第02讲 向量的加减法（思维导图+2知识点+6考点+过关检测）-【寒假自学课】2025年高一数学寒假提升精品讲义（苏教版2019）

第02讲 向量的加减法 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．借助实例和平面向量的几何表示，理解向量加法的含义，会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则． 2．掌握向量加法的交换律和结合律，并用它们进行向量运算． 3．理解平面向量减法的几何意义，掌握向量减法的三角形法则，利用相反向量的概念，理解减法运算是加法运算的逆运算． 知识点1 向量的加法运算 1、向量加法的定义：求两个向量和的运算叫做向量的加法． 2、向量加法的两个重要法则 （1）三角形法则：已知非零向量a，b，在平面内任取一点A，作＝a，＝b，再作向量，向量叫做a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝＋＝． （2）平行四边形法则：已知不共线的两个向量a，b，在平面内任取一点O，以同一点O为起点的两个已知向量a，b为邻边作▱OACB，对角线就是a与b的和． 【规定】零向量与任一向量a的和都有a＋00＋a＝. 【注意】（1）在使用向量加法的三角形法则时，要注意“首尾相接”，即第一个向量的终点与第二个向量的起点重合，则以第一个向量的起点为起点，并以第二个向量的终点为终点的向量即两向量的和； （2）平行四边形法则的应用前提是“共起点”，即两个向量是从同一点出发的不共线向量． 3、向量加法的运算律 （1）结合律：a＋b＝b＋a （2）交换律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 知识点2 向量的减法运算 1、向量减法的定义：若，则向量叫作与的差，记作．求两个向量差的运算叫做向量的减法． 2、向量减法的三角形法则：已知向量,，在平面内任取一点，作，，因为，即，所以．如图所示，即可表示从向量b的终点指向向量a的终点的向量． 【注意】在用三角形法则作向量减法时，只要记住“共起点，连终点，指向被减”即可． 考点一：向量的加减法运算化简 例1．（23-24高一下·江苏镇江·期中）化简（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】.故选：D 【变式1-1】（24-25高二上·湖南岳阳·月考）下列表达式化简结果与相等的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对于A，，不满足题意，故A错误； 对于B，，满足题意，故B正确； 对于C，，不满足题意，故C错误； 对于D，结果与的具体关系不确定，故D错误.故选：B. 【变式1-2】（23-24高一下·四川成都·月考）下列各式中不能化简为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】A：，不符合题意； B：因为，， 若，即，可得， 即点与点重合，显然这不一定成立， 所以与不一定相等，符合题意； C：，不符合题意； D：，不符合题意；故选：B 【变式1-3】（23-24高一下·河南三门峡·期末）现有以下向量运算式（1）；（2）；（3）；（4）；（5）．其中化简结果为的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】，（1）是； ，（2）不是； ，（3）是； ，（4）不是； ，（5）是， 所以化简结果为的个数为3.故选：C 考点二：已知向量表示其他向量 例2.（23-24高一下·山东菏泽·月考）如图，已知平行四边形ABCD的对角线AC和BD相交于O，且 ， ，则可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】在平行四边形ABCD中，依题意，，而， 所以.故选：D 【变式2-1】（23-24高一下·江苏无锡·期中）如图，向量，，，则向量可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题图可知，.故选：C. 【变式2-2】（23-24高一下·贵州遵义·期末）如图，向量，，，则向量可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】.故选：A. 【变式2-3】（23-24高一下·江苏常州·月考）是平行四边形外一点，用、、表示，正确的表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设，则为、的中点，如下图所示： 所以，， 同理可得，所以，， 因此，.故选：C. 考点三：利用向量加减法证明等式 例3.（23-24高一下·浙江·期中）如图所示，D，E为边BC上的三等分点，且则下列各式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】D，E为边上的三等分点，所以， 所以D选项正确； 若，则不成立，C选项错误； 方向不同不能相等，A选项错误； 方向相反不能相等，B选项错误.故选：D. 【变式3-1】已知平行四边形ABCD的两条对角线AC与BD交于点E，O是任意一点，求证：． 【答案】证明见解析 【解析】因为 ， 又因为为平行四边形，则为的中点，可得， 所以， 即. 【变式3-2】（23-24高一下·湖南邵阳·月考）如图所示，P，Q是的边BC上两点，且.求证：. 【答案】证明见解析 【解析】因为，， 所以. 又因为，所以. 【变式3-3】如图所示，点分别为的三边的中点. 求证： (1)； (2). 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析 【解析】（1）证明：由向量加法的三角形法则， 因为，所以. （2）证明：由向量加法的平行四边形法则， 因为， 所以 . 考点四：向量加减法的几何应用 例4.在四边形中，，则一定有（    ） A．四边形是矩形 B．四边形是菱形 C．四边形是梯形 D．四边形是平行四边形 【答案】D 【解析】因为，所以，即且， 所以四边形的一组对边平行且相等，所以四边形是平行四边形，故选：D． 【变式4-1】（23-24高一下·浙江·月考）在四边形ABCD中，O为任意一点，若，则（    ） A．四边形ABCD是矩形 B．四边形ABCD是菱形 C．四边形ABCD是正方形 D．四边形ABCD是平行四边形 【答案】D 【解析】因为，则，即， 可知两边平行且相等，所以四边形ABCD是平行四边形， 但没有足够条件判断ABCD是否为矩形、菱形或正方形，故ABC错误，D正确.故选：D. 【变式4-2】（23-24高一下·北京东城·月考）在中，，则是（    ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】A 【解析】，，则， 是等边三角形.故选：A 【变式4-3】（23-24高一下·辽宁辽阳·月考）在平行四边形中，，且，则平行四边形的面积为 ． 【答案】 【解析】在平行四边形中，，， 因为，即，所以四边形为矩形， 又，所以四边形为正方形，所以四边形的面积为. 故答案为： 考点五：向量加减法的实际应用 例5.（23-24高一下·陕西咸阳·月考）设表示“向东走”，表示“向南走”，则所表示的意义为（    ） A．向东南走 B．向东南走 C．向西南走 D．向西南走 【答案】C 【解析】如图，分别作出， 则利用向量加法的交换律可得，故. 易知为等腰直角三角形，故,且, 于是所表示的意义为向西南走.故选：C. 【变式5-1】某人在无风条件下骑自行车的速度为，风速为，则逆风行驶的速度大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】选项A，B表示的是向量（速度），选项C，D表示的是向量模的运算（速度的大小）. 表示的是某人骑自行车时顺风行驶的速度大小， 表示的是某人骑自行车时逆风行驶的速度大小.故选：D. 【变式5-2】（22-23高一下·江苏常州·月考）某人在静水中游泳的速度为，河水自西向东的流速为，此人朝正南方向游去，那么他的实际前进方向与水流方向的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如图，表示河水自西向东的流速，表示某人在静水中游泳的速度， 则即表示他的实际前进方向， 由题意可知，， 则在中，，故， 即他的实际前进方向与水流方向的夹角为，故选：B 【变式5-3】（23-24高一下·山东滨州·月考）一条河宽为800 m，一船从A处出发垂直到达河正对岸的B处，船速为20 km/h，水速为12 km/h，则船到达B处所需时间为多少小时（h） 【答案】船到达B处所需时间为小时 【解析】依题意知，如图所示 实际船水， |实际|. 所需时间. 船到达B处所需时间为小时. 考点六：向量和与差的模问题 例6.（23-24高一下·湖南衡阳·期末）在矩形中，若，且，则（    ） A．3 B．1 C．2 D．4 【答案】D 【解析】由于四边形为矩形，所以 故，故选：D 【变式6-1】（23-24高一下·甘肃定西·月考）在正六边形中，若，则（    ） A． B．2 C． D．4 【答案】A 【解析】设正六边形的中心为， 所以，又因为，， 所以.故选：A 【变式6-2】（23-24高一上·辽宁朝阳·期末）已知向量满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】向量满足，则，当且仅当同向时取等号； ，当且仅当反向时取等号， 所以的取值范围是.故选：B 【变式6-3】若，，则的取值范围是 . 【答案】 【解析】由题意知，，且， 当，同向时，取得最小值，； 当，反向时，取得最大值，； 当，不共线时，， 故的取值范围是. 故答案为：. 一、单选题 1．（23-24高一下·天津南开·月考）化简等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】，故选：D． 2．（23-24高一下·湖北咸宁·月考）如图，在平行四边形中，下列计算不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据向量加法的平行四边形法则知，故A正确； 根据向量减法的三角形法则知，故B正确； ，故C错误； ，故D正确．故选：C． 3．（23-24高一下·广东佛山·期中）在矩形ABCD中，，，则（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】C 【解析】由平面向量加法的平行四边形法则可知， 所以.故选：C 4．（23-24高一下·江苏扬州·月考）在四边形ABCD中，若，则四边形ABCD是（    ） A．菱形 B．矩形 C．正方形 D．不确定 【答案】B 【解析】因为，所以四边形ABCD是平行四边形， 又因为，即， 所以平行四边形ABCD是矩形.故选：B. 5．（23-24高一下·云南·月考）设表示“向东走”，表示“向南走”，则所表示的意义为（    ） A．向东南走 B．向西南走 C．向东南走 D．向西南走 【答案】A 【解析】表示“向东走8km”，表示“向南走4km”，即表示向南走8km， 根据向量加法的平行四边形法则可知，表示向东南走km.故选：A． 6．（23-24高一下·广东东莞·月考）已知向量满足，，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为， 可知，当且仅当反向时，等号成立； ，当且仅当同向时，等号成立； 所以的取值范围为.故选：D. 二、多选题 7．（23-24高一下·福建龙岩·月考）化简以下各式，结果为的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ABCD 【解析】对于A，，符合题意； 对于B，，符合题意； 对于C，，符合题意； 对于D，，符合题意．故选：ABCD． 8．（23-24高一下·四川成都·月考）对于菱形ABCD，下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【解析】对于选项AB：菱形中向量与的方向是不同的，但它们的模是相等的， 所以B结论正确，A结论错误； 对于选项C：因为，， 所以，即C结论错误； 对于选项D：因为， ，所以D结论正确.故选：BD. 三、填空题 9．（23-24高一下·江苏无锡·月考）如图，在菱形ABCD中，，，则 ． 【答案】 【解析】如图所示，设菱形对角线交点为O,． 因为，所以，所以为等边三角形． 又，，所以． 在中，， 所以． 故答案为: 10．（23-24高一下·西藏山南·期末）若满足，则的最大值为 ．最小值为 ． 【答案】5；1 【解析】由向量加减法的几何意义可知， 由，得， 当方向相同时，， 当方向相反时，， 即的最大值为．最小值为. 故答案为：；. 四、解答题 11．（22-23高一下·江苏淮安·月考）如图，已知向量 (1)用表示； (2)用表示； (3)用表示； (4)用表示； (5)用表示 【答案】(1)；(2)；(3)；(4)；(5) 【解析】（1）. （2）. （3） （4）. （5） 12．（22-23高一下·河南南阳·月考）如图，按下列要求作答． (1)以A为始点，作出； (2)以B为始点，作出； (3)若为单位向量，求、和． 【答案】(1)作图见解析；(2)作图见解析；(3)，， 【解析】（1）将的起点同时平移到A点，利用平行四边形法则作出，如下图所示： （2）先将共线向量的起点同时平移到B点,计算出,再将向量与之首尾相接， 利用三角形法则即可作出，如下图所示： （3）由是单位向量可知，根据作出的向量利用勾股定理可知， ； 由共线向量的加法运算可知； 利用图示的向量和勾股定理可知，. ( 5 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲 向量的加减法 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．借助实例和平面向量的几何表示，理解向量加法的含义，会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则． 2．掌握向量加法的交换律和结合律，并用它们进行向量运算． 3．理解平面向量减法的几何意义，掌握向量减法的三角形法则，利用相反向量的概念，理解减法运算是加法运算的逆运算． 知识点1 向量的加法运算 1、向量加法的定义：求两个向量和的运算叫做向量的加法． 2、向量加法的两个重要法则 （1）三角形法则：已知非零向量a，b，在平面内任取一点A，作＝a，＝b，再作向量，向量叫做a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝＋＝． （2）平行四边形法则：已知不共线的两个向量a，b，在平面内任取一点O，以同一点O为起点的两个已知向量a，b为邻边作▱OACB，对角线就是a与b的和． 【规定】零向量与任一向量a的和都有a＋00＋a＝. 【注意】（1）在使用向量加法的三角形法则时，要注意“首尾相接”，即第一个向量的终点与第二个向量的起点重合，则以第一个向量的起点为起点，并以第二个向量的终点为终点的向量即两向量的和； （2）平行四边形法则的应用前提是“共起点”，即两个向量是从同一点出发的不共线向量． 3、向量加法的运算律 （1）结合律：a＋b＝b＋a （2）交换律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 知识点2 向量的减法运算 1、向量减法的定义：若，则向量叫作与的差，记作．求两个向量差的运算叫做向量的减法． 2、向量减法的三角形法则：已知向量,，在平面内任取一点，作，，因为，即，所以．如图所示，即可表示从向量b的终点指向向量a的终点的向量． 【注意】在用三角形法则作向量减法时，只要记住“共起点，连终点，指向被减”即可． 考点一：向量的加减法运算化简 例1．（23-24高一下·江苏镇江·期中）化简（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（24-25高二上·湖南岳阳·月考）下列表达式化简结果与相等的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（23-24高一下·四川成都·月考）下列各式中不能化简为的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（23-24高一下·河南三门峡·期末）现有以下向量运算式（1）；（2）；（3）；（4）；（5）．其中化简结果为的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 考点二：已知向量表示其他向量 例2.（23-24高一下·山东菏泽·月考）如图，已知平行四边形ABCD的对角线AC和BD相交于O，且 ， ，则可以表示为（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（23-24高一下·江苏无锡·期中）如图，向量，，，则向量可以表示为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（23-24高一下·贵州遵义·期末）如图，向量，，，则向量可以表示为（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（23-24高一下·江苏常州·月考）是平行四边形外一点，用、、表示，正确的表示为（    ） A． B． C． D． 考点三：利用向量加减法证明等式 例3.（23-24高一下·浙江·期中）如图所示，D，E为边BC上的三等分点，且则下列各式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】已知平行四边形ABCD的两条对角线AC与BD交于点E，O是任意一点，求证：． 【变式3-2】（23-24高一下·湖南邵阳·月考）如图所示，P，Q是的边BC上两点，且.求证：. 【变式3-3】如图所示，点分别为的三边的中点. 求证： (1)； (2). 考点四：向量加减法的几何应用 例4.在四边形中，，则一定有（    ） A．四边形是矩形 B．四边形是菱形 C．四边形是梯形 D．四边形是平行四边形 【变式4-1】（23-24高一下·浙江·月考）在四边形ABCD中，O为任意一点，若，则（    ） A．四边形ABCD是矩形 B．四边形ABCD是菱形 C．四边形ABCD是正方形 D．四边形ABCD是平行四边形 【变式4-2】（23-24高一下·北京东城·月考）在中，，则是（    ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 【变式4-3】（23-24高一下·辽宁辽阳·月考）在平行四边形中，，且，则平行四边形的面积为 ． 考点五：向量加减法的实际应用 例5.（23-24高一下·陕西咸阳·月考）设表示“向东走”，表示“向南走”，则所表示的意义为（    ） A．向东南走 B．向东南走 C．向西南走 D．向西南走 【变式5-1】某人在无风条件下骑自行车的速度为，风速为，则逆风行驶的速度大小为（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（22-23高一下·江苏常州·月考）某人在静水中游泳的速度为，河水自西向东的流速为，此人朝正南方向游去，那么他的实际前进方向与水流方向的夹角为（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】（23-24高一下·山东滨州·月考）一条河宽为800 m，一船从A处出发垂直到达河正对岸的B处，船速为20 km/h，水速为12 km/h，则船到达B处所需时间为多少小时（h） 考点六：向量和与差的模问题 例6.（23-24高一下·湖南衡阳·期末）在矩形中，若，且，则（    ） A．3 B．1 C．2 D．4 【变式6-1】（23-24高一下·甘肃定西·月考）在正六边形中，若，则（    ） A． B．2 C． D．4 【变式6-2】（23-24高一上·辽宁朝阳·期末）已知向量满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】若，，则的取值范围是 . 一、单选题 1．（23-24高一下·天津南开·月考）化简等于（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·湖北咸宁·月考）如图，在平行四边形中，下列计算不正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·广东佛山·期中）在矩形ABCD中，，，则（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 4．（23-24高一下·江苏扬州·月考）在四边形ABCD中，若，则四边形ABCD是（    ） A．菱形 B．矩形 C．正方形 D．不确定 5．（23-24高一下·云南·月考）设表示“向东走”，表示“向南走”，则所表示的意义为（    ） A．向东南走 B．向西南走 C．向东南走 D．向西南走 6．（23-24高一下·广东东莞·月考）已知向量满足，，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 7．（23-24高一下·福建龙岩·月考）化简以下各式，结果为的有（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高一下·四川成都·月考）对于菱形ABCD，下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 9．（23-24高一下·江苏无锡·月考）如图，在菱形ABCD中，，，则 ． 10．（23-24高一下·西藏山南·期末）若满足，则的最大值为 ．最小值为 ． 四、解答题 11．（22-23高一下·江苏淮安·月考）如图，已知向量 (1)用表示； (2)用表示； (3)用表示； (4)用表示； (5)用表示 12．（22-23高一下·河南南阳·月考）如图，按下列要求作答． (1)以A为始点，作出； (2)以B为始点，作出； (3)若为单位向量，求、和． ( 5 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$