5.4（第2课时）二次函数综合问题（9大题型提分练）（题型专练）数学青岛版九年级下册

5.4（第2课时） 二次函数综合问题 题型一 二次函数图象与各项系数符号的判断 1．二次函数（，，为常数，且），满足，则以下结论正确的是（   ） A．若，该函数图象经过点 B．若，该函数图象经过点 C．若，，的绝对值相等，则该函数图象可能经过点 D．若，，中有两数相等，则该函数图象可能经过点 2．二次函数（）的图象如图所示，下列结论正确的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 3．在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象如图所示，有下列4个结论：①；②；③方程没有实数根；④，其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．已知抛物线的图象如图所示，则下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论是（） A．①② B．②③ C．③④ D．②④ 5．二次函数的图象如图所示，现有下列结论：①；②；③；④．其中正确的有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 6．如图，抛物线对称轴为，且过点，顶点在第一象限．给出以下结论：①；②；③；④若、（其中）是抛物线上的两点，且，则．其中，正确的结论有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 7．函数的图象与x轴交于点，顶点坐标为，其中． ①当时，则； ②若方程有两根，则； ③点是抛物线上不同于A，B的两个点，当时，y1＜y2； ④函数的图象与的函数图象总有两个不同交点． 以上结论正确的有（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．②④ 8．如图，抛物线对称轴为，且过点，顶点在第一象限．给出下列结论：①；②；③；④若、（其中）是抛物线上的两点，且，则．其中，正确的结论有（      ） A．个 B．个 C．个 D．个 9．如图，二次函数的图象过点和，有以下结论：①；②；③；④．其中正确的序号是（   ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 10．已知二次函数（a，b，c为常数，）的图象如图所示，有下列4个结论：①；②；③；④．其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型二 二次函数与一次函数的图象问题 1．已知抛物线（a是常数，且）．当直线与抛物线有两个交点、，且时，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 2．是二次函数图象上一点，是一次函数图象上一点，若，则的值可能是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 3．已知二次函数和一次函数的图象如图所示，则函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 4．直线与抛物线在同一坐标系里的大致图象正确的是（     ） A． B． C． D． 5．在同一平面直角坐标系中，函数和函数（m是常数，且）的图象可能是（　　） A． B． C． D． 6．抛物线和直线在同一坐标系内的图象可能是（    ） A． B． C． D． 7．若正比例函数满足y随x的增大而减小，则它和二次函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 8．在同一平面直角坐标系中，一次函数的图象和二次函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 题型三 两个二次函数图象问题 1．函数、在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则在该平面直角坐标系中，函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 题型四 反比例函数与一次函数的图象问题 1．函数和在同一坐标系里的图象大致是（    ） A．   B．   C．   D．   2．二次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的大致图象是（    ） A． B． C． D． 3．已知二次函数（）的图象如图，则一次函数和反比例函数的图象为（   ） A． B． C． D． 4．抛物线（k是常数且）与双曲线在同一平面直角坐标系中的图象大致是（   ） A． B． C． D． 5．函数与的图象如图所示，当x的取值范围为 时，均随着x的增大而减小． 题型五 已知抛物线上的对称点求对称轴 1．若二次函数的x与y的部分对应值如下表，则当时，y的值为（    ） x y 3 5 3 A． B． C． D． 2．平行于轴的直线与抛物线的一个交点坐标为，则另一个交点坐标是（    ） A． B． C． D． 3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点为，则与轴的另一个交点的横坐标 ． 4．已知二次函数的图象过点，则用“”把连接起来为： ． 5．已知二次函数的图象过点，则用“”把连接起来为： ． 题型六 函数求值 1．二次函数的x与y的部分对应值如下表，则当时，y的值为 ． x … 0 1 2 3 … y … 15 10 7 6 7 … 题型七 函数最值问题 1．如图，在中，是边上的高，，，矩形的边与重合，点G、H分别在上运动，当矩形的面积最大时，的长是（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 2．已知关于的二次函数，当时，随的增大而增大，且当时，有最小值2，则的值为（    ） A． B．1 C． D． 3．已知二次函数，当时，函数的最大值为（    ） A． B． C．2 D． 4．已知二次函数在时有最小值，则（　　） A．或 B．4或 C．或 D．4或 5．已知二次函数的最小值是（    ） A．7 B． C．9 D． 6．若二次函数有最大值，则的值可以是（  ） A． B． C． D． 7．△ABC中，，，则的最小值等于（   ）    A． B． C． D． 8．已知抛物线，当时，y的取值范围是 ． 9．二次函数的部分对应值如表所示，若时，则的取值范围是 ． x … 0 1 3 5 … y … 7 … 10．已知抛物线，当时，则的取值范围 ． 11．若，且，则x的取值范围为 ． 题型八 最短路径问题 1．如图，在矩形中，，，点在直线上运动，以为直角边向右作，使得，，连接，则长的最小值为（   ） A． B． C． D． 2．如图，在边长为的正方形中，点，分别为边，上的点，且，与交于点，连结．取的中点，连结，，则的最小值为（   ） A．6 B． C．3 D． 3．如图，在四边形中，，对角线、交于点O，且．若，则的最小值为（    ） A．16 B．4 C．9 D．2 4．如图所示，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，且，点、是直线上的两个动点，且（点在点的上方），则四边形的最小值是 ．    题型九 图象平移 1．将二次函数图象向左平移个单位，再向下平移个单位后，所得图象的函数是（　　） A． B． C． D． 2．将抛物线向下平移一个单位长度，所得抛物线的解析式是（   ） A． B． C． D． 3．在平面直角坐标系中，将抛物线沿y轴方向平移后使抛物线可以经过原点，则这样的平移方向和距离是（   ） A．向下平移4个单位 B．向上平移2个单位 C．向下平移6个单位 D．向上平移8个单位 4．将抛物线先向右平移2个单位，再向下平移1个单位后所得新抛物线的函数表达式为 ． 1．已知二次函数（是常数，）的图象上有和两点．若点，都在直线的下方，且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．二次函数的图象经过（   ） A．第一、二、三象限 B．第三、四象限 C．第二、三、四象限 D．第一、三、四象限 3．二次函数的对称轴是（   ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 4．抛物线的对称轴是(        ) A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 5．若点，都在抛物线上，则该抛物线的对称轴是（   ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 6．已知抛物线（a、b是常数，）为图中四个图象之一，则a的值为（   ） A．3 B． C．6 D． 7．若二次函数图象经过，，三点，则、、的大小关系是（   ） A． B． C． D． 8．设是抛物线上的三点，则的大小关系为（  ） A． B． C． D． 9．小颖在研究二次函数（m为常数）性质时，有以下结论：①对称轴为直线；②抛物线与x轴始终有两个交点；③若函数的最小值为，则m的值为3；④若，，则．则其中正确结论的序号是（   ） A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 10．已知，，是二次函数图象上的点，则（   ） A． B． C． D． 11．若二次函数的图象经过点和．若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D．或 12．下列在二次函数图象上的点是（   ） A． B． C． D． 13．二次函数图象的对称轴是（    ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 14．二次函数（）的部分图象如图所示，对称轴为直线，则下列结论中： ①； ②（m为任意实数）； ③； ④若、是抛物线上不同的两个点，则 其中正确的结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 15．若，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是 ．（请按从小到大的顺序排列） 16．平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线与y轴交于点A，过点A作x轴的平行线交抛物线于点B，抛物线顶点为P．若直线交直线于点C，且，则a的值为 ． 17．若抛物线的顶点在x轴，则 ． 18．已知函数，当时，若y的最大值与最小值之差为8，则 ． 19．抛物线过点和，则此抛物线的对称轴为直线 ． 20．若点，在二次函数的图象上，则 （填，或）． 21．如图，在平面直角坐标系中，点是抛物线与轴的交点，点是这条抛物线上的另一点，且轴，则以为边的正方形的周长为 ． 22．如图，已知直线经过点，抛物线W：与y轴交于点C．点E、F分别是抛物线对称轴和直线l上的动点，连结，则的最小值为 ． 23．如图，矩形中，，，为的平分线，F为上一动点，点M为的中点，连接，则的最小值是 ． 24．已知，二次函数的图象与x轴的交点横坐标为． (1)求的最小值． (2)若，求m的取值范围． (3)若为整数，求m的值． 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$ 5.4（第2课时） 二次函数综合问题 题型一 二次函数图象与各项系数符号的判断 1．二次函数（，，为常数，且），满足，则以下结论正确的是（   ） A．若，该函数图象经过点 B．若，该函数图象经过点 C．若，，的绝对值相等，则该函数图象可能经过点 D．若，，中有两数相等，则该函数图象可能经过点 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，二次函数图象与系数关系，掌握二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，二次函数图象与系数关系是解题的关键． 根据条件逐一判断即可解答． 【详解】A、当时，，解得，，，当，，故A不符合题意； B、当时，，假设经过，则当，，即，又，故，此时与相矛盾，故B不合题意； C、若，，的绝对值相等，，，，则，不合题意，故C不合题意； D、若，则，，当，，当，；故D符合题意． 故选：D． 2．二次函数（）的图象如图所示，下列结论正确的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【分析】本题考查根据抛物线的图象，判定系数和式子符号，熟练掌握抛物线的图象性质是解题的关键．根据抛物线的开口向下，得出，根据抛物线的对称轴在y轴右侧，求得，根据抛物线与x轴有两个交点，得出，即可求解． 【详解】解：∵抛物线的开口向下， ∴， ∵抛物线的对称轴在y轴右侧， ∴， ∴， ∵抛物线与x轴有两个交点， ∴， 综上，，，． 故选：B． 3．在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象如图所示，有下列4个结论：①；②；③方程没有实数根；④，其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，掌握图象开口方向，对称轴，图象与坐标轴交点的计算是解题的关键．根据二次函数图象开口方向向下，与轴交于正半轴，可得，由对称轴为直线，可得，可判定①②；根据二次函数图象与直线是否有交点可判定③；根据当时，，可判定④，由此即可求解． 【详解】解：根据图象可得，二次函数图象开口向下，与轴交于正半轴， ∴， ∵对称轴为直线， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴，故②正确； ∵二次函数图象开口向下，对称轴直线为， ∴当时，二次函数有最大值，最大值为, 当时，二次函数与直线有交点，方程有两个实数根， 当时，二次函数与直线没有交点，方程没有实数根，故③错误； ∵当时，， ∴，故④正确； 综上所述，正确的有①②④，共3个， 故选：C ． 4．已知抛物线的图象如图所示，则下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论是（） A．①② B．②③ C．③④ D．②④ 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，解题的关键是熟练掌握二次函数的图形性质，会代入一些特殊值进行计算．由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】解：①抛物线的开口向上， 与轴的交点为在轴的负半轴上， 对称轴为， 同号，即， 故①错误； ②当时，函数值为2， 故②正确； ④当时，， 又， 故④正确； ③对称轴， 解得：， 由④得 故③错误； 综上所述，其中正确的结论是②④； 故选：D． 5．二次函数的图象如图所示，现有下列结论：①；②；③；④．其中正确的有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图象与各项系数符号的关系，根据二次函数的图象判断式子的符号，熟练掌握二次函数的性质，采用数形结合的方法解题，是解此题的关键．根据开口向下，与y轴的交点位于x轴上方，对称轴为直线，可得出，，，即得出，故①错误；将代入二次函数解析式，结合，即可判断②；由当时，，即得出，故③正确；由图象可知当时，，则，即可判断④． 【详解】解：由图象可知开口向下，与y轴的交点位于x轴上方，对称轴为直线， ∴，，， ∴， ∴，故①错误； 由图象可知当时，，即， ∴，即，故②正确； 由图象可知当时，，即，故③正确； 由图象可知当时，y有最大值，且， ∴当时，y的值都比小，即， ∴， ∴，故④正确．　 综上可知正确的有3个． 故选D． 6．如图，抛物线对称轴为，且过点，顶点在第一象限．给出以下结论：①；②；③；④若、（其中）是抛物线上的两点，且，则．其中，正确的结论有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，掌握二次函数的图象与各项系数符号的关系是解题关键．根据二次函数的性质“左同右异”，可判断结论①；利用二次函数对称性，及二次函数与轴的交点情况，可判断结论②；由处函数值，结合对称轴可判断结论③；根据得到点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离可判断结论④． 【详解】解：抛物线对称轴为，开口向下， 且,则， ， 故①正确； 抛物线过点，又对称轴为， 抛物线还过点， ， 故②正确； 对称轴为， ，即， 抛物线过点， ，即， 故③错误； 抛物线顶点在第一象限，， 抛物线开口向下，即点离对称轴越近，函数值越大， 、（其中）是抛物线上的两点，且， 当，在对称轴两侧时，有， 即， 当，同在对称轴右侧时，有， 即， 即④正确； 综上所述，正确的结论有个， 故选：B． 7．函数的图象与x轴交于点，顶点坐标为，其中． ①当时，则； ②若方程有两根，则； ③点是抛物线上不同于A，B的两个点，当时，y1＜y2； ④函数的图象与的函数图象总有两个不同交点． 以上结论正确的有（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．②④ 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，抛物线与x轴的交点，一次函数的性质，二次函数图象与系数的关系等知识，能根据图象确定与系数有关的式子的符号是解题的关键． 由对称轴为直线和点，推出，代入，即可判断①；由抛物线与直线有两个交点，可判断②；根据横坐标距离对称轴越近，函数值越大，距离对称轴越远，函数值越小，可判断③；联立，利用根的判别式，即可判断④． 【详解】解：依题意，画出图形如下： ①∵顶点坐标为， ∴对称轴为直线，则， 将点代入抛物线得， 解得， ∵， ∴ 即， ∴， 故①正确； ∵方程有两根， ∴抛物线与直线有两个交点， ∵顶点坐标为， ∴， 即， 故②不正确； 观察图象可知：横坐标距离对称轴越近，函数值越大，距离对称轴越远，函数值越小． ∵对称轴为直线，且， ∴点离对称轴的距离比点离对称轴的距离大， ∴； 故③正确； ∵顶点为， ∴抛物线解析式为；， 联立方程组可得：，可得， ∴， ∵无法判断△是否大于0， ∴无法判断函数的图象与的函数图象的交点个数， 故④错误； 综上，①③正确， 故选：B 8．如图，抛物线对称轴为，且过点，顶点在第一象限．给出下列结论：①；②；③；④若、（其中）是抛物线上的两点，且，则．其中，正确的结论有（      ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，掌握二次函数的图象与各项系数符号的关系是解题关键．根据二次函数的性质“左同右异”，可判断结论①；利用二次函数对称性，及二次函数与轴的交点情况，可判断结论②；由处函数值，结合对称轴可判断结论③；根据得到点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离可判断结论④． 【详解】解：抛物线对称轴为， ， 故①正确； 抛物线过点，又对称轴为， 抛物线还过点， ， 故②正确； 对称轴为， ，即， 抛物线过点， ，即， 故③错误； 抛物线顶点在第一象限，， 抛物线开口向下，即点离对称轴越近，函数值越大， 、（其中）是抛物线上的两点，且， 当，在对称轴两侧时，有， 即， 当，同在对称轴右侧时，有， 即， 即④正确； 综上所述，正确的结论有个， 故选：B． 9．如图，二次函数的图象过点和，有以下结论：①；②；③；④．其中正确的序号是（   ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，能从图象中获取信息是解题的关键．根据二次函数的图象与性质， 即可判断①；根据当时，，即可判断②；根据二次函数点的特征，以及方程的特点，即可判断③④． 【详解】解：二次函数的图象开口向下， ， 二次函数的图象过轴正半轴， ， ， ， ，故①正确； 当时，， 即， ，故②正确； 由题知时，，， ， ， ， ∵该函数图象过点， ∴， ∴， ∵， ∴， 整理，得：，故③正确； 由③同理可得， ，故④错误． 综上所述，正确的序号是①②③， 故选：A． 10．已知二次函数（a，b，c为常数，）的图象如图所示，有下列4个结论：①；②；③；④．其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查二次函数与系数之间的关系，二次函数的图象和性质，根据图象判断①，对称轴判断②，特殊点判断③，最值判断④即可。熟练掌握二次函数的图象和性质，是解题的关键： 【详解】解：抛物线的开口向下，对称轴为直线，与轴交于正半轴， ∴， ∴ ，故①错误； ，故②正确； 由图象可知，当时，；故③正确； ∵抛物线的开口向下， ∴当时，函数值最大， ∴， ∴；故④正确； 故选：C． 题型二 二次函数与一次函数的图象问题 1．已知抛物线（a是常数，且）．当直线与抛物线有两个交点、，且时，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键； 先根据函数解析式求出图象的顶点坐标，根据二次函数的性质，可得抛物线与轴的坐标不在的下方，得，即可求解； 【详解】解：抛物线（a是常数，且）， ∴对称轴为直线，顶点为， ∵直线与抛物线有两个交点、， ∴抛物线开口向下， ， ∵对称轴为直线，且， ∴抛物线与轴的坐标不在的下方， 令，则， ∴抛物线与轴的交点为， ， 解得， 的取值范围为． 故选：B 2．是二次函数图象上一点，是一次函数图象上一点，若，则的值可能是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的性质，一次函数的性质，由题意得，，进而由得到，即得，得到或，据此即可求解，解题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和一次函数的性质解答． 【详解】解：∵是二次函数图象上一点，是一次函数图象上一点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴或， ∴的值可能是或， 故选：． 3．已知二次函数和一次函数的图象如图所示，则函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的图象性质，二次函数的图象性质，先由原图得出，，再分析函数的图象的开口向上，与轴交于负半轴，对称轴在轴的负半轴，据此即可作答． 【详解】解：∵原图的二次函数的开口向上， ∴中的， ∵原图的一次函数经过第一、二、三象限， ∴一次函数中的， 则函数的开口向上， ∵， ∴， ∴函数与轴交于负半轴， ∵，， ∴，即函数的对称轴在轴的负半轴， ∴符合上述条件是C选项， 故选：C． 4．直线与抛物线在同一坐标系里的大致图象正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图象、一次函数的图象．根据题意和各个选项中的函数图象，可以得到一次函数中和的正负情况和二次函数图象中的正负情况，然后即可判断哪个选项中的图象符合题意，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 【详解】解：由一次函数的图象可知，， 则抛物线与轴的交点在原点上方，故排除AB选项； ∵，， ∴， ∴抛物线的对称轴直线， 即对称轴位于轴左侧，故C选项不符合题意，D选项符合题意； 故选：D． 5．在同一平面直角坐标系中，函数和函数（m是常数，且）的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象以及一次函数的图象，掌握两个函数的图象与性质是解题的关键．对四个选项中一次函数的图象进行分析，结合二次函数的图象，两图象是否相符即可得出结论． 【详解】解：A、由函数的图象可知，即函数开口方向朝上，与图象不符，故A选项错误； B、由函数的图象可知，对称轴为直线，则对称轴应在y轴左侧，与图象不符，故B选项错误； C、由函数的图象可知，即函数开口方向朝下，与图象不符，故C选项错误； D、由函数的图象可知，即函数开口方向朝上，对称轴为直线，则对称轴应在y轴左侧，与图象相符，故D选项正确； 故选：D． 6．抛物线和直线在同一坐标系内的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质、一次函数的图像与性质，本题中首先根据一次函数的图像确定、的取值范围，再根据、的取值范围确定抛物线的开口方向和对称轴的大致位置． 【详解】解：A选项： 直线经过第一、三、四象限， 可知，， 抛物线的开口方向向上，故A选项不符合题意； B选项： 直线经过第二、三、四象限， 可知，， 抛物线的开口方向向下，抛物线的对称轴为应在轴的左侧，故B选项不符合题意； C选项： 直线经过第二、三、四象限， 可知，， 抛物线的开口方向向下，抛物线的对称轴为应在轴的左侧，故C选项不符合题意； D选项： 直线经过第一、三、四象限， 可知，， 抛物线的开口方向向上，抛物线的对称轴为应在轴的右侧，故D选项不符合题意； 故选：D． 7．若正比例函数满足y随x的增大而减小，则它和二次函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了正比例函数图象与二次函数图象综合判断，根据正比例函数的增减性得到，据此可得正比例函数图象经过第二、四象限，二次函数的图象开口向下，且与y轴交于负半轴，据此可得答案． 【详解】解：∵正比例函数满足y随x的增大而减小， ∴， ∴该正比例函数图象经过第二、四象限， ∴二次函数的图象开口向下，且与y轴交于负半轴， ∴四个选项中只有A选项符合题意， 故选：A． 8．在同一平面直角坐标系中，一次函数的图象和二次函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，二次函数的图象和性质，熟练掌握函数图象与系数之间的关系是解题的关键．分别根据一次函数的图象得出的取值范围，再判断对应的二次函数图象，然后可得答案． 【详解】解：A．由一次函数图象可得，则二次函数图象应开口向下，对称轴，在y轴右侧，且二次函数图象与y轴交点为原点，故此选项不符合题意； B．由一次函数图象可得，则二次函数图象应开口向上，对称轴，在y轴左侧，且二次函数图象与y轴交点为原点，故此选项不符合题意； C．由一次函数图象可得，则二次函数图象应开口向上，对称轴，在y轴左侧，且二次函数图象与y轴交点为原点，故此选项符合题意； D．由一次函数图象可得，则二次函数图象应开口向下，对称轴，在y轴右侧，且二次函数图象与y轴交点为原点，故此选项不符合题意； 故选：C． 题型三 两个二次函数图象问题 1．函数、在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则在该平面直角坐标系中，函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的识别是解答本题的关键．根据函数图象的开口方向、与y轴的交点位置以及对称轴的位置进行判断即可． 【详解】解：由图象知，函数和函数的开口都向上，所以函数的开口一定向上，故C选项不符合题意； 由图象知，函数的对称轴在y轴的右侧，函数的对称轴也在y轴的右侧， 所以，函数的图象的对称轴也在y轴的右侧，故选项D不符合题意； 函数的图象与y轴的交点在y轴的正半轴上，函数的图象与y轴的交点在y轴的负半轴上，且前者的绝对值小于后者的绝对值，所以，函数的图象与y轴的负半轴相交，故选项A不符合题意，选项B符合题意． 故选：B． 题型四 反比例函数与一次函数的图象问题 1．函数和在同一坐标系里的图象大致是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】本题考查了二次函数及反比例函数图象形状与系数的关系，本题可先由二次函数图象得到字母系数的正负，再与反比例函数的图象相比较看是否一致．逐一排除． 【详解】解：由A，D中的二次函数图象可得，因为，故A，D错误； 由B，C中的二次函数图象可得，所以的图象在二，四象限内，故C错误，B正确． 故选：B． 2．二次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数与反比例函数图象的性质．根据二次函数与反比例函数图象的性质进行判断即可得解． 【详解】解：A、由二次函数图象可知，，，则， 由反比例函数图象可知，，矛盾，本选项不符合题意； B、由二次函数图象可知，，，则， 由反比例函数图象可知，，矛盾，本选项不符合题意； C、由二次函数图象可知，，，则， 由反比例函数图象可知，，矛盾，本选项不符合题意； D、由二次函数图象可知，，，则， 由反比例函数图象可知，，本选项符合题意； 故选：D． 3．已知二次函数（）的图象如图，则一次函数和反比例函数的图象为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，一次函数图象，反比例函数的图象， 观察二次函数的图象可知，再根据，得，进而得出一次函数得图象经过一，二，四象限，反比例函数位于二，四象限，可得答案． 【详解】观察二次函数的图象可知，， ∴， ∴一次函数的图象经过一，二，四象限，反比例函数的图象位于二，四象限， 可知C符合题意． 故选：C． 4．抛物线（k是常数且）与双曲线在同一平面直角坐标系中的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数与二次函数的综合，分两种情况讨论：①当时，②当时，分别判断反比例函数图象与抛物线的位置，即可求解，熟练掌握反比例函数与二次函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】解：分两种情况讨论： 当时，反比例函数在第一、三象限，而二次函数开口向上，顶点在轴上，且与轴交点为，故四个选项都不符合题意； 当时，反比例函数在第二、四象限，而二次函数开口向下，顶点在轴上，且与轴交点为，故A选项符合题意， 故选：A． 5．函数与的图象如图所示，当x的取值范围为 时，均随着x的增大而减小． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数与二次函数的图象与性质．根据二次函数和反比例函数图象解答即可． 【详解】解：根据二次函数图象当时，随着的增大而减小，当或时，反比例函数随着的增大而减小． ∴当时，均随着x的增大而减小． 故答案为：． 题型五 已知抛物线上的对称点求对称轴 1．若二次函数的x与y的部分对应值如下表，则当时，y的值为（    ） x y 3 5 3 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据表格找到函数值相同的两个自变量的值，确定出对称轴，再根据对称性进行判断即可．本题考查利用抛物线的对称性求函数值，解题的关键是根据表格中的数据确定抛物线的对称轴． 【详解】解：由表格可知：和的函数值相同， ∴抛物线的对称轴为， 则关于对称轴直线所对称的是， ∴和的函数值相同，即为； 故选C． 2．平行于轴的直线与抛物线的一个交点坐标为，则另一个交点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了二次函数的对称性，解题的关键是求出对称轴为直线． 先求得抛物线的对称轴，然后根据抛物线的对称性即可求得． 【详解】解：抛物线可知对称轴为直线， 点关于对称轴的对称点为， 另一个交点坐标是， 故选：A． 3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点为，则与轴的另一个交点的横坐标 ． 【答案】3 【分析】本题考查抛物线的对称性，熟练掌握抛物线对称轴的相关知识是解题的关键．根据对称性得出抛物线与轴的另一个交点． 【详解】解：抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点为， 抛物线与轴的另一个交点为，即， 故答案为：3． 4．已知二次函数的图象过点，则用“”把连接起来为： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数图象上的点的坐标与函数解析式的关系，解题的关键是掌握二次函数的对称性及增减性．根据函数解析式的特点，其对称轴为直线，图象开口向上，找出关于对称轴的对称点，利用当时，随的增大而减小，再根据，即可做出判断． 【详解】二次函数的对称轴为直线， 由二次函数图象的对称性，可知与对称， 且，抛物线开口向上， 当时，随的增大而减小， ， ； 故答案为：． 5．已知二次函数的图象过点，则用“”把连接起来为： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数图象上的点的坐标与函数解析式的关系，解题的关键是掌握二次函数的对称性及增减性．根据函数解析式的特点，其对称轴为直线，图象开口向上，找出关于对称轴的对称点，利用当时，随的增大而减小，再根据，即可做出判断． 【详解】解：二次函数的对称轴为直线， 由二次函数图象的对称性，可知与对称， ∵，抛物线开口向上， ∴当时，随的增大而减小， ， ； 故答案为：． 题型六 函数求值 1．二次函数的x与y的部分对应值如下表，则当时，y的值为 ． x … 0 1 2 3 … y … 15 10 7 6 7 … 【答案】15 【分析】本题考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的对称性是解答的关键．根据表格数据可得该二次函数的对称轴为直线，进而利用二次函数的对称性可得对应的函数值与对应的函数值相等，进而可求解． 【详解】解：由表格数据，和的函数值相等， ∴该函数图象的对称轴为直线， ∴和的函数值相等，即， 故答案为：15． 题型七 函数最值问题 1．如图，在中，是边上的高，，，矩形的边与重合，点G、H分别在上运动，当矩形的面积最大时，的长是（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质以及二次函数的最值问题．注意根据相似三角形对应高的比等于相似比列出比例式，求出矩形的长与宽的关系是解题的关键． 分析题意，设，根据矩形的对边平行可得，然后得到与相似，根据相似三角形对应高的比等于相似比列出比例式，用x表示出y，然后根据矩形的面积公式求解并整理，再利用二次函数的最值的求法进行求解即可 【详解】解：设， ∵四边形是矩形， ∴， ， ∵是边上的高， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ， ， ， ， 解得：， ∴矩形的面积为：， 当，即时，内接矩形有最大面积，最大面积是， ． 故选：B． 2．已知关于的二次函数，当时，随的增大而增大，且当时，有最小值2，则的值为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的性质和二次函数的最值，解题的关键是掌握二次函数的性质． 根据题意得出，求出二次函数的图象的对称轴为直线，可知当时，有最小值，故，解方程即可得到答案． 【详解】解：由题得二次函数的对称轴为直线， ∵当时，随的增大而增大， ∴， ∵时，有最小值，， ∴当时，有最小值， ∴， 解得或， ∴， 故选： D． 3．已知二次函数，当时，函数的最大值为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，掌握二次函数顶点式的特点，找出对称轴直线，函数的增减性即可求解． 根据题意可得，顶点坐标为，图象开口向下，则当时，的函数值最大，代入计算即可求解． 【详解】解：二次函数的顶点坐标为，图象开口向下， ∴当时，随的增大而增大， ∴当时，的函数值最大，最大值为， 故选：B ． 4．已知二次函数在时有最小值，则（　　） A．或 B．4或 C．或 D．4或 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，二次函数的最值，解一元一次方程等知识点，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 利用二次函数的性质求出对称轴，然后分和两种情况讨论即可求解． 【详解】解：∵二次函数解析式为， ∴二次函数对称轴为直线， 当时， ∵在时有最小值， ∴当时，， ； 当时， ∵在时有最小值， ∴当时，， 解得：； 综上所述：或， 故选：B． 5．已知二次函数的最小值是（    ） A．7 B． C．9 D． 【答案】D 【分析】本题考查了把二次函数解析式通过配方成顶点式求二次函数的最值的方法，熟练掌握配方法是解题的关键． 将二次函数解析式配方成顶点式即可求解． 【详解】解：将二次函数的解析式配方成顶点式得： ， ∴当时，二次函数有最小值为：， 故选：D． 6．若二次函数有最大值，则的值可以是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质．因为二次函数有最大值，所以它所对应的抛物线一定开口向下，所以可得，四个选项中只有，所以应选D． 【详解】解：二次函数有最大值， 二次函数对应的抛物线开口向下， ， 的值可能是． 故选：D． 7．△ABC中，，，则的最小值等于（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理，含角的直角三角形的性质，二次函数的应用，解题的关键是灵活运用这些知识．过点作，交的延长线于点，根据题意可得，设，则，，由可得，进而得到，在中，根据勾股定理和二次函数的性质即可求解． 【详解】解：如图，过点作，交的延长线于点，   ， ， 在中，设，则， ， 又， ， ， 在中，， 即， 当时，最小，此时， 的最小值为， 故选：C． 8．已知抛物线，当时，y的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，将二次函数解析式化为顶点式得出抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为，抛物线开口向上，再求出当时、当时的的值即可得解． 【详解】解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为，抛物线开口向上， ∵当时，；当时，， ∴当时，y的取值范围是， 故答案为：． 9．二次函数的部分对应值如表所示，若时，则的取值范围是 ． x … 0 1 3 5 … y … 7 … 【答案】 【分析】此题主要考查了二次函数的性质，掌握以上知识是解答本题的关键； 本题首先根据表格确定二次函数的对称轴及顶点坐标，然后结合表格即可求解． 【详解】解：根据表格知二次函数的对称轴为直线，顶点坐标为， ∴当时，结合表格可得的取值范围是． 10．已知抛物线，当时，则的取值范围 ． 【答案】 【分析】把抛物线化成顶点式，结合对称轴，开口方向，确定时，二次函数的最大值与最小值，再确定范围即可． 本题考查了顶点式的转化，抛物线的增减性，最值，熟练掌握增减性和最值确定方法，是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线，当时，函数有最小值， ∴抛物线上的点与对称轴的距离越大，函数值越大， ∵， ∴在这个范围内， ∴二次函数的最小值为2, ∵， ∴当时，取得最大值，且最大值为， 故的取值范围为． 故答案为：． 11．若，且，则x的取值范围为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了二次函数的最值，掌握二次函数的图象性质是解题关键．由，可得，由二次函数的性质可求x的取值范围． 【详解】解：∵， ∴， 当时，， 解得，， 当时，， 解得，， ∵ ∴二次函数的对称轴为，开口向下， 当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小， ∴当时，自变量的取值范围为或， 故答案为：或． 题型八 最短路径问题 1．如图，在矩形中，，，点在直线上运动，以为直角边向右作，使得，，连接，则长的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点作于点，与交于点，证明，设，根据相似三角形的相似比，用表示，并求得，进而根据勾股定理，用表示，根据二次函数的性质求得的最小值，最后便可求得的最小值． 【详解】解：过点作于点，与交于点，如图所示： ，， ， ， ， ， ， 设，则， ∵， ， ，， ， ， ，即抛物线开口向上， 当时，的最小值为， 长的最小值为， 故选：D 【点睛】本题主要考查动点最值问题，涉及矩形的性质，相似三角形的判定与性质，二次函数的性质，作辅助线构造相似三角形是解题的关键． 2．如图，在边长为的正方形中，点，分别为边，上的点，且，与交于点，连结．取的中点，连结，，则的最小值为（   ） A．6 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】过点作于点，交于点，证明，进而证明，根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半得出，进而设，则，根据勾股定理建立二次函数关系式，根据二次函数的性质，即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作于点，交于点， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴ ∴四边形是矩形， ∴，， ∴ ∴， 在和中， ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∵是的中点， ∴ ∴， ∴的最小值为的长， 设，则， 在中， ∵，当时，有最小值 ∴的最小值为 故选：B． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，矩形的性质与判定，二次函数的性质；熟练掌握以上知识是解题的关键． 3．如图，在四边形中，，对角线、交于点O，且．若，则的最小值为（    ） A．16 B．4 C．9 D．2 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，解直角三角形，二次函数的性质等知识，解决问题的关键是作辅助线将条件集中在同一个三角形中求解． 作交的延长线于，作于，设，表示出，解斜三角形，进而求得结果． 【详解】解：如图，作交的延长线于，作于， ∵， ， ∵， 四边形是平行四边形， ，， ， 设，则， 在中，，， ，， ， 在中， ， 当时，，即 ． 故选：D． 4．如图所示，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，且，点、是直线上的两个动点，且（点在点的上方），则四边形的最小值是 ．    【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数综合，平行四边形的性质与判定，已知两点坐标求两点距离等等，正确作出辅助线是解题的关键． 先求出点的坐标，求出求出点的坐标即可求出抛物线解析式，从而求出点的坐标，取，连接，，，可证四边形是平行四边形，得到，则四边形的周长，再由点，关于直线对称，得到，则，故当、、三点共线时，最小，最小为，即此时最小，据此求解即可． 【详解】解：点是抛物线与轴交点， 点的坐标为， ， 点的坐标为， ， ， 抛物线解析式为， 抛物线对称轴为直线， 令，则， 解得或， 点的坐标为， 取，连接，，，   ， 又， 四边形是平行四边形， ， 点，关于直线对称， ， ， 当、、三点共线时，最小，最小为，即此时最小， ， 四边形的最小值为． 故答案为：． 题型九 图象平移 1．将二次函数图象向左平移个单位，再向下平移个单位后，所得图象的函数是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象的平移规律，解决本题的关键是得到新抛物线的顶点坐标． 抛物线平移不改变的值，由抛物线的顶点坐标即可得出结果． 【详解】解：原抛物线的顶点为，向左平移个单位，再向下平移个单位，那么新抛物线的顶点为， 可设新抛物线的解析式为：， 代入得：， 所得图象的解析式为：， 故选：C． 2．将抛物线向下平移一个单位长度，所得抛物线的解析式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图象与几何变换，解题的关键是掌握函数图象平移的规律：上加下减，左加右减．据此解答即可． 【详解】解：将抛物线向下平移一个单位长度，所得抛物线的解析式是 故选：D． 3．在平面直角坐标系中，将抛物线沿y轴方向平移后使抛物线可以经过原点，则这样的平移方向和距离是（   ） A．向下平移4个单位 B．向上平移2个单位 C．向下平移6个单位 D．向上平移8个单位 【答案】D 【分析】本题考查二次函数图象的平移，根据平移规则：左加右减，上加下减，设出新的抛物线的解析式，将原点代入，求解即可．熟练掌握平移规则，是解题的关键． 【详解】解：， 设将抛物线向上平移个单位后，新抛物线经过原点， ∴，把代入，得：， 解得：， ∴平移方向和距离是向上平移8个单位； 故选D． 4．将抛物线先向右平移2个单位，再向下平移1个单位后所得新抛物线的函数表达式为 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数图象的平移，根据平移规则：左加右减，上加下减，进行求解即可．熟练掌握平移规则，是解题的关键． 【详解】解：将抛物线先向右平移2个单位，再向下平移1个单位后所得新抛物线的函数表达式为； 故答案为：． 1．已知二次函数（是常数，）的图象上有和两点．若点，都在直线的下方，且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数与不等式，根据已知条件列不等式即可得到结论． 【详解】解：∵， ∴， ∵和两点都在直线的下方，且， ∴, ∴， 考虑函数，当时，， ∴的解集表示位于横轴下方的图象的自变量的取值， ∴①， ∵数（a是常数，）的图象上有和两点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴②， 由①②得，． 故选：B． 2．二次函数的图象经过（   ） A．第一、二、三象限 B．第三、四象限 C．第二、三、四象限 D．第一、三、四象限 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是能够根据二次函数的各项的系数的符号确定二次函数的图象位置． 根据二次函数的性质，求出对称轴和顶点坐标，求解即可； 【详解】解：二次函数， 抛物线开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为，与轴的交点为， 二次函数的图象经过第三、四象限； 故选：B 3．二次函数的对称轴是（   ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的性质解答即可， 熟练掌握其性质并能灵活运用对称轴方程是解决此题的关键． 【详解】解：∵二次函数， ∴对称轴为直线 ， 故选：D． 4．抛物线的对称轴是(        ) A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【答案】B 【分析】此题考查了二次函数的性质，根据抛物线的对称轴公式：计算即可． 【详解】解：抛物线的对称轴是直线 故选：B． 5．若点，都在抛物线上，则该抛物线的对称轴是（   ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据二次函数的对称性求解即可，熟练掌握二次函数的图象与性质是解此题的关键． 【详解】解：∵点，都在抛物线上， ∴该抛物线的对称轴是直线， 故选：D． 6．已知抛物线（a、b是常数，）为图中四个图象之一，则a的值为（   ） A．3 B． C．6 D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．先判断出这个抛物线的对称轴为直线，从而可得这个二次函数的图象可能是第三个或第四个，再根据函数图象可得这个二次函数的图象经过原点，且对称轴为直线，从而可得，然后将点代入计算即可得． 【详解】解：∵在抛物线中，， ∴这个抛物线的对称轴为直线， ∴这个二次函数的图象可能是第三个或第四个， 由函数图象可知，这个二次函数的图象经过原点，且对称轴为直线， ∴， 将点代入得：， 解得或（舍去）， 故选：D． 7．若二次函数图象经过，，三点，则、、的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，主要利用了二次函数的增减性和对称性，求出对称轴是解题的关键．先求出二次函数的对称轴，然后根据二次函数的增减性和对称性解答即可． 【详解】解：二次函数的对称轴为直线， ∵， ∴时，y随x的增大而减小，时，y随x的增大而增大， ∵到2的距离为3，2到2的距离为0，4到2的距离为2， ∴a、b、c的大小关系， 故选：D． 8．设是抛物线上的三点，则的大小关系为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了函数图象上的点的坐标与函数解析式的关系，解决本题的关键是掌握函数的对称性及增减性．根据函数解析式的特点，其对称轴为，图象开口向下；利用离对称轴越远，函数值越小，得． 【详解】解：∵， ∴抛物线开口向下，二次函数的对称轴为直线， ∴离对称轴越远，函数值越小， ∵ ∴， ∴， 故选A． 9．小颖在研究二次函数（m为常数）性质时，有以下结论：①对称轴为直线；②抛物线与x轴始终有两个交点；③若函数的最小值为，则m的值为3；④若，，则．则其中正确结论的序号是（   ） A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 【答案】D 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点，先利用配方法把解析式配成顶点式为，根据二次函数的性质得到可对①进行判断；令，解方程得m的值为3或，则可对③进行判断；计算方程的根的判别式得到，由于当时，，则抛物线与x轴有一个交点，从而可对③进行判断；利用得到，根据二次函数的性质得到．从而可对④进行判断． 【详解】解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线，所以①正确； 当时，y有最小值， 若y的最小值为，则， 解得， 即若函数的最小值为，则m的值为3或，所以③错误； 当时，， ∵， ∴当时，，方程有两个相等的实数根，抛物线与x轴有一个交点； 当时，，方程有两个不相等的实数根，抛物线与x轴有两个交点，所以②错误； ∵，， ∴， 而抛物线的开口向上， ∴．所以④正确． 故选：D． 10．已知，，是二次函数图象上的点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先确定抛物线的对称轴，开口方向，再计算点与对称轴的距离，根据抛物线上的点与对称轴的距离越大，函数值越小，解答即可． 本题考查了抛物线的对称性，增减性，开口，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：∵的对称轴为直线，开口向下， 点，，均在二次函数图象上， 且 ∵抛物线开口向下， ∴抛物线上的点与对称轴的距离越大，函数值越小， ∴或， 故选：B． 11．若二次函数的图象经过点和．若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征．先判断函数的开口方向和对称轴，然后根据二次函数的对称性和增减性，则可求得的取值范围． 【详解】解：∵二次函数， ∴图象的开口向上，对称轴为直线， ∴当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大， ∴点关于对称轴的对称点为， ∵二次函数的图象经过点和，且， ∴若点在对称轴的左侧，则，若点在对称轴的右侧，则， ∴或， 故选：D． 12．下列在二次函数图象上的点是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了点的坐标与函数解析式之间的关系．若点在函数的图象上，则点的坐标一定满足函数的解析式；若点的坐标满足函数的解析式，则该点一定在该函数的图象上，解决本题的关键是把点的横坐标代入函数的解析式中计算，根据得到的结果是否与点的纵坐标相等进行判断． 【详解】解：A选项：当时，可得：，点不在二次函数的图象上，故A选项不符合题意； B选项：当时，可得：，点在二次函数的图象上，故B选项符合题意； C选项：当时，可得：，点不在二次函数的图象上，故C选项不符合题意； D选项：当时，可得：，点不在二次函数的图象上，故D选项不符合题意． 故选：B． 13．二次函数图象的对称轴是（    ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，由二次函数解析式得到函数图象与轴的交点坐标是解题的关键． 由二次函数解析式得到函数图象与轴的交点坐标，然后利用对称性得到对称轴． 【详解】解：∵二次函数的解析式为， ∴此抛物线与x轴的交点为， ∴抛物线的对称轴为直线， 故选： D． 14．二次函数（）的部分图象如图所示，对称轴为直线，则下列结论中： ①； ②（m为任意实数）； ③； ④若、是抛物线上不同的两个点，则 其中正确的结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据抛物线的开口方向，对称轴可得，即可判断①，时，函数值最大，即可判断②，根据时，，即可判断③，根据对称性可得即可判段④，即可求解． 【详解】解：∵二次函数图象开口向下， ∴． ∵对称轴为直线， ∴， ∴， ∵抛物线与轴交于正半轴，则， ∴，故①错误； ∵抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，取得最大值，最大值为， ∴（m为任意实数）， 即，故②正确； ∵时，， 即， ∵， ∴， 即， ∴，故③正确； ∵、是抛物线上不同的两个点， ∴关于直线对称， ∴，即，故④不正确． 正确的有②③ 故选：B． 15．若，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是 ．（请按从小到大的顺序排列） 【答案】 【分析】本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．分别计算出函数值求解即可． 【详解】解：∵，，为二次函数的图象上的三点， ∴，，， ∴， 故答案为． 16．平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线与y轴交于点A，过点A作x轴的平行线交抛物线于点B，抛物线顶点为P．若直线交直线于点C，且，则a的值为 ． 【答案】 【分析】先求出A、B两点坐标，再分两种情况：当点C在线段上时，当点C在线段延长线上时，根据，分别求得点C坐标，然后用等定系数法求得直线的解析式为，把点C坐标代入计算即可． 【详解】解：令，则， ∴， ∵过点A作x轴的平行线交抛物线于点B，则点B纵坐标为1， 当时，， 解得，， ∴， ∴， ∵， 当点C在线段上时，如图1： ∴， ∴， 当点C在线段延长线上时，如图2： ∴， ∴， ∵， ∴， 设直线解析式为， 把代入，得， ∴； 把代入，得， 解得：， 把代入，得， 解得：； 综上，a的值为或， 故答案为：或． 【点睛】本题是一次函数与二次函数的综合，主要考查二次函数的图象与坐标轴交点，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，用待定系数法求正比例函数的解析式等，求出点C的坐标和直线的解析式，再把点C的坐标代入直线的解析式是解题的关键，注意分类讨论思想的应用． 17．若抛物线的顶点在x轴，则 ． 【答案】9 【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握顶点坐标的公式是解此题的关键． 根据抛物线的顶点在x轴上，得出，代入求出即可． 【详解】∵抛物线的顶点在x轴上， ∴顶点纵坐标为0， ∴， 解得：． 故答案为：9． 18．已知函数，当时，若y的最大值与最小值之差为8，则 ． 【答案】或 【分析】本题考查二次函数最值，熟练掌握二次函数的性质，分类讨论思想的应用是解题的关键． 分三种情况：①当时，即；②当且时，即；③当时，即，．分别求解即可． 【详解】解：当时，， ①当时，即， 时，y取得最小值，此时；时，y取得最大值，此时；，解得：， ∵， ∴不符合题意； ②当且时，即，此时最小值为， 当取得最大值时，， ，解得：， ∵，， ∴不符合题意； ∴符合题意； 当取得最大值时，， ，解得：， ∵，，， ∴符合题意，不符合题意， ∴； ③当时，即， 时，y取得最小值，此时；时，y取得最大值，此时；，解得：， ∵， ∴不符合题意； 综上所述，当时，若y的最大值与最小值之差为8，k的值为或． 故答案为：或． 19．抛物线过点和，则此抛物线的对称轴为直线 ． 【答案】 【分析】本题考查了求二次函数的对称轴，熟练掌握二次函数的对称性是解题关键．判断出点和是抛物线上对称的两点，据此求出抛物线的对称轴即可得． 【详解】解：∵抛物线过点和， ∴由二次函数的对称性可知，此抛物线的对称轴为直线， 故答案为：． 20．若点，在二次函数的图象上，则 （填，或）． 【答案】< 【分析】本题考查比较二次函数的函数值大小．熟练掌握二次函数的对称性和增减性，是解题的关键． 根据关于y轴的对称点为，当时，y随x的增大而增大，且，可得． 【详解】∵二次函数的开口向上，对称轴为直线y轴， ∴点关于y轴的对称点为， ∵当时，y随x的增大而增大，， ∴． 故答案为：<． 21．如图，在平面直角坐标系中，点是抛物线与轴的交点，点是这条抛物线上的另一点，且轴，则以为边的正方形的周长为 ． 【答案】 【分析】此题考查二次函数的性质，正方形的性质，根据二次函数的性质得出、关于对称轴对称，根据点的横坐标得出长，再根据正方形的性质求出即可． 【详解】点是抛物线与轴的交点，点是这条抛物线上的另一点，且轴， 的横坐标为，、关于对称轴对称， 点的横坐标是，则 即正方形的边长是， 所以正方形的周长是， 故答案为：． 22．如图，已知直线经过点，抛物线W：与y轴交于点C．点E、F分别是抛物线对称轴和直线l上的动点，连结，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】首先利用待定系数法求出直线的表达式，设点关于抛物线对称轴的对称点为，由对称的性质可得，则可知当、、三点一线且与垂直时最小，由点坐标可确定出，设点的坐标，利用勾股定理得到关于m的关系式，再根据二次函数的性质即可求得的最小值． 【详解】解：如图，设点关于抛物线对称轴的对称点为，由对称的性质可得， ， 当、、三点一线且与垂直时，最小， 由题意可得，解得， 直线解析式为； 对于，当时，， ， ， 抛物线W：的图象关于直线对称， ， 设点的坐标， ， 中，， 当，有最小值，最小值为， 即的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查二次函数的性质、一次函数的应用、轴对称最短问题，勾股定理，等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用轴对称解决最短问题，属于中考选择题中的压轴题． 23．如图，矩形中，，，为的平分线，F为上一动点，点M为的中点，连接，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】建立平面直角坐标系，求出的解析式，设点，求点坐标，由两点距离公式和二次函数性质可求的最小值； 【详解】解：以点为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系， ∵，， ∴点，，， ∵为的平分线， ∴， ∴， ∴， ∴点， 设直线的解析式为， 将点，代入可得， ，解得：， ∴， 设， ∵点M为的中点， ∴， ∴， ∵，， ∴当时，最小， ， 故答案为：； 【点睛】本题考查了矩形的性质，二次函数的性质，两点距离公式等知识，建立平面直角坐标系是本题的关键． 24．已知，二次函数的图象与x轴的交点横坐标为． (1)求的最小值． (2)若，求m的取值范围． (3)若为整数，求m的值． 【答案】(1) (2) (3)2或8 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的最值，掌握二次函数的性质是解题关键． （1）由进行判断即可； （2）求出抛物线的对称轴为直线，得出，再求出的取值即可解决问题； （3）由得，由为整数，设，，再分组讨论即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴的最小值为． （2）解：对于二次函数，对称轴为直线， 又对称轴为直线， ∴， ∴ ∴ ∵ ∴， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴，， ∵为整数， ∴为整数， ∴设， ∴， ∴， ∴或或或， ∴（舍去）或或（舍去）或， 当时，，符合题意． 当时，，符合题意． ∴或8． 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$