5.2（第2课时）反比例函数的性质（8大题型提分练）（题型专练）数学青岛版九年级下册

5.2（第2课时）反比例函数的性质 题型一 反比例函数的增减性 1．对于反比例函数，下列结论正确的是（   ） A．图象必经过点 B．图象位于第一、三象限 C．若，则 D．y随x的增大而增大 2．已知反比例函数，下列说法正确的是（   ） A．函数图象经过二、四象限 B．在每个象限内，y随x的增大而增大 C．当时， D．函数图象关于原点中心对称 3．已知反比例函数，下列结论中不正确的是（   ） A．其图像分别位于第二、四象限 B．其图像关于原点对称 C．其图像经过点 D．若点都在图像上，且，则 4．在反比例函数的图象上有两点，当时，有，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．如果反比例函数的图象满足当时，y随x的增大而减小，那么m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型二 象限问题 1．若反比例函数的图象经过点，则该函数图象位于（    ） A．第一、二象限 B．第二、四象限 C．第一、三象限 D．第三、四象限 2．若反比例函数的图象经过点，下列结论正确的是（　　） A．的值是 B．图象位于第二、四象限 C．若图象经过点，则 D．在每一个象限内，随的增大而减小 3．对于反比例函数，下列说法不正确的是（   ） A．这个函数的图象分布在第一、三象限 B．点在这个函数图象上 C．若图象上有两点，，且，则 D．当时，随的增大而减小 4．已知函数，下列说法正确的是（   ） A．随的增大而增大 B．函数的图象只在第一象限 C．当时，必有 D．点不在此函数的图象上 题型三 比较大小 1．若点在反比例函数的图象上，则a，b，c的关系是（   ） A． B． C． D． 2．若点都在反比例函数的图象上，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 3．在反比例函数的图象上有三个点，，，则，，的大小关系为 ．（用“<”连接） 4．若点，，在反比例函数的图象上，则a，b，c的大小关系是 ． 题型四 面积问题 1．如图，已知点为反比例函数图象上的一点，连接，过点作的垂线与反比例的图象交于点，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．如图，的顶点分别在坐标轴和反比例函数的图象上，并且的面积为6，则k的值为（   ） A．6 B． C．3 D． 3．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点A、B落在反比例函数的图象上，则正方形的面积为（   ） A．6 B．5 C． D． 4．如图，两个反比例函数和在第一象限内的图象依次是和，设点在上，轴于点，交于点，轴于点，交于点，则四边形的面积为 ． 题型五 求反比例函数解析式 1．已知函数，函数值y随x的值增大而减小，且点在这个函数的图像上． (1)求k的值； (2)若一个反比例函数图像过点A，请指出它的函数值y随自变量x的值的变化情况？ 2．已知反比例函数的图象经过点． (1)求与之间的函数表达式； (2)这个函数的图象在哪个象限？在每个象限内，随的增大怎样变化？ (3)点、在这个函数的图象上吗？ 3．已知在反比例函数 (m为常数， 且 的图象上． (1)求m的值，并判断该反比例函数的图象所在的象限； (2)判断点， 是否在该反比例函数的图象上，并说明理由； (3)若Q为x轴上一点，且，求的面积． 4．已知反比例函数（为常数，且）． (1)若在其图象的每一个分支上，随增大而增大，求的取值范围； (2)若点、均在该反比例函数的图象上； ①求、的值； ②当时，求的取值范围． 题型六 反比例函数与几何问题 1．已知反比例函数的图象的一支位于第一象限． (1)判断该函数图象的另一支所在的象限，并求m的取值范围； (2)如图，O为坐标原点，点A在该反比例函数位于第一象限的图象上，点B与点A关于x轴对称，若的面积为6，求反比例函数的解析式． 2．如图，已知反比例函数与一次函数的图象交于点、点，一次函数与轴交于点． (1)求，的值； (2)求的面积； (3)若，是反比例函数图象上的两点，且，指出点，分别位于哪个象限，并比较，的大小． 3．正比例函数的图象与反比例函数的图象交于点是反比例函数图象上的一动点，    (1)求正比例函数和反比例函数的解析式； (2)如图，当，过点M作直线轴，交y轴于点B，过点A作直线轴交x轴于点C、交直线于点D．用只含m的代数式表示四边形的面积； (3)当四边形的面积为8时，求m的值． 4．如图，一次函数与函数为的图象交于，两点． (1)求这两个函数的解析式； (2)点在线段上，过点作轴的垂线，垂足为，交函数的图象于点，若面积为2，求点的坐标； (3)根据图象，直接写出满足时的取值范围． 5．如图，反比例函数与正比例函数的图象交于点和点，点是点关于轴的对称点，连接，． (1)求该反比例函数的解析式； (2)求的面积； (3)请结合函数图象，直接写出不等式的解集． 6．如图，已知一次函数的图象与反比例函数在第一象限的图象交于和两点，过点作轴的垂线，垂足为点． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)求的面积； (3)在轴上求一点，使的值最小． 7．如图，在平面直角坐标中，点是坐标原点，一次函数与反比例函数的图象交于、两点． (1)求直线的解析式； (2)根据图象，当时，的取值范围为______； (3)如图，轴正半轴上有一点，当四边形的面积为5时，求点的坐标． 8．如图，在直角坐标系中，矩形的边、分别在坐标轴上，且，，反比例函数的图象与、分别交于点、，连接、、．若的面积为． (1)写出这个反比例函数的表达式； (2)求的面积． 9．如图1，在平面直角坐标系中，矩形的边、分别在坐标轴上，且，，反比例函数的图象与、分别交于点D、E，连结． (1)如图2，连结、，当的面积为2时： ①______；②求的面积； (2)如图3，将沿翻折，当点B的对称点F恰好落在边上时，求k的值． 题型七 一次函数与反比例函数的交点问题 1．如图，直线与双曲线交于点和点，则不等式的解集是（   ） A． B． C．或 D．或 2．如图，反比例函数的图象与经过原点的直线相交于A、B两点，已知A点的坐标为，那么B点的坐标为 ． 3．若反比例函数的图象位于第二、四象限，则整数k可以是 （填一个即可）． 4．如图，直线与双曲线相交于、两点． (1)求直线与双曲线的表达式； (2)若、、为双曲线上的三点，请直接“＞”或“＜”或“＝”表示，，的大小关系； (3)连接，，求的面积． 题型八 一次函数与反比例函数的实际问题 1．已知蓄电池的电压为定值，使用某蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示． (1)求I与R之间的函数关系式； (2)如果电流不超过，求电阻应控制的范围． 1．如图是反比例函数的图象的一支，根据图象回答问题： (1)图象的另一支位于__________象限，写出k的取值范围__________．在每个象限内y随x的增大而__________． (2)若点，，均在该反比例函数图象上，若，比较，，的大小关系（用“﹤”号连接）__________． (3)若点，在这个函数的图象上，则__________，直线解析式为__________．面积为__________．写出时，x的取值范围__________． 2．若点，在反比例函数（为常数，）的图象上． (1)求：反比例函数的解析式和的值； (2)填空： ①函数的图象在第________象限； ②该函数的图象的每一支上，随的增大而_________； ③在该函数的图象上分别取点和，如果，请将按从小到大的顺序排列，并用“”连接，其结果为__________． 3．已知点，是反比例函数图象上两点．请用“”“”或“”填空． （1）若，，，则_____； （2）若，，，则______； （3）若，，，则______； （4）若，，则______； 变式  反比例函数中，若，，请讨论，的大小情况． 4．参照学习的一次函数与反比例函数图象与性质的过程与方法，探究函数的图象与性质．使用“描点法”作出函数的图象． 列表：恰当地选取自变量的几个值，计算对应的值． … 0 2 3 4 … … 0 4 3 2 … 描点：以表中各对的值为点的坐标，在平面直角坐标系中描出相应的点，如图．请将图中直线两侧的各点分别用一条光滑的曲线顺次连接起来并回答下列问题： (1)观察图象并分析表格，回答下列问题： ①当时，随的增大而________．（填写“增大”或“减小”） ②函数的图象关于点________中心对称．（填写点的坐标） ③小明发现，函数的图象是双曲线，他觉得函数的图象是由一个反比例函数的图象经过平移得来的，并进行了如下变形：，请试着在平面直角坐标系中画出反比例函数的图象，并观察得出函数的图象是由函数的图象经过怎样的平移变换得到的：_____________． (2)我们将第（1）题③中小明的变形过程称为“分离常数”，请利用“分离常数”的方法，求出函数图象上，横坐标、纵坐标均为整数的点的坐标． (3)若直线与函数的图象相交于两点，的横坐标是，的纵坐标是，则__________． 5．已知点，在反比例函数（m是常数）的图象上．如果，而且，同号，那么，有怎样的大小关系？为什么？ 6．已知反比例函数的图像经过点． (1)请判断点是否在此反比例函数图像上，并说明理由； (2)已知点和点是反比例函数图像上的两点． ①若点C和点D关于原点中心对称，求的值； ②若，，求时，y的取值范围． 7．已知反比例函数的图象，当时，y随x的增大而增大，求k的取值范围． 8．定义：满足不等式的实数x的所有取值的全体叫作闭区间，表示为，对于一个函数，如果它的自变量与函数值y满足：当时，有，我们称此函数是闭区间上的“闭函数”．如函数，当时，；当时，，即当时，有，所以函数是闭区间上的“闭函数”．根据定义解答下列问题： (1)试判断函数是不是闭区间上的“闭函数”并说明理由； (2)若一次函数是闭区间上的“闭函数”，求它的表达式； (3)若函数（，）是闭区间（）上的“闭函数”，求的取值范围． 9．已知反比例函数（为常数）． (1)若该反比例函数的图象位于第二、四象限，求的取值范围； (2)当时，随的值增大而减小，求的取值范围． 10．已知反比例函数（m为常数，且）． (1)若在每个象限内，y随x的增大而减小，求m的取值范围； (2)若其图像与一次函数图像的一个交点的纵坐标是3，求m的值． 11．已知点在反比例函数的图象上． (1)求反比例函数的表达式； (2)点，，都在反比例函数的图象上，比较的大小，并说明理由． 12．已知反比例函数（为常数）． (1)若该反比例函数的图象位于第二、四象限，求的取值范围； (2)若、是该反比例函数图象上的点，直接写出函数值、的大小． 13．反比例函数在第一象限的图象，如图，过上的任意一点A，作x轴的平行线交于点B，交y轴于点C，连接，若，求k的值． 14．如图，点和点是反比例函数图象上的两点，一次函数的图象经过点，与轴交于点，过点作轴，垂足为，连接．已知与的面积满足． (1)求的面积和的值； (2)求直线的表达式； (3)过点的直线分别交轴和轴于M，N两点，，若点为的平分线上一点，且满足，请求出点的坐标． 15．平面直角坐标系中，将直线向上平移2个单位长度后与函数的图象交于点． (1)写出平移后的直线表达式； (2)求反比例函数的函数表达式； (3)已知点（其中）是x轴上一点，过点Q作平行于y轴的直线，交直线于点M，交函数的图象于点N． ①当时，求的长度； ②诺，结合图象，直接写出n的取值范围． 16．如图，已知正比例函数的图象与反比例函数（）的图象交于点B，D为x轴正半轴上一点，过点D作轴，交反比例函数的图象于点A，交正比例函数的图象于点C，且． (1)求，的值； (2)连接，求的面积． 17．一次函数与反比例函数相交于、B两点． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)点是反比例函数图象上一点，连接、，求的面积； (3)当时，直接写出x的取值范围． 18．如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)根据图象直接写出时，的取值范围； (3)求的面积． 19．如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象都经过点和点．    (1)求反比例函数表达式． (2)根据图象，直接写出时自变量的取值范围． 20．如图，在平面直角坐标系内，函数的图像与反比例函数图像有公共点A，点A的坐标为轴，垂足为点B． (1)求反比例函数的解析式； (2)点C是第一象限内直线上一点，过点C作直线，与反比例函数的图像交于点D，，求点D的坐标和的面积． 21．如图，已知反比例函数与一次函数的图象交于，两点，直线分别与轴、轴交于点，． (1)______，______，______． (2)若是轴的正半轴上一动点，过点作轴的垂线，分别与一次函数和反比例函数的图象交于点，，设的长为，求与之间的函数关系式． (3)在第二象限内是否存在点，使得是等腰直角三角形，且点不是直角顶点？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 22．【阅读理解】定义：在同一平面内，有不在同一直线上的三点A、B、C，连接，设， ，则我们把称为点A到点C关于点B的“度比坐标”，把称为点C到点A关于点B的“度比坐标”． 【迁移运用】如图，在y轴的右侧，直角绕原点O按顺时针方向旋转，的两边分别与函数，的图象交于A，B两点． (1)如图1，若点A到点B关于点O的“度比坐标”为，求双曲线的解析式； (2)如图2，若点A到点B关于点O的“度比坐标”为，连接交x轴于点C，点C到点A关于点O的“度比坐标”为，； ①点D在第一象限，点D到点A关于点O的“度比坐标”为，连接，求m的值及四边形的面积； ②将直线向右平移，分别交于点E，交于点F，问：是否存在某一位置使？若存在，请直接写出点E的坐标，若不存在，请说明理由． 23．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与轴、轴交于点，两点． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)直接写出不等式的解集． (3)若点是第四象限内反比例函数图象上的一点，的面积是的面积的2倍，求点的坐标． 24．如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于两点，与x轴相交于点C，已知点B的坐标为． (1)求反比例函数的解析式； (2)直接写出不等式的解集． 25．如图，一次函数与反比例函数的图象交于点和． (1)求一次函数的表达式和m值 (2)请根据图象，直接写出不等式的解集； (3)点P是线段上一点，过点P作轴于点D，连接，若的面积为S，则S的最小值为______． 26．如图，一次函数与函数为的图象交于，两点． (1)求这两个函数的表达式； (2)根据图象，直接写出满足时x的取值范围； (3)点P在线段上，过点P作x轴的垂线，垂足为M，交函数的图象于点Q，若的面积为3，求点P的坐标． 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$ 5.2（第2课时）反比例函数的性质 题型一 反比例函数的增减性 1．对于反比例函数，下列结论正确的是（   ） A．图象必经过点 B．图象位于第一、三象限 C．若，则 D．y随x的增大而增大 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质．根据反比例函数的图象与性质求解即可． 【详解】解：当，， ∴图象必经过点，故A选项不正确，不符合题意； ∵， ∴图象位于第二、四象限，B选项不正确，不符合题意； 若，则，C选项正确，符合题意； 在第二或第四象限中，y随x的增大而增大，D选项不正确，不符合题意； 故选：C． 2．已知反比例函数，下列说法正确的是（   ） A．函数图象经过二、四象限 B．在每个象限内，y随x的增大而增大 C．当时， D．函数图象关于原点中心对称 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键；由知，函数图象经过一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小，函数图象关于原点成中心对称，则可对各选项进行判断，从而确定答案． 【详解】解：知，函数图象经过一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小，函数图象关于原点成中心对称，故选项A、B、C都错误，选项D正确； 故选：D． 3．已知反比例函数，下列结论中不正确的是（   ） A．其图像分别位于第二、四象限 B．其图像关于原点对称 C．其图像经过点 D．若点都在图像上，且，则 【答案】D 【分析】本题考查的是反比例函数的性质；根据反比例函数的性质对四个选项进行逐一分析即可 ． 【详解】解：A、反比例函数中，， 此函数的图象在二、 四象限， 故本选项说法正确，不合题意； B、反比例函数的图像是关于原点的中心对称，故本选项说法正确，不合题意； C、∵， 图象必经过点，故本选项说法正确，不合题意；   D、反比例函数中，， 此函数的图象在每一象限内随的增大而增大， ∴当，在同一象限时则，在不同象限时则， 故本选项错误，符合题意； 故选：D． 4．在反比例函数的图象上有两点，当时，有，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查反比例函数的图象和性质，根据反比例函数的增减性，得到，进行求解即可． 【详解】解：∵在反比例函数的图象上，且当时，有， ∴反比例函数的图象经过第四象限， ∴， ∴； 故选：D． 5．如果反比例函数的图象满足当时，y随x的增大而减小，那么m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数图象的性质，掌握反比例函数图象的增减性是解题的关键． 根据当时，y随x的增大而减小，可得反比例函数图象经过第一、三象限，由此即可求解． 【详解】解：当时，y随x的增大而减小，可得反比例函数图象经过第一、三象限， ∴， ∴， 故选：D ． 题型二 象限问题 1．若反比例函数的图象经过点，则该函数图象位于（    ） A．第一、二象限 B．第二、四象限 C．第一、三象限 D．第三、四象限 【答案】C 【分析】此题考查了反比例函数的图象和性质，根据题意求得k的值是解题的关键. 根据题意先求出反比例函数的系数k，然后根据反比例函数的性质当时，图象在第一、三象限，当时，图象在第二、四象限即可得答案. 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∴反比例函数解析式为：， ∴该函数图象位于第一、三象限. 故选：C. 2．若反比例函数的图象经过点，下列结论正确的是（　　） A．的值是 B．图象位于第二、四象限 C．若图象经过点，则 D．在每一个象限内，随的增大而减小 【答案】D 【分析】本题考查反比例函数的图象和性质，解题的关键是掌握反比例函数的图象和性质，根据题意，求出的值，依次进行判断，即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∴， ∴A错误； ∵， ∴反比例函数， ∴反比例函数图象经过第一，三象限； ∴B错误； ∵反比例函数中， ∴在每一个象限内，随的增大而减小， ∴D正确； ∵反比例函数经过点， ∴， ∴解得：或， ∴C错误； 故选：D． 3．对于反比例函数，下列说法不正确的是（   ） A．这个函数的图象分布在第一、三象限 B．点在这个函数图象上 C．若图象上有两点，，且，则 D．当时，随的增大而减小 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的性质，根据当，双曲线的两支分别位于第一、三象限，在每一象限内y随x的增大而减小进行分析即可． 【详解】解：A. 反比例函数中的这个函数的图象分布在第一、三象限，故该选项正确，不符合题意； B. 点在这个函数图象上，故该选项正确，不符合题意； C. 选项没有说明两点在同一象限，所以不正确，符合题意； D. 当时，随的增大而减小，故该选项正确，不符合题意； 故选：C． 4．已知函数，下列说法正确的是（   ） A．随的增大而增大 B．函数的图象只在第一象限 C．当时，必有 D．点不在此函数的图象上 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征及性质，要知道，函数图象上的点符合函数解析式．根据反比例函数的性质进行判断． 【详解】解：由函数解析式为可知； A、，函数图象在一、三象限，在每个象限内，随的增大而减小，故本选项错误； B、，函数图象在一、三象限，故本选项错误； C、，函数图象在一、三象限，当时，，故本选项正确； D、，点在此函数图象上，故本选项错误． 故选：C． 题型三 比较大小 1．若点在反比例函数的图象上，则a，b，c的关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了反比例函数的增减性，解题的关键是熟练掌握反比例函数的性质：当时，图象在一、三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小；当时，图象在二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大，据此求解即可． 【详解】解：∵在中，， ∴反比例函数图象经过第一、三象限，且在每个象限内y随x增大而减小， ∵都在反比例函数图象上，且， ∴， 故选B． 2．若点都在反比例函数的图象上，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数的性质，解题的关键是掌握反比例函数的性质．由题意易得，然后利用反比例函数的性质求解即可． 【详解】解：由反比例函数，可知：， 反比例函数的图象在二、四象限， 点、在第四象限且点在点的左侧，点在第二象限， ． 故选：B． 3．在反比例函数的图象上有三个点，，，则，，的大小关系为 ．（用“<”连接） 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，解题的关键是熟练掌握反比例函数的性质：当时，图象在一、三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小；当时，图象在二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大． 根据反比例函数的性质得到反比例函数图象分布在第一、三象限，然后利用得到，． 【详解】解：∵ ， 反比例函数图象在第一、三象限， ∴在每一象限内，随的增大而减小 ， ，， ， 故答案为：． 4．若点，，在反比例函数的图象上，则a，b，c的大小关系是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，根据题意，分别求出a、b、c的值，然后进行判断，即可得到答案. 【详解】解：∵点，，在反比例函数的图象上， ∴，，． ∵， ∴． 故答案为：． 题型四 面积问题 1．如图，已知点为反比例函数图象上的一点，连接，过点作的垂线与反比例的图象交于点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，利用相似三角形性质得到相似比是关键．作轴，轴，可证明，利用面积比等于相似比的平方解答即可． 【详解】解：作轴，垂足为，轴，垂足为， ∴， 点在函数图象上，点在反比例函数图象上， ，， ∵ ∴， ∴， ∵， ， ∴， ， ． 故选A． 2．如图，的顶点分别在坐标轴和反比例函数的图象上，并且的面积为6，则k的值为（   ） A．6 B． C．3 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了反比例函数k值的意义，过点C作轴于点E，证明四边形为矩形，得出，求出结果即可． 【详解】解：过点C作轴于点E，如图所示： 则， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∵反比例函数图象在第一象限， ∴． 故选：A． 3．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点A、B落在反比例函数的图象上，则正方形的面积为（   ） A．6 B．5 C． D． 【答案】B 【分析】如图，过点作轴于点，过点作于点．证明，得到，，设，则，构建方程组求解即可． 【详解】解：如图，过点作轴于点，过点作于点． 四边形是正方形， ，， ， ，， ， ， ，， 设，则， ，在反比例函数上， ， 解得，， ， 正方形的面积为5． 故选：B． 【点睛】本题考查反比例函数的图象与性质，勾股定理，反比例函数图象上的点的坐标特征，正方形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 4．如图，两个反比例函数和在第一象限内的图象依次是和，设点在上，轴于点，交于点，轴于点，交于点，则四边形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的几何意义，由题意得，，再根据四边形的面积为计算即可求解，掌握反比例函数的几何意义是解题的关键． 【详解】解：∵点在上，轴于点，交于点，轴于点，交于点， ∴，， ∴四边形的面积为， 故答案为：． 题型五 求反比例函数解析式 1．已知函数，函数值y随x的值增大而减小，且点在这个函数的图像上． (1)求k的值； (2)若一个反比例函数图像过点A，请指出它的函数值y随自变量x的值的变化情况？ 【答案】(1)； (2)在每一象限内，y随x的增大而增大． 【分析】本题主要考查了求一次函数解析式，解一元二次方程，求反比例函数解析式，反比例函数的增减性： （1）利用待定系数法求解即可； （2）先求出点A坐标，进而求出对应的反比例函数解析式，据此可得答案． 【详解】（1）解：∵函数的函数值y随x的值增大而减小， ∴， ∵点在这个函数的图像上， ∴， ∴或（舍去）； （2）解：由（1）得，则， ∴， 设经过点A的反比例函数解析式为， ∴，即， ∴经过点A的反比例函数解析式为， ∴经过点A的反比例函数在每一象限内，y随x的增大而增大． 2．已知反比例函数的图象经过点． (1)求与之间的函数表达式； (2)这个函数的图象在哪个象限？在每个象限内，随的增大怎样变化？ (3)点、在这个函数的图象上吗？ 【答案】(1) (2)这个函数的图象在第二、四象限；在每个象限内，随的增大而增大 (3)点在这个函数的图象上，点不在这个函数的图象上 【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数的图象和性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）用待定系数法即可求反比例函数解析式． （2）利用反比例函数的图象和性质即可解题． （3）利用反比例函数的图象和性质即可解题． 【详解】（1）解：将点代入反比例函数中， 即， 解得： ∴与之间的函数表达式为． （2）解：∵在反比例函数中，， ∴这个函数的图象在第二、四象限；在每个象限内，随的增大而增大． （3）解：将点、分别代入中， 可得：，， ∴点在这个函数的图象上，点不在这个函数的图象上． 3．已知在反比例函数 (m为常数， 且 的图象上． (1)求m的值，并判断该反比例函数的图象所在的象限； (2)判断点， 是否在该反比例函数的图象上，并说明理由； (3)若Q为x轴上一点，且，求的面积． 【答案】(1)，该反比例函数的图象在第一、 三象限 (2)点A，C在这个函数的图象上，点B不在这个函数的图象上，理由见解析 (3)6 【分析】（1）由点在该反比例数的图象上， 可得，可求，由，判断反比例函数的图象所在的象限即可； （2）由（1）可知，该反比例函数的解析式为，然后将3个点坐标代入判断即可； （3）由Q为x轴上一点，且，可知是等腰三角形，且点Q的坐标为，根据，计算求解即可． 【详解】（1）解：∵ 点在该反比例数的图象上， ∴， 解得． ∵， ∴该反比例函数的图象在第一、 三象限． （2）解：由（1）可知，该反比例函数的解析式为， 当时，； 当时，； 当时，； ∴点A，C在这个函数的图象上，点B不在这个函数的图象上． （3）解：∵Q为x轴上一点，且， ∴是等腰三角形，且点Q的坐标为， ∴， ∴的面积为6． 【点睛】本题考查了反比例函数解析式，反比例函数的性质，等腰三角形的判定，坐标与图形等知识．熟练掌握反比例函数解析式，反比例函数的性质，等腰三角形的判定，坐标与图形是解题的关键． 4．已知反比例函数（为常数，且）． (1)若在其图象的每一个分支上，随增大而增大，求的取值范围； (2)若点、均在该反比例函数的图象上； ①求、的值； ②当时，求的取值范围． 【答案】(1) (2)①，；② 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，求函数解析式，与不等式的结合，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）根据反比例函数的性质即可求解； （2）①点、代入即可求解； ②求出解析式为，则当时，,作出大致函数图象，数形结合即可求解． 【详解】（1）解：由题意可得， 解得； （2）解：①把，代入中， 得到， 解得， ， ， ； ②∵， ∴解析式为： 当时，, 作出大致函数图象如图： 由图象可得，当，． 题型六 反比例函数与几何问题 1．已知反比例函数的图象的一支位于第一象限． (1)判断该函数图象的另一支所在的象限，并求m的取值范围； (2)如图，O为坐标原点，点A在该反比例函数位于第一象限的图象上，点B与点A关于x轴对称，若的面积为6，求反比例函数的解析式． 【答案】(1)该函数图象的另一支在第三象限， (2) 【分析】本题考查反比例函数与几何的综合应用： （1）根据反比例函数的图象和性质，进行求解即可； （2）根据值的几何意义，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：根据反比例函数的图象关于原点对称可知，该函数图象的另一支在第三象限，且， 则； （2）设与x轴交于点C． ∵点B与点A关于x轴对称， ∴轴， ∵的面积为6， ∴的面积为3， ∴， 解得， ∴反比例函数的解析式为． 2．如图，已知反比例函数与一次函数的图象交于点、点，一次函数与轴交于点． (1)求，的值； (2)求的面积； (3)若，是反比例函数图象上的两点，且，指出点，分别位于哪个象限，并比较，的大小． 【答案】(1) (2) (3)点在第三象限，点在第一象限， 【分析】本题考查反比例函数和一次函数的图象与性质，待定系数法求函数解析式，解题的关键是灵活运用反比例函数和一次函数的图象与性质解决问题． （1）先求出点，，再利用待定系数法即可求解； （2）先求得，再利用铅锤法求面积即可； （3）结合图象即可判断． 【详解】（1）解：把点代入，得：， ∴， 再把点代入，得：， ∴， ∴点，， ∵点，在的图象上， ∴，解得． （2）解：由（1）可知：，， ∴一次函数解析式为：， 当时，， ∴点， ∴， ∴． （3）解：由图像可知，点在第三象限，点在第一象限，． 3．正比例函数的图象与反比例函数的图象交于点是反比例函数图象上的一动点，    (1)求正比例函数和反比例函数的解析式； (2)如图，当，过点M作直线轴，交y轴于点B，过点A作直线轴交x轴于点C、交直线于点D．用只含m的代数式表示四边形的面积； (3)当四边形的面积为8时，求m的值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）将点A的坐标分别代入两个函数解析式，即可求解； （2）由四边形的面积，即可求解； （3）四边形的面积，即可求解． 【详解】（1）解：将点A的坐标分别代入两个函数解析式得：，， 解得：，， 则正比例和反比例函数的解析式分别为：，； （2）解：根据题意得，点， ∵点在反比例函数的图象上； ∴ ， ∵点A，M在反比例函数的图象上， ， 四边形的面积； （3）解：当四边形的面积为8时， ， 解得：， 经检验，是该方程的解． 【点睛】此题属于反比例函数的综合题，涉及的知识有：反比例函数与一次函数的交点，坐标与图形，利用待定系数法求一次函数解析式，以及点与坐标的关系，利用了数形结合及方程的思想，是中考中常考的题型． 4．如图，一次函数与函数为的图象交于，两点． (1)求这两个函数的解析式； (2)点在线段上，过点作轴的垂线，垂足为，交函数的图象于点，若面积为2，求点的坐标； (3)根据图象，直接写出满足时的取值范围． 【答案】(1)， (2)或 (3) 【分析】本题考查反比例函数与一次函数图象的交点问题，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解是解题的关键： （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）根据值的几何意义，得到，进而求出，设出点坐标，列出方程进行求解即可； （3）找到直线在双曲线上方时的自变量的范围即可． 【详解】（1）解：由题意，得：， ∴， ∴，， ∴，解得：， ∴； （2）设点， ∵点在双曲线上，轴， ∴， ∴， ∴，解得：或， ∴或； （3）由图象可知：当时，直线在双曲线的上方， ∴的取值范围为：． 5．如图，反比例函数与正比例函数的图象交于点和点，点是点关于轴的对称点，连接，． (1)求该反比例函数的解析式； (2)求的面积； (3)请结合函数图象，直接写出不等式的解集． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了正比例函数与反比例函数的综合，待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数与不等式，理解反比例函数的图象和性质是解答关键． （1）将点代入中来求解； （2）根据反比例函数和正比例函数的性质求出点的坐标，再利用对称轴求出点的坐标，最后利用三角形面积公式求解； （3）根据反比例函数与正比例函数的图象交于点和点， 利用图象来求解不等式的解集． 【详解】（1）解：把点代入得： ， ∴， ∴反比例函数的解析式为 ． （2）解：∵反比例函数与正比例函数的图象交于点和点B， ∴， ∵点是点关于轴的对称点， ∴， ∴． ∴． （3）解：反比例函数与正比例函数的图象交于点和点， 所以根据图象得：不等式的解集为或． 6．如图，已知一次函数的图象与反比例函数在第一象限的图象交于和两点，过点作轴的垂线，垂足为点． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)求的面积； (3)在轴上求一点，使的值最小． 【答案】(1)， (2)2 (3) 【分析】本题考查一次函数与反比例函数图象的交点问题，值的几何意义，坐标与轴对称： （1）待定系数法求函数解析式即可； （2）根据值的几何意义，求解即可； （3）作点关于轴的对称点，连接与轴交于点，点即为所求，求出直线的解析式，进而求出点的坐标即可． 【详解】（1）解：由题意，得：， ∴反比例函数的解析式为，， ∴一次函数的解析式为：； （2）由值的几何意义可知：的面积； （3）作点关于轴的对称点，连接与轴交于点，点即为所求，如图： 则：， 设直线的解析式为：，则： ，解得：， ∴， ∴当时，， ∴． 7．如图，在平面直角坐标中，点是坐标原点，一次函数与反比例函数的图象交于、两点． (1)求直线的解析式； (2)根据图象，当时，的取值范围为______； (3)如图，轴正半轴上有一点，当四边形的面积为5时，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，根据函数图象的上下位置关系结合交点的横坐标， （1）依据反比例函数的图象过、两点，即可得到、，代入一次函数，可得直线的解析式； （2）当时，正比例函数图象在反比例函数图象的上方，即可得到当时，x的取值范围是； （3）过点B作轴于点E，过点A作轴于点F，设P点坐标为，根据四边形的面积为5，利用割补法列出面积表达式，再解方程即可． 【详解】（1）解：、两点坐标分别代入反比例函数，可得，， ∴、， 把、代入一次函数，可得 ，解得， ∴直线的解析式为； （2）解：观察函数图象，发现： 当时，正比例函数图象在反比例函数图象的上方，即， ∴当时，x的取值范围是， 故答案为：； （3）解：如图，过点B作轴于点E，过点A作轴于点F， 设P点坐标为，则， ∵、， ∴，，，， ∴，， ∵四边形的面积为5， ∴四边形的面积， ∴， 即， 解得：， ∴点的坐标为． 8．如图，在直角坐标系中，矩形的边、分别在坐标轴上，且，，反比例函数的图象与、分别交于点、，连接、、．若的面积为． (1)写出这个反比例函数的表达式； (2)求的面积． 【答案】(1)反比例函数的表达式为； (2)的面积为． 【分析】（）根据三角形的面积公式和反比例函数的几何意义解答即可； （）由四边形是矩形，则，，求出，，然后利用即可求解； 此题考查了反比例函数的性质，矩形的性质，三角形的面积公式，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：∵的面积为，即， ∴， ∴反比例函数的表达式为； （2）解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵反比例函数的表达式为，， ∴点的纵坐标是， ∴，解得：， ∴， 同理当时，， ∴， ∴，，，， ∴ ． 9．如图1，在平面直角坐标系中，矩形的边、分别在坐标轴上，且，，反比例函数的图象与、分别交于点D、E，连结． (1)如图2，连结、，当的面积为2时： ①______；②求的面积； (2)如图3，将沿翻折，当点B的对称点F恰好落在边上时，求k的值． 【答案】(1)①4；②； (2)k的值为． 【分析】（1）①根据反比例函数的几何意义解答即可； ②根据解析式代入得出点和的坐标，进而利用割补法求三角形面积，即可解题； （2）过点D作轴于点G，类比于②用表示出，根据反比例函数的性质和折叠的性质以及相似三角形的判定和性质用表示出，再结合勾股定理建立等式求解，即可解题. 【详解】（1）解：①的面积为2，反比例函数图象在第一象限， 即有， ， 故答案为：4； ②在矩形中，，， ， 反比例函数的解析式是：， ， 即点D的纵坐标是3， 令， 解得：， D， 同理，当时，， ， ，，，， ； （2）解：过点D作轴于点G，则， ，即点D的纵坐标是3， 令， 解得：， ， 同理可得，当时，， ， ，，，， 由折叠的性质可知： ， ，， ， 轴， ， ， ， ， ， 即， ， 轴， 是直角三角形，， ， 解得：， 即k的值为． 【点睛】本题考查了反比例函数的性质、反比例函数的几何意义，折叠的性质，勾股定理，相似三角形性质和判定，三角形的面积公式，解题的关键是根据待定系数法得出解析式进行解答． 题型七 一次函数与反比例函数的交点问题 1．如图，直线与双曲线交于点和点，则不等式的解集是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，反比例函数图象上点的坐标特征，利用数形相结合的思想是解此题的关键．利用数形相结合，借助图象求出不等式的解集即可． 【详解】解：∵把 ，直线与双曲线交于点和点， ∴， ∴反比例函数为：， ∴， ∴， ∴当或时，直线在双曲线的下方， ∴不等式的解集是：或． 故选：D． 2．如图，反比例函数的图象与经过原点的直线相交于A、B两点，已知A点的坐标为，那么B点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数图象的中心对称性，反比例函数的图象是中心对称图形，则经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称． 【详解】解：∵点A与B关于原点对称， ∴B点的坐标为． 故答案是：． 3．若反比例函数的图象位于第二、四象限，则整数k可以是 （填一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了反比例函数的性质．反比例函数的图象位于第二、四象限，比例系数，即，根据k的取值范围进行选择． 【详解】解：∵反比例函数的图象位于第二、四象限， ∴，即． 故答案为：4（答案不唯一）． 4．如图，直线与双曲线相交于、两点． (1)求直线与双曲线的表达式； (2)若、、为双曲线上的三点，请直接“＞”或“＜”或“＝”表示，，的大小关系； (3)连接，，求的面积． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查反比例函数与一次函数综合，解题的关键是掌握一次函数和反比例函数的图象和性质，进行解答，即可． （1）先把点坐标代入反比例函数解析式，求出反比例函数解析式，再把点坐标代入反比例函数解析式，求出点的坐标，再把、坐标代入一次函数解析式，求出一次函数解析式即可； （2）先判断出反比例函数的增减性和分布的象限，然后比较大小即可； （3）设直线与轴交于点，根据进行求解即可． 【详解】（1）解：把代入 ∴， ∴， ∴反比例函数解析式为， 把代入得：， ∴， ∴， 把，代入 ∴， 解得， ∴一次函数解析式为． （2）解：∵反比例函数解析式为， ∴反比例函数经过第一、三象限，在每个象限内随增大而减小， ∵、、为双曲线上的三点，， ∴， 即． （3）解：设直线与轴交于点， ∴点的坐标为， ∴， 又，， ∴． 题型八 一次函数与反比例函数的实际问题 1．已知蓄电池的电压为定值，使用某蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示． (1)求I与R之间的函数关系式； (2)如果电流不超过，求电阻应控制的范围． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查了反比例函数的应用，掌握相关知识是解题的关键． （1）直接利用待定系数法求解即可； （2）根据题意得，代入关系式中即可求解． 【详解】（1）解：电流I与电阻R是反比例函数关系，设关系式为：， ∵图象经过点， ∴， ∴， ∴电流I与电阻R间的函数关系式为：； （2）解：∵电流不超过， ∴， ∴， ∴． 1．如图是反比例函数的图象的一支，根据图象回答问题： (1)图象的另一支位于__________象限，写出k的取值范围__________．在每个象限内y随x的增大而__________． (2)若点，，均在该反比例函数图象上，若，比较，，的大小关系（用“﹤”号连接）__________． (3)若点，在这个函数的图象上，则__________，直线解析式为__________．面积为__________．写出时，x的取值范围__________． 【答案】(1)四，，增大 (2) (3)，，，或 【分析】本题主要考查了反比例函数的增减性、比较反比例函数的函数值、求反比例函数解析式、求自变量的取值范围等知识点，熟练掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键． （1）由反比例函数的图象的一支在第二象限，可知，另一支在第四象限，在每个象限内y随x的增大而增大； （2）根据反比例函数图象的增减性即可解答； （3）将代入求得k的值，进而确定反比例函数解析式，再将代入解析式即可求得n的值，然后运用待定系数法求出直线CD解析式；然后画出图象，根据图象计算的面积以及确定时x的取值范围． 【详解】（1）解：由反比例函数的图象的一支在第二象限， ∴，解得：， 由反比例函数的图象和性质可知，图象的另一支在第四象限，在每个象限内y随x的增大而增大． 故答案为：四，，增大． （2）解：由（1）知反比例函数的图象在第二、四象限，在每个象限内y随x的增大而增大， 如果，则． 故答案为：． （3）解：将代入，得：，解得：， ∴， ∵在反比例函数的图象上， ∴，解得：， ∴， 设直线解析式为， 则有，解得：， ∴直线解析式为， 如图：设直线与x轴的交点为E，则，即， ∴面积为； 由函数图象可得：当时，或． 综上可知，，，，或． 2．若点，在反比例函数（为常数，）的图象上． (1)求：反比例函数的解析式和的值； (2)填空： ①函数的图象在第________象限； ②该函数的图象的每一支上，随的增大而_________； ③在该函数的图象上分别取点和，如果，请将按从小到大的顺序排列，并用“”连接，其结果为__________． 【答案】(1)， (2)①二，四；②增大；③ 【分析】本题考查反比例函数的图象和性质，正确的求出函数解析式，掌握反比例函数的图象和性质，是解题的关键： （1）待定系数法进行求解即可； （2）①根据反比例函数的图象和性质，进行求解即可；②根据反比例函数的图象和性质，进行求解即可；③根据反比例函数的图象和性质，进行判断即可． 【详解】（1）解：由题意，得：， ∴，反比例函数的解析式为：； （2）∵，， ∴双曲线过二，四象限，在图象的每一支上，随的增大而增大； ∵点和在双曲线上，且， ∴； 故答案为：①二，四；②增大；③． 3．已知点，是反比例函数图象上两点．请用“”“”或“”填空． （1）若，，，则_____； （2）若，，，则______； （3）若，，，则______； （4）若，，则______； 变式  反比例函数中，若，，请讨论，的大小情况． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；变式：①当时，；②当时，；③当时， 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，反比例函数(k是常数，)的图象是双曲线，当，反比例函数图象的两个分支在第一、三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小；当，反比例函数图象的两个分支在第二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大． （1）（2）（3）（4）以及变式直接根据反比例函数的增减性求解即可． 【详解】解：（1）∵， ∴反比例函数图象的两个分支在第一、三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小， ∵，， ∴， ∴． 故答案为：； （2）∵， ∴反比例函数图象的两个分支在第二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大， ∵，， ∴， ∴． 故答案为：； （3）∵， ∴反比例函数图象的两个分支在第一、三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小 ∵，， ∴， ∴． 故答案为：； （4）∵， ∴反比例函数图象的两个分支在第一、三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小 ∵， ∴， 故答案为：； 变式： ∵， ∴反比例函数图象的两个分支在第二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大， ①当时，；②当时，；③当时，． 4．参照学习的一次函数与反比例函数图象与性质的过程与方法，探究函数的图象与性质．使用“描点法”作出函数的图象． 列表：恰当地选取自变量的几个值，计算对应的值． … 0 2 3 4 … … 0 4 3 2 … 描点：以表中各对的值为点的坐标，在平面直角坐标系中描出相应的点，如图．请将图中直线两侧的各点分别用一条光滑的曲线顺次连接起来并回答下列问题： (1)观察图象并分析表格，回答下列问题： ①当时，随的增大而________．（填写“增大”或“减小”） ②函数的图象关于点________中心对称．（填写点的坐标） ③小明发现，函数的图象是双曲线，他觉得函数的图象是由一个反比例函数的图象经过平移得来的，并进行了如下变形：，请试着在平面直角坐标系中画出反比例函数的图象，并观察得出函数的图象是由函数的图象经过怎样的平移变换得到的：_____________． (2)我们将第（1）题③中小明的变形过程称为“分离常数”，请利用“分离常数”的方法，求出函数图象上，横坐标、纵坐标均为整数的点的坐标． (3)若直线与函数的图象相交于两点，的横坐标是，的纵坐标是，则__________． 【答案】(1)图见解析，①减小；②；③向右、向上各平移1个单位； (2)； (3)． 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，熟练掌握反比例函数图象的性质，正确利用“分离常数”的方法把函数变形以及把点A的坐标带入变形后的函数解析式是解题的关键． （1）连线画出图象，①观察函数图象即可求解；②观察函数图象即可求解；③观察函数图象即可求解； （2）利用“分离常数”的方法，求出x，的整数值，即可． （3）直线与函数的图象相交于A、B两点，A的横坐标是m，B的纵坐标是n，则，A、B关于点成中心对称，把代入，得到，即可求解； 【详解】（1）解：图象如下： 观察图象可得： ①当时，y随x的增大而减小； 故答案为：减小； ②函数的图象关于点中心对称； 故答案为：； ③列表如下： … 1 2 3 … … 1 … 画出的图象如图所示， 观察得出函数的图象是由函数的图象向上平移1个单位，再向右平移1个单位得到； 故答案为：向上平移1个单位，再向右平移1个单位得到； （2）， ∵均为整数， ∴， ∴ ∴， ∴横坐标、纵坐标均为整数的点的坐标为． （3）由直线可知直线经过点， ∵直线与函数的图象相交于A、B两点，A的横坐标是m，B的纵坐标是n， ∴A、B关于点成中心对称，点A的纵坐标为， 由可知，， ∴， ∵， ∴， 故答案为： 5．已知点，在反比例函数（m是常数）的图象上．如果，而且，同号，那么，有怎样的大小关系？为什么？ 【答案】，理由见解析 【分析】本题考查了反比例函数的性质，根据反比例函数的性质，，反比例函数图象分布在第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大解答即可． 【详解】解：，理由如下： 在反比例函数中，，所以，反比例函数图象分布在第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大， 同号， 点A和点B在同一个象限内， ， ． 6．已知反比例函数的图像经过点． (1)请判断点是否在此反比例函数图像上，并说明理由； (2)已知点和点是反比例函数图像上的两点． ①若点C和点D关于原点中心对称，求的值； ②若，，求时，y的取值范围． 【答案】(1)点在此反比例函数图像上，理由见解析 (2)①；②或 【分析】本题考查反比例函数图像上点的坐标特征、反比例函数的图像与性质、关于原点中心对称的坐标特征，熟知反比例函数的性质是解答的关键． （1）利用待定系数法求得反比例函数的解析式，然后将点B坐标代入即可判断； （2）①根据题意，，，，代入所求式子中求解即可； ②先根据反比例函数的性质得到反比例函数的图像在第二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大，再根据已知推导出，进而得到，，则，根据反比例函数的性质可得结论． 【详解】（1）解：点在此反比例函数图像上， 理由：∵反比例函数的图像经过点， ∴，则， 当时，， ∴点在此反比例函数图像上； （2）解：①∵点和点是反比例函数图像上的两点，且点C和点D关于原点中心对称， ∴，，， ∴ ； ②∵， ∴反比例函数的图像在第二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴，又当时，， ∴当时，y的取值范围为或． 7．已知反比例函数的图象，当时，y随x的增大而增大，求k的取值范围． 【答案】 【分析】本题考查的是反比例函数的性质，解题的关键是熟练掌握反比例函数的性质：当时，图象在一、三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小；当时，图象在二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大． 先根据当时，y随x的增大而增大判断出的符号，求出k的取值范围即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象，y随x的增大而增大， ∴， 解得：． 8．定义：满足不等式的实数x的所有取值的全体叫作闭区间，表示为，对于一个函数，如果它的自变量与函数值y满足：当时，有，我们称此函数是闭区间上的“闭函数”．如函数，当时，；当时，，即当时，有，所以函数是闭区间上的“闭函数”．根据定义解答下列问题： (1)试判断函数是不是闭区间上的“闭函数”并说明理由； (2)若一次函数是闭区间上的“闭函数”，求它的表达式； (3)若函数（，）是闭区间（）上的“闭函数”，求的取值范围． 【答案】(1)是，理由见解析； (2)； (3)． 【分析】本题主要考查了一次函数的增减性，反比例函数的增减性，新定义，理解闭函数的定义是解答关键． （1）根据反比例函数的增减性结合闭函数的定义来求解； （2）根据闭函数的定义，结合一次函数的增减性可求出和，进而求出一次函数的解析式； （3）根据函数在时的增减性，结合闭函数的定义得到图象过点和两点，得到，结合来求解． 【详解】（1）解：反比例函数是闭区间上的“闭函数”． 理由如下： 反比例函数在第一象限内随的增大而减小， 当时，；当时，， 即图象过点和， 当时，有，符合闭函数的定义． 所以反比例函数是闭区间上的“闭函数”． （2）解：因为一次函数是闭区间上的“闭函数”， 根据一次函数的图象与性质，当时，随的增大而增大， 即图象过点和两点，… 则， 解得， 所以，此时函数的表达式是． （3）解：因为函数在时，随的增大而增大， 又函数（，）是闭区间（）上的“闭函数”， 即图象过点和两点， 代入有， 即， 又， 故，是方程的两个不相等正根， 即有， 解得：， 所以的取值范围是． 9．已知反比例函数（为常数）． (1)若该反比例函数的图象位于第二、四象限，求的取值范围； (2)当时，随的值增大而减小，求的取值范围． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了反比例函数的性质，掌握反比例函数的性质是解题的关键． （1）由反比例函数的图象位于第二、四象限，得到，即可求解； （2）当时，y随x的值增大而减小，得到，即可求解． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象位于第二、四象限， ， 解得：， ∴a的取值范围是：； （2）解：∵当时，y随x的值增大而减小， ， 解得：， ∴a的取值范围是：． 10．已知反比例函数（m为常数，且）． (1)若在每个象限内，y随x的增大而减小，求m的取值范围； (2)若其图像与一次函数图像的一个交点的纵坐标是3，求m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查函数图像的交点及待定系数法求函数解析式，掌握图像的交点的坐标满足两个函数解析式是解题的关键． （1）由反比例函数的性质可得：，从而求出m的取值范围； （2）先将交点的纵坐标代入一次函数中求出交点的横坐标，然后将交点的坐标代入反比例函数中，即可求出m的值． 【详解】（1）解：∵在反比例函数图像的每个分支上，y随x的增大而减小， ∴， 解得：； （2）将代入中，得：， ∴反比例函数图像与一次函数图像的交点坐标为：． 将代入得：， 解得：． 11．已知点在反比例函数的图象上． (1)求反比例函数的表达式； (2)点，，都在反比例函数的图象上，比较的大小，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】本题主要考查待定系数法求解析式，反比例函数图象的性质，掌握待定系数法的运用，反比例函数增减性是解题的关键． （1） 把代入，运用待定系数法计算即可求解； （2）由解析式可得函数图象位于第二、四象限，每个象限，随的增大而增大，由此即可求解． 【详解】（1）解：把代入，得， 解得， 反比例函数的表达式为． （2）解：， 函数图象位于第二、四象限， 点，，都在反比例函数的图象上，， ， ． 12．已知反比例函数（为常数）． (1)若该反比例函数的图象位于第二、四象限，求的取值范围； (2)若、是该反比例函数图象上的点，直接写出函数值、的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了反比例函数的性质，掌握反比例函数的性质是解题的关键． （1）由反比例函数的图象位于第二、四象限，得到，然后求解即可； （2）将代入反比例函数得，图象位于第一、三象限，在每一象限y随x的增大而减小，再由即可得出答案． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象位于第二、四象限， ∴， 解得， ∴a的取值范围是； （2）解：当时，反比例函数， ∵， ∴图象位于第一、三象限，在每一象限y随x的增大而减小， ∴、是该反比例函数图象上位于第三象限的点， ∵， ∴． 13．反比例函数在第一象限的图象，如图，过上的任意一点A，作x轴的平行线交于点B，交y轴于点C，连接，若，求k的值． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的比例系数的几何意义．根据反比例函数的比例系数的几何意义得到，再利用得到，然后解关于k的绝对值方程即可． 【详解】解：根据题意得：轴， ∴， ∵，， ∴， 解得：， ∵反比例函数在第一象限的图象， ∴， ∴． 14．如图，点和点是反比例函数图象上的两点，一次函数的图象经过点，与轴交于点，过点作轴，垂足为，连接．已知与的面积满足． (1)求的面积和的值； (2)求直线的表达式； (3)过点的直线分别交轴和轴于M，N两点，，若点为的平分线上一点，且满足，请求出点的坐标． 【答案】(1)的面积为，的值为3 (2) (3)或 【分析】本题是反比例函数综合题，主要考查了反比例函数图象上点的坐标的特征，k的几何意义，相似三角形的判定与性质等知识． （1）首先可知C的坐标，从而得出的面积，再根据，得，可得k的值； （2）由点在反比例函数上，可得，再将点A的坐标代入反比例解析式即可； （3）设，分点N在y轴正半轴上或点N在y轴负半轴两种情形，分别根据相似三角形的判定与性质求出和的长，从而得出的长，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵一次函数与y轴交于C， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵点B在反比例函数上， ∴， ∴的面积为，的值为3； （2）解：∵点在反比例函数上， ∴， ∴， 将代入一次函数得， ， ∴， ∴直线的表达式为：； （3）解：设，则， 分以下三种情况： 当点N在y轴正半轴上，点M在轴正半轴上时，作轴于H，则，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵点P为的平分线上一点，， ∴点P到x轴和y轴的距离相等，设为，则， ∴，解得， ∴； 当点N在y轴负半轴上，点M在轴正半轴上时，如图， 同理可得，，， ∴，， ∴， ∵点P为的平分线上一点，， ∴同理可得点P到x轴和y轴的距离相等为， ∴， 当点M在x轴负半轴上时，，不合题意，舍去． 综上：或． 15．平面直角坐标系中，将直线向上平移2个单位长度后与函数的图象交于点． (1)写出平移后的直线表达式； (2)求反比例函数的函数表达式； (3)已知点（其中）是x轴上一点，过点Q作平行于y轴的直线，交直线于点M，交函数的图象于点N． ①当时，求的长度； ②诺，结合图象，直接写出n的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)①；②或 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点，待定系数法求一次函数的解析式，函数图象上点的坐标特征，利用数形结合是解题的关键． （1）根据一次函数平移法则“左加右减，上加下减”即可求出平移后的一次函数解析式； （2）将点代入平移后的一次函数解析式求出m的值，记得点Q的坐标，再将坐标代入反比例函数即可； （3）①将点分别代入一次函数和反比例函数中，求出点M，N的纵坐标值，相减即可得出结果；②当时，存在两种情况，过点P与y轴平行的直线在两函数交点的两侧时，列不等式解不等式和由图象可直接得出． 【详解】（1）解：直线向上平移2个单位长度， 平移后的一次函数解析式为：，即， 故答案为： （2）解：点在直线的图象上， 令，则， ， 点在函数的图象上， ， ， 反比例函数的表达式为：； （3）解：①当时，． ∵反比例函数的表达式为，直线解析式为． ∴． ∴； ②∵点，轴， ∴． 由． 解得：或（舍）． ∴交点． 分两种情况： 当时，如图2． ∵． ∴， ∴； 即当时，． 当时，如图3． ∵． ∴． ∴， 如图4，函数与在第一象限的交点为． ∴．即时，． 综上，a的取值范围是或 16．如图，已知正比例函数的图象与反比例函数（）的图象交于点B，D为x轴正半轴上一点，过点D作轴，交反比例函数的图象于点A，交正比例函数的图象于点C，且． (1)求，的值； (2)连接，求的面积． 【答案】(1)；6 (2) 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点，函数图象上点的坐标特征，三角形面积，求得交点的坐标是解题的关键． （1）)把点B代入正比例函数、反比例函数关系式可求出，的值； （2）过点B作于点H，根据，求出点C的横坐标，求出，代入求出进而求得，根据三角形的面积公式进行计算即可． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象经过点，． 又∵正比例函数的图象经过点， ，解得， ，． （2）解：如解图，过点B作于点H． 由（1）可知，正比例函数的表达式为x， 反比例函数的表达式为． ∵点C在正比例函数的图象上，且轴，， ∴点C的纵坐标为6． 对于，当时，， ∴点C的坐标为， ，点A的横坐标为4． ∵点A在反比例函数的图象上， ∴点A的坐标为， ， ，， ． 17．一次函数与反比例函数相交于、B两点． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)点是反比例函数图象上一点，连接、，求的面积； (3)当时，直接写出x的取值范围． 【答案】(1) (2)10 (3)或 【分析】本题考查了一次函数，反比例函数的图象与性质． （1）根据点坐标，代入一次函数，反比例函数解析式，可得到结果； （2）先求出点坐标，再把点代入反比例函数解析式，求点坐标，结合函数图象，得到和的面积； （3）结合函数图象，可得到结果． 【详解】（1）解：一次函数与反比例函数相交于， ，， ，， ，； （2）解：， 解得：，， ， 点是反比例函数图象上一点， ， ， ， 当时，， ， ，到的距离为4， ， 同理， ； （3）解：结合图象，当时，即一次函数图象在反比例函数图象上面时， 或． 18．如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)根据图象直接写出时，的取值范围； (3)求的面积． 【答案】(1)一次函数的解析式是，反比例函数的解析式是 (2) (3)8 【分析】（1）把A的坐标代入反比例函数解析式即可求得的值，进而可得反比例函数解析式，然后把代入即可求得m的值，然后利用待定系数法求一次函数的解析式即可； （2）数形结合求解即可； （3）求出点C的坐标，根据，计算求解即可． 【详解】（1）解：将代入得，， 解得，， ∴反比例函数解析式为， 将代入得，，即， 将，代入得，， 解得，， ∴一次函数解析式为； （2）解：由题意知，的解集为一次函数图象在反比例函数图象上方所对应的的取值范围， ∴由图象得：的解集为； （3）解：当时，，即， ∴， ∴的面积为． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的综合，反比例函数解析式，一次函数解析式，直线与坐标轴的交点，数形结合求不等式的解集等知识，熟练掌握反比例函数与一次函数的综合，数形结合求不等式的解集是解题的关键． 19．如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象都经过点和点．    (1)求反比例函数表达式． (2)根据图象，直接写出时自变量的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】（）由正比例函数求出点坐标，再把点坐标代入反比例函数表达式解答即可求解； （）由对称性求出点坐标，再根据图象解答即可求解； 本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数与正比例函数的交点问题，掌握数形结合思想是解题的关键． 【详解】（1）解：把代入得，， ∴， 把代入得，， ∴， ∴反比例函数表达式为； （2）解：∵点是正比例函数的图象与反比例函数图象的交点， ∴点关于原点对称， ∴， 由图象可知，当或时，正比例函数的图象在反比例函数的图象上方， ∴时自变量的取值范围为或． 20．如图，在平面直角坐标系内，函数的图像与反比例函数图像有公共点A，点A的坐标为轴，垂足为点B． (1)求反比例函数的解析式； (2)点C是第一象限内直线上一点，过点C作直线，与反比例函数的图像交于点D，，求点D的坐标和的面积． 【答案】(1) (2)或，的面积为6 【分析】本题考查了反比函数与正比例函数的综合题，涉及待定系数法求函数解析式，反比例函数图像上点的坐标特征，解分式方程，三角形的面积问题，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）把的坐标为代入，求得，再利用待定系数法即可求解反比例函数的解析式； （2）设点坐标为，则点坐标为，当点在点上方时,可得，根据题意可得，解得，从而求得的坐标，再由即可求解面积，同理当点在点下方时，点坐标和的面积． 【详解】（1）解：点在函数的图像上，点的坐标为， ∴， 点坐标为． 点在反比例函数的图像上， ，解得． 反比例函数的解析式为； （2）解：如图，当点在点上方时， 轴，点坐标为， ． 点为第一象限内直线上一点， 设点坐标为， 又，且点在反比例函数的图像上， 设点坐标为． 可得． ， ， 解得或， 经检验，或都是方程的解， ， ． 点的坐标为，， ∴， ∴； 当点在点下方时，如图： 设点坐标为， 又，且点在反比例函数的图像上， 设点坐标为． 可得． ， ， 解得或， 经检验，或都是方程的解， ， ． 点的坐标为，， ∴， ∴ ， 综上所述，点的坐标为或，的面积为6． 21．如图，已知反比例函数与一次函数的图象交于，两点，直线分别与轴、轴交于点，． (1)______，______，______． (2)若是轴的正半轴上一动点，过点作轴的垂线，分别与一次函数和反比例函数的图象交于点，，设的长为，求与之间的函数关系式． (3)在第二象限内是否存在点，使得是等腰直角三角形，且点不是直角顶点？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)8；；3 (2)当时，；当时，； (3)或 【分析】本题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，作出辅助线构造出全等三角形是解本题的关键． （1）将点A，B坐标代入反比例函数解析式中求出a，m，得出反比例函数解析式和点A，B坐标，最后将点A，B坐标代入直线的解析式求解，即可求出一次函数解析式； （2）由题意得，，，得出，，分两种情况得出答案； （3）先求出，，再分两种情况，利用三垂线构造全等三角形求解，即可求出答案． 【详解】（1）反比例函数的图象经过，两点， ，， ，，反比例函数解析式是， 把，分别代入得， ， 解得：， 故答案为：，，； （2）由（1）知，一次函数解析式为， 由题意得，，， ，， 当时，； 当时，； （3）在第二象限内存在点Q，使得是等腰直角三角形，且点Q不是直角顶点；理由如下： 由（1）知，直线的解析式为， 令，则， 令，则， ∴， ∴，， ∴，，如图， ∵是等腰直角三角形， ∴①当时，， 过点Q作轴于H， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴； ②当时，同①的方法得，； 即满足条件的点Q的坐标为或． 22．【阅读理解】定义：在同一平面内，有不在同一直线上的三点A、B、C，连接，设， ，则我们把称为点A到点C关于点B的“度比坐标”，把称为点C到点A关于点B的“度比坐标”． 【迁移运用】如图，在y轴的右侧，直角绕原点O按顺时针方向旋转，的两边分别与函数，的图象交于A，B两点． (1)如图1，若点A到点B关于点O的“度比坐标”为，求双曲线的解析式； (2)如图2，若点A到点B关于点O的“度比坐标”为，连接交x轴于点C，点C到点A关于点O的“度比坐标”为，； ①点D在第一象限，点D到点A关于点O的“度比坐标”为，连接，求m的值及四边形的面积； ②将直线向右平移，分别交于点E，交于点F，问：是否存在某一位置使？若存在，请直接写出点E的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①，② 【分析】（1）过点A、点B作y轴的垂线，垂足分别为M、N，证明两个三角形相似，利用相似三角形的性质求出的面积，进而求出比例系数即可； （2）按照（1）的方法求出反比例函数解析式，再求出点C和点A坐标，①根据点D到点A关于点O的“度比坐标”求出点D坐标即可；②根据表示出平移后与反比例函数交点坐标，代入反比例函数解析式即可． 【详解】（1）解：过点A、点B作y轴的垂线，垂足分别为M、N， ∴， ∵点A到点B关于点O的“度比坐标”为， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点A在图象上， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴反比例函数解析式为． （2）解：∵点A到点B关于点O的“度比坐标”为， ∴，， 过点A、点B作y轴的垂线，垂足分别为H、G， 类似（1）的方法可知，且相似比是1， ∴，， ∴反比例函数解析式为， ∵点C到点A关于点O的“度比坐标”为， ∴， ∴， ∵， ∴，， 则点A坐标为，点B坐标为， 由点A坐标和点B坐标求得直线的解析式为， 当时，， ， 点D在第一象限，点D到点A关于点O的“度比坐标”为， ∴，， ∴，， 过点D作的垂线，垂足为L， ∴， ∵， ∴，， 四边形的面积为， ②存在某一位置使； 过点E、点F作x轴的垂线，垂足分别为Q、R， 因为直线向右平移，分别交于点E，交于点F， 所以， 设，则，，，，， ，， ， ∴， 解得，，（舍去）， ， 所以点E坐标为． 【点睛】本题考查了反比例函数和新定义，解题关键是准确理解“度比坐标”，熟练运用反比例函数的性质和相似三角形的性质求解． 23．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与轴、轴交于点，两点． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)直接写出不等式的解集． (3)若点是第四象限内反比例函数图象上的一点，的面积是的面积的2倍，求点的坐标． 【答案】(1)；； (2)或； (3) 【分析】本题是一次函数和反比例函数的交点问题，能直接利用函数图象求出不等式的解集是解题的关键． （1）根据点的坐标代入，求得，进而可得，待定系数法求解析式即可求解； （2）用函数的观点将不等式问题转化为函数力图象问题； （3）根据一次函数解析式分别令，得出，，根据，列出方程，即可求解． 【详解】（1）解：将代入， 得， ， ， 将代入， ， 将，代入， 得， 解得， 一次函数的解析式为； （2）解：根据函数图象可知：不等式的解集为或； （3）解：时，， ， ，时， ，， ， ， 的面积是的面积的2倍， ， ， 点是第四象限内反比例函数图象上的一点， ， ， ， ． 24．如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于两点，与x轴相交于点C，已知点B的坐标为． (1)求反比例函数的解析式； (2)直接写出不等式的解集． 【答案】(1)； (2)或． 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，利用数形结合的思想是解此题的关键． （1）将代入得出，再利用待定系数法求出反比例函数的解析式为； （2）联立，计算即可得，由函数图象即可得解． 【详解】（1）解：将代入得：， 解得：， ∴， 将代入得， ∴反比例函数的解析式为； （2）联立， 解得或， ∴； 由图象可得，不等式的解集是或． 25．如图，一次函数与反比例函数的图象交于点和． (1)求一次函数的表达式和m值 (2)请根据图象，直接写出不等式的解集； (3)点P是线段上一点，过点P作轴于点D，连接，若的面积为S，则S的最小值为______． 【答案】(1)； (2)或 (3) 【分析】（1）将代入得b，即得一次函数的解析式为，将代入一次函数解析式得m； （2）求出，由图可得，根据直线在双曲线上方的部分的自变量的范围即的解集，即可求解； （3）由点P是线段上一点，可设，且，可得，根据二次函数的性质即可求得最小值． 【详解】（1）解：一次函数图象过点， ， 解得， 一次函数解析式是 在一次函数的图象上， ， ， （2）有（1）得点， 由图可得，一次函数与反比例函数的交点分别为点和， 则得解集为：或，； （3）∵点是线段上一点，设， ∴， ∴， ∵且， ∴当或时，有最小值，且最小值是． 故答案：. 26．如图，一次函数与函数为的图象交于，两点． (1)求这两个函数的表达式； (2)根据图象，直接写出满足时x的取值范围； (3)点P在线段上，过点P作x轴的垂线，垂足为M，交函数的图象于点Q，若的面积为3，求点P的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】（1）根据点，先确定反比例函数解析式，再根据反比例函数解析式确定点，最后代入确定一次函数的解析式，计算即可． （2）根据图象交点坐标为，，结合，利用交点的横坐标，直接写出解集即可． （3）根据题意，设，则，，计算，根据的面积为3，得到，求点P的坐标即可． 【详解】（1）解：将点代入反比例函数， 得， ∴， ∵在的图象上， ∴， ∴， ∵直线的函数解析式为：， 根据题意，可得， 解得， ∴直线解析式为． （2）解：根据（1）得图象交点坐标为，， ∵， ∴， 根据图象，得． （3）解：根据题意，设，则，， ∴， ∵的面积为3， ∴， 解得， 故点P的坐标为或． 【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，图象交点的意义，根据图象求不等式的解集，用点的坐标计算三角形的面积，掌握一次函数、反比例函数和常函数解析式，坐标表示线段是解题的关键． 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$