第05讲 向量的基本定理（思维导图+3知识点+4考点+过关检测）-【寒假自学课】2025年高一数学寒假提升精品讲义（苏教版2019）

第05讲 向量的基本定理 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．了解平面向量基本定理及其意义； 2．理解基底的概念和作用，会用基底表示平面内任意向量； 3．能运用平面向量基本定理解决一些平面几何的证明问题 知识点1 平面向量基本定理 1、平面向量基本定理 如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，使．我们把两个不共线的向量叫作表示这个平面的一组基底． 2、对平面向量基本定理的理解 （1）基底不唯一，只要是同一平面内的两个不共线向量都可以作为基底．同一非零向量在不同基底下的分解式是不同的． （2）基底给定时，分解形式唯一．是被唯一确定的数值． （3）是同一平面内所有向量的一组基底，则当与共线时，；当与共线时，；当时，． （4）由于零向量与任何向量都是共线的，因此零向量不能作为基底中的向量． 知识点2 平面向量基本定理的应用 1、唯一性的应用 设，是同一平面内的两个不共线向量，若，则 2、重要结论 设是平面内一个基底，若， ①当时，与共线；②当时，与共线；③当时，； 知识点3 平面向量的正交分解 由平面基本定理知，平面内任意向量可以用一组基底表示成的形式，我们称为向量的分解。当所在直线互相垂直时，这种分解也称为向量的正交分解． 考点一：平面向量基本定理辨析 例1．（2024高一下·全国·专题练习）下列关于基底的说法正确的序号是（    ） ①平面内不共线的任意两个向量都可作为一组基底； ②基底中的向量可以是零向量； ③平面内的基底一旦确定，该平面内的向量关于基底的线性分解形式也是唯一确定的． A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【变式1-1】（多选）下列选项中，正确的是（    ） A．基中的向量可以有零向量 B．一个平面内只有一组不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基 C．一个平面内有无数组不共线向量可作为表示该平面内所有向量的基 D．平面内的基一旦确定，该平面内的向量关于基的线性分解形式也是唯一确定的 【变式1-2】（23-24高一下·陕西咸阳·月考）如果是平面内所有向量的一个基底，那么下列说法正确的是（    ） A．若存在实数使成立，则 B．平面内任意向量都可以表示为，其中 C．不一定在平面内 D．对于平面内任意向量，使的实数有无数对 【变式1-3】（23-24高一下·浙江·期中）（多选）若是平面内两个不共线的向量，则下列选项中正确的是（    ） A．平面内存在向量不能表示为“”的形式 B．对于平面内的任意向量，有且仅有一个实数对，使得使 C．若共线的非零向量满足，则存在实数，使得 D．若实数满足，则 考点二：判断两个向量是否可作基底 例2.（23-24高一下·广东高州·期中）如果表示平面内所有向量的一个基底，那么下列四组向量，不能作为一个基底的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（23-24高一下·山东菏泽·月考）已知，是不共线的非零向量，则以下向量可以作为基底的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式2-2】（23-24高一下·四川内江·月考）（多选）已知、是平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中，能作为基底的一组是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【变式2-3】（23-24高一下·广东河源·月考）（多选）已知向量，不共线，则下列能作为平面向量的一个基底的有（    ） A． B． C． D． 考点三：利用基底表示向量 例3.（23-24高一下·广东湛江·月考）已知是的中线，，以为基底表示，则（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（23-24高一下·河南驻马店·月考）在平行四边形中，为的中点，设，，则（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（23-24高一下·广东广州·期中）在平行四边形中，为的中点，，与交于点，若，，则（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】（23-24高一下·广东东莞·月考）我国古代人民早在几千年以前就已经发现并应用勾股定理了，勾股定理最早的证明是东汉数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的，被后人称为“赵爽弦图”．“赵爽弦图”是数形结合思想的体现，还被用做第24届国际数学家大会的会徽．如图，大正方形是由4个全等的直角三角形和中间的小正方形组成的，若，，，则（    ） A． B． C． D． 考点四：平面向量基本定理逆向求参 例4.（23-24高一下·江苏徐州·月考）已知非零向量,不共线,且,若,则x,y满足的关系是 . 【变式4-1】（23-24高一下·山西忻州·月考）在正方形中，点E满足，点F满足，若，则（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（23-24高一下·广东·期末）如图，点是的重心，点是边上一点，且，，则（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】（23-24高一下·江苏无锡·月考）在平行四边形中，是对角线上靠近点的三等分点，点在上，若，则（    ） A． B． C． D． 一、单选题 1．（23-24高一下·浙江宁波·期中）设是平面内的一个基底，则下面的四组向量不能构成基底的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 2．（23-24高一下·广西柳州·开学考试）如图，在中，点D是BC边的中点，，则用向量，表示为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·陕西咸阳·月考）如图所示，为线段外一点，若中任意相邻两点间的距离相等，，则用表示，其结果为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一下·福建厦门·月考）在中，在边上，且是边上任意一点，与交于点，若，则（    ） A． B． C．3 D．-3 5．（24-25高一上·河北保定·开学考试）已知，，为线段上距较近的一个三等分点，为线段上距较近的一个三等分点，则在基下的坐标为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高一下·四川成都·期末）如图，在菱形中，，且，，若，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 7．（22-23高一下·河北邯郸·月考）设是平面内一组基底，若，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高一下·江苏盐城·月考）下列说法中正确的是（    ） A．平面向量的一个基底中，一定都是非零向量 B．在平面向量基本定理中，若，则 C．表示同一平面内所有向量的基底是唯一的 D．若单位向量的夹角为，则在上的投影向量是 三、填空题 9．（23-24高一下·上海金山·月考）在平行四边形中，为边上靠近点的三等分点，，则的值为 . 10．（23-24高一下·山西运城·月考）已知，不共线，，，要使，是一组基底，则实数的取值范围是 . 四、解答题 11．（23-24高一下·江苏·月考）如图，在中，是的中点，． (1)若，，求； (2)若，求的值； (3)过点作直线分别于边、交于、两点（点、与点、不重合），设，，求的最小值． 12．（23-24高一下·天津·月考）如图，在矩形ABCD中，已知，，M是线段CE上的一动点； (1)当M是线段CE的中点时， ①若，求的值； ②过点E作直线l垂直于AB，在l上任取一点F，证明为常数，并求该常数； (2)当时，求的最小值. 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C．一个平面内有无数组不共线向量可作为表示该平面内所有向量的基 D．平面内的基一旦确定，该平面内的向量关于基的线性分解形式也是唯一确定的 【答案】CD 【解析】A．基中的向量是非零向量，错误，不符合题意； B．一个平面内只要有一组不共线的向量就可作为表示该平面内所有向量的基，有无数组， 选项错误，不符合题意； C．一个平面内有无数组不共线向量可作为表示该平面内所有向量的基，正确，符合题意； D．平面内的基一旦确定，该平面内的向量关于基的线性分解形式也是唯一确定的， 正确，符合题意；故选：CD． 【变式1-2】（23-24高一下·陕西咸阳·月考）如果是平面内所有向量的一个基底，那么下列说法正确的是（    ） A．若存在实数使成立，则 B．平面内任意向量都可以表示为，其中 C．不一定在平面内 D．对于平面内任意向量，使的实数有无数对 【答案】B 【解析】对于A，因为是平面内所有向量的一个基底，所以，不共线. 根据向量共线的充要条件可得：若存在实数使成立，则，故A错误； 对于B，根据平面向量基本定理可判断B正确； 对于C，根据平面向量基本定理可得：一定在平面内，故C错误； 对于D，根据平面向量基本定理可得：对于平面内任意向量， 使的实数有且只有一对，故D错误；故选：B. 【变式1-3】（23-24高一下·浙江·期中）（多选）若是平面内两个不共线的向量，则下列选项中正确的是（    ） A．平面内存在向量不能表示为“”的形式 B．对于平面内的任意向量，有且仅有一个实数对，使得使 C．若共线的非零向量满足，则存在实数，使得 D．若实数满足，则 【答案】BCD 【解析】对于A：由平面向量基本定理，如果是平面内两个不共线的向量， 那么这一平面内任一向量，有且只有一对实数，使得， 可知平面内不存在向量不能表示为“”的形式，故A错误； 对于B：由平面向量基本定理可知，平面内的基底确定， 则该平面内的任一个向量在此基底下的实数对是唯一确定的，故B正确； 对于C：若非零向量共线，所以存在唯一实数，使得， 即存在，使得， 根据向量相等的条件，可得，故C正确； 对于D：若实数存在不为零的实数，假设， 由，可得，可得，则可得与共线， 与已知矛盾，故，同理可得，故D正确.故选：BCD. 考点二：判断两个向量是否可作基底 例2.（23-24高一下·广东高州·期中）如果表示平面内所有向量的一个基底，那么下列四组向量，不能作为一个基底的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据平面基底的定义知，向量为不共线非零向量，即不存在实数，使得， 对于A中，向量和，不存在实数，使得，可以作为一个基底； 对于B中，向量，假设存在实数，使得， 可得，此时方程组无解，所以和可以作为基底； 对于C中，向量和，假设存在实数，使得， 可得解得，所以和不可以作为基底； 对于D中，向量和，假设存在实数，使得， 可得此时方程组无解，所以和可以作为基底.故选：C 【变式2-1】（23-24高一下·山东菏泽·月考）已知，是不共线的非零向量，则以下向量可以作为基底的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【解析】对于A，因为，所以与共线，不能作为基底； 对于B，设，则，解得，所以与共线，不能作为基底； 对于C，设，则，即：，此时无解， 所以与不共线，可以作为基底； 对于D，设，则，即：，解得， 所以与共线，不能作为基底；故选：C. 【变式2-2】（23-24高一下·四川内江·月考）（多选）已知、是平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中，能作为基底的一组是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】ACD 【解析】因为，则和共线，不满足条件； 设，则，无解，故和不共线，能作为基底； 同理可知和不共线，和也不共线，CD选项均能作为基底．故选：ACD． 【变式2-3】（23-24高一下·广东河源·月考）（多选）已知向量，不共线，则下列能作为平面向量的一个基底的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解析】对于A，令，即，所以无解， 故向量与不共线，能作为平面向量的一个基底，A正确； 对于B，因为，即向量与共线， 故不能作为平面向量的一个基底；B错误； 对于C，令，即，所以无解， 故向量与不共线，能作为平面向量的一个基底，C正确； 对于D，令，即，所以无解， 故向量与不共线，能作为平面向量的一个基底，D正确故选：ACD. 考点三：利用基底表示向量 例3.（23-24高一下·广东湛江·月考）已知是的中线，，以为基底表示，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为是的中线，所以， ．故选：B. 【变式3-1】（23-24高一下·河南驻马店·月考）在平行四边形中，为的中点，设，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】如图： 因为， .故选：A 【变式3-2】（23-24高一下·广东广州·期中）在平行四边形中，为的中点，，与交于点，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为在上，为的中点， 设， 因为，，三点共线， 所以， 因为、不共线， 所以，解得， 所以．故选：B． 【变式3-3】（23-24高一下·广东东莞·月考）我国古代人民早在几千年以前就已经发现并应用勾股定理了，勾股定理最早的证明是东汉数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的，被后人称为“赵爽弦图”．“赵爽弦图”是数形结合思想的体现，还被用做第24届国际数学家大会的会徽．如图，大正方形是由4个全等的直角三角形和中间的小正方形组成的，若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如图所示，过点分别作，，垂足分别为，，可知为矩形， 不妨设， 由题意可知：， 在中，可得， 则， 可得，即， 所以.故选：B. 考点四：平面向量基本定理逆向求参 例4.（23-24高一下·江苏徐州·月考）已知非零向量,不共线,且,若,则x,y满足的关系是 . 【答案】 【解析】,即，展开,合并， 即,， 对照知,, 两式相加,得. 【变式4-1】（23-24高一下·山西忻州·月考）在正方形中，点E满足，点F满足，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】在正方形中，， 由，得，又， 因此 ， 而，且不共线，于是.故选：D 【变式4-2】（23-24高一下·广东·期末）如图，点是的重心，点是边上一点，且，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图所示，延长交于， 由已知为的重心，则点为的中点，可得，且， 又由，可得是的四等分点， 则， 因为，所以，，所以．故选：C. 【变式4-3】（23-24高一下·江苏无锡·月考）在平行四边形中，是对角线上靠近点的三等分点，点在上，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题可知，点在上， ， 又， ，解得.故选：C． 一、单选题 1．（23-24高一下·浙江宁波·期中）设是平面内的一个基底，则下面的四组向量不能构成基底的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【解析】由于是平面内的一个基底，故不共线， 和不共线，故A能构成基底， 和共线，故B不能构成基底， 和不共线，故C能构成基底， 根据向量的加减法法则可知和不共线，故D能构成基底，故选：B 2．（23-24高一下·广西柳州·开学考试）如图，在中，点D是BC边的中点，，则用向量，表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】，故， 则.故选：A 3．（23-24高一下·陕西咸阳·月考）如图所示，为线段外一点，若中任意相邻两点间的距离相等，，则用表示，其结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设的中点为A， 则， 所以.故选：D 4．（23-24高一下·福建厦门·月考）在中，在边上，且是边上任意一点，与交于点，若，则（    ） A． B． C．3 D．-3 【答案】C 【解析】三点共线，设， 则， 又，所以，即.故选：C. 5．（24-25高一上·河北保定·开学考试）已知，，为线段上距较近的一个三等分点，为线段上距较近的一个三等分点，则在基下的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】， 而，所以， 所以， 所以在基下的坐标为.故选：A. 6．（23-24高一下·四川成都·期末）如图，在菱形中，，且，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意，以向量作为基底， 因为，且, 则, 所以， , 所以, 又因为, 所以，解得，所以.故选：B. 二、多选题 7．（22-23高一下·河北邯郸·月考）设是平面内一组基底，若，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【解析】由，是平面内一组基底，且，得， 则，，，，ABC正确，D不正确.故选：ABC 8．（23-24高一下·江苏盐城·月考）下列说法中正确的是（    ） A．平面向量的一个基底中，一定都是非零向量 B．在平面向量基本定理中，若，则 C．表示同一平面内所有向量的基底是唯一的 D．若单位向量的夹角为，则在上的投影向量是 【答案】ABD 【解析】对于A，根据平面向量基底定义可知，不共线，所以一定都是非零向量，A正确； 对于B，若，且在平面向量基本定理中不共线，所以，B正确； 对于C，只要是平面内不共线的两个向量都可作为基底，C错误； 对于D，因为，所以在上的投影向量为，D正确.故选：ABD 三、填空题 9．（23-24高一下·上海金山·月考）在平行四边形中，为边上靠近点的三等分点，，则的值为 . 【答案】 【解析】如图，在平行四边形中，为边上靠近点的三等分点，   ，且， 根据平面向量基本定理得，，， 10．（23-24高一下·山西运城·月考）已知，不共线，，，要使，是一组基底，则实数的取值范围是 . 【答案】 【解析】由题意，当时，设， 则有，故可得，解得，； 即当时，， 又因为与是一组基底，所以与不共线，则. 故答案为：. 四、解答题 11．（23-24高一下·江苏·月考）如图，在中，是的中点，． (1)若，，求； (2)若，求的值； (3)过点作直线分别于边、交于、两点（点、与点、不重合），设，，求的最小值． 【答案】(1)；(2)；(3) 【解析】（1）因为为中点，，所以, 所以，所以. （2）因为，所以, 设, 则， 又因为三点共线，所以，即. 所以, 因为,所以，即. （3）由（2）可知，， 因为，所以, 因为三点共线， 所以，，即, 所以 ， 当且仅当时，即取等号， 所以的最小值为. 12．（23-24高一下·天津·月考）如图，在矩形ABCD中，已知，，M是线段CE上的一动点； (1)当M是线段CE的中点时， ①若，求的值； ②过点E作直线l垂直于AB，在l上任取一点F，证明为常数，并求该常数； (2)当时，求的最小值. 【答案】(1)①；②证明见解析，常数为；(2). 【解析】（1）①依题意，， 而不共线，则，所以. ②依题意，， 由，得，由，得，由，得， 因此， 所以为常数，该常数为. （2）依题意，，则 ，解得，则， 设，则， ，当且仅当时取等号， 所以的最小值为. 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