5.4（第1课时）二次函数的图像和性质（7大题型提分练）（题型专练）数学青岛版九年级下册

5.4（第1课时） 二次函数的图象和性质 题型一 的图象和性质 1．二次函数的图象开口方向是（   ） A．向左 B．向右 C．向上 D．向下 2．抛物线与抛物线具有的相同的性质是（　　） A．开口向上 B．开口向下 C．有最高点 D．对称轴是y轴 3．如图，各抛物线所对应的函数解析式为：①；②；③；④，比较的大小，用“>”连接为（   ）． A． B． C． D． 4．若二次函数的图象开口向下，则二次函数的大致图象是（　　） A． B． C． D． 5．已知点在二次函数的图象上，则a的值是（    ） A． B．3 C．或3 D．或 6．某二次函数图象的顶点坐标为，且形状与的函数图象相同，求该二次函数表达式． 7．已知是二次函数，且当时，随的增大而增大．求的值，并画出它的图象； 8．已知二次函数． (1)点在此函数图象上，求m的值； (2)将此函数图象沿y轴向上平移3个单位，则平移后的抛物线表达式为_______． 9．若二次函数的图象经过点，求该函数的解析式并写出对称轴． 10．已知某抛物线上部分点的横坐标，纵坐标的对应值如下表： … (1)在坐标系中画出该抛物线的图象； (2)该抛物线的对称轴是______． 11．（1）在同一直角坐标系中，画出二次函数和的图象； （2）从函数图象的形状、开口方向、对称轴、顶点等方面说出两个函数图象的相同点与不同点． 12．已知是关于的二次函数，且当时，随的增大而减小，求的值． 题型二 的图象和性质 1．已知点都在二次函数的图象上，则（   ） A． B． C． D． 2．二次函数的图象必经过点（   ） A． B． C． D． 3．已知二次函数，当时，随的增大而 （“增大”或“减小”）． 4．抛物线的顶点坐标为，则 ． 5．若点，在二次函数的图象上，则 （填，或）． 6．已知是关于的二次函数． (1)求值； (2)若，直接写出的取值范围． 7．在如图所示的平面直角坐标系中画出二次函数的图． x … 0 2 4 … … … (1)补充表格中的y值； (2)在坐标系中画出图象． 8．已知函数是关于x的二次函数． (1)求m的值； (2)函数图象的两点，则与的大小关系是______． 9．【探究】 如图，已知抛物线． （1）在坐标系中画出此抛物线的大致图象（不要求列表）； （2）当时，函数值y取值范围是________； 【应用】 已知二次函数（h是常数），且自变量取值范围是． （3）当时，函数的最大值是________； （4）若函数的最大值为，求h的值． 题型三 的图象和性质 1．设函数，，直线与函数，的图象分别交于点，，得（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2．抛物线的顶点坐标是（   ） A． B． C． D． 3．如图，抛物线的顶点在x轴的正半轴上，过点且平行于x轴的直线l与抛物线交于A，B两点，点．若四边形是菱形，则a和h的值分别为（　　） A．，11 B．，11 C．， D．， 4．如图，二次函数的大致图象是（   ） A． B． C． D． 5．二次函数的顶点坐标是（   ） A． B． C． D． 6．将二次函数图象向左平移个单位，再向下平移个单位后，所得图象的函数是（　　） A． B． C． D． 7．点，是二次函数图象上的两个点，则 （填“”，“”或“”）． 8．已知二次函数，当分别取，时，函数值相等，则当取时，函数值为 ． 9．抛物线的对称轴为直线 ． 10．已知二次函数（h是常数），且． (1)当时，求函数的最大值； (2)若函数的最大值为，求h的值． 11．已知抛物线经过两点． (1)求抛物线的对称轴； (2)判断点是否在此函数图象上． 题型四 的图象和性质 1．对于二次函数，其图象的顶点坐标为（   ） A． B． C． D． 2．已知二次函数，它的最大值是（   ） A． B．1 C．3 D． 3．二次函数图象的顶点坐标是（   ） A． B． C． D． 题型五 把化为顶点式 1．若抛物线平移后经过原点，则下列平移方案不正确的是（   ） A．向上平移3个单位 B．向右平移3个单位 C．向左平移3个单位 D．向左平移1个单位，再向上平移4个单位 2．将二次函数通过配方转化为，则 ． 3．把二次函数化成的形式，并指出图象的开口方向、对称轴和顶点坐标． 4．请利用配方法求出下列函数的最值． (1)； (2)． 题型六 画的图象 1．二次函数的图象经过（   ） A．第一、二、三象限 B．第三、四象限 C．第二、三、四象限 D．第一、三、四象限 2．已知抛物线，当时，y的取值范围是 ． 题型七 的图象和性质 1．抛物线，根据下列条件求m值． (1)抛物线过原点； (2)抛物线最小值为． 2．在二次函数中． (1)若函数图象过点，则的值为 ； (2)当时，有最小值为，求的值． 3．已知二次函数． (1)求二次函数图象的顶点坐标； (2)在平面直角坐标系中，画出二次函数的图象； (3)当时，结合函数图象，直接写出的取值范围． 4．已知二次函数． (1)填空：抛物线的对称轴是直线_____，顶点坐标是_____； (2)列表，在如图所示的直角坐标系中画出的图象． … … 5．已知二次函数． (1)求该二次函数图象的对称轴和顶点坐标； (2)二次函数中的和满足下表，求的值； x …      0 1 2 3 … y …      4 6 4 m … (3)结合（2）中所给的表格，在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的大致图象． 6．已知抛物线． (1)利用配方法求该抛物线的顶点坐标； (2)当为何值时，随的增大而减小？ 1．如图，平行于x轴的直线与两条抛物线和（）相交于点A，B，C，D．若，，，则h的值为 ． 2．如图，将二次函数位于轴下方的图象沿轴翻折，再得到一个新函数的图象（图中的实线）．    (1)当时，新函数值为______，当时，新函数值为______； (2)当______时，新函数有最小值； (3)当新函数中函数随的增大而增大时，自变量的范围是______； (4)若关于的方程有且只有两个解，则的取值范围_______． 3．在平面直角坐标系中，抛物线与抛物线如图所示．请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）． (1)在图1中作一菱形； (2)在图2中作一矩形． 4．若抛物线的顶点在轴上，对称轴是直线，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式． (2)写出它的顶点坐标和开口方向． 5．已知函数 是关于x的二次函数． 求： (1)满足条件的m的值； (2)m为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点，这时当x为何值时，y随x的增大而增大？ 6．若两个二次函数图象的顶点相同，开口大小相同，但开口方向相反，则称这两个二次函数为“对称二次函数”． (1)请写出二次函数的“对称二次函数”； (2)已知关于的二次函数和，若与互为“对称二次函数”，求函数的表达式，并求出当时，的最大值． 7．已知抛物线． (1)将 化成的形式； (2)写出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标． 8．已知二次函数． (1)将其化为的形式为___________； (2)该二次函数图象与y轴的交点坐标为___________； (3)当时，的取值范围是___________． 9．已知抛物线． (1)将配方成的形式； (2)写出该抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标； (3)当时，求的取值范围． 10．已知二次函数． (1)直接写出该二次函数图象的对称轴和顶点坐标； (2)请补全表格，并在如图所示的平面直角坐标系中描出表中各点，画出图象； x 0 1 2 3 y 0 (3)根据图象回答下列问题：   ①当时，x的取值范围为 ； ②当时，y的取值范围为： ； ③当(k是常数)时，y随x的增大而减小，实数k的取值必须满足条件： ； 11．已知二次函数． (1)求其顶点坐标； (2)当时，直接写出y的取值范围． 12．（1）解方程： （2）已知二次函数，用配方法将二次函数的一般式化成顶点式 13．已知二次函数， (1)求函数图像的对称轴和顶点坐标； (2)把这个函数的图像先向左平移2个单位、再向下平移2个单位，得到的图像对应的函数关系式是什么？ 14．利用五点法可以绘制二次函数图象，请完成下列问题： … 1 0 1 2 3 … … 2 1 2 1 2 … (1)通过描点，在平面直角坐标系中画出的图象． (2)将的图象向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，直接写出所得新抛物线的解析式 ． 15．已知函数． (1)请在下边网格内，画出该函数的大致图象； (2)请根据该函数图象写出时的取值范围． 16．已知抛物线． (1)在所给的坐标系中画出抛物线的大致图象（不用列表、直接描点、连线）； (2)结合函数图象，直接写出： ①当时，x的取值范围为________； ②当时，y的取值范围为________； (3)将抛物线先向左平移1个单位，再向下平移5个单位，得到的抛物线表达式为________（化为一般式）． 17．如图，已知函数 (1)把函数关系式配方成顶点式； (2)在图中的坐标系中画出函数图象； (3)当时，y的取值范围是　　　　； (4)画出直线，记作直线a，过直线a上一点作x轴的平行线，交直线a和抛物线于点A、B、C，则A、B、C三点横坐标的和是　　　　． 18．对于抛物线． (1)将抛物线的解析式化为顶点式； (2)在坐标系中利用描点法画出此抛物线； x … … y … … (3)结合图象，当时，x的取值范围______． 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$ 5.4（第1课时） 二次函数的图象和性质 题型一 的图象和性质 1．二次函数的图象开口方向是（   ） A．向左 B．向右 C．向上 D．向下 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．根据二次函数的图象性质，即可得出结论． 【详解】解：二次函数的二次项系数， 二次函数的图象开口方向是向上． 故选：C． 2．抛物线与抛物线具有的相同的性质是（　　） A．开口向上 B．开口向下 C．有最高点 D．对称轴是y轴 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的性质，是基础知识，需熟练掌握．抛物线是最简单二次函数形式．顶点是原点，对称轴是y轴，时，开口向上；时，开口向下． 根据二次函数的性质分析即可． 【详解】抛物线的开口向上，对称轴为轴，有最低点； 抛物线开口向下，对称轴为轴，有最高点； 故抛物线与相同的性质是对称轴都是轴， 故选：D． 3．如图，各抛物线所对应的函数解析式为：①；②；③；④，比较的大小，用“>”连接为（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据中决定开口方向和开口大小，越大，开口越小，进行判断即可． 【详解】解：由图象可知：， ∴； 故选A． 4．若二次函数的图象开口向下，则二次函数的大致图象是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的定义，解决本题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质． 根据二次函数的图象和性质：开口向下时二次项系数小于0，常数项大于0，交y轴正半轴． 【详解】解：∵二次函数的图象开口向下， ∴， ∴， ∴二次函数图象开口向下，与y轴交点的正半轴相交． ∴选项D符合题意． 故选：D． 5．已知点在二次函数的图象上，则a的值是（    ） A． B．3 C．或3 D．或 【答案】B 【分析】本题考查二次函数图象上点的坐标特征、求一个数的立方根，利用待定系数法求解a值即可． 【详解】解：∵点在二次函数的图象上， ∴，即， ∴， 故选：B． 6．某二次函数图象的顶点坐标为，且形状与的函数图象相同，求该二次函数表达式． 【答案】或 【分析】本题主要考查了二次函数图象与其系数的关系，二次函数的性质，先把解析式设为顶点式，即，再由所求抛物线的形状与的函数图象相同得到，即，据此可得答案． 【详解】解：∵所求二次函数的顶点坐标为， ∴可设该二次函数解析式为， ∵所求二次函数的形状与的函数图象相同， ∴， ∴， ∴该二次函数表达式为或． 7．已知是二次函数，且当时，随的增大而增大．求的值，并画出它的图象； 【答案】，图见解析 【分析】此题考查了二次函数的定义以及性质，描点法画函数图像，解题的关键是掌握二次函数的定义以及性质．根据二次函数定义以及当时，y随x的增大而增大．可得出函数解析式，再描点画图即可； 【详解】解：由是二次函数，且当时，y随x的增大而增大，得 ， 解得：或（舍去）； 二次函数的解析式为， 如图所示： 8．已知二次函数． (1)点在此函数图象上，求m的值； (2)将此函数图象沿y轴向上平移3个单位，则平移后的抛物线表达式为_______． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查二次函数的性质，二次函数图象的平移． （1）将点代入计算，即可求解； （2）根据二次函数图象平移的规律“上加下减，左加右减”即可写出平移后二次函数的解析式． 【详解】（1）解：∵点在此函数图象上， ∴； （2）解：抛物线的图象沿y轴向上平移3个单位后的解析式为：． 故答案为：． 9．若二次函数的图象经过点，求该函数的解析式并写出对称轴． 【答案】函数解析式为，对称轴是y轴 【分析】本题考查了的图象与性质，解题关键是牢记它的对称轴是y轴，图象上的点的坐标代入解析式能让左右两边相等． 【详解】解：根据题意，得，解得， ∴所求的函数解析式为， ∴对称轴是y轴． 10．已知某抛物线上部分点的横坐标，纵坐标的对应值如下表： … (1)在坐标系中画出该抛物线的图象； (2)该抛物线的对称轴是______． 【答案】(1)见解析 (2)轴 【分析】本题考查了画函数图象，二次函数的性质； （1）根据描点法画出函数图象； （2）根据函数图象即可求解． 【详解】（1）解：描点连线如图所示， （2）解：对称轴为轴， 故答案为：轴． 11．（1）在同一直角坐标系中，画出二次函数和的图象； （2）从函数图象的形状、开口方向、对称轴、顶点等方面说出两个函数图象的相同点与不同点． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】本题考查了二次函数图象与性质，图象开口向上，对称轴左侧，随的增大而减小，对称轴右侧，随的增大而增大；图象开口向下，对称轴左侧，随的增大而增大，对称轴右侧，随的增大而减小． （1）在同一直角坐标系中，画出二次函数和的图象即可； （2）根据二次函数图象，可得二次函数的性质． 【详解】解：（1）二次函数和的图象如图所示： （2）二次函数和的图象的相同点是：形状都是抛物线，对称轴都是轴，顶点坐标都是； 二次函数和的图象的不同点是：图象开口向上，图象开口向下（答案不唯一，合理即可）； 12．已知是关于的二次函数，且当时，随的增大而减小，求的值． 【答案】 【分析】首先根据二次函数的定义可得：，又因为当时，随的增大而减小，可知抛物线的开口向下，所以可知，解一元二次方程可以求出的值，再根据确定的取值范围把不符合条件的解舍去． 【详解】解：是关于的二次函数，且对称轴为， 当时，随的增大而减小， 可知抛物线的开口向下， 可得：， 由得：， 用十字相乘法分解因式可得：， 解得：，， 解得：， ． 【点睛】本题主要考查了二次函数的定义和性质．解决本题的关键是根据二次函数的定义得到关于的一元二次方程，解方程求出的值，再根据二次函数图像的性质确定的取值范围． 题型二 的图象和性质 1．已知点都在二次函数的图象上，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查比较二次函数函数值的大小，根据二次函数的增减性，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小， ∵点都在二次函数的图象上，且， ∴； 故选D． 2．二次函数的图象必经过点（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质．把每个点的坐标代入函数解析式，即可得出答案． 【详解】解：A．把代入得：， ∴不在二次函数的图象上，故A不符合题意； B．把代入得：， ∴不在二次函数的图象上，故B不符合题意； C．把代入得：， ∴在二次函数的图象上，故C符合题意； D．把代入得：， ∴不在二次函数的图象上，故D不符合题意． 故选：C． 3．已知二次函数，当时，随的增大而 （“增大”或“减小”）． 【答案】增大 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的图象开口向上，对称轴为轴，根据增减性可求得答案 【详解】∵二次函数的对称轴是y轴，开口向上， ∴当时，y随x的增大而增大， 故答案为：增大． 4．抛物线的顶点坐标为，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，把代入函数解析式即可求解，掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵抛物线的顶点坐标为， ∴， ∴， 故答案为：． 5．若点，在二次函数的图象上，则 （填，或）． 【答案】< 【分析】本题考查比较二次函数的函数值大小．熟练掌握二次函数的对称性和增减性，是解题的关键． 根据关于y轴的对称点为，当时，y随x的增大而增大，且，可得． 【详解】∵二次函数的开口向上，对称轴为直线y轴， ∴点关于y轴的对称点为， ∵当时，y随x的增大而增大，， ∴． 故答案为：<． 6．已知是关于的二次函数． (1)求值； (2)若，直接写出的取值范围． 【答案】(1)2 (2) 【分析】本题考查二次函数的定义和二次函数的性质， （1）根据二次函数最高次必须为二次建立方程，解方程即可得到答案； （2）先判断二次函数的开口方向，求出二次函数的对称轴和时x的值，结合二次函数的图像性质即可得到答案． 【详解】（1）解：根据题意得：，且， 解方程得：或（舍去）， ∴； （2）解：∵， ∴抛物线开口向上，且对称轴为： ∵时，解方程得，，， ∴当时，． 7．在如图所示的平面直角坐标系中画出二次函数的图． x … 0 2 4 … … … (1)补充表格中的y值； (2)在坐标系中画出图象． 【答案】(1)3，0，，0，3 (2)作图见解析 【分析】此题考查了列表法画二次函数图象，求函数值，正确掌握画函数图象的步骤：列表，描点，连线是解题的关键． （1）分别将值代入函数解析式求解即可； （2）描点，连线即可画出图象． 【详解】（1）解：当； 当； 当； 当； 当； （2）解：图象如图： 8．已知函数是关于x的二次函数． (1)求m的值； (2)函数图象的两点，则与的大小关系是______． 【答案】(1) (2)． 【分析】本题主要考查了二次函数的图象定义和性质． （1）根据二次函数的定义可得，即可求解； （2）求得该函数的对称轴为y轴，且开口向上，由点，，知． 【详解】（1）解：∵函数是关于x的二次函数， ∴， 解得：； （2）解：由（1）知二次函数的解析式为， ∵， ∴该函数的对称轴为y轴，且开口向上， ∴在对称轴右边，y随x的增大而增大， ∵点，， ∴． 9．【探究】 如图，已知抛物线． （1）在坐标系中画出此抛物线的大致图象（不要求列表）； （2）当时，函数值y取值范围是________； 【应用】 已知二次函数（h是常数），且自变量取值范围是． （3）当时，函数的最大值是________； （4）若函数的最大值为，求h的值． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）0；（4）1或6． 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质． （1）根据画二次函数图象的方法画图即可； （2）利用二次函数的性质并结合函数图象即可得出结论； （3）根据二次函数的图象和性质进行解答即可； （4）根据h的取值分情况讨论即可求出答案． 【详解】解：（1）如图， （2）抛物线开口向下，当时，y有最大值为4， 当时，；当时， ∴当时，函数值y取值范围是， 故答案为：； （3）抛物线的开口向下，对称轴为， ∴当时，当时，y有最大值，最大值为0； 故答案为：0 （4）当时，时，y随x的增大而减小，则当时，y有最大值， ∴， 解得，（舍去） 当时，时，y有最大值为0，故不符合题意； 当时，时，y随x的增大而增大，则当时，y有最大值， ∴， 解得（舍去），， 综上，若函数的最大值为，则h的值为1或6． 题型三 的图象和性质 1．设函数，，直线与函数，的图象分别交于点，，得（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，理解题意，画出图象，数形结合是解题的关键．根据题意分别画出，的图象，继而根据图象即可求解． 【详解】解：如图所示，若，则， 故A选项错误； 如图所示，若，则或， 故B、D选项错误； 如图所示，若，则， 故C选项正确； 故选：C． 2．抛物线的顶点坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查抛物线的顶点坐标，根据的顶点坐标为求解，即可解题． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是， 故选：A． 3．如图，抛物线的顶点在x轴的正半轴上，过点且平行于x轴的直线l与抛物线交于A，B两点，点．若四边形是菱形，则a和h的值分别为（　　） A．，11 B．，11 C．， D．， 【答案】A 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质，菱形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 如图所示，设与y轴交于点D，首先根据菱形的性质得到，然后由勾股定理求出，进而得到，，然后根据二次函数的对称性求出对称轴为直线，得到，然后将代入即可求出． 【详解】如图所示，设与y轴交于点D ∵ ∴ ∵四边形是菱形 ∴ ∵过点且平行于x轴的直线l与抛物线交于A，B两点， ∴， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴对称轴为直线 ∴ ∴将代入得， 解得． 故选：A． 4．如图，二次函数的大致图象是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的性质，由二次函数解析式得出抛物线开口向上，对称轴为直线，结合图象判断即可得解． 【详解】解：∵二次函数， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线，故C符合题意； 故选：C． 5．二次函数的顶点坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，根据二次函数，得出顶点坐标是，即可作答． 【详解】解：∵二次函数， ∴顶点坐标是， 故选：D 6．将二次函数图象向左平移个单位，再向下平移个单位后，所得图象的函数是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象的平移规律，解决本题的关键是得到新抛物线的顶点坐标． 抛物线平移不改变的值，由抛物线的顶点坐标即可得出结果． 【详解】解：原抛物线的顶点为，向左平移个单位，再向下平移个单位，那么新抛物线的顶点为， 可设新抛物线的解析式为：， 代入得：， 所得图象的解析式为：， 故选：C． 7．点，是二次函数图象上的两个点，则 （填“”，“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数值的大小比较．将，代入，求出和，比较即可； 【详解】解：当时，； 当时，， ∵， ∴， 故答案为：． 8．已知二次函数，当分别取，时，函数值相等，则当取时，函数值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质；根据解析式得出对称轴为直线，进而根据题意可得，进而即可求解． 【详解】解：二次函数， 该函数图象开口向上，对称轴为直线， 当分别取，时，函数值相等，则， 时， 函数值． 故答案为：． 9．抛物线的对称轴为直线 ． 【答案】 【分析】此题考查顶点式抛物线解析式的性质，熟记解析式中各字母的意义是解题的关键． 根据顶点式函数解析式即可解答． 【详解】解：抛物线的对称轴为直线， 故答案为：． 10．已知二次函数（h是常数），且． (1)当时，求函数的最大值； (2)若函数的最大值为，求h的值． 【答案】(1)函数的最大值为0； (2)h的值是4或． 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质； （1）根据顶点式可直接得出答案； （2）根据函数的最大值为分情况讨论：若，则当时，y最大；若，则当时，y最大；若，则最大值为0，与题意不符；根据最大值为分别求解即可． 【详解】（1）解：当时，二次函数为， ∴当时，函数有最大值为0； （2）解：∵二次函数（h是常数），当自变量x满足时，其对应函数y的最大值为， ∴若，则当时，y最大，即， 解得，（舍去）； 若，则当时，y最大，即， 解得，（舍去）； 若，则最大值为0，与题意不符； 综上，h的值是4或． 11．已知抛物线经过两点． (1)求抛物线的对称轴； (2)判断点是否在此函数图象上． 【答案】(1)对称轴为直线 (2)点不在此函数图象上 【分析】本题主要考查了抛物线的对称性，抛物线的性质： （1）根据两点的纵坐标相同即可求出对称轴； （2）根据（1）所求得到抛物线的解析式为：，再求出当时的函数值即可得到答案． 【详解】（1）解：两点的纵坐标相同， 抛物线的对称轴为直线； （2）解：抛物线的对称轴为， 抛物线的解析式为：， 当时，， 点不在此函数图象上． 题型四 的图象和性质 1．对于二次函数，其图象的顶点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查二次函数的顶点式，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．根据二次函数顶点式求解即可． 【详解】解：二次函数， 由二次函数的性质可得顶点坐标为． 故选：D． 2．已知二次函数，它的最大值是（   ） A． B．1 C．3 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的图像与性质，确定该二次函数的顶点坐标是解题关键．根据二次函数解析式可知该二次函数图像开口向下，且其顶点坐标为，即可获得答案． 【详解】解：对于二次函数， ∵， ∴该二次函数图像开口向下，且其顶点坐标为， ∴该二次函数的最大值是3． 故选：C． 3．二次函数图象的顶点坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据顶点式的意义直接解答即可．解题的关键是熟悉顶点式的意义，并明确：的顶点坐标为． 【详解】解：二次函数的图象的顶点坐标是． 故选：． 26．二次函数的顶点坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的性质，二次函数的顶点坐标为．根据二次函数的顶点式的特点求解即可． 【详解】解：二次函数的顶点坐标为， 故答案为：． 题型五 把化为顶点式 1．若抛物线平移后经过原点，则下列平移方案不正确的是（   ） A．向上平移3个单位 B．向右平移3个单位 C．向左平移3个单位 D．向左平移1个单位，再向上平移4个单位 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的平移规律，先把化为顶点式，再根据每个选项的平移情况得出对应的解析式，再把代入进行计算求解即可． 【详解】解：依题意，， A、向上平移个单位，得， 把代入得，经过原点，故该选项不符合题意； B、向右平移个单位，得， 把代入得，不经过原点，故该选项符合题意； C、向左平移个单位，得， 把代入得，经过原点，故该选项不符合题意； D、向左平移1个单位，再向上平移4个单位，得， 把代入得，经过原点，故该选项不符合题意； 故选：B． 2．将二次函数通过配方转化为，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查了二次函数的三种形式的转化，熟练掌握配方法是解题的关键．利用配方法先提出二次项系数，再加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式． 【详解】 故答案为： 1 3．把二次函数化成的形式，并指出图象的开口方向、对称轴和顶点坐标． 【答案】，图象开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为 【分析】本题考查的是二次函数三种形式的转化、二次函数的性质，掌握配方法、二次函数的性质是解题的关键．先利用配方法把一般式化成顶点式，再利用二次函数的性质得到图象的开口方向、对称轴和顶点坐标． 【详解】解：． ∵， ∴图象开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为． 4．请利用配方法求出下列函数的最值． (1)； (2)． 【答案】(1)最大值为； (2)最小值为． 【分析】本题主要考查了配方法、二次函数的图象与性质．首先用配方法把二次函数的解析式化为顶点坐标式，再根据顶点坐标和函数的开口方向确定是最大值还是最小值． 【详解】（1）解：， 配方得：， 整理得：， ， 抛物线开口向上，函数有最大值，最大值是； （2）解：， 整理得：， ， ， 抛物线开口向上，函数有最小值，最小值是． 题型六 画的图象 1．二次函数的图象经过（   ） A．第一、二、三象限 B．第三、四象限 C．第二、三、四象限 D．第一、三、四象限 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是能够根据二次函数的各项的系数的符号确定二次函数的图象位置． 根据二次函数的性质，求出对称轴和顶点坐标，求解即可； 【详解】解：二次函数， 抛物线开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为，与轴的交点为， 二次函数的图象经过第三、四象限； 故选：B 2．已知抛物线，当时，y的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，将二次函数解析式化为顶点式得出抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为，抛物线开口向上，再求出当时、当时的的值即可得解． 【详解】解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为，抛物线开口向上， ∵当时，；当时，， ∴当时，y的取值范围是， 故答案为：． 题型七 的图象和性质 1．抛物线，根据下列条件求m值． (1)抛物线过原点； (2)抛物线最小值为． 【答案】(1)或 (2)m的值是1 【分析】本题考查的是二次函数的性质，熟知二次函数的最值问题是解答此题的关键． （1）直接把原点代入抛物线，求出m的值即可； （2）根据抛物线的解析式判断出其开口方向，进而可得出m的值． 【详解】（1）解：∵抛物线过原点， ∴当时，，即， 解得或； （2）解：∵抛物线中，，顶点坐标， ∴当时，二次函数的值最小， ∴， 解得， ∴m的值是1． 2．在二次函数中． (1)若函数图象过点，则的值为 ； (2)当时，有最小值为，求的值． 【答案】(1)或； (2)的值为或． 【分析】（）把点代入二次函数解析式，然后解一元二次方程即可； （）由函数得抛物线对称轴为直线，然后分当时当时当时三种情况分析即可求解； 本题考查了二次函数的图象与性质，解一元二次方程，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】（1）解：∵二次函数图象过点， ∴，整理得： 解得：，， 故答案为：或； （2）解：由函数， ∴抛物线对称轴为直线， 当时， 即时有最小值， ∴，解得：， ∴； 当时， 即时有最小值， ∴不符合题意； 当时， 即时有最小值， ∴，解得：或， ∴； 综上可知：的值为或． 3．已知二次函数． (1)求二次函数图象的顶点坐标； (2)在平面直角坐标系中，画出二次函数的图象； (3)当时，结合函数图象，直接写出的取值范围． 【答案】(1)二次函数图象的顶点坐标为； (2)画图见解析； (3)的取值范围为． 【分析】本题考查了二次函数，熟练掌握配方法求二次函数的顶点坐标，画二次函数图象，二次函数的对称性增减性，是解题的关键． （）把通过配方配成顶点式即可求解； （）根据画函数图象的步骤，经历“列表、描点、连线”即可得解； （）根据函数图象当时，有最小值；当时，有最大值即可得解； 【详解】（1）解：∵， ∴二次函数图象的顶点坐标为； （2）解：列表： 描点： 连线： 如图： ； （3）解：根据图象可知，对称轴为直线， 点与关于对称轴对称， 在时， 当时，有最小值；当时，有最大值， ∴当时，的取值范围为． 4．已知二次函数． (1)填空：抛物线的对称轴是直线_____，顶点坐标是_____； (2)列表，在如图所示的直角坐标系中画出的图象． … … 【答案】(1)， (2)见解析 【分析】本题主要考查二次函数一般式化为顶点式，二次函数顶点式的图像和性质，熟练掌握二次函数顶点式的图像和性质是解题的关键． （1）将二次函数化为顶点式，根据顶点式函数图像和性质即可得到答案； （2）在对称轴两侧分别取一些点，描点连线即可． 【详解】（1）解： 故抛物线的对称轴是直线，顶点坐标是， 故答案为：，； （2）解： … … 5．已知二次函数． (1)求该二次函数图象的对称轴和顶点坐标； (2)二次函数中的和满足下表，求的值； x …      0 1 2 3 … y …      4 6 4 m … (3)结合（2）中所给的表格，在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的大致图象． 【答案】(1)对称轴为直线，顶点坐标为 (2) (3)见解析 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质、画函数图象等知识点，掌握二次函数的性质成为解题的关键． （1）通过配方法求解即可； （2）将代入求解即可； （3）根据（2）的表格描点、连线作图即可． 【详解】（1）解：． 该二次函数图象的对称轴为直线，顶点坐标为． （2）解：将代入，得． 的值为． （3）解：描点、连线、作图如下： 6．已知抛物线． (1)利用配方法求该抛物线的顶点坐标； (2)当为何值时，随的增大而减小？ 【答案】(1) (2)（或）时，随的增大而减小 【分析】本题考查了解析式的顶点式，对称轴，增减性．熟练掌握抛物线的性质是解题的关键． （1）化成顶点式后确定对称轴即可； （2）根据抛物线的性质解答即可． 【详解】（1）解：（1）， 该抛物线的顶点坐标． （2）由（1）可得抛物线开口向上，对称轴为直线， （或）时，随的增大而减小． 1．如图，平行于x轴的直线与两条抛物线和（）相交于点A，B，C，D．若，，，则h的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，分别作出两抛物线的对称轴交于、，令直线交轴于，由题意可得，，，由求出，即可得解． 【详解】解：分别作出两抛物线的对称轴交于、，令直线交轴于， ∵平行于x轴的直线与两条抛物线和（）相交于点A，B，C，D． ∴抛物线的对称轴为直线，即， ∵，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴抛物线的对称轴为直线，即， 故答案为：． 2．如图，将二次函数位于轴下方的图象沿轴翻折，再得到一个新函数的图象（图中的实线）．    (1)当时，新函数值为______，当时，新函数值为______； (2)当______时，新函数有最小值； (3)当新函数中函数随的增大而增大时，自变量的范围是______； (4)若关于的方程有且只有两个解，则的取值范围_______． 【答案】(1)5，3 (2)或2 (3)或 (4)或 【分析】（1）把和分别代入求得函数值，根据函数图象即可求得答案； （2）根据函数图象即可求得； （3）根据函数图象即可求得； （4）根据图象求得答案即可． 【详解】（1）解：把代入， 得， 把代入， 得， 当时，新函数值为，当时，新函数值为， 故答案为：，； （2）解：观察图象可得： 当或时，新函数有最小值为， 故答案为：或； （3）解：观察图象可得： 当新函数中函数随的增大而增大时，自变量的范围是或； 故答案为：或； （4）解：将二次函数位于轴下方的图象沿轴翻折， 得到新函数的解析式为：， 关于的方程有且只有两个解，即为直线与新函数图象有且只有两个公共点， 观察图象可得：的取值范围或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了二次函数与几何变换，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，数形结合是解题的关键． 3．在平面直角坐标系中，抛物线与抛物线如图所示．请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）． (1)在图1中作一菱形； (2)在图2中作一矩形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了二次函数的轴对称变换，菱形的性质和矩形的性质． （1）由抛物线与抛物线知，两函数图象关于轴对称，即和都关于原点对称，顺次连接，菱形即为所作； （2）延长交抛物线于点，延长交抛物线于点，顺次连接，矩形即为所作． 【详解】（1）解：如图， 抛物线与抛物线的对称轴都是y轴， 时，， ， 时，， 解得， ， 两函数图象关于轴对称，即和都关于原点对称， 互相垂直平分且， 四边形是菱形， 菱形即为所作； （2）解：如图，由（1）可知，两函数图象关于轴对称，四边形是菱形， 关于轴对称，关于轴对称， 关于y轴对称，关于y轴对称， ，且与轴垂直， 四边形是矩形， 矩形即为所作． 4．若抛物线的顶点在轴上，对称轴是直线，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式． (2)写出它的顶点坐标和开口方向． 【答案】(1)； (2)抛物线开口向下． 【分析】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求二次函数的解析式，掌握相关知识是解题的关键． （1）先确定顶点坐标，再设顶点式然后把A点坐标代入求出a即可； （2）利用二次函数的性质解决问题． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点在轴上，对称轴是直线 ∴抛物线的顶点坐标为 设抛物线解析式为 把代入得 解得： ∴抛物线解析式为：； （2）解：∵抛物线解析式为， ∴抛物线的顶点坐标为 ∵， ∴抛物线开口向下． 5．已知函数 是关于x的二次函数． 求： (1)满足条件的m的值； (2)m为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点，这时当x为何值时，y随x的增大而增大？ 【答案】(1) (2)，该点坐标为；当时，y随x的增大而增大． 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，二次函数的定义： （1）直接根据二次函数的定义进行求解即可； （2）二次函数有最低点，则二次项系数大于0，在对称轴右侧y随x的增大而增大，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵函数 是关于x的二次函数， 解得 ； （2）解：∵抛物线有最低点， ∴， 由（1）可得， ∴， ∴抛物线解析式为， ∴抛物线顶点坐标为，对称轴为y轴，且开口向上， ∴当时，y随x的增大而增大． 6．若两个二次函数图象的顶点相同，开口大小相同，但开口方向相反，则称这两个二次函数为“对称二次函数”． (1)请写出二次函数的“对称二次函数”； (2)已知关于的二次函数和，若与互为“对称二次函数”，求函数的表达式，并求出当时，的最大值． 【答案】(1) (2)， 【分析】（）根据“对称二次函数”的定义解答即可； （）把转化为顶点式，再根据“对称二次函数”的定义可得的解析式，进而根据二次函数的性质可得的最大值； 本题考查了二次函数的新定义，二次函数的图象和性质，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】（1）解：二次函数的“对称二次函数”是； （2）∵， 又∵与互为“对称二次函数”， ∴， ∴的对称轴为直线， ∵，且， ∴当时，． 7．已知抛物线． (1)将 化成的形式； (2)写出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标． 【答案】(1)； (2)抛物线开口向下，对称轴为直线，抛物线的顶点坐标为． 【分析】本题主要考查了二次函数．解决本题的关键是利用配方法把二次函数的一般形式转化成顶点式，根据二次函数的顶点式解析式判断抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标． （1）利用配方法将抛物线解析式化成； （2）根据二次函数顶点式解析式可求抛物线的开口方向、对称轴、抛物线顶点坐标． 【详解】（1）解：， 整理得：, ； （2）解：， ， 抛物线开口向下，对称轴为直线，抛物线的顶点坐标为． 8．已知二次函数． (1)将其化为的形式为___________； (2)该二次函数图象与y轴的交点坐标为___________； (3)当时，的取值范围是___________． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】本题考查了二次函数的性质，用配方法把二次函数的一般形式转化为二次函数的顶点坐标式．解决本题的关键是根据二次函数的对称性判断何时函数值取最大值． 利用配方法可得：； 令时，求y即可； 根据二次函数的解析式可以判断函数图像开口向上开口向上，对称轴为，根据在范围之内，可得，有最小值，最小值为，和与的距离可得当时，有最大值，最大值为， 【详解】（1）， 整理得：， ， ； （2）解：当时，可得：， 故与y轴交点坐标为 （3）解：的开口向上，对称轴为， 而在范围之内， 有最小值，最小值为， ，， 当时，有最大值，最大值为， ． 9．已知抛物线． (1)将配方成的形式； (2)写出该抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标； (3)当时，求的取值范围． 【答案】(1) (2)抛物线的开口向上，对称轴为，顶点坐标为 (3)当时，的取值范围为 【分析】本题主要考查了二次函数的图像和性质． （1）将二次函数的一般形式配方成顶点式即可． （2）根据二次函数的性质即可得出答案． （3）结合二次函数的图像和性质可得出答案． 【详解】（1）解：． （2）解：由，得抛物线的开口向上，对称轴为，顶点坐标为． （3）解：由（2）知该抛物线的开口向上，顶点坐标为， 当时，函数取得最小值2． 将代入，得， 当时，的取值范围为． 10．已知二次函数． (1)直接写出该二次函数图象的对称轴和顶点坐标； (2)请补全表格，并在如图所示的平面直角坐标系中描出表中各点，画出图象； x 0 1 2 3 y 0 (3)根据图象回答下列问题：   ①当时，x的取值范围为 ； ②当时，y的取值范围为： ； ③当(k是常数)时，y随x的增大而减小，实数k的取值必须满足条件： ； 【答案】(1)对称轴为直线，顶点坐标为； (2)表格见解析，图象见解析， (3)①或；②；③ 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，画二次函数图象，求二次函数值： （1）配成顶点式，即可求解； （2）先求出对应的函数值，再补全表格，然后描点连线即可； （3）①②根据函数图象求解即可；③根据题意可得在对称轴左边，y随x的增大而减小，据此可得答案． 【详解】（1）解：∵二次函数解析式为， ∴二次函数的对称轴为直线， 顶点坐标为； （2）解：在中，当时，， 当时， ， 列表如下： x 0 1 2 3 y 0 函数图象如下所示： ； （3）解：①由函数图象可知，当时，x的取值范围为或， 故答案为：或； ②由函数图象可知，当时，y的取值范围为， 故答案为：； ③∵二次函数开口向上，对称轴为直线， ∴在对称轴左边，y随x的增大而减小， ∵当(k是常数)时，y随x的增大而减小， ∴， 故答案为：． 11．已知二次函数． (1)求其顶点坐标； (2)当时，直接写出y的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次函数的图象和性质： （1）将一般式转化为顶点式，即可得出结果； （2）根据二次函数的增减性，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为：； （2）∵， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线， ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大， ∵， ∴当时，函数值最小为， 当时，函数值最大为：； ∴． 12．（1）解方程： （2）已知二次函数，用配方法将二次函数的一般式化成顶点式 【答案】（1）．（2）． 【分析】本题考查解一元二次方程，将二次函数一般式化为顶点式： （1）用公式法解答即可； （2）直接根据完全平方公式配方即可得解． 【详解】解：（1）， ∴， ． ∴方程有两个不相等的实数根， ， 即． （2）， ， ∴． 13．已知二次函数， (1)求函数图像的对称轴和顶点坐标； (2)把这个函数的图像先向左平移2个单位、再向下平移2个单位，得到的图像对应的函数关系式是什么？ 【答案】(1)对称轴为直线，顶点坐标为 (2) 【分析】本题考查了抛物线的顶点式求对称轴，顶点坐标，抛物线的平移，熟练掌握顶点式，平移规律是解题的关键． （1）把解析式化成顶点式，求函数图像的对称轴和顶点坐标即可； （2）根据左加下减的平移原理解答即可． 【详解】（1）解：， 故抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为． （2）解：∵，且图像先向左平移2个单位、再向下平移2个单位， ∴， ∴． 14．利用五点法可以绘制二次函数图象，请完成下列问题： … 1 0 1 2 3 … … 2 1 2 1 2 … (1)通过描点，在平面直角坐标系中画出的图象． (2)将的图象向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，直接写出所得新抛物线的解析式 ． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查画二次函数图象及二次函数图象的平移，正确画出函数图象是解答本题的关键． （1）通过描点，连线即可得出函数图象，； （2）先将二次函数解析式化为顶点式，再根据平移规律可解答本题． 【详解】（1）解：描点，连线得， （2）解：∵ ∴将的图象向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，直接写出所得新抛物线的解析式为， 即， 故答案为：． 15．已知函数． (1)请在下边网格内，画出该函数的大致图象； (2)请根据该函数图象写出时的取值范围． 【答案】(1)见解析； (2) 【分析】本题考查了画抛物线的图象，利用图象法求不等式解集，熟练掌握画抛物线的图象的方法和利用图象法求不等式解集． （）利用列表，描点，再连线即可画图； （）根据图象进行求解即可； 【详解】（1）解：列表： 描点； 连线，如图所示， （2）解：由函数图象得：当时，的取值范围是． 16．已知抛物线． (1)在所给的坐标系中画出抛物线的大致图象（不用列表、直接描点、连线）； (2)结合函数图象，直接写出： ①当时，x的取值范围为________； ②当时，y的取值范围为________； (3)将抛物线先向左平移1个单位，再向下平移5个单位，得到的抛物线表达式为________（化为一般式）． 【答案】(1)见解析 (2)①；② (3) 【分析】本题考查了画二次函数的图象、二次函数的图象与性质、二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键． （1）利用描点法画出函数图象即可得； （2）①结合函数图象，找出函数图象位于轴上方时，的取值范围即可； ②先求出和时，的值；以及顶点坐标，再根据二次函数的增减性求解即可得； （3）根据二次函数图象的平移规律“左加右减、上加下减”求解即可得． 【详解】（1）解：对于二次函数， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 在所给的坐标系中画出抛物线的大致图象如下： ． （2）解：①∵当和时，， ∴结合函数图象可知，当时，， 故答案为：． ②二次函数的顶点坐标是，对称轴是直线， ∴在内，当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小， ∵当时，；当时，， ∴当时，， 故答案为：． （3）解：将抛物线先向左平移1个单位，再向下平移5个单位，得到的抛物线表达式为，即为， 故答案为：． 17．如图，已知函数 (1)把函数关系式配方成顶点式； (2)在图中的坐标系中画出函数图象； (3)当时，y的取值范围是　　　　； (4)画出直线，记作直线a，过直线a上一点作x轴的平行线，交直线a和抛物线于点A、B、C，则A、B、C三点横坐标的和是　　　　． 【答案】(1) (2)图见解析 (3) (4)1 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，正确的画出函数图象，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键： （1）利用配方法，进行求解即可； （2）利用五点作图法，画出函数图象即可； （3）根据图象，进行作答即可； （4）根据抛物线的对称性，进行求解即可． 【详解】（1）解：； （2）列表如下： 0 1 2 3 4 0 1 0 描点，作图如下： （3）由图可知，当时： 当时，，最小 当时，最大， ∴； （4）如图， 由图可知：点的横坐标为，两点关于对称轴对称，对称轴为直线， ∴， ∴，三点的横坐标的和为：； 故答案为：1． 18．对于抛物线． (1)将抛物线的解析式化为顶点式； (2)在坐标系中利用描点法画出此抛物线； x … … y … … (3)结合图象，当时，x的取值范围______． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查了二次函数一般式转化为顶点式，画二次函数图象，根据函数图象求不等式的解集，解题的关键是熟练掌握描点法画函数图象的方法． （1）根据配方法，将抛物线的一般式化为顶点式即可； （2）先列表，然后再描点，最后连线画出函数图象即可； （3）由函数图象得出当时，，从而得出不等式的解集． 【详解】（1）解：． （2）解：列表： x … 0 1 2 3 4 … y … 3 0 0 3 … 函数图象如图所示： （3）解：根据函数图象可知：当时，， ∴不等式的解集为． 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$