第23讲 条件概率与全概率公式（思维导图+3知识点+四大考点+过关检测）-【寒假自学课】2025年高二数学寒假提升精品讲义（人教A版2019）

第23讲 条件概率与全概率公式 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 【考点一：利用定义求条件概率】 【考点二：条件概率的性质及应用】 【考点三：全概率公式及应用】 【考点四：贝叶斯公式及应用】 模块四 小试牛刀过关测 1.运用条件概率公式解决简单的问题； 2.利用全概率公式计算概率； 3.条件概率的概念的理解； 4.理解全概率公式的形式。 一、条件概率公式 1、条件概率的定义：一般地，设A，B为两个随机事件，且，我们称为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率，简称条件概率. 2、乘法公式：对任意两个事件A与B，若，则. 3、条件概率的性质：设，则 （1）； （2）如果B和C是两个互斥事件，则； （3）设B和B互为对立事件，则 4、两点说明 （1）一般地，每一个随机试验都是在一定条件下进行的，这里所说的条件概率是当试验结果的一部分信息已知（即在原随机试验的条件上，再加上“某事件发生”的附加条件），求另一事件在此条件下发生的概率； （2）通常情况下，事件B在“事件A已发生”这个附加条件下的概率与没有这个附加条件的概率是不同的。 二、全概率公式 1、全概率公式：一般地，设是一组两两互斥的事件，，且，，则对任意的事件，有. 2、全概率公式的来由： 不难由看出，全概率被分解成了许多部分之和，它的理论和实用意义在于在较复杂情况下直接计算不易，但总伴随着某个出现，适当去构造这一组往往可以简化计算。 3、另一个角度理解全概率公式 （1）某一事件的发生有各种可能得原因，如果是由原因所引起的，那么事件发生的概率是. （2）每一个原因都可能导致发生，故发生的概率是各原因引起发生概率的总和，即全概率公式。 （3）由此可以形象地把全概率公式看成为“由原因推结果”，每个原因对结果的发生有一定的“作用”，即结果发生的可能性与各种原因的“作用”大小有关。全概率公式表达了它们之间的关系。 三、贝叶斯公式 设是一组两两互斥的事件，，且，则对任意事件，，有，． 【考点一：利用定义求条件概率】 一、单选题 1．（24-25高二上·河北沧州·阶段练习）已知事件与独立，当时，若，则（    ） A．0.34 B．0.68 C．0.32 D．1 2．（24-25高二下·全国·课后作业）在某班学生考试成绩中，数学不及格的占，语文不及格的占，两门都不及格的占．已知一名学生数学不及格，则他语文也不及格的概率是（    ） A．0.2 B．0.33 C．0.5 D．0.6 3．（23-24高二下·河南商丘·期中）已知事件，，若，且，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二下·河南漯河·阶段练习）甲、乙分别用弓箭对准同一个弓箭靶，两人同时射箭.已知甲、乙中靶的概率分别为0.5和0.4，且两人是否中靶互不影响，若弓箭靶被射中，则只被乙射中的概率为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高二下·全国·课后作业）某医学院校计划从5名男生和3名女生中选派2人参加义诊活动，则在派出的2人中第1人是男生的条件下，第2人恰好是女生的概率是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高二上·辽宁辽阳·期末）在某次电子竞技大赛中，甲、乙进入决赛，决赛采取五局三胜的冠亚军争夺赛制．已知甲在每局比赛中获胜的概率均为，比赛无平局且各局比赛结果相互独立，则在甲获得冠军的条件下，比赛进行了五局的概率为（    ） A． B． C． D． 【考点二：条件概率的性质及应用】 一、单选题 1．（23-24高二下·江苏南京·阶段练习）已知在8个球中，有2个白球，6个红球，每次任取一个球，取出后不再放回，则经过2次取球恰好将2个白球全部取出的概率为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·全国·课后作业）下列式子成立的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·全国·课后作业）已知，且相互独立，则（    ） A．0.18 B．0.9 C．0.3 D．无法求解 4．（23-24高二下·福建龙岩·阶段练习）已知，，则事件与事件（   ） A．互斥 B．对立 C．独立 D．以上均不正确 5．（23-24高二下·广东深圳·期中）设，是一个随机试验中的两个事件，且，，，则（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高二下·安徽马鞍山·期末）假设A，B是两个事件，且，，则下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【考点三：全概率公式及应用】 一、单选题 1．（24-25高二上·辽宁辽阳·期末）已知播种用的盘锦水稻种子中混有60%的盐丰47种子，40%的辽盐2号种子，盐丰47种子的结实率为85%，辽盐2号种子的结实率为90%.现从这批种子所长出的穗中随机抽取一穗这一穗结实的概率为（    ） A．0.86 B．0.87 C．0.88 D．0.89 2．（24-25高二上·吉林·期末）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）秋冬季节是某呼吸道疾病的高发期，为了解该疾病的发病情况，疾控部门对该地区居民进行普查化验，化验结果阳性率为，但统计分析结果显示患病率为，医学研究表明化验结果是有可能存在误差的，没有患该疾病的居民其化验结果呈阳性的概率为，则该地区患有该疾病的居民化验结果呈阳性的概率为（   ） A． B． C． D． 4．（23-24高二下·江西南昌·阶段练习）已知某羽毛球小组共有20名运动员，其中一级运动员4人，二级运动员6人，三级运动员10人.现在举行一场羽毛球选拔赛，若一级、二级、三级运动员能够晋级的概率分别为0.9，0.6，0.2，则这20名运动员中任选一名运动员能够晋级的概率为（    ） A．0.42 B．0.46 C．0.58 D．0.62 5．（23-24高二上·四川成都·期末）某学校有两家餐厅，张同学连续三天午餐均在学校用餐．如果某天去餐厅，那么第2天还去餐厅的概率为；如果某天去餐厅，那么第2天还去餐厅的概率为．若张同学第1天午餐时随机选择一家餐厅用餐，则张同学第3天去餐厅用餐的概率为（    ） A． B． C． D． 二、解答题 6．（24-25高二上·四川眉山·期中）现有红、黄、绿三个不透明盒子，其中红色盒子内装有两个红球、一个黄球和一个绿球；黄色盒子内装有两个红球，两个绿球；绿色盒子内装有两个红球，两个黄球.小明第一次先从红色盒子内随机抽取一个球，将取出的球放入与球同色的盒子中；第二次从该放入球的盒子中随机抽取一个球.记抽到红球获得1块月饼、黄球获得2块月饼、绿球获得3块月饼，小明所获得月饼为两次抽球所获得月饼的总和，求下列事件发生的概率 (1)求第二次抽到红的概率 (2)如果第二次抽到红球，那么它来自黄色盒子的概率 (3)小明获得4块月饼的概率 【考点四：贝叶斯公式及应用】 一、单选题 1．（23-24高二下·河北保定·期中）英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，经他研究，随机事件存在如下关系：.对于一个电商平台，用户可以选择使用信用卡､支付宝或微信进行支付.已知使用信用卡支付的用户占总用户的，使用支付宝支付的用户占总用户的，其余的用户使用微信支付.平台试运营过程中发现三种支付方式都会遇到支付问题，为了优化服务，进行数据统计发现：出现支付问题的概率是0.06，若一个遇到支付问题的用户，使用三种支付方式支付的概率均为，则使用微信支付遇到支付问题的概率是（    ） A．0.1 B．0.06 C．0.4 D．0.05 2．（23-24高二下·福建龙岩·阶段练习）某人下午5:00下班，他所积累的资料表明： 到家时间 5:35到5:39 5:40到5:44 5:45到5:49 5:50到5:54 迟于5:54 乘地铁到家的概率 0.10 0.25 0.45 0.15 0.05 乘汽车到家的概率 0.30 0.35 0.20 0.10 0.05 某日他抛一枚硬币决定乘地铁还是乘汽车回家，结果他是5:47到家的，则他乘地铁回家的概率为（   ） A． B． C． D． 3．（23-24高二下·广东广州·期末）有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为 ，第2，3台加工的次品率均为 ，加工出来的零件混放在一起. 已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的. 如果取到的零件是次品，则它是第3台车床加工的概率是（    ） A． B． C． D． 二、解答题 4．（23-24高二下·福建泉州·期中）第三次人工智能浪潮滚滚而来，以ChatGPT发布为里程碑，开辟了人机自然交流的新纪元.ChatGPT所用到的数学知识并非都是遥不可及的高深理论，概率就被广泛应用于ChatGPT中.某学习小组设计了如下问题进行探究：甲和乙两个箱子中各装有5个大小相同的小球，其中甲箱中有3个红球､2个白球，乙箱中有4个红球､1个白球. (1)从甲箱中随机抽出2个球，在已知抽到红球的条件下，求2个球都是红球的概率； (2)抛一枚质地均匀的骰子，如果点数小于等于4，从甲箱子随机抽出1个球；如果点数大于等于5，从乙箱子中随机抽出1个球.求抽到的球是红球的概率； (3)在（2）的条件下，若抽到的是红球，求它是来自乙箱的概率. 5．（23-24高二下·安徽淮南·期中）某企业生产手机加密芯片，有3台机器生产同一型号的芯片，质量合格的为正品，不合格的为次品，第1台生产的次品率为，第2，3台生产的次品率均为，将生产出来的芯片混放在一起，已知第1，2，3台机器生产的芯片数分别占总数的． (1)任取一个芯片，求它是正品的概率； (2)任取一个芯片，如果它是次品，求它分别是第1，2，3台机器生产的概率． 一、单选题 1．（23-24高二下·新疆克孜勒苏·期末）先后两次掷一枚质地均匀的正方体骰子（六个面分别标记为），记事件“第一次掷出的点数小于4”，事件“两次点数之和大于4”，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·浙江绍兴·期末）设为两个随机事件，若，则（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二下·陕西安康·期末）某班举办知识竞赛，已知题库中有两种类型的试题，类试题的数量是类试题数量的两倍，且甲答对类试题的概率为，答对类试题的概率为，从题库中任选一题作答，甲答对题目的概率为（    ） A． B． C． D． 4．（2024·江西·三模）A、B是一个随机试验中的两个事件，且，则下列错误的是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二下·甘肃酒泉·期末）质数（prime number）又称素数，一个大于1的自然数，除了1和它本身外，不能被其他自然数整除，则这个数为质数．数学上把相差为2的两个素数叫做“孪生素数”．如：3和5，5和7，…，那么，如果我们在不超过32的自然数中，随机选取两个不同的数，记事件A＝“这两个数都是素数”，事件B＝“这两个数不是孪生素数”，则（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高二下·宁夏吴忠·阶段练习）已知某产品的次品率为4%，其合格品中75%为一级品，则任选一件产品为一级品的概率为（ ） A．0.75 B．0.96 C．0.72 D．0.78 7．（23-24高二下·广东佛山·阶段练习）若某地区一种疾病的患病率是0.05，现有一种试剂可以检验被检者是否患病.已知该试剂的准确率为95%，即在被检验者患病的前提下用该试剂检测，有95%的可能呈现阳性；该试剂的误报率为0.5%，即在被检验者未患病的情况下用该试剂检测，有0.5%的可能会误报阳性.现随机抽取该地区的一个被检验者，已知检验结果呈现阳性，则此人患病的概率为（ ） A． B． C． D． 8．（23-24高二下·天津·期中）已知某地市场上供应的一种电子产品中，甲厂产品占，乙厂产品占，丙厂产品占，甲厂产品的合格率是，乙厂产品的合格率是，丙厂产品的合格率是，则从该地市场上买到一个产品，此产品是次品的概率是（    ） A． B． C． D． 9．（23-24高二下·江苏扬州·阶段练习）假设甲袋中有3个白球和3个红球，乙袋中有2个白球和2个红球．现从甲袋中任取2个球放入乙袋，再从乙袋中任取2个球．已知从乙袋中取出的是2个红球，则从甲袋中取出的也是2个红球的概率为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 10．（24-25高二上·辽宁·期末）假设A，B是两个事件，且，，，则（   ） A． B． C． D． 11．（23-24高二下·广东深圳·期中）在某班中，男生占40%，女生占60%，在男生中喜欢体育锻炼的学生占80%，在女生中喜欢体育锻炼的学生占60%，从这个班的学生中任意抽取一人.则下列结论正确的是（    ） A．抽到的学生是男生且喜欢体育锻炼的概率为 B．抽到的学生喜欢体育锻炼的概率为 C．若抽到的学生喜欢体育锻炼，则该学生是男生的概率为 D．若抽到的学生喜欢体育段炼，则该学生是女生的概率为 12．（23-24高二下·河北·阶段练习）某校进行一项问卷调查，为了调动学生参与的积极性，凡参与者均有机会获得奖品.学校设置了3个不同颜色的抽奖箱，每个箱子中的小球质地均匀，大小相同，其中红色箱子放有2个红球，2个黄球，2个绿球，黄色箱子放有2个黄球，1个绿球，绿色箱子放有1个黄球，2个绿球.参与者先从红色箱子中随机抽取1个小球，将其放入与小球颜色相同的箱子中，再从放入小球的箱子中随机抽取1个小球，如此重复，抽取3个小球，抽奖结束.若抽取的3个小球颜色全不相同为一等奖，3个小球颜色全部相同为二等奖，其他情况没有奖品.已知甲同学参与了问卷调查，则（    ） A．甲第一次取到红球的条件下，获得一等奖的概率为 B．甲第一次取到黄球的条件下，获得二等奖的概率为 C．甲获奖的条件下，第一次取到绿球的概率为 D．甲第一次取球取到红球获奖的概率最大 三、解答题 13．（2024高二下·江苏·专题练习）一位教授去参加学术会议，他乘坐飞机､动车和非机动车的概率分别为0.2，0.5，0.3，现在知道他乘坐飞机､动车和非机动车迟到的概率分别为. (1)求这位教授迟到的概率； (2)现在已经知道他迟到了，求他乘坐的是飞机的概率. 14．（23-24高二下·山东烟台·阶段练习）甲、乙、丙三人独立地向同一飞机射击，设击中的概率分别为0.4，0.5，0.7．如果只有一人击中，则飞机被击落的概率为0.2；如果有两人击中，则飞机被击落的概率为0.6；如果三人都击中，则飞机一定被击落． (1)求飞机被击落的概率； (2)若飞机被击落，求是三人同时击中的概率． 15．（23-24高二下·湖南邵阳·期中）某校团委组织开展了知识竞赛活动.现有两组题目放在A，B两个信封中，A信封中有6道选择题和3道论述题，B信封中有3道选择题和2道论述题.参赛选手先在任一信封中随机选取一题，作答完后再在此信封中选取第二题作答，答题结束后将这两个题目放回原信封. (1)若同学甲从B信封中抽取了2题，求第2题抽到论述题的概率； (2)若同学乙从A信封中抽取了2题，答题结束后误将题目放回了B信封，接着同学丙从B信封中抽取题目作答，已知丙取出的第一个题是选择题，求乙从A信封中取出的是2个论述题的概率. ( 5 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第23讲 条件概率与全概率公式 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 【考点一：利用定义求条件概率】 【考点二：条件概率的性质及应用】 【考点三：全概率公式及应用】 【考点四：贝叶斯公式及应用】 模块四 小试牛刀过关测 1.运用条件概率公式解决简单的问题； 2.利用全概率公式计算概率； 3.条件概率的概念的理解； 4.理解全概率公式的形式。 一、条件概率公式 1、条件概率的定义：一般地，设A，B为两个随机事件，且，我们称为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率，简称条件概率. 2、乘法公式：对任意两个事件A与B，若，则. 3、条件概率的性质：设，则 （1）； （2）如果B和C是两个互斥事件，则； （3）设B和B互为对立事件，则 4、两点说明 （1）一般地，每一个随机试验都是在一定条件下进行的，这里所说的条件概率是当试验结果的一部分信息已知（即在原随机试验的条件上，再加上“某事件发生”的附加条件），求另一事件在此条件下发生的概率； （2）通常情况下，事件B在“事件A已发生”这个附加条件下的概率与没有这个附加条件的概率是不同的。 二、全概率公式 1、全概率公式：一般地，设是一组两两互斥的事件，，且，，则对任意的事件，有. 2、全概率公式的来由： 不难由看出，全概率被分解成了许多部分之和，它的理论和实用意义在于在较复杂情况下直接计算不易，但总伴随着某个出现，适当去构造这一组往往可以简化计算。 3、另一个角度理解全概率公式 （1）某一事件的发生有各种可能得原因，如果是由原因所引起的，那么事件发生的概率是. （2）每一个原因都可能导致发生，故发生的概率是各原因引起发生概率的总和，即全概率公式。 （3）由此可以形象地把全概率公式看成为“由原因推结果”，每个原因对结果的发生有一定的“作用”，即结果发生的可能性与各种原因的“作用”大小有关。全概率公式表达了它们之间的关系。 三、贝叶斯公式 设是一组两两互斥的事件，，且，则对任意事件，，有，． 【考点一：利用定义求条件概率】 一、单选题 1．（24-25高二上·河北沧州·阶段练习）已知事件与独立，当时，若，则（    ） A．0.34 B．0.68 C．0.32 D．1 【答案】C 【分析】由条件概率公式、相互独立事件概率乘法公式与对立事件的概率关系可得. 【详解】因为事件与独立，且， 所以，故， 所以. 故选：C. 2．（24-25高二下·全国·课后作业）在某班学生考试成绩中，数学不及格的占，语文不及格的占，两门都不及格的占．已知一名学生数学不及格，则他语文也不及格的概率是（    ） A．0.2 B．0.33 C．0.5 D．0.6 【答案】A 【分析】直接由条件概率公式即可求解. 【详解】由题意设事件“一名学生数学不及格”，“该名学生两门都不及格”， 则所求为. 故选：A. 3．（23-24高二下·河南商丘·期中）已知事件，，若，且，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据条件概率公式计算，注意在时，． 【详解】因为， 所以，， ， ，， ， 故选：C． 4．（23-24高二下·河南漯河·阶段练习）甲、乙分别用弓箭对准同一个弓箭靶，两人同时射箭.已知甲、乙中靶的概率分别为0.5和0.4，且两人是否中靶互不影响，若弓箭靶被射中，则只被乙射中的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用条件概率公式进行求解即可. 【详解】设事件甲中靶，事件乙中靶，事件弓箭靶被射中， 则 所以， ， 即， 故选：D. 5．（24-25高二下·全国·课后作业）某医学院校计划从5名男生和3名女生中选派2人参加义诊活动，则在派出的2人中第1人是男生的条件下，第2人恰好是女生的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】运用条件概率公式，结合古典概型，组合和组合数公式计算即可. 【详解】记“派出的2人中第1人是男生”为事件，“第2人恰好是女生”为事件． 则． 故选：C 6．（24-25高二上·辽宁辽阳·期末）在某次电子竞技大赛中，甲、乙进入决赛，决赛采取五局三胜的冠亚军争夺赛制．已知甲在每局比赛中获胜的概率均为，比赛无平局且各局比赛结果相互独立，则在甲获得冠军的条件下，比赛进行了五局的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出甲获得冠军的概率，再利用条件概率公式即可求解. 【详解】若比赛进行了三局，甲获得冠军的概率为； 若比赛进行了四局，甲获得冠军的概率为； 若比赛进行了五局，甲第五场赢，甲获得冠军的概率为． 设甲获得冠军为事件，比赛进行了五局为事件， 所以甲获得冠军的概率为， 比赛进行了五局且甲获得冠军的概率为, 故甲获得冠军的条件下，比赛进行了五局的概率为． 故选：A 【考点二：条件概率的性质及应用】 一、单选题 1．（23-24高二下·江苏南京·阶段练习）已知在8个球中，有2个白球，6个红球，每次任取一个球，取出后不再放回，则经过2次取球恰好将2个白球全部取出的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据条件概率公式进行计算. 【详解】设第一次取到白球为事件，则， 设第二次取到白球为事件，则， 所以. 故选：B 2．（23-24高二上·全国·课后作业）下列式子成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合条件概率的性质和条件概率的公式即可完成判断. 【详解】由条件概率公式知，但是不一定等于，所以选项A错误； 根据条件概率的性质可知，所以选项B错误； 由条件概率公式可得出，所以选项C正确； 由条件概率公式可得出，所以选项D错误. 故选：C 3．（24-25高二下·全国·课后作业）已知，且相互独立，则（    ） A．0.18 B．0.9 C．0.3 D．无法求解 【答案】A 【分析】根据相互独立事件的定义可得. 【详解】相互独立，， ． 故选：A. 4．（23-24高二下·福建龙岩·阶段练习）已知，，则事件与事件（   ） A．互斥 B．对立 C．独立 D．以上均不正确 【答案】D 【分析】利用条件概率公式及对立事件概率得，结合互斥和独立对立事件的性质、概率的基本性质、独立事件判定判断. 【详解】由，又，则， 若与互斥或对立，则，即，而矛盾； 若与相互独立，则，故时两事件不独立； 故选：D 5．（23-24高二下·广东深圳·期中）设，是一个随机试验中的两个事件，且，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用和事件的概率公式和条件概率公式可得. 【详解】因为，，则， 又，即， 所以，故B错误； ，，∴， ∴，故A错误； ，，∴，故C正确. 因为， ，∴，∴， ∴，故D错误. 故选：C. 6．（23-24高二下·安徽马鞍山·期末）假设A，B是两个事件，且，，则下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据概率的性质以及条件概率公式即可判断ABC；举例判断D. 【详解】对于A，由于，则，A正确； 对于B，由于，，而，不一定相等，故不一定成立，B错误； 对于C，当相互独立时，，而，则，C错误； 对于D，不妨举例抛掷一枚质地均匀的骰子，设A：向上点数为偶数，B：向上点数不小于4， 则，，则，D错误， 故选：A 【考点三：全概率公式及应用】 一、单选题 1．（24-25高二上·辽宁辽阳·期末）已知播种用的盘锦水稻种子中混有60%的盐丰47种子，40%的辽盐2号种子，盐丰47种子的结实率为85%，辽盐2号种子的结实率为90%.现从这批种子所长出的穗中随机抽取一穗这一穗结实的概率为（    ） A．0.86 B．0.87 C．0.88 D．0.89 【答案】B 【分析】利用全概率公式求解即可. 【详解】根据全概率公式可得，这一穗结实的概率为． 故选：B. 2．（24-25高二上·吉林·期末）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】运用全概率和条件概率公式，结合对立事件概率求解即可. 【详解】，则. 由于，则. 则， 则. 故选：B． 3．（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）秋冬季节是某呼吸道疾病的高发期，为了解该疾病的发病情况，疾控部门对该地区居民进行普查化验，化验结果阳性率为，但统计分析结果显示患病率为，医学研究表明化验结果是有可能存在误差的，没有患该疾病的居民其化验结果呈阳性的概率为，则该地区患有该疾病的居民化验结果呈阳性的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，由全概率公式和条件概率公式计算即得. 【详解】设事件为“患有此病”，为“化验结果呈阳性”， 由题意，， 则该地区患有该疾病的居民化验结果呈阳性的概率为. 由全概率公式，， 代入数值可得： 解得： 故选：C. 4．（23-24高二下·江西南昌·阶段练习）已知某羽毛球小组共有20名运动员，其中一级运动员4人，二级运动员6人，三级运动员10人.现在举行一场羽毛球选拔赛，若一级、二级、三级运动员能够晋级的概率分别为0.9，0.6，0.2，则这20名运动员中任选一名运动员能够晋级的概率为（    ） A．0.42 B．0.46 C．0.58 D．0.62 【答案】B 【分析】由全概率公式即可求解. 【详解】设事件B为“选出的运动员能晋级”， 为“选出的运动员是一级运动员”， 为“选出的运动员是二级运动员”， 为“选出的运动员是三级运动员”， 则，，， 又根据题意可得，，， 由全概率公式可得： ， 任选一名运动员能够晋级的概率为0.46. 故选：B. 5．（23-24高二上·四川成都·期末）某学校有两家餐厅，张同学连续三天午餐均在学校用餐．如果某天去餐厅，那么第2天还去餐厅的概率为；如果某天去餐厅，那么第2天还去餐厅的概率为．若张同学第1天午餐时随机选择一家餐厅用餐，则张同学第3天去餐厅用餐的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据全概率公式求出张同学第2天去A，B餐厅的概率，继而可求第3天去餐厅用餐的概率. 【详解】设表示事件：第i天去A餐厅，表示事件：第i天去B餐厅， 则,， 则, 故 , , 则 ， 故选：B 【点睛】关键点睛：解答本题的关键是要求出第2天去A，B餐厅的概率，继而结合全概率公式求解. 二、解答题 6．（24-25高二上·四川眉山·期中）现有红、黄、绿三个不透明盒子，其中红色盒子内装有两个红球、一个黄球和一个绿球；黄色盒子内装有两个红球，两个绿球；绿色盒子内装有两个红球，两个黄球.小明第一次先从红色盒子内随机抽取一个球，将取出的球放入与球同色的盒子中；第二次从该放入球的盒子中随机抽取一个球.记抽到红球获得1块月饼、黄球获得2块月饼、绿球获得3块月饼，小明所获得月饼为两次抽球所获得月饼的总和，求下列事件发生的概率 (1)求第二次抽到红的概率 (2)如果第二次抽到红球，那么它来自黄色盒子的概率 (3)小明获得4块月饼的概率 【答案】(1) (2) (3) 【分析】记红球为1球，黄球为2球，绿球为3球，记事件分别表示第一次、第二次取到球，. （1）分别求出第一次摸出红、黄、绿球的概率，以及第二次从红、黄、绿盒子里摸出红球的条件概率，再由全概率公式得到第二次摸出红球的概率； （2）由条件概率和（1）中的结果计算得出答案； （3）列出所有可能得情况，分别求出发生的概率再求和. 【详解】（1）记红球为1球，黄球为2球，绿球为3球，记事件分别表示第一次、第二次取到球，， 则，， 又由条件概率知，，， 由全概率公式知， （2）如果第二次抽到红球，那么它来自黄色盒子的概率为， （3）若小明获得4块月饼可能的情况有三种： ①第一次从红色盒子内抽到红球，第二次从红盒子内抽到绿球，其概率为， ②第一次从红色盒子内抽到绿球，第二次从绿盒子内抽到红球，其概率为， ③第一次从红色盒子内抽到黄球，第二次从黄盒子内抽到黄球，其概率为， 所以小明获得4块月饼的概率是. 【考点四：贝叶斯公式及应用】 一、单选题 1．（23-24高二下·河北保定·期中）英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，经他研究，随机事件存在如下关系：.对于一个电商平台，用户可以选择使用信用卡､支付宝或微信进行支付.已知使用信用卡支付的用户占总用户的，使用支付宝支付的用户占总用户的，其余的用户使用微信支付.平台试运营过程中发现三种支付方式都会遇到支付问题，为了优化服务，进行数据统计发现：出现支付问题的概率是0.06，若一个遇到支付问题的用户，使用三种支付方式支付的概率均为，则使用微信支付遇到支付问题的概率是（    ） A．0.1 B．0.06 C．0.4 D．0.05 【答案】D 【分析】设出相应的事件以及对应的概率，代入贝叶斯公式即可求解. 【详解】设分别表示事件使用信用卡支付､使用支付宝支付､使用微信支付，表示事件出现支付问题， 则，所以使用微信支付遇到支付问题的概率，. 故选：D. 2．（23-24高二下·福建龙岩·阶段练习）某人下午5:00下班，他所积累的资料表明： 到家时间 5:35到5:39 5:40到5:44 5:45到5:49 5:50到5:54 迟于5:54 乘地铁到家的概率 0.10 0.25 0.45 0.15 0.05 乘汽车到家的概率 0.30 0.35 0.20 0.10 0.05 某日他抛一枚硬币决定乘地铁还是乘汽车回家，结果他是5:47到家的，则他乘地铁回家的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】应用全概率、贝叶斯公式求乘地铁回家的概率即可. 【详解】若表示乘地铁，表示乘汽车，则， 若表示5:45到5:49到家，则， 所以， 所以. 故选：C 3．（23-24高二下·广东广州·期末）有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为 ，第2，3台加工的次品率均为 ，加工出来的零件混放在一起. 已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的. 如果取到的零件是次品，则它是第3台车床加工的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据全概率公式找出，再由贝叶斯公式求解. 【详解】记取到“第1，2，3台车床加工的零件”分别为事件, “取到次品”为事件， 故, , 由全概率公式可得：, 由贝叶斯公式：, 故选:B. 二、解答题 4．（23-24高二下·福建泉州·期中）第三次人工智能浪潮滚滚而来，以ChatGPT发布为里程碑，开辟了人机自然交流的新纪元.ChatGPT所用到的数学知识并非都是遥不可及的高深理论，概率就被广泛应用于ChatGPT中.某学习小组设计了如下问题进行探究：甲和乙两个箱子中各装有5个大小相同的小球，其中甲箱中有3个红球､2个白球，乙箱中有4个红球､1个白球. (1)从甲箱中随机抽出2个球，在已知抽到红球的条件下，求2个球都是红球的概率； (2)抛一枚质地均匀的骰子，如果点数小于等于4，从甲箱子随机抽出1个球；如果点数大于等于5，从乙箱子中随机抽出1个球.求抽到的球是红球的概率； (3)在（2）的条件下，若抽到的是红球，求它是来自乙箱的概率. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）设出事件，运用条件概率公式求解即可； （2）设出事件，运用全概率公式求解即可； （3）设出事件，运用贝叶斯概率公式求解即可. 【详解】（1）记事件表示“抽出的2个球中有红球”，事件表示“两个球都是红球”， 则，故 （2）设事件表示“从乙箱中抽球”，则事件表示“从甲箱中抽球”，事件表示“抽到红球”， 则， 可得 （3）在（2）的条件下. 5．（23-24高二下·安徽淮南·期中）某企业生产手机加密芯片，有3台机器生产同一型号的芯片，质量合格的为正品，不合格的为次品，第1台生产的次品率为，第2，3台生产的次品率均为，将生产出来的芯片混放在一起，已知第1，2，3台机器生产的芯片数分别占总数的． (1)任取一个芯片，求它是正品的概率； (2)任取一个芯片，如果它是次品，求它分别是第1，2，3台机器生产的概率． 【答案】(1) (2)它分别是第1，2，3台机器生产的概率为，， 【分析】（1）结合全概率公式，以及对立事件概率和为1，即可求解； （2）利用条件概率，结合贝叶斯公式，即可求解． 【详解】（1）任取一个芯片是次品的概率为：， 则它是正品的概率为：； （2）次品是第1台机器生产的概率为：； 次品是第2台机器生产的概率为：， 次品是第3台机器生产的概率为：． 一、单选题 1．（23-24高二下·新疆克孜勒苏·期末）先后两次掷一枚质地均匀的正方体骰子（六个面分别标记为），记事件“第一次掷出的点数小于4”，事件“两次点数之和大于4”，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用条件概率公式即可求得的值. 【详解】由题意可知， 事件与事件同时发生， 有共12种可能， ，所以. 故选：B. 2．（23-24高二下·浙江绍兴·期末）设为两个随机事件，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据条件概率公式可得，进而利用概率加法公式以及对立事件概率，即可代入求解. 【详解】由条件概率可得 所以，， 所以， 故选：B 3．（23-24高二下·陕西安康·期末）某班举办知识竞赛，已知题库中有两种类型的试题，类试题的数量是类试题数量的两倍，且甲答对类试题的概率为，答对类试题的概率为，从题库中任选一题作答，甲答对题目的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】应用全概率公式计算概率即可. 【详解】设“选出类试题”为事件，“选出类试题”为事件，“甲答对题目”为事件， 则， 所以. 故选：C. 4．（2024·江西·三模）A、B是一个随机试验中的两个事件，且，则下列错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由可得，由可得，再结合可求出，再利用条件概率公式求解即可. 【详解】，， 又，，故C错误； ，，，故A正确； ，，故B正确； ，故D正确. 故选：C. 5．（23-24高二下·甘肃酒泉·期末）质数（prime number）又称素数，一个大于1的自然数，除了1和它本身外，不能被其他自然数整除，则这个数为质数．数学上把相差为2的两个素数叫做“孪生素数”．如：3和5，5和7，…，那么，如果我们在不超过32的自然数中，随机选取两个不同的数，记事件A＝“这两个数都是素数”，事件B＝“这两个数不是孪生素数”，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】运用条件概率公式，结合列举法求解即可. 【详解】不超过32的素数有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31共11个， 孪生素数有3和5，5和7，11和13，17和29，29和31，共5种情况， 所以，， 所以． 故选：A. 6．（23-24高二下·宁夏吴忠·阶段练习）已知某产品的次品率为4%，其合格品中75%为一级品，则任选一件产品为一级品的概率为（ ） A．0.75 B．0.96 C．0.72 D．0.78 【答案】C 【分析】先根据对立事件概率求合格品概率，再结合条件概率求出一级品的概率. 【详解】记“任选一件产品是合格品”为事件A，则. 记“任选一件产品是一级品”为事件B. 由于一级品必是合格品，故事件A包含事件B，因此. 由合格品中75%为一级品知. 故. 故选：C. 7．（23-24高二下·广东佛山·阶段练习）若某地区一种疾病的患病率是0.05，现有一种试剂可以检验被检者是否患病.已知该试剂的准确率为95%，即在被检验者患病的前提下用该试剂检测，有95%的可能呈现阳性；该试剂的误报率为0.5%，即在被检验者未患病的情况下用该试剂检测，有0.5%的可能会误报阳性.现随机抽取该地区的一个被检验者，已知检验结果呈现阳性，则此人患病的概率为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设出事件，利用条件概率和全概率公式得到，使用贝叶斯公式即可得解. 【详解】设检验结果呈现阳性为事件，此人患病为事件， ， ， 则. 故选：C 8．（23-24高二下·天津·期中）已知某地市场上供应的一种电子产品中，甲厂产品占，乙厂产品占，丙厂产品占，甲厂产品的合格率是，乙厂产品的合格率是，丙厂产品的合格率是，则从该地市场上买到一个产品，此产品是次品的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据条件，利用对立事件的概率公式及全概率公式，即可求出结果. 【详解】由题知，产品是次品的概率是， 故选：D. 9．（23-24高二下·江苏扬州·阶段练习）假设甲袋中有3个白球和3个红球，乙袋中有2个白球和2个红球．现从甲袋中任取2个球放入乙袋，再从乙袋中任取2个球．已知从乙袋中取出的是2个红球，则从甲袋中取出的也是2个红球的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用全概率公式及贝叶斯公式计算可得. 【详解】设从甲中取出个球，其中红球的个数为个的事件为，事件的概率为， 从乙中取出个球，其中红球的个数为个的事件为，事件的概率为，由题意： ①，； ②，； ③，； 所以 所以， 即已知从乙袋中取出的是个红球，则从甲袋中取出的也是个红球的概率为. 故选：C. 二、多选题 10．（24-25高二上·辽宁·期末）假设A，B是两个事件，且，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】结合对立事件的概率公式，利用条件概率公式求解判断AC，根据独立事件概率乘法公式求解判断B，利用概率的基本性质求解判断D. 【详解】因为，，所以，， 对于选项A，因为，， 所以，错误； 对于选项B，因为，所以事件A与B相互独立， 所以A与相互独立，所以，正确； 对于选项C，因为，所以，正确； 对于选项D，，D正确. 故选：BCD. 11．（23-24高二下·广东深圳·期中）在某班中，男生占40%，女生占60%，在男生中喜欢体育锻炼的学生占80%，在女生中喜欢体育锻炼的学生占60%，从这个班的学生中任意抽取一人.则下列结论正确的是（    ） A．抽到的学生是男生且喜欢体育锻炼的概率为 B．抽到的学生喜欢体育锻炼的概率为 C．若抽到的学生喜欢体育锻炼，则该学生是男生的概率为 D．若抽到的学生喜欢体育段炼，则该学生是女生的概率为 【答案】ABD 【分析】由已知结合条件概率公式及全概率公式检验各选项即可判断. 【详解】用，分别表示抽到学生是男生、女生，用表示抽到的学生喜欢体育锻炼， 由题意得，，，， 则， 由全概率公式得，故A、B正确； ，，故C错误，D正确； 故选：ABD 12．（23-24高二下·河北·阶段练习）某校进行一项问卷调查，为了调动学生参与的积极性，凡参与者均有机会获得奖品.学校设置了3个不同颜色的抽奖箱，每个箱子中的小球质地均匀，大小相同，其中红色箱子放有2个红球，2个黄球，2个绿球，黄色箱子放有2个黄球，1个绿球，绿色箱子放有1个黄球，2个绿球.参与者先从红色箱子中随机抽取1个小球，将其放入与小球颜色相同的箱子中，再从放入小球的箱子中随机抽取1个小球，如此重复，抽取3个小球，抽奖结束.若抽取的3个小球颜色全不相同为一等奖，3个小球颜色全部相同为二等奖，其他情况没有奖品.已知甲同学参与了问卷调查，则（    ） A．甲第一次取到红球的条件下，获得一等奖的概率为 B．甲第一次取到黄球的条件下，获得二等奖的概率为 C．甲获奖的条件下，第一次取到绿球的概率为 D．甲第一次取球取到红球获奖的概率最大 【答案】ABC 【分析】设分别表示第一次抽取到的是红球，黄球，绿球，分别表示获得一等奖，二等奖，根据事件的关系与条件概率公式逐项求解即可得结论. 【详解】设分别表示第一次抽取到的是红球，黄球，绿球， 分别表示获得一等奖，二等奖， 对于，所以A正确； 对于，所以B正确； 对于C，设甲获奖为事件，甲获得一等奖的概率为 甲获得二等奖的概率为，所以， 甲第一次取到绿球且获奖的概率为， 所以甲获奖的条件下，第一次取到绿球的概率为，故C正确； 对于D，甲第一次取球取到红球获奖的概率为， 甲第一次取球取到黄球获奖的概率为， 甲第一次取球取到绿球获奖的概率为， 则甲第一次取球取到绿球或者黄球获奖的概率最大，故D错误. 故选：ABC. 三、解答题 13．（2024高二下·江苏·专题练习）一位教授去参加学术会议，他乘坐飞机､动车和非机动车的概率分别为0.2，0.5，0.3，现在知道他乘坐飞机､动车和非机动车迟到的概率分别为. (1)求这位教授迟到的概率； (2)现在已经知道他迟到了，求他乘坐的是飞机的概率. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设A=“这位教授迟到”；B1=“乘飞机”；B2=“乘动车”；B3=“乘非机动车”，根据全概率公式，即可求得答案； （2）由题意可知所求概率为，根据贝叶斯公式即可求得答案. 【详解】（1）设“这位教授迟到”；=“乘飞机”；=“乘动车”；=“乘非机动车”， 则， 由全概率公式得：. （2）由题意可知所求概率为， 由贝叶斯公式得：. 14．（23-24高二下·山东烟台·阶段练习）甲、乙、丙三人独立地向同一飞机射击，设击中的概率分别为0.4，0.5，0.7．如果只有一人击中，则飞机被击落的概率为0.2；如果有两人击中，则飞机被击落的概率为0.6；如果三人都击中，则飞机一定被击落． (1)求飞机被击落的概率； (2)若飞机被击落，求是三人同时击中的概率． 【答案】(1)0.458 (2) 【分析】（1）设相应事件，根据独立事件概率乘法公式可得，再利用全概率公式求； （2）根据题意利用条件概率公式运算求解即可. 【详解】（1）设“只有一人击中”为事件A，“只有两人击中”为事件B，“三人都击中”为事件C， 则， ， ， 设“飞机被击落”为事件M，则，，， 所以. （2）由题意可知：“若飞机被击落，求是三人同时击中”为事件， 所以. 15．（23-24高二下·湖南邵阳·期中）某校团委组织开展了知识竞赛活动.现有两组题目放在A，B两个信封中，A信封中有6道选择题和3道论述题，B信封中有3道选择题和2道论述题.参赛选手先在任一信封中随机选取一题，作答完后再在此信封中选取第二题作答，答题结束后将这两个题目放回原信封. (1)若同学甲从B信封中抽取了2题，求第2题抽到论述题的概率； (2)若同学乙从A信封中抽取了2题，答题结束后误将题目放回了B信封，接着同学丙从B信封中抽取题目作答，已知丙取出的第一个题是选择题，求乙从A信封中取出的是2个论述题的概率. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）设出事件，利用全概率公式求解即可； （2）设出事件A，，，并求出对应的概率，利用全概率公式求出，然后利用条件概率公式求解即可. 【详解】（1）设事件表示“甲第i次从B信封中取到论述题”，，2， 则，，，. 由全概率公式得第2题抽到论述题的概率. （2）设事件A为“丙从B信封中取出的第一个题是选择题”， 事件为“乙从A信封中取出2个选择题”， 事件为“乙从A信封中取出1个选择题和1个论述题”， 事件为“乙从A信封中取出2个论述题”， 则，，两两互斥且， 则，，， ，，， 所以， 故所求概率. ( 5 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$