5.3二次函数（3大题型提分练）（题型专练）数学青岛版九年级下册

5.3二次函数 题型一 列二次函数的关系式 1．若正方形的边长为6，边长增加，面积增加，则关于的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 2．深高小学部饲养了两只萌萌的羊驼，建筑队在学校一边靠墙处，计划用15米长的铁栅栏围成三个相连的长方形羊驼草料仓库，仓库总面积为y平方米，为方便取物，在各个仓库之间留出了1米宽的缺口作通道，在平行于墙的一边留下一个1米宽的缺口作小门，若设米，则y关于x的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 3．已知正方形，设，则正方形的面积与之间的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 4．为方便市民进行垃圾分类投放，某环保公司第一个月投放1000个垃圾桶，计划第三个月投放垃圾桶个，设该公司第二、三两个月投放垃圾桶数量的月平均增长率为，那么与的函数关系是（    ） A． B． C． D． 5．某商店经销一种学生用双肩包，已知这种双肩包的成本价为每个元．经市场调查发现，这种双肩包每天的销售量（个）与销售单价（元个）有如下关系：（，且为整数）．设这种双肩包每天的销售利润为元．则与之间的函数关系式为 ． 6．一部售价为5000元的手机，一年内连续两次降价，如果每次降价的百分率都是x，则两次降价后的价格y（元）与每次降价的百分率x之间的函数关系式是 ． 7．某楼盘8月份以每平方米20000元的均价对外销售，受市场经济影响，经过连续两个月降价，如果设平均每月降价的百分率为x，则10月份楼盘出售均价y元与平均每月降价的百分率x之间的函数关系式 ． 8．用一根长为的铁丝，把它折成一个长方形框．设长方形的宽为，面积为，则y关于x的函数关系式是 ．（化成一般式） 9．如图，利用一面墙（墙的长度为），用长的篱笆围成两个鸡场，中间用一道篱笆隔开，每个鸡场均留一道宽的门，设的长为． (1)若两个鸡场的面积和为，求关于的关系式； (2)两个鸡场面积和可以等于（）吗？如果可以，求出此时的值． 10．要建如图所示两个长方形养鸡场，为了节约材料，鸡场的一边靠着原有的一条墙长，另外的边用竹篱笆围成，已知篱笆总长为，且在边上开一扇长为的门，在边上开一扇长为的门，若设鸡场的长为． (1)的长为_____________（用含的代数式表示） (2)若两个鸡场的总面积为，求S与的函数关系式 (3)能否围成总面积为的两个长方形养鸡场？若能，求出的长；若不能，请说明理由． 11．如图，在中，，、的长为方程的两根，且．    (1)求的值． (2)动点从点出发，以每秒5个单位的速度，沿的路线向点B运动；动点从点出发，以每秒3个单位的速度，沿的路线向点运动，若点、同时出发，当其中有一点到达终点时整个运动随之结束．设运动时间为秒． ①在整个运动过程中，设的面积为，试求与之间的函数关系式； ②是否存在这样的，使得的面积为3？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 12．如图，，，，射线于点C，E是线段上一点，F是射线上一点，且满足．    (1)若，求的长； (2)设，，写出y关于x的函数关系式． 13．如图所示，用长为21米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为10米），围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃，为便于进出，开了3道宽均为1米的门．设花圃的一边为米，面积为平方米，求与之间的函数解析式，并求自变量的取值范围．    14．如图，在中，，，，动点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动，同时动点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点，运动的时间是，过点作于点，连接． (1)若四边形为菱形，则值为多少？ (2)在点、的运动过程中，设四边形的面积为，请求出与的函数关系式？ 题型二 二次函数的识别 1．二次函数的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（   ）． A．，， B．，， C．，， D．，， 2．将二次函数化为一般形式后，正确的是（    ） A． B． C． D． 3．下列函数关系中，是的二次函数的是 （    ） A． B． C． D． 4．下列函数解析式中，一定为二次函数的是（  ） A． B． C． D． 5．下列各式中，是关于的二次函数的是（   ） A． B． C． D． 6．下列函数中，是二次函数的是（    ） A． B． C． D． 7．下列函数是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 8．下列函数中，属于二次函数的是（   ） A． B． C． D． 9．下列函数中，是二次函数的有（   ） ①；②；③；④；⑤． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．下列函数中，是的二次函数的是（） A． B． C． D． 11．下列函数中是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 12．下列函数关系式中，一定是的二次函数的是（   ） A． B． C． D． 13．下列函数不属于二次函数的是（   ） A． B． C． D． 14．下列函数式二次函数的是（    ） A． B． C． D． 15．下列函数中，是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 16．下列函数中，是二次函数的是（    ） A．（是常数） B． C． D． 17．二次函数中，二次项系数是 ，一次项系数是 ． 18．关于x的函数，甲说：“此函数不一定是二次函数．”乙说：“此函数一定是二次函数．”谁的说法正确？为什么？ 19．已知二次函数． (1)将该函数表达式化为二次函数的一般形式； (2)写出该二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项． 20．把二次函数化为的形式，并分别写出二次项、一次项和常数项． 21．下列函数中（x，t为自变量），哪些是二次函数？如果是二次函数，请指出二次项、一次项系数及常数项． (1)； (2)； (3)； (4)． 22．判断下列函数是否是二次函数． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 23．下列函数中（x，t是自变量），哪些是二次函数？ ． 24．已知：一个边长为的正方形，把它的边长延长后得到一个新的正方形，那么，周长增大的部分和面积增大的部分分别是的函数．求出这两个函数的表达式，并判定它们的类型；如果是二次函数，写出表达式中，，的值． 题型三 根据二次函数的定义求参数 1．若函数是关于的二次函数，则的值是（   ） A． B． C．或 D．或 2．若函数是二次函数，则（   ） A． B． C． D． 3．若函数是二次函数，则（   ） A． B．4 C．4或 D．4或3 4．已知是关于x的二次函数，那么m的值为 ． 5．已知函数是二次函数，则的值为 ． 6．若是关于的二次函数，求的值． 7．若函数． (1)当m为何值时，该函数为二次函数？ (2)该函数可能为反比例函数吗？为什么？ 8．定义：函数图象上到两坐标轴的距离都小于或等于1的点叫做这个函数图象的“近轴点”．例如，点是函数图象的“近轴点”． (1)下列三个函数：①；②；③．其图象上存在“近轴点”的是哪几个函数； (2)若一次函数图象上存在“近轴点”，求的取值范围． 9．已知关于x的函数． (1)当此函数为一次函数时，求函数的解析式； (2)当此函数为二次函数时，求函数的解析式； 10．已知是关于的二次函数，求的值． 11．已知函数（为常数）．若这个函数是二次函数，则的值满足什么条件？ 12．将二次函数化为一般形式，并指出其二次项系数、一次项系数和常数项． 13．若是关于的二次函数，求的值． 1．如图，用绳子围矩形，记矩形相邻的两边长为． （1）若绳长为，则与的关系式为 ，是的 函数； （2）若矩形的面积是，则与的关系式为 ，是的 函数； （3）若矩形的周长为，矩形的面积为，则与的关系式为 ，是的 函数． 2．矩形中，，，点为射线上的动点与点不重合）将矩形沿某一直线对折，使点与点重合，折痕与边交于点，与边交于点． (1)如图1，若，求的长； (2)当在边上时，设，，求与之间的函数关系式，并直接写出定义域； (3)当是等腰三角形时，直接写出的长． 3．如图，在中，，，，点D是上一点，且，过点D作，垂足为E，点F是边上的一个动点，连接，过点F作交线段于点G（不与点B、C重合）． (1)求证：； (2)设，，求出y关于x的函数解析式，并直接写出自变量取值范围； (3)连接，若与相似，直接写出的长度． 4．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线交x轴于点B，交y轴于点A． (1)如图1，求点B坐标； (2)如图2，经过点A的直线交x轴于C，的面积为S，求S与k的函数关系式（不要求写出k的取值范围）； (3)如图3，在（2）的条件下，点D在上，连接，点E在第二象限，连接、，，，，，求直线解析式． 5．已知在梯形中，，，且，， (1)如图：为上的一点，满足，求的长； (2)如果点在上移动（点与点、不重合），且满足，交直线与于点，同时交直线于点，那么 ①当点在线段DC的延长线上时，设，，求关于的函数解析式，并写出函数的定义域； ②当时，写出的长（不必写出解题过程） 6．如图，在矩形中，为矩形的对角线，，． (1)如图①，将绕点逆时针旋转得到，其中，点、的对应点分别是点、，延长交于点，求的长； (2)如图②，将（）中的以每秒个单位长度的速度沿射线向右平行移动，得到，其中，点、、的对应点分别是点、、，当点移动到边上时停止移动．设移动的时间为秒，与矩形重叠部分的面积为，请直接写出与之间的函数关系式，并写出的取值范围； (3)如图③，在移动过程中，直线与线段交于点，直线与线段交于点，是否存在某一时刻，使为等腰三角形，若存在，求出时间；若不存在，请说明理由． 7．如图，在中，，，，为边的中点．点从点出发，以的速度沿运动．同时点从点出发，以的速度沿向点运动．当一点停止运动，另一点也随之停止运动．连接．设点的运动时间为，的面积为． (1)当点运动到的中点时，求的长度； (2)当点沿运动，且时，求的值； (3)求S与之间的函数关系式； (4)当的边将分成面积比为的两部分时，直接写出的值． 8．如图，在等腰中，，，点P，点M分别是，上的动点，当，过点M作交于点N，连接，设的长为x， (1)当x为何值时，四边形是平行四边形？ (2)设四边形的面积为y，求y与x之间的函数关系式； (3)连接，若点P在线段的垂直平分线上，求的值． 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$ 5.3二次函数 题型一 列二次函数的关系式 1．若正方形的边长为6，边长增加，面积增加，则关于的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，根据正方形的面积公式正确列出函数解析式是解题的关键． 根据x和y表示的含义，利用正方形的面积公式列出函数关系式即可． 【详解】解：∵原正方形的边长是6，面积是， ∴增加后的边长是，面积是， ∴增加的面积， 故选：C． 2．深高小学部饲养了两只萌萌的羊驼，建筑队在学校一边靠墙处，计划用15米长的铁栅栏围成三个相连的长方形羊驼草料仓库，仓库总面积为y平方米，为方便取物，在各个仓库之间留出了1米宽的缺口作通道，在平行于墙的一边留下一个1米宽的缺口作小门，若设米，则y关于x的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，由铁栅栏的全长及的长，可得出平行于墙的一边长为米，再利用长方形的面积公式，即可找出y关于x的函数关系式． 【详解】解：铁栅栏的全长为15米，米， 平行于墙的一边长为米． 根据题意得：． 故选：A． 3．已知正方形，设，则正方形的面积与之间的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了列二次函数关系式．根据正方形的面积=边长边长即可求得． 【详解】解：由正方形面积公式得：． 故选：D． 4．为方便市民进行垃圾分类投放，某环保公司第一个月投放1000个垃圾桶，计划第三个月投放垃圾桶个，设该公司第二、三两个月投放垃圾桶数量的月平均增长率为，那么与的函数关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了列二次函数关系式，根据题意可得，第二个月投放垃圾桶数量为个，则第三个月投放垃圾桶数量为个，据此可得答案． 【详解】解：由题意得，， 故选：A． 5．某商店经销一种学生用双肩包，已知这种双肩包的成本价为每个元．经市场调查发现，这种双肩包每天的销售量（个）与销售单价（元个）有如下关系：（，且为整数）．设这种双肩包每天的销售利润为元．则与之间的函数关系式为 ． 【答案】 【分析】此题考查求二次函数解析式，根据销售总利润等于单件利润乘销售量计算解答． 【详解】解：， 故答案为：． 6．一部售价为5000元的手机，一年内连续两次降价，如果每次降价的百分率都是x，则两次降价后的价格y（元）与每次降价的百分率x之间的函数关系式是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，根据两次降价后的价格等于原价乘以(每次降价的百分率)，列出函数关系式，即可求解． 【详解】解：依题意，每次降价的百分率都是x，两次降价后的价格y(元)与每次降价的百分率x之间的函数关系式是． 故答案为：． 7．某楼盘8月份以每平方米20000元的均价对外销售，受市场经济影响，经过连续两个月降价，如果设平均每月降价的百分率为x，则10月份楼盘出售均价y元与平均每月降价的百分率x之间的函数关系式 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了列二次函数关系式，设平均每月降价的百分率为x，则9月份的楼盘出售均价为元，则10月份的楼盘出售均价为元，据此可得答案． 【详解】解：由题意得，， 故答案为：． 8．用一根长为的铁丝，把它折成一个长方形框．设长方形的宽为，面积为，则y关于x的函数关系式是 ．（化成一般式） 【答案】 【分析】此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，根据长方形的宽和周长表示出长方形的长为，再根据长方形的面积公式可得答案，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系． 【详解】解：由题意得：长方形的长为， ∴， 故答案为：． 9．如图，利用一面墙（墙的长度为），用长的篱笆围成两个鸡场，中间用一道篱笆隔开，每个鸡场均留一道宽的门，设的长为． (1)若两个鸡场的面积和为，求关于的关系式； (2)两个鸡场面积和可以等于（）吗？如果可以，求出此时的值． 【答案】(1) (2)不能 【分析】本题考查了列二次函数关系，解一元二次方程的应用； （1）根据题意和图形可以求得关于的关系式； （2）令，解方程即可求解． 【详解】（1）解：由题意可得， ， 即关于的关系式是； （2）解：依题意， 即 ∵， 原方程无实数解， ∴两个鸡场面积和不能等于（） 10．要建如图所示两个长方形养鸡场，为了节约材料，鸡场的一边靠着原有的一条墙长，另外的边用竹篱笆围成，已知篱笆总长为，且在边上开一扇长为的门，在边上开一扇长为的门，若设鸡场的长为． (1)的长为_____________（用含的代数式表示） (2)若两个鸡场的总面积为，求S与的函数关系式 (3)能否围成总面积为的两个长方形养鸡场？若能，求出的长；若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)能；的长为 【分析】（1）根据长方形的周长公式，表示出的长即可； （2）根据长方形面积公式求出S与的函数关系式即可； （3）根据“鸡场的总面积为”，列出方程，求出方程的解即可． 【详解】（1）解：∵篱笆总长为，鸡场的长为， ∴， 故答案为：． （2）解：， 答：S与的函数关系式为． （3）解：能围成总面积为的两个长方形养鸡场； 根据题意得：， 解得：，， ∵墙的长度， ∴， 解得：， ∴不符合题意舍去， ∴的长为． 【点睛】本题考查了一元二次方程和不等式组的应用，列代数式，求二次函数解析式，解题的关键是理解题意，设出宽表示出长，根据数量关系，列出方程． 11．如图，在中，，、的长为方程的两根，且．    (1)求的值． (2)动点从点出发，以每秒5个单位的速度，沿的路线向点B运动；动点从点出发，以每秒3个单位的速度，沿的路线向点运动，若点、同时出发，当其中有一点到达终点时整个运动随之结束．设运动时间为秒． ①在整个运动过程中，设的面积为，试求与之间的函数关系式； ②是否存在这样的，使得的面积为3？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）首先用因式分解的方法解出方程的两个根，根据题意得出，的长，再利用勾股定理求出的长； （2）①过点作，先证明出，利用相似三角形性质表示出、的长，根据即可表示出与之间的函数关系式；②根据题意得到方程，利用公式法求出方程根，根据实际取舍即可． 【详解】（1）解：， ， ，， 、的长为方程的两根，且， ，， ； （2）①如图，过点作，   ， ， ， ， ，， ， 解得：， ； ②使得的面积为3，则， 整理得：， 解得：，， ， 不符合题意舍去， ． 【点睛】本题考查了一元二次方程的求解，相似三角形的判定与性质，勾股定理，列函数关系式，选取适的方法求解方程是解答本题的关键． 12．如图，，，，射线于点C，E是线段上一点，F是射线上一点，且满足．    (1)若，求的长； (2)设，，写出y关于x的函数关系式． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）如图，先根据角的和差可得，再根据相似三角形的判定可得，然后根据相似三角形的性质即可得． （2）由，可得，结合，，，，可得，则，从而可得答案． 【详解】（1）解：如图，    ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 解得，经检验符合题意． （2）∵， ∴， ∵，，，， ∴， ∴ ∴， ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题关键． 13．如图所示，用长为21米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为10米），围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃，为便于进出，开了3道宽均为1米的门．设花圃的一边为米，面积为平方米，求与之间的函数解析式，并求自变量的取值范围．    【答案】 【分析】注意实际场景中数量间关系，得，且，求解得自变量取值范围，根据矩形面积公式求函数关系式． 【详解】解：由题意，，，且，解得，， 于是 ， ∴． 【点睛】本题考查列二次函数关系式，不等式组的求解，由几何图形及实际场景确定数量间的关系是解题的关键． 14．如图，在中，，，，动点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动，同时动点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点，运动的时间是，过点作于点，连接． (1)若四边形为菱形，则值为多少？ (2)在点、的运动过程中，设四边形的面积为，请求出与的函数关系式？ 【答案】(1) (2) 【分析】（）由且，得四边形是平行四边形，若构成菱形，则邻边相等即，可得关于的方程，求解即可； （）由直角三角形的性质可求，的长，即可求解． 【详解】（1）解：，， ， ，， ， ， 根据题意得：，，则， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， 当时，四边形为菱形， 即，解得：； （2）解：，，，，， ，， 由（1）得：四边形是平行四边形， ． 即 【点睛】本题主要考查了二次函数，菱形的性质、平行四边形的判定与性质以及含30°角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握菱形的性质是解题的关键． 题型二 二次函数的识别 1．二次函数的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（   ）． A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的一般式，根据二次函数的一般式（，为常数）即可求解，掌握二次函数的一般式是解题的关键． 【详解】解：二次函数的二次项系数、一次项系数、常数项分别为， 故选：． 2．将二次函数化为一般形式后，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的一般式，根据整式乘法展开后合并同类项即可． 【详解】， 故选：D． 3．下列函数关系中，是的二次函数的是 （    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的定义，形如（为常数，）的函数叫做二次函数，由此判断即可，熟知二次函数的定义是解题的关键． 【详解】解：、是二次函数，故此选项符合题意； 、不是二次函数，故此选项不符合题意； 、是一次函数，故此选项不符合题意； 、是反比例函数，故此选项不符合题意； 故选：． 4．下列函数解析式中，一定为二次函数的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的定义．一般地，形如（a、b、c是常数，）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项． 根据二次函数的定义逐项判断即可． 【详解】解： A、是一次函数，不是二次函数，故此选项不符合题意； B、，当时，不是二次函数，故此选项不符合题意； C、是二次函数，故此选项符合题意； D、分母含有自变量，不是二次函数，故此选项不符合题意． 故选：C． 5．下列各式中，是关于的二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的定义，能熟记二次函数的定义是解此题的关键．直接利用二次函数的定义分析得出答案． 【详解】A．不是二次函数，故本选项不符合题意； B．是一次函数不是二次函数，故本选项不符合题意； C．是二次函数，故本选项符合题意； D．不是二次函数，故本选项不符合题意； 故选：C． 6．下列函数中，是二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键．根据二次函数的定义，对选项逐一分析判断即可． 【详解】解：是二次函数，故A选项正确，符合题意； 是一次函数，故B选项错误，不符合题意； 是反比例函数，故C选项错误，不符合题意； ，分母中含有自变量，不是二次函数，故D选项错误，不符合题意． 故选：A． 7．下列函数是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的定义：形如是二次函数，根据二次函数的定义可得答案． 【详解】解：A. ，是一次函数，故选项A不符合题意； B. 不是二次函数，故选项B不符合题意； C. 整理后为，不是二次函数，故选项C不符合题意； D. 是二次函数，故选项D符合题意； 故选：D． 8．下列函数中，属于二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义形如的函数叫做二次函数进行判断即可． 【详解】A、是二次函数，故本选项符合题意； B、是三次函数，不是二次函数，故本选项不符合题意； C、右边是分式，不是二次函数，故本选项不符合题意； D、是一次函数，不是二次函数，故本选项不符合题意； 故选：A． 9．下列函数中，是二次函数的有（   ） ①；②；③；④；⑤． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的定义．判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件． 【详解】解：①，不是二次函数； ②，是二次函数； ③，不是二次函数； ④，不是二次函数； ⑤，是二次函数； 共有2个二次函数， 故选：B． 10．下列函数中，是的二次函数的是（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的定义，牢记二次函数的定义是解题的关键．根据二次函数的定义：形如（a、b、c是常数，）的函数叫二次函数，逐项判断即可得出答案． 【详解】解：A．是一次函数，故不符合题意； B． 是二次函数，故符合题意； C． 是反比例函数，故不符合题意； D． 是一次函数，故不符合题意； 故选：B． 11．下列函数中是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查二次函数的概念，掌握相关知识是解题的关键．一般地，把形如（是常数，且）的函数叫作二次函数．据此逐项分析判断即可． 【详解】解：A.该函数是一次函数，不是二次函数，本选项不符合题意； B. 不是二次函数，本选项不符合题意； C.不是函数，所以也不是二次函数，本选项不符合题意； D. 是二次函数，本选项符合题意． 故选：D 12．下列函数关系式中，一定是的二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查二次函数的概念，掌握相关知识是解题的关键．形如的函数即为二次函数，据此进行判断即可． 【详解】解：A、中当时．y是x的一次函数，则A不符合题意； B、不是二次函数，则B不符合题意； C、是二次函数，则C符合题意； D、是一次函数，则D不符合题意； 故选：C． 13．下列函数不属于二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的识别，把函数式整理成一般形式，根据二次函数的定义：一般地，把形如（，是常数）的函数叫做二次函数，即可判断求解，掌握二次函数的定义是解题的关键． 【详解】解：、，是二次函数，该选项不合题意； 、，是二次函数，该选项不合题意； 、，不是二次函数，该选项符合题意； 、是二次函数，该选项不合题意； 故选：． 14．下列函数式二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的定义．形如的函数叫做二次函数，解决本题的关键是根据二次函数的定义进行判断即可． 【详解】解：A选项：自变量的指数是， 不是二次函数，故A选项不符合题意； B选项：自变量的指数是， 是一次函数不是二次函数，故B选项不符合题意； C选项：自变量的指数是， 是二次函数，故C选项符合题意； D选项：的自变量在分母的位置， 不是二次函数，故D选项不符合题意． 故选：C． 15．下列函数中，是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查二次函数的定义，将函数进行化简后，根据二次函数的定义进行判断．正确识别二次函数是解题的关键． 【详解】解：A. 不是二次函数，不符合题意； B. 不是二次函数，不符合题意； C. 是二次函数，符合题意； D. 不是二次函数，不符合题意； 故选：C． 16．下列函数中，是二次函数的是（    ） A．（是常数） B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的定义，一般式，形如（其中a、b、c是常数且）的函数叫做二次函数，据此可得答案． 【详解】解：A. 当时，不是二次函数，不符合题意； B. 是一次函数，不符合题意； C.是二次函数，符合题意； D. 不是二次函数，不符合题意； 故选：C． 17．二次函数中，二次项系数是 ，一次项系数是 ． 【答案】 3 【分析】本题考查了二次函数的定义，对于二次函数（a、b，c是常数且），其中a，b，c分别叫二次项系数、一次项系数、常数项． 根据二次函数的定义解答即可． 【详解】解：∵， ∴该函数解析式的二次项系数是3，一次项系数是，常数项是5． 故答案是：3，． 18．关于x的函数，甲说：“此函数不一定是二次函数．”乙说：“此函数一定是二次函数．”谁的说法正确？为什么？ 【答案】乙的说法对，理由见解析 【分析】本题考查了二次函数的定义，配方法的应用，将配方得出，从而得出无论取何值，，结合二次函数的定义即可得解． 【详解】解：乙的说法对，理由如下： ， ∵， ∴， ∴无论取何值，， ∴此函数一定是二次函数，即乙的说法对． 19．已知二次函数． (1)将该函数表达式化为二次函数的一般形式； (2)写出该二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项． 【答案】(1) (2)二次项系数是，一次项系数是，常数项是4． 【分析】本题考查了二次函数的一般形式和二次项、一次项系数及常数项的定义，熟练掌握以上知识点是解题的关键．把方程化为二次函数的一般形式，根据定义即可得到答案． 【详解】（1）解： 该二次函数的一般形式是； （2）解：由（1）可得，该函数的二次项系数是，一次项系数是，常数项是4． 20．把二次函数化为的形式，并分别写出二次项、一次项和常数项． 【答案】；二次项为，一次项是，常数项是0 【分析】根据二次函数的一般式解答即可． 【详解】解：二次函数即为， ∴二次项为，一次项是，常数项是0． 【点睛】本题考查了二次函数的一般形式，叫做二次函数的一般形式，其中分别叫做二次项、一次项和常数项． 21．下列函数中（x，t为自变量），哪些是二次函数？如果是二次函数，请指出二次项、一次项系数及常数项． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)是，二次项是、一次项系数是、常数项是； (2)不是； (3)是，二次项是、一次项系数是、常数项是； (4)不是 【分析】根据二次函数的概念求解即可． 【详解】（1）是二次函数，二次项是、一次项系数是、常数项是； （2），不含二次项，故不是二次函数； （3）是二次函数，二次项是、一次项系数是、常数项是； （4）中不是整式，故不是二次函数． 【点睛】本题考查二次函数的概念，二次项系数、一次项系数、常数项的概念，解题的关键是掌握以上知识点．形如（）的函数叫做二次函数，其中叫做二次项、叫做一次项系数、是常数项． 22．判断下列函数是否是二次函数． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1)不是 (2)是 (3)不是 (4)是 (5)是 (6)不是 【分析】根据二次函数的概念求解即可． 【详解】（1），没有二次项，故不是二次函数； （2），符合，故是二次函数； （3），不是整式，故不是二次函数； （4），符合，故是二次函数； （5），符合，故是二次函数； （6），没有二次项，故不是二次函数． 【点睛】本题考查了二次函数的概念，判断一个函数是否是二次函数，关键看是否符合的形式． 23．下列函数中（x，t是自变量），哪些是二次函数？ ． 【答案】和是二次函数 【分析】根据二次函数的定义逐一判断即可． 【详解】解：是关于的二次函数； 不是二次函数； 是一次函数，不是二次函数； 是关于的二次函数， 故和是二次函数． 【点睛】本题主要考查二次函数的定义，解题的关键是掌握其定义：一般地，形如、、是常数，的函数，叫做二次函数．其中、是变量，、、是常量，是二次项系数，是一次项系数，是常数项．、、是常数，也叫做二次函数的一般形式． 24．已知：一个边长为的正方形，把它的边长延长后得到一个新的正方形，那么，周长增大的部分和面积增大的部分分别是的函数．求出这两个函数的表达式，并判定它们的类型；如果是二次函数，写出表达式中，，的值． 【答案】，此函数是正比例函数；，此函数是二次函数，其中，，． 【分析】根据题意可得：周长增大的部分y1（cm）=新正方形的周长-原正方形的周长；面积增大的部分y2（cm2）=新正方形的面积-原正方形的面积，根据等量关系列出函数解析式即可． 【详解】由题意得：，此函数是正比例函数； ，此函数是二次函数， 其中，，． 【点睛】此题主要考查了根据实际问题列出函数关系式，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系． 题型三 根据二次函数的定义求参数 1．若函数是关于的二次函数，则的值是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】本题主要考查二次函数的定义及解一元二次方程，熟练掌握解二次函数的定义是解题关键．由二次函数的定义列出关于的一元二次方程和不等式，解方程与不等式即可． 【详解】解：函数是关于的二次函数， ，且， 解得：， 故选：A． 2．若函数是二次函数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的定义，根据函数是二次函数得到求解即可得到答案 【详解】解：∵函数是二次函数， ∴， 解得：， 故选：C． 3．若函数是二次函数，则（   ） A． B．4 C．4或 D．4或3 【答案】B 【分析】本题考查根据二次函数的定义求参数的值，根据二次函数的定义，得到且，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：且， 解得：； 故选B． 4．已知是关于x的二次函数，那么m的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的定义，根据“形如的函数关系，称为y关于x的二次函数”，即可求解． 【详解】解：根据题意，得且， 解得：且， ∴． 故答案为：． 5．已知函数是二次函数，则的值为 ． 【答案】1 【分析】此题主要考查了二次函数的定义，正确把握二次函数的次数与系数的值是解题关键．直接利用二次函数的定义分析得出答案． 【详解】解：∵函数是二次函数， ∴，且， ∴，且 ∴． 故答案为：． 6．若是关于的二次函数，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的定义，熟练掌握二次项系数不为零，最高次项的次数是2是解题的关键．根据形如的函数是二次函数，以此计算即可． 【详解】解：∵是关于的二次函数， ∴ 解得，， 又∵， ∴， ∴． 7．若函数． (1)当m为何值时，该函数为二次函数？ (2)该函数可能为反比例函数吗？为什么？ 【答案】(1) (2)不可能为反比例函数，理由见解析 【分析】此题主要考查了反比例函数以及二次函数的定义． （1）直接利用二次函数的定义分析得到且，解方程得出答案； （2）直接利用反比例函数的定义得到，且，解方程得出答案． 【详解】（1）解：∵函数， 且时，该函数为二次函数， 解得：， 时，该函数为二次函数； （2）该函数不可能为反比例函数．理由如下： 当该函数为反比例函数，则，且， 整理得， 此时，方程无实数根， 故该函数不可能为反比例函数． 8．定义：函数图象上到两坐标轴的距离都小于或等于1的点叫做这个函数图象的“近轴点”．例如，点是函数图象的“近轴点”． (1)下列三个函数：①；②；③．其图象上存在“近轴点”的是哪几个函数； (2)若一次函数图象上存在“近轴点”，求的取值范围． 【答案】(1)①③ (2)或 【分析】本题考查了新定义——“近轴点”，正确理解新定义，熟练掌握一次函数、反比例函数、二次函数图象上点的坐标特点，是解决问题的关键． （1）①中，时，，得到是函的“近轴点”； ②，由对称性，取，不存在“近轴点”； ③，时，，是的“近轴点”； （2）的图象恒过点，当直线过时，；得到；当直线过时， ，得到． 【详解】（1）解：①中，时，， 是函的“近轴点”； ②，由对称性，当时，， 函数不存在“近轴点”； ③， 时，， 是的“近轴点”； 上面三个函数的图象上存在“近轴点”的是①③ （2）中， 时，， 图象恒过点， 当直线过时，， ； ； 当直线过时，， ， ； 的取值范围为或． 9．已知关于x的函数． (1)当此函数为一次函数时，求函数的解析式； (2)当此函数为二次函数时，求函数的解析式； 【答案】(1)或 (2) 【分析】本题考查了一次函数和二次函数的定义，解题的关键是根据定义列出关于k的方程和不等式． （1）根据一次函数的定义列出关于k的方程，求出k的值即可； （2）根据二次函数的定义列出关于k的方程和不等式，求出k的值即可． 【详解】（1）解：函数为一次函数， ，或， ，或 当时函数， 当时函数， 此一次函数解析式为或； （2）解：x的函数为二次函数． ，且 解得：， 当时，， 函数的解析式． 10．已知是关于的二次函数，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查二次函数的概念，因式分解求一元二次方程的解，根据题意可得，，，因式分解求值即可． 【详解】解：已知是关于的二次函数， ∴，， 解得：，， ∴． 11．已知函数（为常数）．若这个函数是二次函数，则的值满足什么条件？ 【答案】且 【分析】本题考查根据二次函数的定义求参数，根据二次项系数不能为0列不等式，即可求解 【详解】解：若这个函数是二次函数，则， 即， 解得且． 12．将二次函数化为一般形式，并指出其二次项系数、一次项系数和常数项． 【答案】，二次项系数是－2、一次项系数是－7、常数项是4 【分析】此题考查了二次函数的一般形式，把化为一般形式，即可得到答案． 【详解】解：； 其中二次项系数是、一次项系数是、常数项是4． 13．若是关于的二次函数，求的值． 【答案】 【分析】根据形如的函数是二次函数，以此计算即可． 本题考查了二次函数的定义，熟练掌握二次项系数不为零，最高次项的次数是2是解题的关键． 【详解】解：∵是关于的二次函数， ∴ 解得，， 又∵， ∴， ∴. 1．如图，用绳子围矩形，记矩形相邻的两边长为． （1）若绳长为，则与的关系式为 ，是的 函数； （2）若矩形的面积是，则与的关系式为 ，是的 函数； （3）若矩形的周长为，矩形的面积为，则与的关系式为 ，是的 函数． 【答案】 一次 反比例 二次 【分析】本题主要考查一次函数，反比例函数，二次函数，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1 ）根据题意可得，化简即可得出答案； （2 ）根据题意可得，化简即可得出答案； （3 ）根据题意可得，即可得出，即可得出答案； 【详解】（1 ）解：∵绳长为，矩形相邻的两边长为， ∴， 即， ∴是的一次函数． 故答案为：，一次 （2 ）解：∵矩形的面积是，矩形相邻的两边长为， ∴， 即， ∴是的反比例函数． 故答案为：，反比例 （3 ）解：∵矩形的周长为，矩形的面积为， ∴， ∴， ∴， ∴S是的二次函数． 故答案为：，二次 2．矩形中，，，点为射线上的动点与点不重合）将矩形沿某一直线对折，使点与点重合，折痕与边交于点，与边交于点． (1)如图1，若，求的长； (2)当在边上时，设，，求与之间的函数关系式，并直接写出定义域； (3)当是等腰三角形时，直接写出的长． 【答案】(1)1 (2)； (3)的长为或2或． 【分析】（1）证明，即可求解； （2），，由勾股定理即可求解； （3）分、、三种情况，分别求解即可． 【详解】（1）解：设交于点， 则， ，， ， ， ，， 则； （2）解：由题意得：则，， ，， ，， ， 则， 化简得：； （3）解：①当时， 过点作，则， 则， 连接，则， 在中，， 即：②， 联立①②并解得：， 故； ②当时， 则， 点与点重合， 即：； ③当时， 则， 即：是的角平分线， 故：， 则，而， 则； 故的长为或2或． 【点睛】本题为四边形综合应用题，涉及到矩形与折叠问题、勾股定理运用、二次函数基本知识等，其中（3），关键是按条件分类，正确画图、确立线段间的关系，进而求解，本题综合性强，难度较大． 3．如图，在中，，，，点D是上一点，且，过点D作，垂足为E，点F是边上的一个动点，连接，过点F作交线段于点G（不与点B、C重合）． (1)求证：； (2)设，，求出y关于x的函数解析式，并直接写出自变量取值范围； (3)连接，若与相似，直接写出的长度． 【答案】(1)见解析； (2)； (3)或． 【分析】（1）根据垂直的定义及同角的余角相等得出，即可证明； （2）利用勾股定理求出，根据，，得出，即可证明，根据相似三角形的性质得出，，根据，利用相似三角形的性质求解，即可解题； （3）根据与相似，分以下两种情况：当时，过点F作于H，当时，结合全等三角形性质和判定，矩形的判定与性质，以及相似三角形性质和判定求解，即可解题． 【详解】（1）证明：在中，，点D是上一点，过点D作，垂足为E， ，，， ， ； （2）解：在中，点D是上一点，且，点F是边上的一个动点，交线段于点G（不与点B、C重合）， ， ， ，，， ， ，， ， ， ，即， 解得：，， ，， ，， ， ，即， 整理得：， ，， ， ； （3）解：如图1，当时，过点F作于H， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ， 由（2）可知：， ， 解得：， ， ． 如图，当时， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是矩形， ． 综上所述：的长为或． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，垂直的定义，同角的余角相等，全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质及勾股定理，平行线性质和判定，以及求函数解析式，熟练掌握相关性质及判定定理是解题关键． 4．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线交x轴于点B，交y轴于点A． (1)如图1，求点B坐标； (2)如图2，经过点A的直线交x轴于C，的面积为S，求S与k的函数关系式（不要求写出k的取值范围）； (3)如图3，在（2）的条件下，点D在上，连接，点E在第二象限，连接、，，，，，求直线解析式． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）令，则，可得，可得点B坐标为； （2）求解点C坐标为，点A坐标为，再利用三角形的面积公式计算即可； （3）如图，把沿轴对折得，作，，连接，过作于，过作于，证明，，设，求解，，证明，可得，，过作于，求解，，，设，而，由，可得，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：∵直线交x轴于点B，交y轴于点A． ∴令，则， ∵， ∴， ∴， ∴点B坐标为； （2）解：∵如图2，经过点A的直线交x轴于C， ∴， ∴， ∴点C坐标为， ∴， 令，则， ∴点A坐标为， ∵的面积为S， ∴； （3）解：如图，把沿轴对折得， ∴，，， 作，，连接，过作于，过作于， ∵点C坐标为，点A坐标为， ∴，， 设， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， 过作于， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 设，而， ∴， ∵轴，则， ∴， ∴， ∴，即， 解得：，（舍去）， ∴， ∴， ∴设为， ∴， 解得：， ∴直线为：． 【点睛】本题考查的求解一次函数与坐标轴的交点坐标，列面积函数关系式，轴对称的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，锐角三角函数的灵活应用，本题难度很大，作出合适的辅助线是解本题的关键． 5．已知在梯形中，，，且，， (1)如图：为上的一点，满足，求的长； (2)如果点在上移动（点与点、不重合），且满足，交直线与于点，同时交直线于点，那么 ①当点在线段DC的延长线上时，设，，求关于的函数解析式，并写出函数的定义域； ②当时，写出的长（不必写出解题过程） 【答案】(1)的长为或 (2)①；② 的长为或 【分析】本题考查了列二次函数，相似三角形的判定和性质，等腰梯形； （1）①当时，，而，因此，此时三角形与三角形相似．利用相似三角形的性质可得出关于，，，的比例关系式，，的值题中已经告诉，可以先用表示出，然后代入上面得出的比例关系式中求出P的长． （2）①与（1）的方法类似，只不过把换成了，那么只要用就能表示出了．然后按得出的关于，，，的比例关系式，得出，的函数关系式． ②和①的方法类似，但是要多一步，要先通过平行得出三角形和相似，根据的长，用表示出，然后根据，，，的比例关系用表示出，然后按①的步骤进行求解即可． 【详解】（1）解：是梯形，，． ， ，， ， ． ，即：， 解得：或． （2）①由（1）可知： ，即：， ． ②当时， ， ，即或， ， 解得：或， 或． 6．如图，在矩形中，为矩形的对角线，，． (1)如图①，将绕点逆时针旋转得到，其中，点、的对应点分别是点、，延长交于点，求的长； (2)如图②，将（）中的以每秒个单位长度的速度沿射线向右平行移动，得到，其中，点、、的对应点分别是点、、，当点移动到边上时停止移动．设移动的时间为秒，与矩形重叠部分的面积为，请直接写出与之间的函数关系式，并写出的取值范围； (3)如图③，在移动过程中，直线与线段交于点，直线与线段交于点，是否存在某一时刻，使为等腰三角形，若存在，求出时间；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或或 【分析】（1）证明，求出即可求解； （2）分情况讨论，当在矩形外部时，重叠部分是三角形，可利用解直角三角形求出面积；当在矩形内部时，重叠部分是四边形，分和； （3）根据已知用表示相关线段，根据等腰列出一元二次方程，判断方程的根即可． 【详解】（1）解：在矩形中，， ，， ， 、、三点在一条直线上，， 又由旋转知， ，， ， ， 的长为 （2）如图所示重合部分是三角形， ∵， ∴ 当在上时， 当时， 当在矩形内部时，重叠部分是四边形， 当时，如图所示， ∴ ∴ ∴ 当时，如图所示，重叠部分是四边形， ∴ 则 ； 综上所述， （3）， 过点作于点（如图）， ∵为等边三角形， ∴， ， ， ， ， ， ， ①当时， 解得：或（舍去） ②当时， 解得：或,（舍去） ③当时， 解得：（舍去）或 综上所述，或或 【点睛】本题考查矩形综合题，解直角三角形，旋转的性质，函数解析，四边形的面积，等腰三角形的性质，解题的关键是分类讨论思想的运用． 7．如图，在中，，，，为边的中点．点从点出发，以的速度沿运动．同时点从点出发，以的速度沿向点运动．当一点停止运动，另一点也随之停止运动．连接．设点的运动时间为，的面积为． (1)当点运动到的中点时，求的长度； (2)当点沿运动，且时，求的值； (3)求S与之间的函数关系式； (4)当的边将分成面积比为的两部分时，直接写出的值． 【答案】(1)或 (2) (3) (4)， 【分析】（1）分两种情况：当点P从点A向点C运动，点运动到的中点时，当点P从点C向点A运动，点运动到的中点时，分别求出结果即可； （2）由．可得，即可解决问题； （3）分两种情况进行讨论，当时，分别过点P、Q作于点E，于点F；当时，分别过点P、Q作于点E，于点F；分别利用三角形的面积求解即可； （4）当时，P是中点，为的中位线，满足条件，求出t的值即可． 【详解】（1）解：∵在中，，，， ∴由勾股定理，得：， 当点P从点A向点C运动，点运动到的中点时，运动时间为： ， ∴此时，， ∴； 当点P从点C向点A运动，点运动到的中点时，运动时间为： ， ∴此时，， ∴； 综上分析可知：或； （2）解：如图， ∵，， ∴， ∵，D为边的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， 由题意，， ∴， ∴． （3）解：如图，当时，分别过点P、Q作于点E，于点F． ∵，， ∴， ∴， 即， 解得：， 同理得：， ∴， 即， 解得：， ∴ ， ∴． 如图，当时，分别过点P、Q作于点E，于点F． ∵，， ∴， ∴， 即， 解得：， 同理得：， ∴， 即， 解得：， ∴ ∴； 综上分析可知：． （4）解：点P从A→C需要2秒，从C→A也需要2秒，共4秒停止运动；点Q从C→B需要3秒， ∴ 如图，当时，P是中点时， ∵为的中点， ∴，， ∴， ∴， ∴，符合题意， ∴此时或3； 即当的边将分成面积比为的两部分时，或． 【点睛】本题考查了相似形综合题、勾股定理、三角形面积的计算，中位线性质，解题的关键是学会利用相似三角形的性质解决问题，学会用方程的思想思考问题，属于中考压轴题． 8．如图，在等腰中，，，点P，点M分别是，上的动点，当，过点M作交于点N，连接，设的长为x， (1)当x为何值时，四边形是平行四边形？ (2)设四边形的面积为y，求y与x之间的函数关系式； (3)连接，若点P在线段的垂直平分线上，求的值． 【答案】(1)当时，四边形是平行四边形 (2) (3) 【分析】（1）根据平行线的性质，得出，根据等腰三角形的性质，得出，根据等腰三角形的判定得出，根据平行四边形的性质得出，列出关于x的方程，解方程即可； （2）过点A作于点D，连接，根据勾股定理求出，求出，再求出，证明，得出，求出，得出，根据求出结果即可； （3）过点P作于点E，过点C作于点D，求出，证明，得出，求出，根据勾股定理求出，得出，根据勾股定理得出，再根据，得出，解方程即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 解得：， 即当时，四边形是平行四边形； （2）解：过点A作于点D，连接，如图所示： ∵，， ∴， 根据勾股定理得：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 解得：， ∴， ∴ ； （3）解：过点P作于点E，过点C作于点D，如图所示： ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即， 解得：， 根据勾股定理得：， ∴， ∴， ∵点P在线段的垂直平分线上， ∴， ∴， ∴， 解得：，（舍去）， ∴． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，垂直平分线的性质，求函数解析式，平行四边形的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$