截痕米，水面到河岸水平线的距离为7.5米，以点为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，解决如下问题：    (1)求河道轮廓的函数表达式，并求此时最大水深为多少米？ (2)在丰水期，测得水面到的距离为米，求此时水面截痕的长； (3)在（2）的条件下，小红乘坐小船游弋到河道正中央时，向右侧河岸抛出一个小球，小球恰好落在点处，小球飞行过程中到水面最大距离是8米，若小红抛球的力道和角度不改变，要想让小球飞到河岸上（即点右侧），求小红的小船至少要向右划行多少米？ 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$ 5.7（第1课时）二次函数的应用 题型一 图形问题 1．用长为的铝合金条制成如图所示的矩形窗框，设为x（），则窗框的透光面积关于x（）的函数表达式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，得，根据矩形的面积公式解答即可． 本题考查了矩形的周长与面积，函数的表达式，熟练掌握矩形的性质是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得， 故窗框的透光面积关于x（）的函数表达式为． 故选：C． 2．在平面直角坐标系中，已知点，，连结，在线段上有一动点P，过点P作轴，轴，垂足分别是M，N，记四边形的面积为S，则S的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的应用，先求出直线的解析式为，再设点P的坐标为，用含p的二次函数表示出S，利用二次函数的性质求出的最大值和最小值即可． 【详解】解：设直线的解析式为， 将，代入，得， 解得， 直线的解析式为， 动点P在线段上， 设点P的坐标为，其中， 轴，轴， 四边形为矩形，，， ， ，， 当时，取最大值，最大值为， ， 当时，取最小值，最小值为， ， 故答案为：． 3．如图1，有两面互相垂直且长度均为10米的墙，现要建一个矩形花圃，矩形两边由墙围成，另两边和中间隔离带用篱笆围成，篱笆总长24米，隔离带，均与接触的墙垂直． (1)若矩形花圃面积为32平方米，求长； (2)求能围成的矩形花圃的最大面积； (3)因种植需要，仍利用24米的篱笆将花圃重建成如图2所示的矩形花圃，求能围成的矩形花圃的最大面积． 【答案】(1)长4米或8米 (2)矩形花圃的最大面积为36平方米 (3)矩形花圃的面积最大值为70平方米 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用、二次函数的应用、一元一次不等式的应用等知识，理解题意，弄清数量关系是解题关键． （1）设米，根据矩形面积可得，求解即可获得答案； （2）设米，矩形花圃面积为平方米，根据题意可得关于的二次函数解析式，然后根据二次函数的性质即可获得答案； （3）设米，矩形花圃面积为平方米，根据题意确定的取值范围，然后建立关于的二次函数解析式，根据二次函数的性质即可获得答案． 【详解】（1）解：设米， 根据题意可得， 解得，， 答：长4米或8米； （2）设米，矩形花圃面积为平方米， 根据题意，可知， 当时，此时，，有最大值36， 所以，矩形花圃的最大面积为36平方米； （3）设米，矩形花圃面积为平方米， 则有， ∴， ∴， ∴当时，矩形花圃的最大值为70平方米． 题型二 图形与运动问题 1．如图，四边形是边长为的正方形，分别为边的中点，点O为正方形的中心，连接，点P从点E出发，沿运动，同时点Q从点B出发，沿运动，两点运动的速度均为，当点P运动到点F时，两点同时停止运动，连接．设运动时间为的面积为，下列图象能大致反映S与t之间函数关系的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正方形的性质，二次函数的解析式， 一次函数解析式，正确确定面积，从而确定解析式是解题的关键．分 和 两种情形，确定解析式，判断即可． 【详解】解：当时， ∵正方形的边长为，点为正方形的中心， ∴直线垂直， ∴点到直线的距离为 ； 其图象是一段开口向下的抛物线； 当时， ∵正方形的边长为， 点， 点分别为边中点，点为正方形的中心， ∴直线， ∴点到直线的距离为，， ； 其图象是一条线段； 观察四个选项，选项D符合题意； 故选：D． 2．如图，在中，，，．动点从点出发，以每秒的速度沿向终点移动，同时动点从点出发，以每秒的速度沿向终点移动，连接，设移动时间为（）． (1)当时，求的值． (2)设四边形的面积为，求与之间的函数关系式： (3)是否存在某一时刻，使以，，为顶点的三角形与相似？若存在，求出相应的值：若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在以，，为顶点的三角形与相似，或 【分析】（1）因为，，所以当时，则，解方程即可求解； （2）过点作于点，则，根据得，利用可求出函数关系式； （3）分和两种情况讨论． 【详解】（1）解：如图所示： ∵在中，，，． ∴根据勾股定理，得． ， 当时，则， 解得：， ∴当时，； （2）过点作于点，则． ∴ ∴， 即， ∴， ， ∴， 即； （3）存在以M，P，A为顶点的三角形与相似，分两种情况： ①当时，， 即， 解得：； ②当时，， 即， 解得：． 综上所述，当或时，以M，P，A为顶点的三角形与相似． 【点睛】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，函数关系式，熟练掌握以上知识是解题的关键． 3．如图1，抛物线与x轴、y轴分别交于点、、点C三点． (1)试求抛物线的解析式； (2)点在第一象限的抛物线上，连接．试问，在对称轴左侧的抛物线上是否存在一点P，满足？如果存在，请求出点P点的坐标；如果不存在，请说明理由； (3)如图2，在（2）的条件下，将沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度向右平移，记平移后的三角形为．在平移过程中，与重叠的面积记为S，设平移的时间为t秒，试求S与t之间的函数关系式？ 【答案】(1) (2)存在， (3) 【分析】（1）将点A、B代入抛物线解析式，求出a、b值即可得到抛物线解析式； （2）根据已知求出点D的坐标，证明，利用全等三角形性质求出点G的坐标，写出直线解析式，联立二次函数解析式，求出点P坐标； （3）分两种情况，第一种情况重叠部分为四边形，利用大三角形减去两个小三角形求得解析式，第二种情况重叠部分为三角形，可利用三角形面积公式求得． 【详解】（1）解：将、代入抛物线， ， 解得：，． 故抛物线解析式为：． （2）解：存在 将点D代入抛物线解析式得：， ∴， 令，， ∴， ∴， ∴， 如图， 在y轴上取点G，使， 在与中 ∵、、 ∴， ∴， ∵点， 设直线， 代入点， ∴， ∴直线， 联立直线和二次函数解析式： ， 解得：或（舍）， ∴． （3）解：直线，直线， 当时，如图： 设直线 联立直线求得， ， 整理得：． 当时，如图： ，， ， 整理得： 综上所述：． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求函数解析式，二次函数图象的坐标特征，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，动态问题和二次函数的结合，熟练待定系数法是解题的关键． 4．已知：如图，是边长的等边三角形，动点同时从两点出发，分别沿方向匀速移动，它们的速度都是，当点到达点时，两点停止运动．设点的运动时间为，解答下列问题： (1)当为何值时，是直角三角形？ (2)当为何值时，是等腰三角形？ (3)设四边形的面积为，求与的关系式． 【答案】(1)当的值为1秒或2秒时，是直角三角形 (2)当的值为秒时，是等腰三角形． (3) 【分析】（1）分情况进行讨论：①；②．然后在直角三角形中根据的表达式和的度数进行求解即可． （2）根据构建方程即可解决问题． （3）先用的面积的面积表示出四边形的面积，即可． 【详解】（1）解：根据题意得， 中，，， ， 中，，若是直角三角形，则或， 当时，， 即， 解得：（秒）， 当时，， 即， 解得：（秒）， 答：当的值为1秒或2秒时，是直角三角形； （2）解：，是等腰三角形， 是等边三角形， ， ， ， 则秒时，是等腰三角形． （3）解：如图，过P作于，过A作于， 在中，， ， ， 是等边三角形，， ， ， ， ． 【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了直角三角形的判定、等边三角形的面积公式，图形面积的求法、勾股定理等知识点，解题的关键是学会用方程的思想解决问题，属于中考常考题型． 题型三 拱桥问题 1．建水双龙桥，俗称“十七孔桥”，位于云南省建水县，是一座具有极高历史，艺术和科学价值的古桥，如图，古桥横断面是抛物线形状，当水面在时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面，水面宽．则水面上升米后水面宽度为 米． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的应用，以抛物线的顶点为原点建立平面直角坐标系，设抛物线解析式为，利用待定系数法可得抛物线解析式为，把代入可得，据此即可求解，正确建立平面直角坐标系是解题的关键． 【详解】解：如图，以抛物线的顶点为原点建立平面直角坐标系， 设抛物线解析式为，将点代入得，， 解得， ∴抛物线解析式为， 当时，， 解得， ∴当水面上升米后水面宽度为米， 故答案为：． 2．如图是抛物线形拱桥，以顶点建立平面直角坐标系满足，此时拱顶离水面，若再下降时，水面宽度增加 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了实际问题与二次函数．根据二次函数的图象分别求得当或时，x的值，进而可求解． 【详解】解：依题意得： 当时，， 此时水面宽度为， 再下降，即当时，， 此时水面宽度为， 水面宽度增加：， 故答案为：． 3．如图，在水平地面点A处有一网球发射器向空中发射网球，网球飞行路线是一条抛物线，在地面上落点为B，小武在直线上点C（靠点B一侧）竖直向上摆放若干个无盖的圆柱形桶，已知米，米，网球飞行最大高度米，圆柱形桶的直径为米，高为米（网球的体积和圆柱形桶的厚度忽略不计）．当竖直摆放圆柱形桶至少 个时，网球能落入桶内． 【答案】5 【分析】本题考查了抛物线的问题，解题的关键是需要建立适当的平面直角坐标系，根据已知条件，求出相关点的坐标，确定解析式，这是解答其它问题的基础． 以抛物线的对称轴为轴，水平地面为轴，建立平面直角坐标系，设解析式，结合已知确定抛物线上点的坐标，代入解析式确定抛物线的解析式，由圆桶的直径，求出圆桶两边缘纵坐标的值，确定的范围，根据为正整数，得出的值，即可得到当网球可以落入桶内时，竖直摆放圆柱形桶个数． 【详解】解：以点为原点，所在直线为轴建立直角坐标系（如图）， ，，， 设抛物线的解析式为， ∵抛物线过点和点， ∴ ∴，， 抛物线解析式为：； 当时，； 当时，． ，在抛物线上； 设竖直摆放圆柱形桶个时网球可以落入桶内， 由题意，得，， 解得：， 为整数， 的最小整数值为：5， 竖直摆放圆柱形桶至少5个时，网球可以落入桶内． 故答案为：5． 4．如图1，一大桥主桥拱呈抛物线状，主桥拱两侧各由10根钢索固定．两侧主桥拱示意图如图2所示，已知，其中最短的钢索，每两根钢索的间距均为2m． (1)请在图2中建立适当的平面直角坐标系，并求出抛物线的函数解析式． (2)求最长钢索的长度． 【答案】(1)图见解析，（说明：坐标系建立不同，解析式不同，但a相同） (2)6m 【分析】本题主要考查二次函数的应用，理解题意，建立适当的直角坐标系确定解析式是解题关键． （1）以点为原点，所在直线为x轴，建立直角坐标系，得出，，，利用待定系数法求解即可； （2）根据题意得出最长钢索的横坐标为，代入（1）中解析式求解，然后结合题意即可得出结果． 【详解】（1）如图，建立如图所示平面直角坐标系． 由题意得：，， 设抛物线解析式为： 把代入得： 解得：     ∴抛物线解析式为     （说明：坐标系建立不同，解析式不同，但a相同） （2）把代入得 答：最长钢索的长度为6m． 5．完成项目化学习：《蔬菜大棚的设计》． 驱动问题 1、如何利用函数模型，刻画蔬菜大棚的棚面？ 2、如何安装排气装置，保证蔬菜大棚的通风性？ 3、如何设计大棚间距，保障蔬菜大棚的采光性？ 项目背景 蔬菜大棚是一种具有出色的保温性能的框架覆膜结构，它出现使得人们可以吃到反季节蔬菜．如图，一般蔬菜大棚使用竹结构或者钢结构的骨架，这样就形成了一个温室空间． 数学建模 如图，某个温室大棚的横截面可以看作矩形和抛物线构成，其中，，取中点O，过点O作线段的垂直平分线交抛物线于点E，所在直线为x轴，为y轴建立如图所示平面直角坐标系．抛物线的顶点，求抛物线的解析式． 问题解决 如图，为了保证该蔬菜大棚的通风性，该大棚要安装两个正方形孔的排气装置，若，求两个正方形装置的间距的长． 问题解决 为了保证两个蔬菜大棚间的采光不受影响，如图，在某一时刻，太阳光线透过A点刚好照射到C点，此时大棚截面的阴影为，求的长． 【答案】数学建模：；问题解决：；问题解决：的长为． 【分析】本题考查二次函数的应用，一次函数的应用． 数学建模：根据题意求得，进而根据待定系数法即可求出抛物线的解析式； 问题解决：根据抛物线的解析式求出点G和点M的坐标，即可求出的长； 问题解决：先求出直线的解析式，再求出与直线平行的直线的解析式，即可求出的长． 【详解】解：数学建模：∵抛物线的顶点， ∴可设抛物线的解析式为， ∵，，是的中点，则， ∴， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为； 问题解决：由题意，可知、的纵坐标为， 代入函数解析式，得， 解得， ∴点L，R的坐标分别为，， ∴点G，M的坐标分别为，， ∴， 答：两个正方形装置的间距的长为； 问题解决：设直线的解析式为， 点A，C的坐标分别为，， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， ∴设过点且与直线平行的直线为，其解析式为， 其与抛物线只有唯一一个交点， ∴有两个等根， 即一元二次方程有两个等根， ∴， 解答， ∴直线的解析式为， 当时，即， 解得， ∴， ∵， ∴． 答：的长为． 6．如图，有一座抛物线型拱桥，在正常水位时，水面宽为，水位上升就达到警戒线，这时水面宽米． (1)建立适当的直角坐标系，求抛物线的函数表达式． (2)若洪水到来时，水位以每时的速度上升，从警戒线开始，再持续多久就达到拱桥顶？ 【答案】(1)图见解析； (2)5小时 【分析】本题考查二次函数的应用， （1）以抛物线的顶点为原点，建立平面直角坐标系，设所求抛物线的解析式为：，把，则代入解方程组即可； （2）由（1）可求得点坐标，进而可得拱桥顶到正常水位的距离，进而求出时间． 【详解】（1）解：如图所示，以抛物线的顶点为原点，建立平面直角坐标系， 设所求抛物线的解析式为：， 由，可设， 由，水位上升就达到警戒线， 则， 把、的坐标分别代入得： ， 解得：， ； （2）， 拱桥顶到的距离为， 小时， 所以再持续小时到达拱桥顶． 7．高速隧道是为了更好地适应地形、保护环境、节省土地和提高通行效率等方面的需要，除此之外高速隧道还有重要的战略意义．如图所示，某高速隧道的下部近似为矩形，上部近似为一条抛物线．已知米，米，高速隧道的最高点P（抛物线的顶点）离地面的距离为6米． (1)建立如图所示的平面直角坐标系，求抛物线的解析式； (2)若在高速隧道入口的上部安装两个车道指示灯E，F，若平行线段与之间的距离为米，则点E与隧道左壁之间的距离为多少米？ 【答案】(1) (2)米 【分析】（1）根据题意，得到，，得到抛物线的对称轴为设抛物线的解析式为，把代入解析式，解方程即可求抛物线的解析式． （2）根据题意，得点E与的距离为米，当时，求自变量的值，解答即可． 本题考查了抛物线的顶点式坐标求解析式，矩形的性质，根据函数值求自变量的值，熟练掌握待定系数法求解析式是解题的关键． 【详解】（1）解：∵矩形，上部近似为一条抛物线．米，米，高速隧道的最高点P（抛物线的顶点）离地面的距离为6米． ∴米，顶点P的纵坐标为6， ∴，， ∴抛物线的对称轴为， 设抛物线的解析式为， ∴， 解得， 故抛物线的解析式为：． （2）解：根据题意，得点E与的距离为米， 当时， ， 解得，（舍去）， 故点E与隧道左壁之间的距离为米． 题型四 销售问题 1．某商店经销一种成本为每千克40元的水产品，据市场分析，按每千克50元销售，一个月能售出．售价每涨1元，月销量就减少．若要使月销售利润达到最大，则销售单价应定为每千克（  ） A．55元 B．60元 C．65元 D．70元 【答案】D 【分析】本题考查二次函数解决利润问题，解题的关键是找到等量关系列出函数及配方． 根据利润利润单价数量即可得到利润关于销售单价的函数关系式，再利用二次函数求最值即可． 【详解】解：设销售单价为x元，月销售利润为y元，由题意可得， ， 且， ∴， ∵， ∴当时，y最大． 故选：D． 2．某商店一月份销售额为万元，月平均增长率，一季度的销售额为万元，那么关于月平均增长率的函数解析式是 ． 【答案】 【分析】本题考查了求函数解析式，理解题意，找到变量之间的关系是解题的关键． 根据题意分别把二月份、三月份的销售额表示出来，由一季度的销售额为万元即可求出函数解析式． 【详解】一月份销售额为万元， 二月份销售额为万元， 三月份的销售额为万元， 根据题意可得，， 故答案为：． 3．某市今年第一季度的专项教育投入为亿元，第二季度比第一季度增长的百分比为，第三季度增长的百分比是第二季度增长百分比的倍，则第三季度专项教育投入（亿元）关于的函数关系式为 ．（不要求写自变量的取值范围） 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的应用，由题意得今年第二季度的专项教育投入为亿元，则今年第二季度的专项教育投入为亿元，然后化简即可，读懂题意，列出关系式是解题的关键． 【详解】解：由题意得：今年第二季度的专项教育投入为亿元， ∴今年第二季度的专项教育投入为亿元， 故答案为：． 4．天台黄精是一味药食同源的中药材．某商家准备在市场上销售天台黄精，经过市场调研发现，黄精的成本为每千克200元，其销售价格x（元/千克）（）与每周的销售量y（千克）之间存在一次函数关系．当销售价格为每千克360元时，每周的销售量为200千克；当销售价格为每千克400元时，每周的销售量为160千克． (1)求销售量y与销售价格x之间的函数关系式； (2)设该商家销售天台黄精每周的利润为W元，求利润W的最大值． 【答案】(1) (2)32400 【分析】本题考查二次函数的应用，待定系数法求一次函数解析式，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式，利用二次函数的性质求最值． （1）设y与x之间的函数关系式为，根据当销售价格为每千克360元时，每周的销售量为200千克；当销售价格为每千克400元时，每周的销售量为160千克．可以求得销售量y与销售价格x之间的函数关系式； （2）根据每周总利润=每千克利润×销售量列出函数解析式，根据函数的性质求最值即可． 【详解】（1）解：设y关于x的函数表达式为． 将和分别代入，得： ， 解得：， ∴y关于x的函数表达式是：； （2）解：， ∴当时，在的范围内， 把 W取到最大值，最大值是32400元． 答：利润W的最大值是32400元． 故答案为：32400． 5．“一分钟跳绳”是中考体育考试科目之一，近年来受到社会各界的高度重视．某经销商抓住商机，以每件10元的价格购进一种跳绳，销售时该跳绳的销售单价不低于进价且不高于18元．经过市场调查发现，该跳绳的每天销售数量（条）与销售单价（元）之间满足一次函数关系，部分数据如下表所示： 销售单价元 … 15 16 17 … 每天销售数量条 … 30 28 26 … (1)求与之间的函数关系式； (2)设销售这种跳绳每天获利（元），当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大获利是多少元？ 【答案】(1) (2)当销售单价为18元时，每天获利最大，最大获利192元 【分析】本题考查了一次函数解析式的确定，二次函数的应用，解题的关键是理解题意． （1）利用待定系数法求解即可； （2）根据题意可列出w与x的函数关系式，再根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设函数的解析式为， 根据题意，得， 解得：， ∴与之间的函数关系式． （2）解：设销售这种跳绳每天获利（元）， 根据题意，得 ， ， ∴有最大值， ∵，且点与对称轴的距离越小，函数值越大，且， 故当时，取得最大值，最大值为（元）， 答：当销售单价为18元时，每天获利最大，最大获利192元． 6．某公司销售某种电子产品，该产品的进价为元/件，根据市场调查发现，该产品每周的销售量（单位：件）与售价（单位：元/件）（为正整数）之间满足一次函数的关系，如表记录的是某三周的有关数据． （元/件） （件） (1)求与的函数表达式（不求自变量的取值范围）； (2)若某周该产品的销售量不少于件，求这周该商场销售这种产品获得的最大利润． 【答案】(1) (2)元 【分析】本题主要考查一次函数的应用，一元一次不等式的应用，二次函数的应用，解题时要能读懂题意，根据等量关系或不等关系正确列出函数关系式和不等式是关键． （1）设与的函数表达式为，根据待定系数法即可求解； （2）设这周该商场销售这种产品获得的利润为，根据某周的销售量不少于件可得的取值范围，再列出关于的函数关系式，再根据二次函数的性质求出最大值即可． 【详解】（1）解：设与的函数表达式为， 将，代入， 得：， 解得：， ∴与的函数表达式为； （2）解：设这周该商场销售这种产品获得的利润为元， ∵销售量不少于件， ∴， 解得：， ∴ ， ∵， ∴在对称轴直线左侧，函数值随自变量的增大而增大， ∴时，有最大值，最大值为． ∴这周该商场销售这种产品获得的最大利润为元． 7．某公司生产医用口罩供应市场，每件制造成本为元，试销过程中发现，每月销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的关系满足下表． 销售单价x（元/件） … 2 3 4 … 每月销售量y（万件） … 6 5 4 2 … (1)在你学过的一次函数、反比例函数和二次函数等三种函数中，哪种函数能恰当地描述y与x的变化规律，并直接写出函数表达式； (2)如果公司每月的制造成本不超过万元，那么当销售单价为多少元时，公司每月获得的利润最大？最大利润为多少万元？ 【答案】(1)一次函数， (2)当销售单价为元时，厂商每月获得的利润最大，最大利润为万 【分析】本题考查了一次函数与二次函数的应用，解一元一次不等式，正确得到一次函数与二次函数解析式是解题的关键． （1）由表格数据知，y与x之间的函数关系式为一次函数，然后利用待定系数法求解即可； （2）设总利润为w，由题意得，，把（1）中求得的函数式代入得到关于x的二次函数，利用二次函数的知识即可求得最大利润； 【详解】（1）解：由表格中数据可得：y与x之间的函数关系式为一次函数， 设y与x之间的函数关系式为， 把代入得：， ， y与x之间的函数关系式为； （2）解：设总利润为w，由题意得， ； 公司每月的制造成本不超过万元，每件制造成本为元， 每月的生产量小于等于3万件，即．解得：， ， 图象开口向下，对称轴右侧w随x的增大而减小， 时，w最大，最大值为． 答：当销售单价为元时，厂商每月获得的利润最大，最大利润为万． 8．某文具店出售一种新上市的文具，每套进价为20元，在销售过程中发现，当销售单价为25元时，日销售量为250套，销售单价每上涨1元，日销售量就减少10套． (1)设日销售量为y套，销售单价为x元，则y＝ ．（用含x的代数式表示） (2)设销售该文具的日利润为w元，求销售单价为多少元时，当日的利润最大，最大利润是多少？ (3)临近儿童节，文具店准备搞促销活动，顾客每购买一套文具，就送一袋价值m元的小零食（），要使该文具销售单价不低于30元，日销售量不少于160套时，日销售最大利润是2112元，求m的值． 【答案】(1) (2)销售单价为35元时，当日的利润最大，最大利润是2250元 (3)0.8 【分析】（1）根据“销售单价每上涨1元，日销售量就减少10套”列出函数关系式即可； （2）根据，销量×每件利润=总利润，列式，配方，利用二次函数最值求法得出答案； （3）根据“该文具销售单价不低于30元，日销售量不少于160套”得到x的范围，根据题意列式，找到当时，w有最大值，即可求解． 本题考查了二次函数的应用——销售利润问题，熟练掌握总利润与每个利润和件数的关系，建立函数模型，二次函数与方程，二次函数的图象和性质，是解题关键． 【详解】（1）解：由题意，∵销售单价每上涨1元，日销售量就减少10套， ∴日销售量为，即， 故答案为：， （2）解：由题意，∵日销售量为， ∴销售该文具的日利润为， ∵， ∴当时，w取最大值，最大值为2250． 答：销售单价为35元时，当日的利润最大，最大利润是2250元． （3）解：由题意，∵该文具销售单价不低于30元，日销售量不少于160套， ∴， ∴， 又此时日销量利润， ∴对称轴为直线． ∵， ∴当时，w随x的增大而增大， ∴当时，w有最大值， ∴， ∴． 9．某商场销售一种商品，进价为每个20元，规定每个商品售价不低于进价，且不高于60元．经调查发现，每天的销售量（个）与每个商品的售价（元）之间满足一次函数关系，其部分数据如表所示： 每个商品的售价（元） … 30 40 50 … 每天的销售量（个） … 100 80 60 … (1)求与之间的函数关系式； (2)设商场每天获得的总利润为（元），求与之间的函数关系式； (3)不考虑其他因素，当商品的售价为多少元时，商场每天获得的总利润最大?最大利润是多少? 【答案】(1) (2) (3)当商品的售价为50元时，商场每天获得的总利润最大，最大利润是1800元 【分析】本题主要考查二次函数的应用． （1）待定系数法求解可得； （2）根据“总利润每千克利润销售量”可得函数解析式； （3）将所得函数解析式配方成顶点式即可得最值情况． 【详解】（1）解：由题意可设与之间的函数关系式为， ∴， 解得， ∴与之间的函数关系式为； （2）解：由题意可得： ， 即w与x之间的函数表达式是； （3）解：，， ∵， ∴其图象开口向下， ∴当时，取得最大值，最大值为1800， 答：当商品的售价为50元时，商场每天获得的总利润最大，最大利润是1800元． 10．某商业公司为指导某种应季商品的生产和销售，对三月份至七月份该商品的售价和生产进行了调研，结果如下：一件商品的售价M（元）与时间t（月）的关系可用一条线段上的点来表示（如图甲），一件商品的成本（元）与时间t（月）的关系可用一条抛物线上的点来表示，其中6月份成本最高（如图乙）． 根据图象提供的信息解答下面问题： (1)一件商品在6月份出售时的利润是多少元？（利润售价成本） (2)求出图（乙）中表示的一件商品的成本Q（元）与时间t（月）之间的函数关系式； (3)请求出3月份至7月份一件商品的利润W（元）与时间t（月）之间的函数关系式．若该公司能在一个月内售出此种商品6万件，请你计算该公司在一个月内最少获利多少元？ 【答案】(1)4 (2)（，t为整数） (3)W，获利220000元． 【分析】本题考查二次函数的实际应用，一次函数的实际应用，从函数图象中有效的获取信息，正确的列出函数解析式是解题的关键： （1）用6月份的售价减去成本计算即可； （2）待定系数法求出函数解析式即可； （3）利用利润等于售价减成本，列出函数解析式，根据二次函数的性质，求最值即可． 【详解】（1）解：由图可知，这件商品六月份出售时的利润（元）； （2）由题意和图可知，抛物线的顶点坐标为， 设Q与t之间的关系式为， 把代入，得：， 解得a， ∴（，t为整数）； （3）由题意得，，设， ∵点满足此式， ∴， 解得， ∴， ∴， ∵， ∴在5月份时出售这件商品的最低利润为元， 一个月内售出60000件这种商品的最少利润（元）， 答：一个月内售出6万件这种商品的最少利润是220000元． 题型五 投球问题 1．在投掷铅球项目中，铅球脱手后的飞行路线可以看做如图所示抛物线的一部分．设铅球落地点离投掷者的距离为，则S的范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是掌握二次函数的性质．根据题意，设抛物线的解析式为，将点代入求出函数解析式，令，即可求解． 【详解】解：根据题意，设抛物线的解析式为， 将点代入得：， 解得：， 抛物线的解析式为， 令，则， 解得：， 由图可知， ， ， ， 故选：B． 2．如图，小刚在某次投篮中，球的运动路线是抛物线的一部分，若命中篮圈中心，则他与篮底的距离l是（    ） A． B． C． D．都不对 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，数形结合并熟练掌握二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键．由题意可得关于x的一元二次方程，求得方程的解并根据问题实际作出取舍，然后加上3即可得出答案． 【详解】解：由题意可得，当时，有： 整理得：， 解得：（舍），， ∴他与篮底的距离（米）， 故选：C． 3．要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高，高度为3m，水柱落地处离池中心3m，则水管的长为（   ） A．m B．2m C．m D．1m 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的实际应用，根据题意，建立平面直角坐标系，设抛物线的解析式为：，把代入，求出函数解析式，进而求出抛物线与轴的交点即可． 【详解】解：如图，以水池中心为原点，原点与水柱落地处所在直线为x轴，水管所在直线为y轴，建立平面直角坐标系， 由题意，抛物线的顶点坐标为，与轴的一个交点坐标为， 设抛物线的解析式为：， 把代入抛物线解析式得：， ∴， ∴， ∴当时，， 即：水管的长为m； 故选A． 4．随着自动化设备的普及，家庭庭院也引入自动喷灌系统．从喷水口喷出的水柱成抛物线形．如图是该喷灌器喷水时的截面示意图，喷水口点离地高度为，喷出的水柱在离喷水口水平距离为处达到最高，高度为，且水柱刚好落在庭院围墙和地面的交界点处．喷灌器与围墙的距离为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的应用，解答本题的关键是根据题意，求出相应的函数解析式． 先建立平面直角坐标，再求出相应的函数解析式，再令求出的值，即可得到的值． 【详解】解：如图，建立平面直角坐标系， 设抛物线的解析式为， ∵点在函数图象上， ∴， 解得， ∴， 当时，， 解得，（不符合题意，舍去）， ∴ 故选：C． 5．如图，铅球运动员掷铅球的高度与水平距离之间的函数关系式是，则该运动员此次掷铅球的成绩是 ． 【答案】6 【分析】本题考查二次函数的实际应用，求出抛物线与轴的交点坐标，即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴当时，， 解得：或（舍去）； ∴该运动员此次掷铅球的成绩是； 故答案为：6． 6．如图，小亮同学投掷实心球，出手（点处）的高度是，出手后实心球沿一段抛物线路径运动．实心球到达最高点时，与小亮的水平距离是，高度是．若实心球的落地点为，则 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的实际应用，根据题意设出二次函数的解析式为，待定系数法求出函数解析式，再令，求出自变量的值，进而求出的长即可． 【详解】解：由题意设二次函数的解析式为，点， ∴， ∴， ∴， 当时，， 解得：或（舍去）； ∴； 故答案为：． 7．某排球队员站在发球区发球，排球发出后向正前方行进，行进高度与水平距离之间函数的表达式是 求： (1)已知发球点到排球网的水平距离为，网高，排球是否能打过网？ (2)当排球走过的水平距离是多少时，排球距离地面最高？ (3)已知排球场地的长为，排球将落在界内还是界外？ 【答案】(1)排球不能打过网 (2)当排球走过的水平距离是时，排球距离地面最高 (3)排球落在界内 【分析】本题主要考查了二次函数在实际问题中的应用，明确二次函数的值与排球的高度的关系及二次函数的性质是解题的关键． （1）计算当时的函数值，将函数值与比较即可解答； （2）将二次函数解析式化成成顶点式，再根据二次函数的性质求解即可； （3）计算当时的函数值，当时，排球将落在界内；当时，排球落在边界上；当时，排球落在界外，据此判定即可． 【详解】（1）解：把代入得： ， 故排球不能打过网． （2）解：∵， ∴当排球走过的水平距离是时，排球距离地面最高． （3）解：当时，， ∴排球落在界内． 8．图1展示的发石车是古代一种攻城器械，据《三国志》记载：曹操创制发石车，攻破袁绍军壁楼．如图，发石车位于点处，其前方有一堵壁楼，其防御墙的竖直截面为矩形，墙宽为米，点与点的水平距离为米，垂直距离为米．以点为原点，水平方向为轴方向，建立平面直角坐标系，将发射出去的石块当作一个点看，其飞行路线可以近似看作抛物线的一部分． (1)若发射石块在空中飞行的最大高度为米． ①求抛物线的解析式（不用写出的取值范围）； ②石块能否飞越防御墙． (2)若要使石块恰好落在防御墙顶部上（不包括端点，，直接写出的取值范围． 【答案】(1)①；②不能 (2) 【分析】本题考查了二次函数的实际应用； （1）①根据题意，设石块运行的函数关系式为，将代入解析式，待定系数求得； ②将代入，得出，将代入，得出，即可求解． （2）根据抛物线过原点，可得，将分别代入求得的值，进而结合题意，即可求解． 【详解】（1）解：①设石块运行的函数关系式为， 将代入，得，解得． 所以抛物线的解析式为． ②石块不能飞跃防御墙． 理由如下：将代入，； 将代入，．所以石块不能飞跃防御墙． （2）解：∵过点 ∴ ∴ ∴ 依题意分别代入， 即或 解得： 或 ∴． 9．羽毛球作为国际球类竞技比赛的一种，发球后羽毛球的飞行路线可以看作是抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系，羽毛球从发出到落地的过程中竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系．某次发球时，羽毛球的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下： 水平距离x/m 0 2 4 6 8                竖直高度y/m (1)根据上述数据，求y与x之间的函数关系式； (2)已知羽毛球场的球网高度为，当发球点距离球网时，羽毛球能否越过球网？请说明理由． 【答案】(1) (2)羽毛球能越过球网，理由见解析 【分析】本题考查二次函数的实际应用，理解题意找出顶点坐标，再利用待定系数法求函数解析式是解题关键． （1）由表格可知抛物线的顶点为，即得出抛物线解析式为，再将点代入，求出a的值即可； （2）令时，求出y的值，再与羽毛球场的球网高度比较即可． 【详解】（1）解：由表格得：抛物线的顶点为，且过点， ∴， ∴， 解得：， ∴y与x之间的函数关系式为； （2）解：羽毛球能越过球网， 理由：当时，， ∴羽毛球能越过球网． 10．从地面竖直向上抛出一小球，小球离地面的高度与小球的运动时间之间的函数关系式是． (1)求小球落回地面时对应的值； (2)求小球运动中离地面的最大高度； (3)某科学小组在研究小球运动过程中，汇总小组成员得出的结论如下： ①小球从抛出到落地需要； ②小球运动中的高度不能达到； ③小球运动时的高度小于运动时的高度． 上述结论中，正确结论的序号为 ． 【答案】(1) (2) (3)②③ 【分析】本题考查二次函数的应用， （1）当时，得，求解即可； （2）将化为顶点式，可得结论； （3）根据（1）可判断①；根据（2）可判断②；分别求出当、时对应的的值，再进行比较即可判断③； 正确理解题意，掌握二次函数的图像与性质是解题的关键． 【详解】（1）解：当时，得：， 解得：或（不符合题意，舍去）， ∴小球落回地面时对应的值为； （2）∵， ∴小球运动中离地面的最大高度为； （3）①由（1）知：小球从抛出到落地需要，故此结论错误； ②由（2）知：小球运动中离地面的最大高度为， ∴小球运动中的高度不能达到，故此结论正确； ③当时，得：， 当时，得：， ∵， ∴小球运动时的高度小于运动时的高度，故此结论正确， 综上所述，正确结论的序号为②③． 故答案为：②③． 11．某俱乐部购进一台如图1的篮球发球机，用于球员篮球训练．该发球机可以以不同力度发射出篮球，篮球运行的路线都是抛物线．出球口离地面高1米，以出球口为原点，平行于地面的直线为x轴，垂直于地面的直线为y轴，建立平面直角坐标系．力度变化时，抛物线的顶点在直线上移动，从而产生一组不同的抛物线（如图2）． (1)若． ①发球机发射出的篮球运行到距发球机水平距离为时，离地面的高度为，该球在运行过程中离地面的最大高度为_______m； ②若发球机发射出的篮球在运行过程中离地面的最大高度为，求此球落地点离发球机的水平距离； (2)球员小刚训练时发现：当篮球运行到离地面高度为至之间（包含端点）是最佳接球区间，若，求出当a满足什么条件时，距发球机水平距离的小刚在前后不挪动位置的前提下，能在最佳区间接到球． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】本题考查二次函数图像及性质，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质，读懂题意． （1）①根据二次函数函数性质及题干可知本题答案； ②根据题意得出，求出该球运行路线的解析式为，令，再求解即可． （2）利用题意得，结合二次函数顶点坐标公式求得，再根据题意将点坐标代入即可得到本题答案． 【详解】（1）解：①∵抛物线的顶点在直线上移动，， ∴抛物线的顶点在直线上移动， ∵抛物线的顶点坐标为， ∴， ∵发球机发射出的篮球运行到距发球机水平距离为时，离地面的高度为， ∴此时抛物线与轴交点为， ∴根据对称性：， ∴该球在运行过程中离地面的最大高度为； ②∵发球机发射出的篮球在运行过程中离地面的最大高度为， ∴由①知：，即：， ∴解得：， ∴该球运行路线的解析式为：， ∴令，则，解得：或（舍）， ∴此球落地点离发球机的水平距离为； （2）解：若， ， ∵抛物线的顶点坐标为， ∴，整理得：， ， ∵篮球运行到离地面高度为至之间（包含端点）是最佳接球区间， 又∵距发球机水平距离的小刚在前后不挪动位置的前提下， ∴将代入中得：，解得：， ∴将代入中得：，解得：， ∴当时，距发球机水平距离的小刚在前后不挪动位置的前提下，能在最佳区间接到球． 12．市民广场雕塑安装喷水装置从顶端点处喷出的水柱为抛物线形状，如图，以水平方向为轴，点为原点建立直角坐标系，点在轴上，轴上的点为水柱的落水点，记为水柱喷水的半径，设水柱上点的坐标为，下面的表中记录了关于x，y的五组数据： 1 2 3 4 5 3 (1)求雕塑高； (2)求水柱喷水的半径． 【答案】(1)雕塑为 (2)水柱喷水的半径为 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． （1）依据题意，设水柱抛物线的解析式为，利用待定系数法求解即可； （2）依据同意，结合（1）所求解析式，由当时，，可得或，进一步计算即可得解． 【详解】（1）解：由题意，设水柱抛物线的解析式为， ∴， ∴， ∴水柱抛物线的解析式为， ∵当时，， ∴． ∴雕塑为； （2）解：由题意，结合（1）， ∴令时，， ∴或(舍去)， ∴， ∴， ∴水柱喷水的半径为． 13．小江自制了一把水枪（图1），他将水枪固定，在喷水头距离地面1米的位置进行实验．当喷射出的水流与喷水头的水平距离为2米时，水流达到最大高度3米，该水枪喷射出的水流可以看成抛物线，图2为该水枪喷射水流的平面示意图． (1)求该抛物线的解析式； (2)在距离喷水头水平距离为4米的位置处放置一个障碍物，试问当障碍物的高度小于多少米时，水流能越过该障碍物． 【答案】(1) (2)1米 【分析】本题考查抛物线的应用．掌握用待定系数法求抛物线解析式，二次函数图象性质，是解题的关键． （1）用待定系数法求解即可； （2）把代入抛物线解析式，求出y值，即得障碍物小于的高度． 【详解】（1）解：由题意，抛物线顶点为， ∴可设该抛物线的表达式为． 将点代入， 得， 解得， 故该抛物线的表达式为； （2）解：当时， ． 故当障碍物的高度小于1米时，水流能越过该障碍物． 14．如图，儿童公园草坪的地面处有一根直立水管，喷水口可上下移动，喷出的抛物线形水线也随之上下平移，图是其示意图．开始喷水后，若喷水口在处，水线落地点为，；若喷水口上升到处，水线落地点为，． (1)求水线最高点与点之间的水平距离； (2)当喷水口在处时， 求水线的最大高度； 身高的小安要从水线下某点经过，为了不被水喷到，该点与的水平距离应满足什么条件？请说明理由． 【答案】(1)； (2)水线的最大高度为；为了不被水喷到，该点与的水平距离应满足，理由见解析． 【分析】（）以所在的直线为轴，所在的直线为轴建立平面直角坐标系，易得喷水口在处的抛物线经过点和，那么可得抛物线的对称轴，结合点的坐标可得水线最高点与点之间的水平距离； （）根据抛物线上下平移，对称轴不变以及经过点和点求得当喷水口在处时的水线所在的抛物线的解析式，水线的最大高度即为对称轴与抛物线交点的纵坐标到轴的距离； 取，代入得到的抛物线解析式，求得对应的的值，即可判断出为了不被水喷到，该点与的水平距离应满足的条件； 本题考查了二次函数的应用，二次函数的图象与性质，解一元二次方程，建立平面直角坐标系，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：以所在的直线为轴，所在的直线为轴建立平面直角坐标系， ∵， ∴点坐标为和，点坐标为， ∴所得抛物线的对称轴为：直线， ∵， ∴点的坐标为， ∴水线最高点与点之间的水平距离为； （2）解：设喷水口在处时，喷出的抛物线形水线的解析式为， ∵经过点，，对称轴与过点的抛物线的对称轴相同， ∴， 解得， ∴， ∴顶点坐标为，故水线的最大高度为； 答：水线的最大高度为； 当时，， ∴，， ∴为了不被水喷到，该点与的水平距离应满足． 15．综合与实践 【问题情境】图1是喷水管从点A向四周喷出水花的喷泉，喷出的水花是形状相同的抛物线．如图2，以点O为原点，建立平面直角坐标系，水平方向为x轴，所在直线为y轴，点C、D为水花的落水点在x轴上，抛物线的解析式为． 【问题解决】 (1)求喷水管的高度； (2)现重新改建喷泉，降低喷水管，使落水点与喷水管的水平距离为，已知喷水管降低后，喷水管喷出的水花抛物线形状不改变，且水柱在距原点的水平距离处达到最高，求喷水管要降低的高度． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键. （1）依据题意，由抛物线为再令 则，从而可以判断得解； （2）依据题意，可设改建后喷出的水花的新抛物线为结合抛物线过，从而可得新抛物线为 再令 ，进而可以判断得解. 【详解】（1）解：∵抛物线为 ， ∴令则， ∴喷水管的高度为； （2）解：由题意，可设改建后喷出的水花的新抛物线为， 又∵抛物线过， ， ， ∴新抛物线为， 又令， ， 由（1）得 ， ∴喷水管要降低的高度为： ． 16．2024年巴黎奥运会跳水比赛项目中，中国“梦之队”以8金2银1铜完美收官．如图，某跳水运动员进行3米跳板跳水比赛，身体（看成一点）在空中运动的路线是如图所示的一条抛物线，已知跳板长为2米，跳板距离水面的高为3米，跳水曲线在离起跳点水平距离1米时达到距水面最大高度米，现以所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系． (1)当时，求这条抛物线的解析式； (2)在（1）的条件下，求运动员落水点与点的距离； (3)图中米，米，若跳水运动员在区域内（含点）入水时才能达到训练要求，求的取值范围． 【答案】(1) (2)运动员落水点与点的距离为米 (3) 【分析】（1）根据抛物线顶点坐标，结合，可设抛物线解析为：，将点代入可得； （2）依据题意，由（1）求出函数解析式，再令，求出即可； （3）若跳水运动员在区域内（含点，入水达到训练要求，则在函数中当米，，当米时，解不等式即可得． 本题主要考查了二次函数的应用，根据题意利用顶点式求出二次函数解析式是解题基础，判断入水的位置对应的抛物线上点的坐标特点是解题关键． 【详解】（1）解：根据题意，可得抛物线顶点坐标，抛物线过点， 又， 可设抛物线解析为：， 则， 解得：， 故抛物线解析式为：； （2）解：根据题意，抛物线解析式为：， 令，则， 解得：，（舍去）． 运动员落水点与点的距离为米； （3）解：根据题意，抛物线解析式为：， 将点代入可得：，即 若跳水运动员在区域内（含点，入水， 则当时，，即， 解得：， 当时，，即， 解得：， 故． 17．综合与实践：根据以下素材，探索完成任务． 如何设计大棚苗木种植方案？ 【素材1】如图①是一个大棚苗木种植基地及其截面图，其下半部分是一个长为，宽为的矩形，其上半部分是一条抛物线，现测得，大棚顶部的最高点距离地面． 【素材2】种植苗木时，每棵苗木高．为了保证生长空间，相邻两棵苗木种植点之间间隔，苗木顶部不触碰大棚，且种植后苗木成轴对称分布．（即苗木的数目为偶数个） 【解决问题】 (1)大棚上半部分形状是一条抛物线，设大棚的高度为y，种植点的横坐标为x．根据图②建立的平面直角坐标系，通过素材1提供的信息确定点的坐标，求出抛物线的解析式； (2)探究种植范围．在图②的坐标系中，在不影响苗木生长的情况下（即），确定种植点的横坐标x的取值范围； (3)拟定种植方案．给出最前排符合所有种植条件的苗木数量，并求出最左边一棵苗木种植点的横坐标x的值． 【答案】(1) (2) (3)最前排符合所有种植条件的苗木数量为18棵，最左边一棵苗木种植点的横坐标为 【分析】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是根据题意求出抛物线的解析式． （1）根据题意建立直角坐标系，分别得到，，再根据待定系数法即可求出二次函数的解析式； （2）根据每棵苗木高，且苗木顶部不触碰大棚得到，即可求出种植点的横坐标的取值范围； （3）根据（2）的种植点的横坐标的取值范围即可求出数量和最左边一棵苗木种植点的横坐标． 【详解】（1）解：根据图中的坐标系以及题意可得， 点A的坐标为，点B的坐标为， ∵抛物线的顶点坐标为点， ∴可设抛物线的解析式为：， 把点代入可得：， 解得：， ∴抛物线的函数关系式为：； （2）解：∵种植苗木时，每棵苗木高， ∴当时， 解得：，， ∵苗木顶部不触碰大棚，且种植后苗木成轴对称分布， ∴种植点的横坐标的取值范围为：； （3）解：根据题中所知，种植后苗木成轴对称分布，且相邻两棵苗木种植点之间间隔， ∴在距离y轴的两则开始种植，最前排可种植：（棵）， 则最左边一棵苗木种植点的横坐标． 答：最前排符合所有种植条件的苗木数量为18棵，最左边一棵苗木种植点的横坐标为． 题型六 增长率问题 1．最新报道显示，2023年我国新能源汽车累计销量为万辆，销量逐年增加，若2025年的累计销量为y万辆，平均每年增长率为x，则y关于x的函数解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的解析式，学会由实际问题抽象出函数的关系式是解题的关键．利用2025年的累计销量2023年的累计销量平均每年增长率，即可得到函数解析式． 【详解】解：根据题意，y关于x的函数解析式为． 故选：C． 2．某厂今年一月份新产品的研发资金为10万元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x，则该厂今年一季度新产品的研发资金（元）关于x的函数关系式为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，根据各数量之间的关系，找出y关于x的函数关系式是解题的关键． 根据该厂今年一月份新产品的研发资金及以后每月新产品的研发资金与上月相比的增长率，可得出该厂今年二月份、三月份新产品的研发资金，将该厂今年一、二、三月份新产品的研发资金相加，即可得出y关于x的函数关系式． 【详解】解：∵该厂今年一月份新产品的研发资金为10万元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x， 该厂今年二月份新产品的研发资金为万元，三月份新产品的研发资金为万元． 根据题意得：， 故选：B． 3．公安部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔7月份到9月份的销量，该品牌头盔7月份销售1500个，9月份销售个，设7月份到9月份销售量的月增长率为，那么与的函数关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的应用．设增长率为，根据“7月份销售1500个，9月份销售个”列得函数关系式即可求解． 【详解】解：设增长率为， 根据题意得：， 故选：A． 4．为了解决药价虚高给老百姓带来的求医难的问题，国家决定对某药品分两次降价．若设平均每次降价的百分率为x，该药品的原价是50元，降价后的价格是y元，则y与x之间的函数关系式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的应用．根据题意，得出第一次降价后的价格为元，第二次降价后的价格为元，再根据两次降价后的价格为元，即可得出与的函数关系式． 【详解】解：∵该药品的原价是元，平均每次降价的百分率为， ∴第一次降价后的价格为元， ∴第二次降价后的价格为元， 又∵两次降价后的价格为元， ∴与的函数关系式为：． 故选：D． 5．某种商品的价格是200元，准备进行两次降价，若每次降价的百分率都是x，两次降价后的价格y（元）随每次降价的百分率的变化而变化，则y与x之间的关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了列二次函数关系式，根据题意列出函数关系式是解题的关键．根据每次降价的百分率都是，经过两次降价后的价格，列出函数关系式即可求解． 【详解】解：若每次降价的百分率都是x，由题意得 ， 故选：B． 1．如图，已知二次函数的图象与x轴的负半轴交于点，与y轴的正半轴交于点B，对称轴直线上有一个动点C，现有下列结论：①；②是方程的一个根；③当时，符合条件的点C有且只有一个．其中所有正确结论的序号是 ． 【答案】①② 【分析】本题考查了二次函数的图象及性质、勾股定理，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键． 根据抛物线的对称轴公式可判断①，根据对称轴及，得抛物线与轴的另一个交点为，进而可判断②，设，根据勾股定理列方程进而可判断③， 【详解】解：由对称轴为直线，得，故①正确； ∵点，对称轴为， ∴抛物线与轴的另一个交点为， 即当时，， 故是方程的一个根，故②正确； 设， ∵二次函数， ∴， 故， 则当时，，化简得：， ∵， ∴当时，符合条件的点C有两个．故③错误． 故答案为：①②． 2．汽车的制动距离是衡量一款车的制动性能的关键性参数之一，它的意思是在车辆处于某一时速的情况下，从开始制动到汽车完全静止时，车辆所开过的路程．制动距离越小，汽车的制动性能就越好．一般的道路制动距离（单位：）与车辆速度（单位：）之间的关系满足：．现测得几组对应值如下表： 20 30 40 50 60 70 …… 2 4.5 8 12.5 18 24.5 …… (1)写出制动距离与车辆速度之间的关系式． (2)某一路段的限速为，如果一辆汽车超速，则该汽车的制动距离将延长多少米？ (3)如图，一辆长为以的速度匀速行驶的小车行驶在路上，前方有一座桥，桥面宽．当车头外轮廓线距离桥侧面的距离为时，司机开始制动，车恰好停在桥上（车头和车尾的外轮廓线完全在桥面上），求的取值范围． 【答案】(1) (2)汽车的制动距离将延长7.92米 (3) 【分析】本题主要考查二次函数的应用，涉及待定系数法求解析式、求函数值和解不等式方程， （1）利用待定系数法求解即可； （2）根据题意求得车速，结合已知得制动距离即可求得汽车的制动距离将延长的距离； （3）结合车得制动距离和车头以及车尾的外轮廓线完全在桥面上列出不等式求解即可． 【详解】（1）解：将代入， 得解得． ； （2）解：∵路段的限速为，如果一辆汽车超速， ∴车速为， 当时，． ∵路段的限速为，制动距离为18米， （米）． 汽车的制动距离将延长7.92米． （3）解：由题意得：， 即． 3．初二一班同学到实践基地参加综合实践活动．基地讲解员：“同学们看到的大棚的横截面顶部为抛物线，大棚的一端固定在离地面高1m的墙体处，另一端固定在离地面高2m的墙体处．”该班同学对横截面建立如图所示平面直角坐标系．已知大棚上某处离地面的高度与其离墙体的水平距离之间的关系满足，现测得A，B两墙体之间的水平距离为4m． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)某同学发现一树苗，树顶刚好触碰到大棚顶部（如图），通过测量她发现该树苗与墙体之间的水平距离为0.5米，请求出该树苗的高度． 【答案】(1) (2)该树苗的高度为1米 【分析】本题考查二次函数的应用，解题的关键是根据待定系数法求出函数的解析式． （1）将分别代入建立方程组，解方程组即可得到答案； （2）把代入，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得点A的坐标为，点B的坐标为， 把分别代入， 得， 解得 该抛物线的函数表达式为． （2）解：由题意得，把代入， 得， 答：树苗的高度为1米． 4．如图平面直角坐标系中，运动员通过助滑道后在点A处起跳经空中飞行后落在着陆坡上的点处，他在空中飞行的路线可以看作抛物线的一部分．从起跳到着陆的过程中，运动员到地面的竖直距离y（单位：m）与他在水平方向上移动的距离（单位：m）近似满足二次函数关系，已知，，落点到的水平距离是，到地面的竖直高度是． (1)求y与的函数表达式； (2)进一步研究发现，运动员在空中飞行过程中，其水平方向移动的距离（m）与飞行时间t（秒）具备一次函数关系，当他在起跳点腾空时，，；当他在点着陆时，飞行时间为5秒． ①求与t的函数表达式； ②当运动员与着陆坡在竖直方向上的距离达到最大时，求出此时他飞行时间t的值． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）将，代入，得，计算求解即可； （2）①设，将，代入，得，计算求解，然后作答即可； ②设直线的解析式为，将代入得，，计算求解可确定直线的解析式为，设运动员飞行过程中的某一位置为，如图，过作轴交于点，设，则，则，由，可得当时，最大，根据，计算求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得过点，， 将，代入，得， 解得， ∴与的函数关系式为； （2）①解：设， 将，代入，得， 解得， ∴； ②解：由题意得 设直线的解析式为， 将代入得，， 解得，， ∴直线的解析式为， 设运动员飞行过程中的某一位置为，如图，过作轴交于点， 设，则， ∴， ∵， ∴当时，最大， ∴， 解得． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，一次函数的应用，二次函数的最值，一次函数解析式等知识．熟练掌握二次函数的应用，一次函数的应用，二次函数的最值，一次函数解析式是解题的关键． 5．随着时代的进步，我国交通出行结构发生根本性变化．汽车出行成为交通常态．某数学兴趣小组观察校门口的汽车发现，很多车部贴上了保持车距的贴纸．小组成员产生了一个困惑——“保持怎样的车距才能保障道路安全?”为解决这一困惑．小组成员分上开展活动： 成员小金查阅某型号汽车官网数据得到汽车行驶速度与刹车距离的关系如下表．（刹车距离：从发现前方道路有异常情况到车辆完全停止所行驶的距离．） 某型号汽车行驶速度x（m/s）与刹车距离y（m）的关系 行驶速度（） 0 5 10 15 20 25 30 刹车距离（） 0 3.25 9 17.25 28 41.25 57 (1)任务1： 小金认为该型号汽车的行驶速度（）与刹车距离（）之间存在函数关系，请你协助小金画出函数图像，并直接写出该函数解析式． (2)任务2： 成员小芳发现小区门口路段限速．请你帮小芳计算，如果该型号汽车以最高限速行驶，至少保持多少车距才能保障道路安全? (3)任务3： 实际驾驶过程中，驾驶员难以预估与前车的距离，且难以实时计算不同行驶速度对应的安全距离．是否存在简单、实用且能维持适当安全距离的方案?小组成员带着困惑与陈老师进行交流，陈老师分享了他保持车距常用的方案“2秒定律”——跟车行驶时设定一个参照物，前车超越参照物后，后车如果在两秒内到达该参照物，说明与前车的距离不足，反之距离充足．你认为陈老师常用的“2秒定律”是否适用于该型号汽车的日常驾驶（）?如果适用，说明理由；如果不适用，请求出“2秒定律”的适用范围． 【答案】(1)见解析， (2)至少保持米车距才能保障道路安全 (3)不适用，“2秒定律”的适用范围为（或） 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，理解题意，弄清数量关系是解题关键． （1）按照描点、连线的步骤画出函数图像，结合表格中数据确定该函数解析式即可； （2）首先确定，故当时，可有，即可确定答案； （3）由图像可知，当图像位于图像下方时，意味着与前车距离充足，即适用于“2秒定律”；当图像位于图像上方时，意味着与前车距离不足，即不适用“2秒定律”，联立与并求解，即可获得答案． 【详解】（1）解：描点、连线，如图所示， 设该函数解析式为， 将点代入， 可得，解得， ∴函数解析式为； （2）， 当时，， ∴如果以最高限速60km/h行驶，至少保持米车距才能保障道路安全； （3）不适用 由图像可知，当图像位于图像下方时， 意味着与前车距离充足，即适用于“2秒定律”； 当图像位于图像上方时， 意味着与前车距离不足，即不适用“2秒定律”， 联立与可得：， 整理可得， 解得，， 由图像可知，当时，图像位于图像下方， ∵， ∴“2秒定律”的适用范围为（或）． 6．如图是南水北调某段河道的截面图．河道轮廓为某抛物线的一部分，小红在枯水期测得河道宽度米，河水水面截痕米，水面到河岸水平线的距离为7.5米，以点为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，解决如下问题：    (1)求河道轮廓的函数表达式，并求此时最大水深为多少米？ (2)在丰水期，测得水面到的距离为米，求此时水面截痕的长； (3)在（2）的条件下，小红乘坐小船游弋到河道正中央时，向右侧河岸抛出一个小球，小球恰好落在点处，小球飞行过程中到水面最大距离是8米，若小红抛球的力道和角度不改变，要想让小球飞到河岸上（即点右侧），求小红的小船至少要向右划行多少米？ 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，正确理解题题意，建立函数模型是解题的关键． （1）利用抛物线对称性求出点坐标，在用待定系数法求抛物线解析式即可； （2）由题意可以推出点和点的纵坐标为，代入值求出和的横坐标，从而求出长度； （3）先求出船在中间时小球的运动轨迹抛物线解析式，再设向右划行米，然后将点代入即可求出值． 【详解】（1）解：如解图，过点作轴于点，由二次函数图象的对称性可得． ， ， ∵， ． 设二次函数表达式为， 将代入得 ， 解得， 二次函数表达式为． ， 二次函数图象的顶点纵坐标为，此时最大水深为（米）．    （2）解： 丰水期时水面到的距离是3.6米， 令， 即， 解得，， ， 此时水面截痕的长为16米． （3）解：由题易知小球的轨迹是抛物线，如解图，设的中点为，小球轨迹的顶点是点， ． 由（2）知， 小球飞行过程中到水面最大距离是8米，且经过，两点， ，两点关于对称轴对称， ． 设小球的轨迹抛物线的表达式为， 将代入得， 解得， ． 设向右划行米，小球落到点，此时抛物线表达式为， 将代入可得， 解得（舍去）或． 答：小红的小船至少要向右划行米．    2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$