第二章 实数 讲义 2024—2025学年北师大版数学八年级上册

第四章　实数 1　无理数 1.事实上,有理数总可以用　　　　小数或　　　　小数表示.反过来,任何　　　　小数或　　　　小数也都是有理数.  2.　　　　　　　　　小数称为无理数.  3.无理数的几种常见类型 (1)无规律的无限不循环小数; (2)含π的数; (3)有规律的无限不循环小数,如1.101 001 000 1…(相邻两个1之间0的个数逐次加1). 无理数的存在性 [典例1]如图所示,直角三角形两条直角边的长分别为1,3,阴影部分是一个正方形,设正方形的边长为a. (1)图中阴影部分的面积为多少? (2)a是有理数吗?是无理数吗? (3)借助计算器探索a的十分位是几?百分位是几?千分位是几? [变式1]直角三角形中,两直角边长分别是a=4,b=7,斜边长为c. (1)求c2的值. (2)c是整数吗?为什么? (3)c是有理数还是无理数?为什么? 若数a是b的平方,当找不到一个整数或分数的平方为a时,数b为无理数. 无理数的判别 [典例2]下列各数中,哪些是有理数?哪些是无理数? 3.141 592 6,-,3.,0.202 002 000 200 002…(相邻两个2之间0的个数逐次加1),0,,-5.2,-. [变式2]有下列命题:①有理数是有限小数;②有限小数是有理数;③无理数都是无限小数;④无限小数都是无理数.其中正确的是(　　) A.①② B.①③ C.②③ D.③④ [变式3]有下列各数:,0,0.23,,0.303 003 000 3…(相邻两个3之间0的个数逐次加1).其中无理数有(　　) A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 (1)无理数必须满足三个条件:①小数;②无限小数;③不循环,三个条件缺一不可. (2)π是一个特殊的无理数,与π有关的很多数也是无理数,如2π, 2 019+π,等,但是并不是所有含π的数都是无理数,如(π-3)0就是有理数. 无理数的简单估算 [典例3]如果一个面积为2的正方形的边长为a,那么a是一个无理数,我们用“逼近法”可以逐步求出a的范围是1.41<a<1.42(精确到百分位).类似地,若一个面积为7的正方形的边长为b,请你求出b的范围.(精确到百分位) [变式4]设面积为10π的圆的半径为x. (1)请指出x是有理数还是无理数. (2)请估计x的整数部分是几? (3)将x保留到十分位是几? 2　平方根 第1课时　算术平方根 算术平方根 一般地,如果　 ,即x2=a,那么这个正数x就叫做a的算术平方根,记为“”读作“　　　　　　　”.特别地,我们规定0的算术平方根是0,即=0.  求算术平方根 [典例1]求下列各数的算术平方根: (1)144;　　(2)6;　　(3)(-)2. [变式1]的算术平方根是(　　) A.4 B.±4 C.2 D.±2 [变式2]已知=x,=2,则x-y=　　　.  求算术平方根的技巧: (1)熟记一些平方数; (2)带分数化假分数; (3)遇(-a)2类型的题,应先化简为非负数的平方再计算. 算术平方根的性质 [典例2]若+在实数范围内有意义,则x满足的条件是(　　) A.x≥ B.x≤ C.x= D.x≠ [变式3]已知实数x,y满足+|y+1|=0,则x-y的值为(　　) A.3 B.-3 C.1 D.-1 算术平方根的应用 [典例3]物体自由下落时,如果不考虑空气的阻力,那么物体从开始下落到刚好落地的距离h(m)与时间t(s)可用公式h=4.9t2来估计. (1)把这个公式变形成用h表示t的公式; (2)有一只兔子从山崖边不慎跌入176.4 m深的峡谷,则它落到峡谷底经过了多少时间? [变式4]如图所示,车床齿轮箱壳要钻两个圆孔,两孔中心的距离是130 mm,两孔中心的水平距离是50 mm.计算两孔中心的垂直距离AC. 利用算术平方根解决简单的问题,一般是先得到用算术平方根表示的关系式,然后再代数求值,注意取值要符合问题的实际. 第2课时　平方根 1.平方根的定义 一般地,如果一个数x的平方等于a,即x2=a,那么这个数x就叫做a的　　　　　(也叫做二次方根).  2.平方根的性质 (1)正数a有两个平方根,一个是a的算术平方根“”,另一个是“-”,它们互为　　 　　.这两个平方根合起来可以记作“±”.读作“正、负根号a".  (2)0只有　　　　　个平方根,它是　　　　　;负数　　　　　平方根.  3.开平方 求一个数a的　　　　的运算叫做开平方,a叫做被开方数.  求非负数的平方根 [典例1]求下列各数的平方根: (1)121;(2)2;(3)(-13)2;(4). [变式1](-2)2的平方根是(　　) A.2 B.-2 C.±2 D. [变式2]±=　　　,()2=　　　.  求非负数的平方根的一般步骤: (1)计算并判断该数或算式的结果是正数、负数,还是0; (2)试算出哪些数的平方等于该数; (3)写出这个数的平方根. 平方根的性质 [典例2]一个正数的两个平方根分别是2m-1和4-3m,求m. [变式3]下列结论正确的是(　　) A.-=-6 B.(-)2=9 C.=±16 D.-(-)2= [变式4]已知x2-9=0,求x的值. 根据正数的两个平方根互为相反数的性质,列方程求解,是解决该类问题的基本方法. 混淆平方根与算术平方根的概念. [典例3](1)162的平方根是　　　　;  (2)162的算术平方根是　　　　;  (3)的平方根是　　　　.  平方根的简单应用 [典例4]已知一个数m的两个平方根分别为a+2和3a-6. (1)求a的值; (2)求这个数m. 3　立方根 1.立方根 一般地,如果　　　　　　　,即x3=a,那么这个数x就叫做a的立方根(也叫做三次方根).  2.立方根的性质 正数的立方根是　 　　;0的立方根是　　 　;负数的立方根是　　　.  3.开立方 求一个数a的　　　　　的运算叫做开立方,a叫做被开方数.  求一个数的立方根 [典例1]求下列各数的立方根: (1)216;　　(2);　　(3)-0.001. [变式1]的立方根是(　　) A.-1 B.0 C.1 D.±1 [变式2]下列说法中,正确的有(　　) ①-64的立方根是4;②49的算术平方根是±7;③的立方根是;④的平方根是. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 平方根与立方根的区别: (1)被开方数的取值范围不同:只有非负数才有平方根,而任何数都有立方根; (2)根的个数不同:一个正数的平方根有两个,它们互为相反数,而所有数的立方根只有一个,且符号与原数的符号相同; (3)根指数不同:平方根的根指数为2,可省略不写,而立方根的根指数为3,不能省略. 立方根的性质 [典例2]求下列各式的值: (1); (2)()3; (3); (4). [变式3]下列说法正确的是(　　) A.一个数的立方根一定比这个数小 B.一个数的算术平方根一定是正数 C.一个正数的立方根有两个 D.一个负数的立方根只有一个,且为负数 [变式4]下列说法中正确的有(　　) ①±2都是8的立方根;②=x; ③的平方根是3;④-=2. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 [变式5] 计算: (1)+; (2)2-1+-+()0. 立方根的性质: (1)立方根的唯一性,即任何数只有一个立方根; (2)由于负数也有立方根,它的立方根还是负数,因而求a的相反数的立方根可以转化为求a的立方根的相反数,即=-; (3)因为立方与开立方互为逆运算,则有公式:()3=a,=a. 4　估算 1.在进行开平方和开立方运算时,对于开方开不尽的情况,经常需要对它的大小进行　　　.  2.用估算法比较两个数的大小时,一般先估算出无理数的大致范围,再做具体的比较. 用估算法确定无理数的大小 [典例1]估算下列各数的大小: (1);(误差小于0.1) (2).(误差小于1) 对于带根号的无理数的近似值的确定,可以通过平方运算或立方运算并采用“夹逼法”,即两边无限逼近,逐级夹逼来完成.首先确定其整数部分的范围,再确定十分位、百分位等小数部分. 利用估算比较数的大小 [典例2]通过估算,比较下列各组数的大小. (1)-3与;　　(2)与-. [变式1]若m=-3,则m的范围是(　　) A.1<m<2 B.2<m<3 C.3<m<4 D.4<m<5 比较两个数大小的常用方法: (1)估算法; (2)作差法; (3)取近似值法; (4)平方法. 我们要善于根据不同题目的特点选择最佳方法. 确定无理数的整数部分和小数部分 [典例3]大家知道是无理数,而无理数是无限不循环小数,因为2<<3,所以用2表示的整数部分,用-2来表示的小数部分.请解答:已知10+=x+y,其中x表示10+的整数部分,y表示10+的小数部分,求x-y的相反数. [变式2]已知a+1的平方根是±2,3a+b-1的立方根是3,c是的整数部分,求3a+b-c的平方根. 5　用计算器开方 计算器的使用 (1)开方运算要用到键　　　　和键　　　　 .  (2)对于开平方运算,按键顺序为:　　　　、　　　　、　　　　. (3)对于开立方运算,按键顺序为:　　　、　　　、　　　、　　　. 用计算器开方 [典例1]用计算器求和的值.(结果精确到0.001) [变式1]利用计算器求值.(结果精确到千分位) (1); (2); (3); (4)-. 不同的计算器,使用方法也不尽相同,注意阅读计算器的使用说明,学会按键方法. 利用计算器比较大小 [典例2]利用计算器比较下列各组数的大小.(结果精确到0.01) (1),; (2),. [变式2]利用计算器比较下列两组数的大小: (1),; (2),. 用计算器来比较数的大小,实际上是考查用计算器开方的熟练和准确程度,在应用时注意细心操作. 6　实数 第1课时　实数及其性质 1.　　　　　　　　统称为实数.  2.有理数范围内的一些定义、概念和性质在实数范围内仍然适用,实数与数轴上的点　 .  实数及分类 [典例1]把下列各数填入相应的集合内. ,3.141 6,-,,,-0.,0.38,0.121 121 112…(相邻两个2之间1的个数逐次加1),,0,-,π+2 017,14,,. (1)有理数集合:{　 ,…};  (2)无理数集合:{　 ,…};  (3)正实数集合:{　 ,…};  (4)负实数集合:{　 ,…};  (5)整数集合:{　 ,…}.  [变式1]在下列实数中,无理数是(　　) A. B. C. D.2.123 122 312 223… [变式2]在实数2.3,,3.141 592 6,π2,,,,, 0.101 001 000 1…(相邻两个1中间依次多1个0)中,无理数有(　　) A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 无理数常见类型: (1)根号型:带根号且开方开不尽的数,注意带根号的数不一定是无理数,如; (2)小数型:无限不循环小数,如8.434 334 333 4…(相邻两个4之间3的个数逐次加1); (3)含π型:最终结果含有π的数,如2π+1. 在数轴上表示无理数 [典例2]在数轴上找到,-对应的点. [变式3]如图所示,数轴上的点A表示的数是1,OB⊥OA,垂足为O,且BO=1,以点A为圆心,AB长为半径画弧交数轴于点C,则点C表示的数为(　　) [变式3]图 A.-0.4 B.- C.1- D.-1 [变式4]如图所示,以数轴上1个单位长度为一边长,另一边长为2个单位长度作长方形,以数轴上的原点O为圆心,长方形的对角线为半径作弧与数轴交于点A,则点A表示的数为　　　.  [变式4]图 用数轴上的点表示无理数的“三步法”: (1)构造:构造直角三角形,使其以无理数为一边,而另外两边分别是整数; (2)画图:借助数轴的单位长度和数轴画出上述直角三角形; (3)定点:以原点为圆心,以长为无理数的线段为半径画弧,交数轴正半轴的点即是所求作的点. 第2课时　实数的运算与大小比较 1.实数和有理数一样,可以进行加、减、乘、除和乘方运算,而且有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然成立. 2.实数混合运算的运算顺序:先算　　　　　,再算　　　　　,最后算　　　,同级运算从　　　到　　 　 依次计算,有括号的要先算　　　里面的.  实数的运算 [典例1]计算: (1)-(2-);(结果保留一位小数) (2)++0.129.(结果保留两位小数) [变式]计算:(1)|-2|+-; (2)|-|-(π-3)0++. (1)实数的运算法则:实数和有理数一样,可以进行加、减、乘、除和乘方运算,而且有理数的运算法则与运算顺序对实数仍然适用; (2)实数的近似运算,比要求的精确度多取一位小数,计算出最后结果,再将最后结果按精确度取近似值. 比较实数大小 [典例2]数学课上,老师出了一道题: 比较与的大小. 小华的方法是: 因为>4,所以-2　　　2,  所以　　 .(填“>”或“<”) 小英的方法是: -=,因为19>16, 所以-4　　　0,所以　　　0,  所以　　 .(填“>”或“<”) (1)根据上述材料填空; (2)请从小华和小英的方法中选择一种比较与的大小. 实数的简单应用 [典例3](1)已知实数m,n满足|n-2|+=0,则mn的值为多少? (2)已知a,b互为倒数,c,d互为相反数,t的算术平方根为2,求2+-t的值. 第四章　实数 1　无理数 1.有限　无限循环　有限　无限循环 2.无限不循环 [典例1]解:(1)由勾股定理,得a2=12+32=10, 则阴影部分的面积是10. (2)a不是有理数,是无理数. (3)a的十分位是1,百分位是6,千分位是2. [变式1]解:(1)由勾股定理,得c2=a2+b2=65. (2)c不是整数. 因为92=81,82=64,64<65<81, 所以8<c<9, 所以c不是整数. (3)c是无理数.理由如下: 因为没有一个整数或分数的平方为65, 所以c不是有理数,是无理数. [典例2]解:有理数:3.141 592 6,-,3.,0,,-5.2; 无理数:0.202 002 000 200 002…(相邻两个2之间0的个数逐次加1),-. [变式2]C [变式3]A [典例3]解:由题意,得b=, 因为2.62=6.76<7,2.72=7.29>7, 所以2.6<<2.7. 因为2.642=6.969 6<7,2.652=7.022 5>7, 所以2.64<<2.65, 所以b的范围是2.64<b<2.65. [变式4]解:(1)由圆的面积公式可得πx2=10π, 所以x2=10, 所以x既非整数也非分数,故x不是有理数,它是一个无理数. (2)由(1),得x2=10. 因为32=9<10,42=16>10,所以3<x<4, 所以x的整数部分为3. (3)3.12=9.61<10,3.22=10.24>10, 所以3.1<x<3.2. 因为3.162=9.985 6<10, 3.172=10.048 9>10, 所以3.16<x<3.17, 所以将x保留到十分位是3.2. 2　平方根 第1课时　算术平方根 一个正数x的平方等于a　根号a [典例1]解:(1)因为122=144, 所以144的算术平方根是12,即=12. (2)因为()2==6, 所以6的算术平方根是,即=. (3)因为()2=(-)2=, 所以(-)2的算术平方根是, 即=. [变式1]C [变式2]3 [典例2]C [变式3]A [典例3]解:(1)因为h=4.9t2,所以t2=. 因为t>0,所以t===. (2)当h=176.4时,t==6, 即兔子落到峡谷底经过了6 s. [变式4]解:因为∠ACB=90°, 所以AC===120(mm). 答:两孔中心的垂直距离为120 mm. 第2课时　平方根 1.平方根 2.(1)相反数　(2)一　0　没有 3.平方根 [典例1]解:(1)因为(±11)2=121, 所以121的平方根是±11, 即±=±11. (2)因为2=,(±)2=, 所以2的平方根是±, 即±=±. (3)因为(-13)2=169,(±13)2=169, 所以169的平方根是±13, 即±=±13. (4)因为=14,(±)2=, 所以的平方根是±. [变式1]C [变式2]±12　 [典例2]解:因为一个正数的两个平方根是2m-1和4-3m, 所以2m-1+4-3m=0, 解得m=3. [变式3]A [变式4]解:因为x2-9=0, 所以x2=9,即x=±3. [典例3](1)±16　(2)16　(3)±4 [典例4]解:(1)因为数m的两个平方根分别为a+2和3a-6, 所以(a+2)+(3a-6)=0, 所以4a=4, 解得a=1. (2)所以a+2=1+2=3,3a-6=3-6=-3, 所以m=(±3)2=9, 所以m的值是9. 3　立方根 1.一个数x的立方等于a 2.正数　0　负数 3.立方根 [典例1]解:(1)因为63=216, 所以216的立方根是6,即=6. (2)因为()3=, 所以的立方根是,即=. (3)因为(-0.1)3=-0.001, 所以-0.001的立方根是-0.1, 即=-0.1. [变式1]C [变式2]A [典例2]解:(1)=-0.2. (2)()3=64. (3)===. (4)==-=- =-. [变式3]D [变式4]B [变式5]解:(1)+=-3+8=5. (2)2-1+-+()0=0.5+2-2+1=1.5. 4　估算 1.估计 [典例1]解:(1)因为3.52=12.25<12.5<12.96=3.62, 所以3.5<<3.6, 所以满足要求的估算值可以是3.5或3.6. (2)因为123=1 728<2 000<2 197=133, 所以12<<13, 所以满足要求的估算值可以是12或13. [典例2]解:(1)-3-=-3-+1=-2=, 因为2<<3,所以-4<0, 所以<0,所以-3<. (2)可先找一个中间数,因为>=-4,-<-=-4, 所以>-4>-. 所以>-. [变式1]B [典例3]解:因为1<<2, 所以11<10+<12, 所以x=11,y=10+-11=-1, 所以-(x-y)=y-x=-1-11=-12. [变式2]解:由题意,得a+1=4,所以a=3. 因为3a+b-1=27,所以b=19. 因为c是的整数部分,3<<4, 所以c=3, 所以3a+b-c=9+19-3=25, 所以3a+b-c的平方根是±=±5. 5　用计算器开方 (1)　2ndF (2)　被开方数　= (3)2ndF　　被开方数　= [典例1]解:按键如下: 数 开方键 被开 方数 要求 输出 显示 10 3.162 277 66 2ndF 20 2.714 417 617 所以≈3.162;≈2.714. [变式1]解:(1)≈5.197. (2)≈0.218. (3)≈-1.783. (4)- ≈-1.635 1-3.464 1 ≈-5.099. [典例2]解:(1)≈4.12,≈4.47, 所以<. (2)≈1.62,≈1.57, 所以>. [变式2]解:(1)按键2ndF14=, 显示2.410 142 264,按键6=, 显示2.449 489 743,所以<. (2)按键309÷500=, 显示0.618, 按键(5-1)÷2=, 显示0.618 033 988, 所以<. 6　实数 第1课时　实数及其性质 1.有理数和无理数 2.一一对应 [典例1](1)3.141 6,,,-0.,0.38,0,-,14,　 (2),-,0.121 121 112…(相邻两个2之间1的个数逐次加1),,π+2 017,　 (3),3.141 6,,0.38,0.121 121 112…(相邻两个2之间1的个数逐次加1),,π+2 017,14,　 (4)-,,-0.,-,　 (5),,0,14 [变式1]D [变式2]C [典例2]解:如图①所示,在数轴上过表示1的点A作数轴的垂线段AB,使AB=2,连接OB,则OB=,以原点O为圆心,OB长为半径作弧,弧与数轴的正半轴交于点C,点C即为对应的点. 如图②所示,在数轴上过表示-4的点A作数轴的垂线段AB,使AB=1,连接OB,则OB=,以原点O为圆心,OB长为半径作弧,弧与数轴的负半轴交于点C,点C即为 - 对应的点. [变式3]C [变式4] 第2课时　实数的运算与大小比较 2.乘方开方　乘除　加减　左　右　括号 [典例1]解:(1)-(2-) =-2+ ≈1.41-2×2.45+1.73 =-1.76 ≈-1.8. (2)++0.129 ≈7.071-7.101+0.129 =0.099 ≈0.10. [变式]解:(1)原式=2--3-7=-8-. (2)原式=2-1++3=3+2. [典例2]解:(1)>　>　>　>　> (2)选择小华的方法, 因为<3,所以-1<2,所以<. 选择小英的方法, -==, 因为6<9,所以<3,所以-3<0, 所以<0,所以<. [典例3]解:(1)因为|n-2|≥0,≥0, |n-2|+=0, 所以|n-2|=0,=0, 所以n=2,m=-3, 所以mn=(-3)2=9, 所以mn的值为9. (2)因为a,b互为倒数,c,d互为相反数,t的算术平方根为2, 所以ab=1,c+d=0,t=4, 所以2+-t=2+0-4=-2, 所以2+-t的值为-2. 学科网（北京）股份有限公司 $$