第07讲 导数的概念及其意义（3大知识点+10大题型+分层练习）-2024-2025学年高二数学考试满分全攻略同步备课备考系列（人教A版2019选修二）

第07讲 导数的概念及其意义 目录 题型归纳 1 题型01 平均变化率 2 题型02 瞬时变化率的概念及辨析 4 题型03 导数定义中极限的简单计算 7 题型04 利用定义求函数在一点处的导数（切线斜率） 9 题型05 求曲线切线的斜率（倾斜角） 11 题型06 求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 12 题型07 求过一点的切线方程 14 题型08 已知切线（斜率）求参数 17 题型09 两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题 19 题型10 求某点处的导数值 21 分层练习 23 夯实基础 23 能力提升 29 知识点1 瞬时速度 (1)平均速度 设物体的运动规律是s=s(t)，则物体在到+t这段时间内的平均速度为=. (2)瞬时速度 ①物体在某一时刻的速度称为瞬时速度. ②一般地，当t无限趋近于0时，无限趋近于某个常数v，我们就说当t趋近于0时，的极限 是v，这时v就是物体在t=时的瞬时速度，即瞬时速度v==. 知识点02抛物线切线的斜率 (1)抛物线割线的斜率 设二次函数y=f(x)，则抛物线上过点、的割线的斜率为=. (2)抛物线切线的斜率 一般地，在二次函数y=f(x)中，当x无限趋近于0时，无限趋近于某个常数k，我们就说当x趋 近于0时，的极限是k，这时k就是抛物线在点处切线的斜率，即切线的斜率k==. 知识点03函数的平均变化率 函数平均变化率的定义 对于函数y=f(x)，设自变量x从变化到+x，相应地，函数值y就从f()变化到f(+x).这时，x 的变化量为x，y的变化量为y=f(+x)- f ().我们把比值，即=叫做函数y=f(x)从到+x的平均变化率. 题型01平均变化率 【例1】（21-22高二上·天津河西·期末）设函数，当自变量t由2变到2.5时，函数的平均变化率是（    ） A．5.25 B．10.5 C．5.5 D．11 【答案】B 【知识点】平均变化率 【分析】利用平均变化率的公式即得. 【详解】∵， ∴. 故选：B. 【变式1】（23-24高二上·湖南·期末）某物体运动后，其位移（单位：）为．在这段时间里，该物体的平均速度为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】平均变化率 【分析】根据平均速度的含义，进行计算即可求得答案. 【详解】当时，位移为， 当时，位移为， 在这段时间里，该物体的平均速度为：． 故选：A. 【变式2】（21-22高二上·云南昭通·期末）已知函数，则函数在区间上的平均变化率为 . 【答案】3 【知识点】平均变化率 【分析】根据平均变化率的定义即可计算. 【详解】设，因为，， 所以. 故答案为：3 【变式3】（20-21高二·全国·课后作业）某机械厂生产一种木材旋切机，已知总利润c（单位：元）与产量x（单位：台）之间的关系式为. (1)求产量为100台时的总利润与平均利润； (2)求产量由100台提高到150台时，总利润的平均变化率. 【答案】(1)50600元，506元； (2)200（元/台）. 【知识点】平均变化率 【分析】（1）代入即可求出总利润，进而求出平均利润； （2）直接计算可求出平均变化率. 【详解】（1）总利润为（元）， 平均利润为（元）. （2）当产量由100台提高到150台时，总利润的平均变化率为（元/台）. 题型02 瞬时变化率的概念及辨析 【例2】（20-21高二上·陕西延安·期末）一个质量的物体作直线运动，设运动距离（单位：m）与时间（单位：s）的关系可用函数：表示，若，则该物体开始运动后第2s时的速度是（    ） A．3m/s B．5m/s C．6m/s D．12m/s 【答案】B 【知识点】瞬时变化率的概念及辨析 【分析】根据导数的知识求得正确答案. 【详解】由于， 所以该物体开始运动后第2s时的速度是m/s. 故选：B 【变式1】（22-23高二上·福建三明·期末）如图，AB是圆的切线，P是圆上的动点，设，AP扫过的圆内阴影部分的面积S是的函数.这个函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】瞬时变化率的概念及辨析 【分析】根据的增长速度求得正确答案. 【详解】当时，的增长速度越来越快； 当时，的增长速度越来越慢； 所以B选项符合. 故选：B 【变式2】（24-25高二上·北京朝阳·期末）建设大型水库可实现水资源的合理分配和综合利用，提高水资源的社会经济效益.已知一段时间内，甲，乙两个水库的蓄水量与时间的关系如下图所示. 下列叙述中正确的是（    ） A．在这段时间内，甲，乙两个水库蓄水量的平均变化率均大于0 B．在这段时间内，甲水库蓄水量的平均变化率大于乙水库蓄水量的平均变化率 C．甲水库在时刻蓄水量的瞬时变化率大于乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率 D．乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率大于乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率 【答案】D 【知识点】平均变化率、瞬时变化率的概念及辨析 【分析】结合瞬时变化率与平均变化率变化率结合图象分析即可得. 【详解】对A：由图可知，在这段时间内，甲水库蓄水量的平均变化率小于， 乙水库的蓄水量的平均变化率大于，故A错误； 对B：由图可知，在这段时间内，甲水库蓄水量的平均变化率小于，乙水库的蓄水量的平均变化率大于， 故甲水库蓄水量的平均变化率小于乙水库蓄水量的平均变化率，故B错误； 对C：由图可知，甲水库在时刻蓄水量的瞬时变化率小于， 乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率大于， 故甲水库在时刻蓄水量的瞬时变化率小于乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率，故C错误； 对D：由图可知，乙水库在时刻蓄水量上升比在时刻蓄水量上升快， 故乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率大于乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率，故D正确. 故选：D. 【变式3】（20-21高二上·湖北武汉·期末）已知球的体积V是关于半径r的函数，，则r=2时，球的体积的瞬时变化率为 【答案】 【知识点】瞬时变化率的概念及辨析 【分析】利用瞬时变化率的概念求解即可. 【详解】， ， 当趋于0时，趋于. 故答案为：. 题型03 导数定义中极限的简单计算 【例3】（21-22高二上·江苏徐州·期末）已知函数的定义域为，若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】导数定义中极限的简单计算 【分析】利用导数的定义可求得的值. 【详解】由导数的定义可得. 故选：D. 【变式1】（21-22高二上·内蒙古·期末）设函数，则（    ） A．1 B．5 C． D．0 【答案】B 【知识点】导数（导函数）概念辨析、导数定义中极限的简单计算 【分析】由题意结合导数的运算可得，再由导数的概念即可得解. 【详解】由题意，所以， 所以原式等于. 故选：B. 【变式2】（22-23高二上·江苏盐城·期末）已知，则 ． 【答案】/-0.5 【知识点】极限、导数定义中极限的简单计算 【分析】根据函数解析式求出，然后代入中求解即可. 【详解】因为， 所以， 所以. 故答案为：. 【变式3】（23-24高二上·湖北武汉·期末）若上的可导函数在处满足，则 ． 【答案】6 【知识点】导数定义中极限的简单计算 【分析】导数的定义可得答案. 【详解】， 则. 故答案为：. 题型04 利用定义求函数在一点处的导数（切线斜率） 【例4】（20-21高二上·陕西咸阳·期末）已知函数的导函数为，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】利用定义求函数在一点处的导数（切线斜率） 【解析】直接由导数定义可得答案. 【详解】由导数定义和，得. 故选：D. 【变式1】（20-21高二·安徽合肥·期中）已知，则在处的导数（    ） A． B．1 C． D．3 【答案】C 【知识点】导数（导函数）概念辨析、利用定义求函数在一点处的导数（切线斜率） 【分析】根据条件可得出，即可得出的值. 【详解】，． 故选：C 【变式2】（23-24高二上·河北石家庄·期末）设是可导函数，且，则（   ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【知识点】利用定义求函数在一点处的导数（切线斜率） 【分析】由导数的定义计算即可得出结果. 【详解】∵， ∴， ∴ . 故选：B 【变式3】（20-21高二上·湖北荆州·期末）已知点为曲线上的一点，为曲线的割线，当时，若的极限为，则在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】利用定义求函数在一点处的导数（切线斜率） 【解析】根据导数的定义，可求得在点P处切线的斜率，代入公式，即可求得答案. 【详解】根据导数的定义可得，即在点P处切线的斜率为-2， 所以在点处的切线方程为，整理可得. 故选：B 题型05 求曲线切线的斜率（倾斜角） 【例5】（20-21高二上·广西桂林·期中）函数在处的切线的斜率为（    ） A．0 B．1 C．2 D．e 【答案】A 【知识点】求曲线切线的斜率（倾斜角） 【分析】将函数求导，由导数的几何意义即可得到结果. 【详解】函数的导数， 由导数的几何意义，可知: 在处的切线的斜率为. 故选:A. 【变式1】（22-23高二上·江苏南通·期末）函数（e是自然对数的底数）图象在点处的切线的倾斜角是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求曲线切线的斜率（倾斜角） 【分析】求出，从而可得在点处的切线的倾斜角. 【详解】， 所以. 所以在点处的切线的倾斜角是. 故选:C. 【变式2】（20-21高二上·河南驻马店·期末）设点是曲线上的任意一点，曲线在点处的切线的倾斜角为，则的取值范围是 ．(用区间表示) 【答案】 【知识点】直线的倾斜角、求曲线切线的斜率（倾斜角） 【解析】求出导数，确定斜率的取值范围，由此得倾斜角的范围． 【详解】由题意，即切线斜率，而直线倾斜角在上， 因此倾斜角范围是． 故答案为：． 【变式3】（20-21高二上·黑龙江鸡西·期末）曲线在点处的切线的倾斜角为 ． 【答案】45° 【知识点】求曲线切线的斜率（倾斜角） 【分析】先利用导数的几何意义求出切线的斜率，再由斜率与倾斜角的关系可求得结果 【详解】解：由，得， 所以点处的切线的斜率为， 设切线的倾斜角为，则， 因为， 所以， 故答案为： 题型06 求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【例6】（22-23高二上·浙江宁波·期末）曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】先求函数在处的导数，再根据导数的几何意义确定切线斜率，并利用点斜式求切线方程. 【详解】函数的定义域为，其导函数， 所以， 所以曲线在点处的切线的斜率为1，又， 故曲线在点处的切线方程为. 故选：D. 【变式1】（22-23高二上·陕西西安·期末）函数的图象如图所示，是函数的导函数，令，，，则下列数值排序正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】利用导数的几何意义判断. 【详解】由函数图象知：， 所以， 故选：C 【变式2】（23-24高二上·福建福州·期末）曲线在点处的切线方程为 . 【答案】 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】根据题意，结合导数的几何意义，即可求解. 【详解】由函数，可得，则， 故曲线在点处的切线方程为：，即. 故答案为：. 【变式3】（22-23高二上·云南昆明·期末）曲线在点处的切线方程为 . 【答案】 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】再结合导数的几何意义 切线斜率，代入切线方程公式即可． 【详解】因为， 所以， 所以． 故切线方程为． 故答案为： 题型07 求过一点的切线方程 【例7】（22-23高二上·广东广州·期末）若动点P在直线上，动点Q在曲线上，则|PQ|的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求平行线间的距离、求过一点的切线方程 【分析】设与直线平行的直线的方程为，当直线与曲线相切，且点为切点时，，两点间的距离最小，根据导数的几何意义求出直线的方程，再利用平行线间的距离公式即可求得结果. 【详解】设与直线平行的直线的方程为， ∴当直线与曲线相切，且点为切点时，，两点间的距离最小， 设切点， ，所以， ，，， 点，直线的方程为， 两点间距离的最小值为平行线和间的距离， 两点间距离的最小值为. 故选：. 【变式1】（20-21高二上·广东梅州·期末）过原点且与相切的直线方程是 . 【答案】 【知识点】求过一点的切线方程 【分析】设切点为，利用导数的几何意义列方程组求出，即可取出切线方程. 【详解】设切点为，且， 由题意可得：，解得： 过原点且与相切的直线方程是. 故答案为： 【变式2】（23-24高二上·广东深圳·期末）若曲线有两条过点的切线，则的取值范围是 . 【答案】 【知识点】求过一点的切线方程 【分析】先利用导数求曲线过坐标的切线方程，再列出关于的不等式，进而求得的取值范围. 【详解】由得，设切点坐标为， 则切线斜率， 切线方程为， 又因为切线过，所以，整理得， 又曲线有两条过坐标原点的切线，所以该方程有两个实数解， 所以，解得或， 所以的取值范围是， 故答案为：. 【变式3】（22-23高二上·江苏镇江·期末）已知函数. (1)求曲线在处切线方程； (2)若直线过坐标原点且与曲线相切，求直线的方程. 【答案】(1) (2) 【知识点】求过一点的切线方程、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】（1）利用导数的几何意义求出切线斜率，然后利用点斜式写切线方程即可； （2）设切点坐标，然后利用导数的几何意义得到斜率，进而得到直线的方程. 【详解】（1），所以，所以，， 所以切线方程为：，整理得. （2），所以，设切点坐标为，所以切线斜率为， 则切线方程为：， 又因为切线过原点，所以将代入切线方程得，解得， 所以切线方程为：，整理得. 题型08 已知切线（斜率）求参数 【例8】（23-24高二上·江苏南京·期末）已知函数在点处的切线方程为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】已知切线（斜率）求参数 【分析】根据导数的几何意义求解即可. 【详解】因为函数在点处的切线方程为， 所以，且，所以， 所以． 故选：A. 【变式1】（21-22高二上·贵州黔东南·期末）已知曲线在处的切线过点，其中，则直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】已知切线（斜率）求参数、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】利用导数的几何意义，利用斜率建立方程，求解，即可求切线方程. 【详解】，，， 所以，解得：， 即， 所以直线的方程为，即. 故选：B 【变式2】（22-23高二上·山西晋中·期末）函数的图象与轴相切，则 . 【答案】 【知识点】已知切线（斜率）求参数 【分析】利用题给条件列出关于a的方程组，解之即可求得a的值. 【详解】由，可得， 又函数的图象与轴相切，设切点为， 则，解得 故答案为： 【变式3】（20-21高二上·广西桂林·期中）已知函数，且. (1)求的解析式； (2)求曲线在处的切线方程. 【答案】(1) (2) 【知识点】已知切线（斜率）求参数、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】（1）先求导数，根据可求，进而可得答案； （2）先求导数得到切线斜率，再求出切点，利用点斜式可求切线方程. 【详解】（1）因为，且，所以，解得，所以函数的解析式为. （2）由（1）可知，； 又，所以曲线在处的切线方程为，即. 题型09 两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题 【例9】（22-23高二上·陕西西安·期末）若曲线在点处的切线与直线垂直，则实数a的值为（    ） A．－4 B．－3 C．4 D．3 【答案】D 【知识点】两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】根据导数的运算公式以及切线的几何意义求解. 【详解】因为，所以， 当时，， 所以曲线在点处的切线的斜率等于3， 所以直线的斜率等于， 即，解得， 故选:D. 【变式1】（20-21高二上·北京·期末）曲线上的点到直线的距离的最小值是（    ） A．0 B．1 C． D． 【答案】C 【知识点】两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题 【分析】由题意可知曲线上的点到直线的最短距离，即与平行的切线的切点到直线的距离，根据导数的几何意义先求出切点即可求出结果. 【详解】解：，所以， 设曲线在处的切线与直线平行，则，所以，切点， 曲线上的点到直线的最短距离，即为切点P到直线的距离， 故选：C． 【变式2】（21-22高二上·江西景德镇·期末）已知为直线上的动点，为函数图象上的动点，则的最小值为 ． 【答案】 【知识点】两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题 【分析】求得的导数，由题意可得与直线平行的直线和曲线相切，然后求出的值最小，设出切点，求出切线方程，再由两直线平行的距离公式，得到的最小值． 【详解】解：函数的导数为， 设与直线平行的直线与曲线相切， 设切点为，则， 所以，所以，所以，所以， 所以切线方程为， 可得的最小值为， 故答案为：． 【变式3】（20-21高二上·浙江宁波·期末）已知函数，． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若，是否存在直线与曲线和都相切？若存在，求出所有这样的直线；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）存在；或． 【知识点】两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】（1）当时，，，故，再根据点斜式方程求解即可； （2）设直线与曲线相切于点，与曲线相切于点，则根据切点在切线上，也在曲线上得，整理得，再分当时和时两种情况求解即可. 【详解】（1）当时，，， 曲线在点处的切线方程为：， 代入整理得：. （2）设直线与曲线相切于点，与曲线相切于点，， 曲线在点处的切线为： 与曲线相切于点，则 由①得：，则 将、代入②得：， 整理得： 当时，，即 当时，，，因此，即 存在这样的直线，直线为或 【点睛】本题考查导数的几何意义，解题的关键在于把握切点即在曲线上又在切线上且切点处的导数值为切线的斜率这三个方面列方程求解，考查运算求解能力，是中档题. 题型10 求某点处的导数值 【例10】（22-23高二上·山西晋城·期末）有一机器人的运动方程为，（t是时间，s是位移），则该机器人在时刻时的瞬时速度为（    ） A．5 B．7 C．10 D．13 【答案】C 【知识点】求某点处的导数值、瞬时变化率的概念及辨析 【分析】对运动方程求导，根据导数的意义，将代入导函数即可求解. 【详解】因为，所以， 则， 所以该机器人在时刻时的瞬时速度为， 故选：. 【变式1】（22-23高二上·江苏连云港·期末）生产某塑料管的利润函数为，其中n为工厂每月生产该塑料管的根数，利润的单位为元．若，则n的值是 ． 【答案】 【知识点】求某点处的导数值 【分析】对求导,得，，解此方程，舍去负根即可得答案. 【详解】解：由已知可得，， 整理为， 解得或(舍). 所以 故答案为： 【变式2】（21-22高二上·黑龙江大庆·期末）若函数，则 ． 【答案】1 【知识点】求某点处的导数值 【分析】先对函数求导，然后令可求出的值 【详解】因为， 所以，则，解得． 故答案为： 【变式3】（20-21高二上·江西抚州·期末）已知函数. （1）求； （2）求曲线在点处的切线方程. 【答案】（1）；（2） 【知识点】求某点处的导数值、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【解析】（1）求出函数导数，将代入即可求得； （2）求出在处的导数，即切线斜率，求出即可由点斜式求出. 【详解】（1）， ， ，解得， （2），即切线斜率为， ， 所以切线方程为，即. 【夯实基础】 一、单选题 1．（20-21高二上·陕西延安·期末）已知在处的导数为2，则（    ） A．2 B．6 C． D． 【答案】A 【分析】由导数的定义求解即可. 【详解】，. 故选：A 2．（23-24高二上·江苏盐城·期末）已知函数的导函数为，且，则实数（    ） A．2 B．5 C． D． 【答案】C 【分析】由导数的定义可得的方程，求解可得. 【详解】， ，解得. 故选：C. 二、多选题 3．过点作曲线的切线有且仅有两条，则实数可能的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【解析】设切点坐标为，利用导数的几何意义求切线方程，代入点后，转化为关于的一元二次方程，由条件可知方程有两个不等实数根，求的取值范围. 【详解】设切点坐标为，因为，所以， 所以切线方程为，将点代入可得，化简得，过点作曲线的切线有且仅有两条，即方程有两个不同的解，则，解得：或，故实数的取值范围是. ，所以由选项判断可知正确. 故选：BCD 【点睛】思路点睛：当过定点的直线与曲线有两条切线时，转化为关于切点的方程有两个实数根，利用判别式可以求得实数的取值范围. 三、填空题 4．（22-23高二上·天津滨海新·期末）设函数在处的导数为2，则 . 【答案】2 【分析】根据导数的定义即得. 【详解】因为函数在处的导数为2，即， 所以， 故答案为：2. 5．（22-23高二上·山西阳泉·期末）已知函数的图象在点处的切线方程是，则 . 【答案】 【分析】由导数的几何意义可得的值，将点的坐标代入切线方程可得，即可得解. 【详解】由导数的几何意义可得，将点的坐标代入切线方程可得， 因此，. 故答案为：. 6．（22-23高二上·湖南长沙·期末）函数在其图象上的点处的切线方程为 ． 【答案】 【分析】对求导，求出，再由点斜式方程即可得出答案. 【详解】，，又切点为， 切线斜率，即切线方程为， 即． 故答案为：. 四、解答题 7．（22-23高二·江西赣州·期中）已知 (1)若，求曲线在处的切线方程； (2)若过点的直线与曲线在处相切，求实数a的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先对函数求导得到，从而得到曲线在处的切线斜率，再求得点，结合直线的点斜式方程，即可求解； （2）利用导数的几何意义得到，再根据两点间的斜率公式得到关于方程，即可求解. 【详解】（1）当时，，则， 所以， 所以曲线在处的切线方程为， 即. （2）由，得， 因为直线与曲线在处相切，所以直线的斜率， 又， 所以，解得：， 故实数a的值为. 8．（20-21高二·浙江嘉兴·期中）设函数  （）． (1)若，求函数在处切线的斜率； (2)求证：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）求导，利用切点处的导数值即可求解， （2）根据零点存在性定理可知在上存在唯一的零点，进而根据函数的单调性即可求解最值，进而可求解. 【详解】（1）当时，，           则，                    所以处的切线的斜率 （2）                     ， 由于在上递增，在上递减， 故在单调递增，由于当时，，当时，，因此由零点存在性定理可知：当必有且只有一个根，         使得，即，①                          两边取自然对数，所以②   在上，递减；在上，递增， 所以函数有最小值，             由①②得 所以，所以 9．（20-21高二上·陕西西安·期末）已知函数. （Ⅰ）求曲线在点处的切线方程； （Ⅱ）设函数（为的导函数），若方程在上有且仅有两个实根，求实数的取值范围. 【答案】（1）；（2）． 【解析】（1）求出，计算得切线斜率，从而得切线议程； （2）对求导，确定的单调性，极值，得的变化趋势，从而可得结论． 【详解】（1）由已知， 所以，又，所以切线议程为，即； （2）由（1），定义域为，， 所以在时，，递减，时，，递增， 所以时，取得极小值也是最小值， ，时，， 所以方程在上有且仅有两个实根，则实数的取值范围是． 【点睛】方法点睛：本题考查导数的几何意义，考查用导数研究方程根的分布．根据方程根的个数求参数范围问题，一般方法是数形结合思想，把问题转化为函数图象与直线的交点问题，可利用导数研究出函数的性质，如单调性，极值，确定函数的变化趋势，然后利用函数的图象得出参数范围． 10．（20-21高二上·广西玉林·期中）（1）求抛物线的标准方程：焦点为直线x2y4=0与坐标轴的交点. （2）设aR，函数 f (x)=lnxax.若a=3，求曲线y=f (x)在P1，3处的切线方程； 【答案】（1）或；（2）. 【分析】（1） 令，求得的值，从而分两种情况求得抛物线方程.（2）求出当a=3 时的导数，再求切线的斜率，由点斜式方程，即可得到切线方程； 【详解】解：（1）令，得；令，得， 所以抛物线的焦点坐标为或. 当焦点为时，设抛物线的标准方程为， 则，解得，此时抛物线的标准方程为. 当焦点为时，设抛物线的标准方程为， 则，解得，此时抛物线的标准方程为. 综上，抛物线的标准方程为或. （2）当时， 则切线方程为，即. 【能力提升】 一、单选题 1．（23-24高二上·浙江金华·期末）如果函数在处的导数为1，那么（    ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【分析】根据导数的定义可直接得到答案. 【详解】因为函数在处的导数为1， 根据导数的定义可知， 故选：A. 2．（20-21高二上·天津河西·期末）设函数，当自变量由1变到1.1时，函数的平均变化率是（    ） A．2.1 B．0.21 C．1.21 D．0.121 【答案】A 【解析】根据平均变化率的公式求解即可. 【详解】， 所以函数在区间上的平均变化率为. 故选：A 3．（20-21高二上·山东临沂·期末）已知函数，若过点可作曲线的三条切线，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】首先设过点的切线方程，切点，利用导数的几何意义列式，转化为有三个解，通过设函数，问题转化为与有三个交点，求的取值范围. 【详解】设过点的直线为， ，设切点为， 则 ，得有三个解， 令，， 当，得或，，得， 所以在，单调递增，单调递减， 又，，有三个解， 得，即. 故选：D 【点睛】方法点睛：本题考查根据方程实数根的个数求参数的取值范围，一般可采用1.直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；（3）数形结合：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后观察求解，此时需要根据零点个数合理寻找“临界”情况，特别注意边界值的取舍. 4．（21-22高二上·浙江宁波·期末）点A是曲线上任意一点，则点A到直线的最小距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】动点在曲线，则找出曲线上某点的斜率与直线的斜率相等的点为距离最小的点，利用导数的几何意义即可 【详解】不妨设，定义域为： 对求导可得： 令 解得：（其中舍去） 当时，，则此时该点到直线的距离为最小 根据点到直线的距离公式可得： 解得： 故选：A 二、多选题 5．（20-21高二上·江苏连云港·期末）下列曲线中，与直线相切的是（    ）． A．曲线 B．曲线 C．曲线 D．曲线 【答案】ABD 【解析】对A，联立直线与曲线方程，利用判别式可判断；对B，求出曲线导数，令导数等于2，求出切点，再验证切点是否满足；对C，根据直线与渐近线平行可判断；对D，求出曲线导数，令导数等于2，求出切点，再验证切点是否满足. 【详解】对A，将直线代入曲线可得，则，则直线与曲线相切，故A正确； 对B，直线的斜率为2，对，可得，令，解得，代入直线可得切点为，满足在上，故直线与曲线相切，故B正确； 对C，的一条渐近线为，和直线平行，故直线与曲线相交于一点，故不相切，故C错误； 对D，又可得，令，解得或1，当时，代入直线可得切点，不满足在曲线上；当时，代入直线可得切点为，满足在曲线上，故直线与曲线相切，故D正确. 故选：ABD. 【点睛】本题考查判定直线与曲线是否相切，一般采用的方法为，若曲线是椭圆、双曲线或抛物线，可联立直线与曲线方程，利用判别式判断；若曲线是函数曲线，则可通过求导进行判断. 6．（22-23高二上·江苏连云港·期末）关于切线，下列结论正确的是（    ） A．与曲线和圆都相切的直线l的方程为 B．已知直线与抛物线相切，则a等于 C．过点且与曲线相切的直线l的方程为 D．曲线在点处的切线方程为． 【答案】ABD 【分析】对A，由导数法求出曲线在切点处的切线方程，再由直线与圆相切与圆心到直线距离的关系列式即可求； 对B，直线与抛物线相切，即两方程联立有唯一解； 对C，点不在曲线上，设切点坐标为，结合导数法建立方程组求出切点坐标，即可进一步求出切线方程； 对D，由导数法直接求切线方程即可. 【详解】对A，设直线l与曲线相切于点，则由知曲线在点P处的切线方程为，即直线l的方程为． 由直线l与圆相切得，解得. 故直线l的方程为．A正确； 对B，由消去y得，所以解得．B正确； 对C，因为点不在曲线上，所以设切点坐标为. 又因为，所以解得 所以切点坐标为，所以，所以直线l的方程为，即．C错误； D中， ，所以，所以切线方程为，即．D正确． 故选：ABD 三、填空题 7．（21-22高二上·江苏南京·期末）牛顿迭代法又称牛顿拉夫逊方法，它是牛顿在17世纪提出的一种在实数集上近似求解方程根的一种方法．具体步骤如下：设是函数的一个零点，任意选取作为的初始近似值，作曲线在点,处的切线，设与轴交点的横坐标为，并称为的1次近似值；作曲线在点,处的切线，设与轴交点的横坐标为，并称为的2次近似值．一般的，作曲线在点,处的切线，记与轴交点的横坐标为，并称为的次近似值．设的零点为，取，则的2次近似值为 ． 【答案】/0.75 【分析】首先对求导，进而写出切线方程，再求处对应的值，结合题设中的次近似值的定义求的2次近似值. 【详解】由题设，设切点为,，则切线斜率， 切线方程为， 令，可得， 若，则，，即的2次近似值为． 故答案为：． 8．（22-23高二上·陕西西安·期中）若直线和曲线相切，则实数的值为 . 【答案】1 【分析】 首先求导的，再假设切点为，根据斜率，得，再将分别代入直线与曲线中，联立方程组，解方程即可求出参数 【详解】已知，得，设切点为， 已知直线斜率，得，再将分别代入直线与曲线中 可得解得. 故答案为： 四、解答题 9．（20-21高二上·北京·期末）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若有两个零点，求a的取值范围． 【答案】(1). (2). 【分析】（1）先对函数求导，从而可得切线的斜率，再利用点斜式可求出切线方程； （2）有两个零点，等价于方程有两个不同的根，即关于的方程有两个不同的解，转化为与的图象有两个交点，利用导数求出函数的单调区间和极值，从而可求出实数的取值范围. 【详解】（1）解：当时， ，则. 所以，而， 所以曲线在点处的切线方程为. （2）解：因为有两个零点，所以方程有两个不同的根， 即关于的方程，即有两个不同的解， 令，则与的图象有两个交点， 且. 令，则，且， 所以当时，，即，单调递增， 当时，，即，单调递减， 所以，且，当时，， 所以要使与的图象有两个交点，则的取值范围是. 10．（21-22高二上·河北衡水·期末）设，证明：曲线在点处的切线与坐标轴围成的图形的面积小于1． 【答案】证明见解析 【分析】先要求得切线方程，再得出三角形面积的解析式，进而证明面积小于1. 【详解】解：∵，∴， 又， ∴切线斜率， ∴曲线在点处的切线方程为， 即， 当时， 当时， ∴， 由得， ， 则，即 故命题得证． 11．（21-22高二上·陕西西安·期末）已知函数，满足，已知点是曲线上任意一点，曲线在处的切线为. (1)求切线的倾斜角的取值范围； (2)若过点可作曲线的三条切线，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意求出值，求导后通过导数的值域求出斜率范围，从而得到倾角范围. （2）利用导数几何意义得到过P点的切线方程，化简后构造m的函数，求新函数的极大值极小值即可. 【详解】（1）因为，则， 解得，所以， 则，故，， ，，，切线的倾斜角的的取值范围是，，. （2）设曲线与过点，的切线相切于点， 则切线的斜率为，所以切线方程为 因为点，在切线上， 所以 ，即， 由题意，该方程有三解 设，则，令，解得或， 当或时，，当时，， 所以在和上单调递减，在上单调递增， 故的极小值为，极大值为， 所以实数的取值范围是. 12．（22-23高二上·山西太原·期末）已知函数. (1)若在上是增函数，求实数的取值范围； (2)若时，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由在上是增函数，可得在上恒成立，再由参数分离法即可求得的取值范围. （2）当时，恒成立，所以在上单调递增，且.由，可得，再构造函数，则问题等价于函数在上单调递增， 即在上恒成立，即参数分离后，只需求即可得的取值范围. 【详解】（1）依题，  故，       在上是增函数，在上恒成立. 即：在上恒成立. 设，则 当时，；当时， 即在上单调递减；在在上单调递增 即的取值范围为： （2）当时，恒成立， 所以在上单调递增，且. 因为，所以， 则不等式可化为， 即. 令，因为，则问题等价于函数在上单调递增， 即在上恒成立， 即，. 令，， 则. 令，解得， 所以当时，，函数在上单调递减； 当时，，函数在上单调递增； 所以当时，函数取得最小值，且， 所以当时，， 所以. 【点睛】本题考查的是函数与导数的综合运用，导数求函数的最值，函数不等式恒成立问题以及参数分离法的灵活运用，属于较难题. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第07讲 导数的概念及其意义 目录 题型归纳 1 题型01 平均变化率 2 题型02 瞬时变化率的概念及辨析 3 题型03 导数定义中极限的简单计算 4 题型04 利用定义求函数在一点处的导数（切线斜率） 5 题型05 求曲线切线的斜率（倾斜角） 5 题型06 求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 6 题型07 求过一点的切线方程 6 题型08 已知切线（斜率）求参数 7 题型09 两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题 8 题型10 求某点处的导数值 8 分层练习 9 夯实基础 9 能力提升 11 知识点1 瞬时速度 (1)平均速度 设物体的运动规律是s=s(t)，则物体在到+t这段时间内的平均速度为=. (2)瞬时速度 ①物体在某一时刻的速度称为瞬时速度. ②一般地，当t无限趋近于0时，无限趋近于某个常数v，我们就说当t趋近于0时，的极限 是v，这时v就是物体在t=时的瞬时速度，即瞬时速度v==. 知识点02抛物线切线的斜率 (1)抛物线割线的斜率 设二次函数y=f(x)，则抛物线上过点、的割线的斜率为=. (2)抛物线切线的斜率 一般地，在二次函数y=f(x)中，当x无限趋近于0时，无限趋近于某个常数k，我们就说当x趋 近于0时，的极限是k，这时k就是抛物线在点处切线的斜率，即切线的斜率k==. 知识点03函数的平均变化率 函数平均变化率的定义 对于函数y=f(x)，设自变量x从变化到+x，相应地，函数值y就从f()变化到f(+x).这时，x 的变化量为x，y的变化量为y=f(+x)- f ().我们把比值，即=叫做函数y=f(x)从到+x的平均变化率. 题型01平均变化率 【例1】（21-22高二上·天津河西·期末）设函数，当自变量t由2变到2.5时，函数的平均变化率是（    ） A．5.25 B．10.5 C．5.5 D．11 【变式1】（23-24高二上·湖南·期末）某物体运动后，其位移（单位：）为．在这段时间里，该物体的平均速度为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（21-22高二上·云南昭通·期末）已知函数，则函数在区间上的平均变化率为 . 【变式3】（20-21高二·全国·课后作业）某机械厂生产一种木材旋切机，已知总利润c（单位：元）与产量x（单位：台）之间的关系式为. (1)求产量为100台时的总利润与平均利润； (2)求产量由100台提高到150台时，总利润的平均变化率. 题型02 瞬时变化率的概念及辨析 【例2】（20-21高二上·陕西延安·期末）一个质量的物体作直线运动，设运动距离（单位：m）与时间（单位：s）的关系可用函数：表示，若，则该物体开始运动后第2s时的速度是（    ） A．3m/s B．5m/s C．6m/s D．12m/s 【变式1】（22-23高二上·福建三明·期末）如图，AB是圆的切线，P是圆上的动点，设，AP扫过的圆内阴影部分的面积S是的函数.这个函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高二上·北京朝阳·期末）建设大型水库可实现水资源的合理分配和综合利用，提高水资源的社会经济效益.已知一段时间内，甲，乙两个水库的蓄水量与时间的关系如下图所示. 下列叙述中正确的是（    ） A．在这段时间内，甲，乙两个水库蓄水量的平均变化率均大于0 B．在这段时间内，甲水库蓄水量的平均变化率大于乙水库蓄水量的平均变化率 C．甲水库在时刻蓄水量的瞬时变化率大于乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率 D．乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率大于乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率 【变式3】（20-21高二上·湖北武汉·期末）已知球的体积V是关于半径r的函数，，则r=2时，球的体积的瞬时变化率为 题型03 导数定义中极限的简单计算 【例3】（21-22高二上·江苏徐州·期末）已知函数的定义域为，若，则（ ） A． B． C． D． 【变式1】（21-22高二上·内蒙古·期末）设函数，则（    ） A．1 B．5 C． D．0 【变式2】（22-23高二上·江苏盐城·期末）已知，则 ． 【变式3】（23-24高二上·湖北武汉·期末）若上的可导函数在处满足，则 ． 题型04 利用定义求函数在一点处的导数（切线斜率） 【例4】（20-21高二上·陕西咸阳·期末）已知函数的导函数为，且，则（    ） A． B． C． D． 【变式1】（20-21高二·安徽合肥·期中）已知，则在处的导数（    ） A． B．1 C． D．3 【变式2】（23-24高二上·河北石家庄·期末）设是可导函数，且，则（   ） A．2 B． C． D． 【变式3】（20-21高二上·湖北荆州·期末）已知点为曲线上的一点，为曲线的割线，当时，若的极限为，则在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 题型05 求曲线切线的斜率（倾斜角） 【例5】（20-21高二上·广西桂林·期中）函数在处的切线的斜率为（    ） A．0 B．1 C．2 D．e 【变式1】（22-23高二上·江苏南通·期末）函数（e是自然对数的底数）图象在点处的切线的倾斜角是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（20-21高二上·河南驻马店·期末）设点是曲线上的任意一点，曲线在点处的切线的倾斜角为，则的取值范围是 ．(用区间表示) 【变式3】（20-21高二上·黑龙江鸡西·期末）曲线在点处的切线的倾斜角为 ． 题型06 求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【例6】（22-23高二上·浙江宁波·期末）曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（22-23高二上·陕西西安·期末）函数的图象如图所示，是函数的导函数，令，，，则下列数值排序正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24高二上·福建福州·期末）曲线在点处的切线方程为 . 【变式3】（22-23高二上·云南昆明·期末）曲线在点处的切线方程为 . 题型07 求过一点的切线方程 【例7】（22-23高二上·广东广州·期末）若动点P在直线上，动点Q在曲线上，则|PQ|的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（20-21高二上·广东梅州·期末）过原点且与相切的直线方程是 . 【变式2】（23-24高二上·广东深圳·期末）若曲线有两条过点的切线，则的取值范围是 . 【变式3】（22-23高二上·江苏镇江·期末）已知函数. (1)求曲线在处切线方程； (2)若直线过坐标原点且与曲线相切，求直线的方程. 题型08 已知切线（斜率）求参数 【例8】（23-24高二上·江苏南京·期末）已知函数在点处的切线方程为，则（   ） A． B． C． D． 【变式1】（21-22高二上·贵州黔东南·期末）已知曲线在处的切线过点，其中，则直线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（22-23高二上·山西晋中·期末）函数的图象与轴相切，则 . 【变式3】（20-21高二上·广西桂林·期中）已知函数，且. (1)求的解析式； (2)求曲线在处的切线方程. 题型09 两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题 【例9】（22-23高二上·陕西西安·期末）若曲线在点处的切线与直线垂直，则实数a的值为（    ） A．－4 B．－3 C．4 D．3 【变式1】（20-21高二上·北京·期末）曲线上的点到直线的距离的最小值是（    ） A．0 B．1 C． D． 【变式2】（21-22高二上·江西景德镇·期末）已知为直线上的动点，为函数图象上的动点，则的最小值为 ． 【变式3】（20-21高二上·浙江宁波·期末）已知函数，． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若，是否存在直线与曲线和都相切？若存在，求出所有这样的直线；若不存在，请说明理由． 题型10 求某点处的导数值 【例10】（22-23高二上·山西晋城·期末）有一机器人的运动方程为，（t是时间，s是位移），则该机器人在时刻时的瞬时速度为（    ） A．5 B．7 C．10 D．13 【变式1】（22-23高二上·江苏连云港·期末）生产某塑料管的利润函数为，其中n为工厂每月生产该塑料管的根数，利润的单位为元．若，则n的值是 ． 【变式2】（21-22高二上·黑龙江大庆·期末）若函数，则 ． 【变式3】（20-21高二上·江西抚州·期末）已知函数. （1）求； （2）求曲线在点处的切线方程. 【夯实基础】 一、单选题 1．（20-21高二上·陕西延安·期末）已知在处的导数为2，则（    ） A．2 B．6 C． D． 2．（23-24高二上·江苏盐城·期末）已知函数的导函数为，且，则实数（    ） A．2 B．5 C． D． 二、多选题 3．过点作曲线的切线有且仅有两条，则实数可能的值是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 4．（22-23高二上·天津滨海新·期末）设函数在处的导数为2，则 . 5．（22-23高二上·山西阳泉·期末）已知函数的图象在点处的切线方程是，则 . 6．（22-23高二上·湖南长沙·期末）函数在其图象上的点处的切线方程为 ． 四、解答题 7．（22-23高二·江西赣州·期中）已知 (1)若，求曲线在处的切线方程； (2)若过点的直线与曲线在处相切，求实数a的值. 8．（20-21高二·浙江嘉兴·期中）设函数  （）． (1)若，求函数在处切线的斜率； (2)求证：. 9．（20-21高二上·陕西西安·期末）已知函数. （Ⅰ）求曲线在点处的切线方程； （Ⅱ）设函数（为的导函数），若方程在上有且仅有两个实根，求实数的取值范围. 10．（20-21高二上·广西玉林·期中）（1）求抛物线的标准方程：焦点为直线x2y4=0与坐标轴的交点. （2）设aR，函数 f (x)=lnxax.若a=3，求曲线y=f (x)在P1，3处的切线方程； 【能力提升】 一、单选题 1．（23-24高二上·浙江金华·期末）如果函数在处的导数为1，那么（    ） A．1 B． C． D． 2．（20-21高二上·天津河西·期末）设函数，当自变量由1变到1.1时，函数的平均变化率是（    ） A．2.1 B．0.21 C．1.21 D．0.121 3．（20-21高二上·山东临沂·期末）已知函数，若过点可作曲线的三条切线，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（21-22高二上·浙江宁波·期末）点A是曲线上任意一点，则点A到直线的最小距离为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 5．（20-21高二上·江苏连云港·期末）下列曲线中，与直线相切的是（    ）． A．曲线 B．曲线 C．曲线 D．曲线 6．（22-23高二上·江苏连云港·期末）关于切线，下列结论正确的是（    ） A．与曲线和圆都相切的直线l的方程为 B．已知直线与抛物线相切，则a等于 C．过点且与曲线相切的直线l的方程为 D．曲线在点处的切线方程为． 三、填空题 7．（21-22高二上·江苏南京·期末）牛顿迭代法又称牛顿拉夫逊方法，它是牛顿在17世纪提出的一种在实数集上近似求解方程根的一种方法．具体步骤如下：设是函数的一个零点，任意选取作为的初始近似值，作曲线在点,处的切线，设与轴交点的横坐标为，并称为的1次近似值；作曲线在点,处的切线，设与轴交点的横坐标为，并称为的2次近似值．一般的，作曲线在点,处的切线，记与轴交点的横坐标为，并称为的次近似值．设的零点为，取，则的2次近似值为 ． 8．（22-23高二上·陕西西安·期中）若直线和曲线相切，则实数的值为 . 四、解答题 9．（20-21高二上·北京·期末）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若有两个零点，求a的取值范围． 10．（21-22高二上·河北衡水·期末）设，证明：曲线在点处的切线与坐标轴围成的图形的面积小于1． 11．（21-22高二上·陕西西安·期末）已知函数，满足，已知点是曲线上任意一点，曲线在处的切线为. (1)求切线的倾斜角的取值范围； (2)若过点可作曲线的三条切线，求实数的取值范围. 12．（22-23高二上·山西太原·期末）已知函数. (1)若在上是增函数，求实数的取值范围； (2)若时，不等式恒成立，求实数的取值范围. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司6 学科网（北京）股份有限公司 $$