第03讲 向量的数乘（思维导图+2知识点+7考点+过关检测）-【寒假自学课】2025年高一数学寒假提升精品讲义（苏教版2019）

第03讲 向量的数乘 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．了解向量数乘的概念并理解其几何意义； 2．理解并掌握向量数乘的运算律，会运用向量数乘的运算律进行向量运算； 3．理解并掌握向量共线定理及其判定方法 知识点1 向量的数乘运算 1、向量的数乘定义：一般地，实数λ与向量a的积是一个向量，记作：λa，它的长度与方向规定如下： （1）|λa|＝|λ||a|； （2）当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同； （3）当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反． 2、向量数乘的几何意义 当时，把向量沿的相同方向放大或缩小； 当时，把向量沿的相反方向放大或缩小． 3、向量的数乘的运算律：设λ，μ为任意实数，则有： ①λ(μ a)＝(λμ)a； ②(λ＋μ)a＝λa＋μ a； ③λ(a＋b)＝λa＋λb； 特别地，有(－λ)a＝λ(－a)＝－(λa)； λ(a－b)＝λa－λb． 4、向量的线性运算 向量的加法、减法和数乘统称为向量的线性运算，向量线性运算的结果仍是向量．若一个向量可以用另一些向量的线性运算得到，我们就说这个向量可以用另一些向量线性表示．例如，可称由与线性表示． 对于任意向量，，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a＋μ2b)＝λμ1a±λμ2b． 知识点2 向量共线定理 1、向量共线定理：一般地，对于两个向量，，由如下的向量共线定理： 设为非零向量，如果由一个实数，使，那么与是共线向量；反之，如果与是共线向量，那么有且仅有一个实数，使． 【注意】 （1）两个向量定理中向量均为非零向量，即两定理均不包括与共线的情况； （2）是必要条件，否则，时，虽然与共线但不存在使； （3）有且只有一个实数，使． （4）是判定两个向量共线的重要依据，其本质是位置关系与数量关系的相互转化，体现了数形结合的高度统一． 2、三点共线定理 已知平面内三点，为不同于的任意一点，三点共线当且仅当存在实数使得，且． 3、一个重要结论——中点向量公式 如图，点为线段中点的充要条件是，我们称此结论为中点向量公式． 考点一：向量的线性运算 例1．（23-24高一下·江苏·月考）（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（23-24高一下·上海·月考）已知x、y是实数，向量不共线，若，则 ． 【变式1-2】（23-24高一下·湖北孝感·月考）化简：（1） ； （2） ； （3） ； （4） . 【变式1-3】（23-24高一下·辽宁抚顺·月考）化简下列各式： (1)． (2)； (3)． 考点二：已知向量表示相关向量 例2.（23-24高一下·宁夏银川·月考）设D为所在平面内一点，且满足，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（23-24高一下·山东菏泽·月考）如图，是边的中点，在上，且，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（23-24高一下·浙江·期中）在平行四边形中，，，则用，表示向量和分别是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【变式2-3】（23-24高一下·河北唐山·期末）（多选）已知平行四边形的两条对角线交于点，则（    ） A． B． C． D． 考点三：向量共线的判定与求参 例3.（23-24高一下·江苏镇江·期中）已知向量不共线，，且，则实数（    ） A．1或4 B．1或 C．或1 D．或1 【变式3-1】（23-24高一下·湖南岳阳·月考）已知向量、不共线，且，，若与共线，则实数的值为（    ） A．1 B． C．1或 D．或 【变式3-2】（22-23高一下·山西运城·期中）已知向量，不共线，且向量与方向相同，则实数的值为（    ） A．1 B． C．1或 D．1或 【变式3-3】（23-24高一下·天津·期中）已知向量，不共线，且向量，，若与方向相反，则实数的值为（    ） A．-1 B． C．1或 D．-1或 考点四：三点共线的判定与求参 例4.（23-24高一下·北京顺义·月考）设，，，为平面四个不同点，它们满足，则（    ） A．，，三点共线 B．，，三点共线 C．，，三点共线 D．，，三点共线 【变式4-1】（23-24高一下·广东佛山·月考）已知平面向量，不共线，，，，则（    ） A．三点共线 B．三点共线 C．三点共线 D．三点共线 【变式4-2】（23-24高一下·山东滨州·开学考试）已知和是两个不共线的向量，若，，，且，，三点共线，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】（23-24高一下·辽宁沈阳·月考）已知与为非零向量，，若三点共线，则 . 考点五：三点共线定理的应用 例5.（23-24高一下·广西河池·期中）如图，在中，，P为CD上一点，且满足，则m的值为 ． 【变式5-1】（23-24高一下·江苏南京·期中）在中，点是边上（不包含端点）的动点，若实数，满足，则的最小值为 . 【变式5-2】（23-24高一下·内蒙古·月考）如图，在中，点满足，过点的直线与所在的直线分别交于点，若，则的最小值为 . 【变式5-3】（23-24高一下·山西·月考）如图，在正方形中，,和相交于点G，且F为上一点（不包括端点），若，则的最小值为（    ） A． B． C． D．15 考点六：线性运算求三角形面积比 例6.（23-24高一下·江苏·月考）已知所在平面内一点满足，则 ． 【变式6-1】（23-24高一下·湖南衡阳·月考）已知，点是内一点且，则的面积为 . 【变式6-2】（23-24高一下·山西·期中）在四边形中，，点是四边形所在平面上一点，满足.设分别为四边形与的面积，则 . 【变式6-3】（23-24高一下·云南昭通·期中）已知为内一点，且满足，若的面积与的面积的比值为，则的值为（    ） A． B． C． D．2 考点七：三角形的“四心”问题 例7.（23-24高一下·广东深圳·期中）设为的外心，若，则点是的（    ） A．重心 B．内心 C．垂心 D．外心 【变式7-1】（23-24高一下·甘肃天水·月考）已知，，，是平面上的4个定点，，，不共线，若点满足，其中，则点的轨迹一定经过的（    ） A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心 【变式7-2】已知A，B，C是平面上不共线的三点，O为坐标原点，动点P满足 ，，则点P的轨迹一定经过（    ） A．的内心 B．的垂心 C．的重心 D．边的中点 【变式7-3】（23-24高一下·山西临汾·月考）已知是所在平面内一定点，动点满足，则动点的轨迹一定过的 .（选填：外心、内心、垂心、重心） 一、单选题 1．（23-24高一下·江苏南京·月考）（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·四川·期末）点满足向量，则点与的位置关系是（    ） A．点为线段的中点 B．点在线段延长线上 C．点在线段的延长线上 D．点不在直线上 3．（23-24高一下·云南丽江·期中）已知，是不共线的向量，且，，，若B，C，D三点共线，则（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一下·广东东莞·月考）设P为内的点，且，则的面积与的面积之比为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一下·安徽合肥·月考）点P是锐角内一点，且存在，使，则下列条件中，不能判断出为等腰三角形的是（    ） A．点是的垂心 B．点是的重心 C．点是的外心 D．点是的内心 6．（23-24高一下·江苏南京·期中）如图，在中，点是边上一点，点是边的中点，与交于点，有下列四个说法： 甲：；乙：； 丙：；丁：； 若其中有且仅有一个说法是错误的，则该错误的说法为（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 二、多选题 7．（23-24高一下·广东东莞·月考）（多选）下列结论中正确的有 （    ） A．对于实数m和向量，，恒有 B．对于实数m，n和向量，恒有 C．对于实数m和向量，，若，则 D．对于实数m，n和向量，若，则 8．（23-24高三上·安徽·月考）已知，若点满足，则下列说法正确的是（    ） A．点一定在内部 B． C． D． 三、填空题 9．（23-24高一下·四川内江·月考）若，是两个不共线的向量，且与共线，则实数的值为 . 10．（23-24高一下·山东·月考）在中，E为的中点，是线段BE上的动点，若，则的最小值为 . 四、解答题 11．（23-24高一下·甘肃白银·月考）设，是两个不共线的向量，，，． (1)求证：三点共线； (2)试确定的值，使与共线． 12．（23-24高一下·广东梅州·期末）欧拉是伟大的数学家，也是最多产的数学家，他在数论、复变函数、变分法、拓扑学、微分方程、力学等等领域都有杰出贡献．1765年，欧拉在他的著作《三角形的几何学》中指出，任意三角形的外心、垂心和重心位于同一直线上（这条直线被称为三角形的欧拉线），此外，外心到重心的距离等于垂心到重心距离的一半．为证明以上结论，我们作以下探究： 如图，点O、G、H分别为△的外心、重心、垂心． (1)求证：； (2)求证：； (3)求证：． 注：①重心：三边中线的交点，重心将中线长度分成2：1； ②垂心：三条高线的交点，高线与对应边垂直； ③外心：三条中垂线的交点（外接圆的圆心），外心到三角形各顶点的距离相等． ( 5 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲 向量的数乘 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．了解向量数乘的概念并理解其几何意义； 2．理解并掌握向量数乘的运算律，会运用向量数乘的运算律进行向量运算； 3．理解并掌握向量共线定理及其判定方法 知识点1 向量的数乘运算 1、向量的数乘定义：一般地，实数λ与向量a的积是一个向量，记作：λa，它的长度与方向规定如下： （1）|λa|＝|λ||a|； （2）当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同； （3）当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反． 2、向量数乘的几何意义 当时，把向量沿的相同方向放大或缩小； 当时，把向量沿的相反方向放大或缩小． 3、向量的数乘的运算律：设λ，μ为任意实数，则有： ①λ(μ a)＝(λμ)a； ②(λ＋μ)a＝λa＋μ a； ③λ(a＋b)＝λa＋λb； 特别地，有(－λ)a＝λ(－a)＝－(λa)； λ(a－b)＝λa－λb． 4、向量的线性运算 向量的加法、减法和数乘统称为向量的线性运算，向量线性运算的结果仍是向量．若一个向量可以用另一些向量的线性运算得到，我们就说这个向量可以用另一些向量线性表示．例如，可称由与线性表示． 对于任意向量，，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a＋μ2b)＝λμ1a±λμ2b． 知识点2 向量共线定理 1、向量共线定理：一般地，对于两个向量，，由如下的向量共线定理： 设为非零向量，如果由一个实数，使，那么与是共线向量；反之，如果与是共线向量，那么有且仅有一个实数，使． 【注意】 （1）两个向量定理中向量均为非零向量，即两定理均不包括与共线的情况； （2）是必要条件，否则，时，虽然与共线但不存在使； （3）有且只有一个实数，使． （4）是判定两个向量共线的重要依据，其本质是位置关系与数量关系的相互转化，体现了数形结合的高度统一． 2、三点共线定理 已知平面内三点，为不同于的任意一点，三点共线当且仅当存在实数使得，且． 3、一个重要结论——中点向量公式 如图，点为线段中点的充要条件是，我们称此结论为中点向量公式． 考点一：向量的线性运算 例1．（23-24高一下·江苏·月考）（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】.故选：A. 【变式1-1】（23-24高一下·上海·月考）已知x、y是实数，向量不共线，若，则 ． 【答案】3 【解析】因为向量不共线，由， 得，即，所以. 故答案为：3 【变式1-2】（23-24高一下·湖北孝感·月考）化简：（1） ； （2） ； （3） ； （4） . 【答案】 【解析】（1） （2）， （3）， （4）. 故答案为：；；；. 【变式1-3】（23-24高一下·辽宁抚顺·月考）化简下列各式： (1)． (2)； (3)． 【答案】(1)；(2)；(3) 【解析】（1）； （2）； （3）. 考点二：已知向量表示相关向量 例2.（23-24高一下·宁夏银川·月考）设D为所在平面内一点，且满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由，则，，三点共线且，如图所示： 所以，即， 所以．故选：C． 【变式2-1】（23-24高一下·山东菏泽·月考）如图，是边的中点，在上，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意有， 所以．故选：A 【变式2-2】（23-24高一下·浙江·期中）在平行四边形中，，，则用，表示向量和分别是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】C 【解析】因为 而，，所以 则故选：C. 【变式2-3】（23-24高一下·河北唐山·期末）（多选）已知平行四边形的两条对角线交于点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【解析】平行四边形的两条对角线交于点，作出图形如下： 由图可得:，故A正确； ，故D正确；故选：AD 考点三：向量共线的判定与求参 例3.（23-24高一下·江苏镇江·期中）已知向量不共线，，且，则实数（    ） A．1或4 B．1或 C．或1 D．或1 【答案】B 【解析】因为，且， 所以，即， 又向量不共线，得到， 消得到，解得或，故选：B. 【变式3-1】（23-24高一下·湖南岳阳·月考）已知向量、不共线，且，，若与共线，则实数的值为（    ） A．1 B． C．1或 D．或 【答案】C 【解析】因为与共线，则存在，使得， 即，且向量、不共线， 则，整理可得，解得或.故选：C 【变式3-2】（22-23高一下·山西运城·期中）已知向量，不共线，且向量与方向相同，则实数的值为（    ） A．1 B． C．1或 D．1或 【答案】A 【解析】因为向量与方向相同， 所以存在唯一实数，使， 因为向量，不共线， 所以，解得或（舍去），故选：A 【变式3-3】（23-24高一下·天津·期中）已知向量，不共线，且向量，，若与方向相反，则实数的值为（    ） A．-1 B． C．1或 D．-1或 【答案】B 【解析】因为向量，不共线，且向量，，与方向相反， 所以存在实数使， 则，即， 所以，整理得，解得或， 又，所以.故选：B. 考点四：三点共线的判定与求参 例4.（23-24高一下·北京顺义·月考）设，，，为平面四个不同点，它们满足，则（    ） A．，，三点共线 B．，，三点共线 C．，，三点共线 D．，，三点共线 【答案】A 【解析】因为， 所以，即， 所以，所以，所以，，三点共线.故选：A 【变式4-1】（23-24高一下·广东佛山·月考）已知平面向量，不共线，，，，则（    ） A．三点共线 B．三点共线 C．三点共线 D．三点共线 【答案】D 【解析】对于A，，与不共线，A不正确； 对于B，，，则与不共线，B不正确； 对于C，，，则与不共线，C不正确； 对于D，， 即，又线段AC与CD有公共点C，所以三点共线，D正确．故选：D． 【变式4-2】（23-24高一下·山东滨州·开学考试）已知和是两个不共线的向量，若，，，且，，三点共线，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为， 且，，三点共线， 所以存在实数，使得，即， 则，解得.故选：B 【变式4-3】（23-24高一下·辽宁沈阳·月考）已知与为非零向量，，若三点共线，则 . 【答案】3 【解析】由题意知，三点共线，故，且共线， 故不妨设，则， 所以，解得， 故答案为：3. 考点五：三点共线定理的应用 例5.（23-24高一下·广西河池·期中）如图，在中，，P为CD上一点，且满足，则m的值为 ． 【答案】 【解析】因为，即， 所以, 又所以，解得. 故答案为：. 【变式5-1】（23-24高一下·江苏南京·期中）在中，点是边上（不包含端点）的动点，若实数，满足，则的最小值为 . 【答案】/ 【解析】因为点是边上（不包含端点），所以， 即,即， 所以,又已知， 所以，，所以， 又由得，； ， 当，时取等号. 故答案为：. 【变式5-2】（23-24高一下·内蒙古·月考）如图，在中，点满足，过点的直线与所在的直线分别交于点，若，则的最小值为 . 【答案】3 【解析】因为，， 所以， 因为三点共线，所以， 所以， 当且仅当即时等号成立. 所以的最小值为3. 故答案为：3. 【变式5-3】（23-24高一下·山西·月考）如图，在正方形中，,和相交于点G，且F为上一点（不包括端点），若，则的最小值为（    ） A． B． C． D．15 【答案】B 【解析】由题可设， 则由题意得， 因为、、三点共线，故， 所以，所以， 又、、三点共线，所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 故的最小值为.故选：B. 考点六：线性运算求三角形面积比 例6.（23-24高一下·江苏·月考）已知所在平面内一点满足，则 ． 【答案】5 【解析】如图，取的中点，则， 故，故、、三点共线， 故， 故答案为：5 【变式6-1】（23-24高一下·湖南衡阳·月考）已知，点是内一点且，则的面积为 . 【答案】 【解析】取的中点， 因为，所以，故， 即，所以点为的中点， 所以 故答案为：. 【变式6-2】（23-24高一下·山西·期中）在四边形中，，点是四边形所在平面上一点，满足.设分别为四边形与的面积，则 . 【答案】 【解析】在四边形中，，则四边形是梯形，且，令，， 记M，N，X，Y分别是AB，CD，BD，AC的中点，显然， 于是点M，X，Y，N顺次共线并且， 显然，，而，则， 因此点P在线段XY上，且，设A到MN的距离为h， 由面积公式可知． 故答案为： 【变式6-3】（23-24高一下·云南昭通·期中）已知为内一点，且满足，若的面积与的面积的比值为，则的值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【解析】由，得， 如图，分别是的中点， 则， 所以在线段上，且， 得，设，则，所以， 因为，，， 所以，则，解得.故选：B 考点七：三角形的“四心”问题 例7.（23-24高一下·广东深圳·期中）设为的外心，若，则点是的（    ） A．重心 B．内心 C．垂心 D．外心 【答案】C 【解析】取BC的中点D，如图所示，连接OD，AM，BM，CM． 因为，所以， 又，则，所以， 又由于为的外心，所以， 因此有．同理可得，， 所以点是的垂心．故选：C． 【变式7-1】（23-24高一下·甘肃天水·月考）已知，，，是平面上的4个定点，，，不共线，若点满足，其中，则点的轨迹一定经过的（    ） A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心 【答案】A 【解析】取线段的中点，则. 动点满足：，， 则，即，所以， 又，所以三点共线，即点的轨迹是直线， 一定通过的重心.故选：A. 【变式7-2】已知A，B，C是平面上不共线的三点，O为坐标原点，动点P满足 ，，则点P的轨迹一定经过（    ） A．的内心 B．的垂心 C．的重心 D．边的中点 【答案】C 【解析】取的中点D，则， ∵， ∴，而， ∴P，C，D三点共线， ∴点P的轨迹一定经过的重心．故选：C. 【变式7-3】（23-24高一下·山西临汾·月考）已知是所在平面内一定点，动点满足，则动点的轨迹一定过的 .（选填：外心、内心、垂心、重心） 【答案】重心 【解析】过作，垂足为，取中点为，连接，如下所示： 则， 则，则， ，又为非负实数， 故共线，也即三点共线， 又为三角形中线，故的轨迹过三角形的重心. 故答案为：重心. 一、单选题 1．（23-24高一下·江苏南京·月考）（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据向量运算公式可知，.故选：D. 2．（23-24高一下·四川·期末）点满足向量，则点与的位置关系是（    ） A．点为线段的中点 B．点在线段延长线上 C．点在线段的延长线上 D．点不在直线上 【答案】C 【解析】因为，即，可得， 所以点在线段的延长线上.故选：C. 3．（23-24高一下·云南丽江·期中）已知，是不共线的向量，且，，，若B，C，D三点共线，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，且B，C，D三点共线，即, 又，所以，解得.故选：C. 4．（23-24高一下·广东东莞·月考）设P为内的点，且，则的面积与的面积之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】如图，分别在线段上取点，使得，， 则，. 由条件有，故， 所以四边形是平行四边形， 从而，即，故. 这意味着， 所以的面积与的面积之比是，选项A正确.故选：A. 5．（23-24高一下·安徽合肥·月考）点P是锐角内一点，且存在，使，则下列条件中，不能判断出为等腰三角形的是（    ） A．点是的垂心 B．点是的重心 C．点是的外心 D．点是的内心 【答案】B 【解析】记的中点为D，则，所以，点P在直线上. A选项：若点是的垂心，则， 所以，所以为等腰三角形，A正确； B选项：若点是的重心，则点在边的中线上，无法推出，B错误； C选项：若点是的外心，则点在边的中垂线上， 所以，所以为等腰三角形，C正确； D选项：若点是的内心，则为的角平分线，所以， 又，即,故，D正确.故选：B 6．（23-24高一下·江苏南京·期中）如图，在中，点是边上一点，点是边的中点，与交于点，有下列四个说法： 甲：；乙：； 丙：；丁：； 若其中有且仅有一个说法是错误的，则该错误的说法为（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】A 【解析】若，则点是的重心，则有， 所以甲乙中必有一个是错误的，所以丙丁正确， 由丁：知，点不是边的中点，所以甲说法错误.故选：A 二、多选题 7．（23-24高一下·广东东莞·月考）（多选）下列结论中正确的有 （    ） A．对于实数m和向量，，恒有 B．对于实数m，n和向量，恒有 C．对于实数m和向量，，若，则 D．对于实数m，n和向量，若，则 【答案】AB 【解析】由数乘向量运算律，得A，B均正确； 对于C，若m＝0，则，未必一定有，错误； 对于D，若，由，未必一定有，错误． 故选：AB． 8．（23-24高三上·安徽·月考）已知，若点满足，则下列说法正确的是（    ） A．点一定在内部 B． C． D． 【答案】ABC 【解析】由，所以， 设、分别是、的中点，所以， 于是点是中位线上靠近点的三等分点，则点一定在内部，故A正确； 又，所以，则，故B正确； 由A可知，，且， 所以，，即，故C正确； 所以，故D错误；故选：ABC 三、填空题 9．（23-24高一下·四川内江·月考）若，是两个不共线的向量，且与共线，则实数的值为 . 【答案】 【解析】因为与共线，所以存在实数，使， 因为，是两个不共线的向量， 所以，所以，解得或，所以 故答案为： 10．（23-24高一下·山东·月考）在中，E为的中点，是线段BE上的动点，若，则的最小值为 . 【答案】9 【解析】如图， 因为，E为边的中点，所以， 因为、、三点共线，所以， 则， 当且仅当、时取等号，故的最小值为. 故答案为：. 四、解答题 11．（23-24高一下·甘肃白银·月考）设，是两个不共线的向量，，，． (1)求证：三点共线； (2)试确定的值，使与共线． 【答案】(1)证明见解析；(2). 【解析】（1）由题意， 且，所以, 所以和共线，故三点共线. （2）因为与共线， 所以存在实数，使得， 又因为不共线， 所以，解得或. 所以. 12．（23-24高一下·广东梅州·期末）欧拉是伟大的数学家，也是最多产的数学家，他在数论、复变函数、变分法、拓扑学、微分方程、力学等等领域都有杰出贡献．1765年，欧拉在他的著作《三角形的几何学》中指出，任意三角形的外心、垂心和重心位于同一直线上（这条直线被称为三角形的欧拉线），此外，外心到重心的距离等于垂心到重心距离的一半．为证明以上结论，我们作以下探究： 如图，点O、G、H分别为△的外心、重心、垂心． (1)求证：； (2)求证：； (3)求证：． 注：①重心：三边中线的交点，重心将中线长度分成2：1； ②垂心：三条高线的交点，高线与对应边垂直； ③外心：三条中垂线的交点（外接圆的圆心），外心到三角形各顶点的距离相等． 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)证明见解析 【解析】（1）为△的重心，连接并延长交于， 则为中点，且. 在△中，为中点，， 得证. （2）在△中，为中点， . 为△的重心，， 则在△中，有， 得证. （3）连结并延长和，取、的中点、， 连结和，因为点为的外心，所以有， 因为点为的垂心，所以有， 所以 而又，，， 从而， 而， 同理，， 因为， 所以 所以. 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