圆周角 专题练习 2024-2025学年人教版数学九年级上册

圆周角(1) 基础练习 一、圆周角的定义 　　顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角. 二、圆周角定理 　　一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. 1经典例题 如图，点A，B，D都在☉O上，若∠AOD＝80°，则∠ABD的度数为40°. 2变式训练如图，OA，OB，OC都是☉O的半径，∠AOB＝2∠BOC.求证：∠ACB＝2∠BAC. 三、 圆周角定理的推论1 　　同弧或等弧所对的圆周角相等. 3经典例题 如图，在☉O中，∠A＝55°，则∠B＝55°，∠COD＝110°. 4变式训练如图，圆的两条弦AB，CD相交于点E，且＝，∠C＝35°，则∠CEB的度数为70°. 5母题演变如图，△ABC的顶点A，B，C都在☉O上，P为上一点，连接PC，PA，PB，∠1＝∠2＝60°.求证：△ABC为等边三角形. 6变式训练如图，点A，B，C在☉O上，BD＝CD.求证：∠1＝∠2＝∠3＝∠4. 强化练习 1.下列各圆中，∠A是圆周角的是(　　) 2.如图，两弦AB，CD相交于点E，且AB⊥CD.若∠A＝30°，则∠B的度数为(　　) A.30° B.50° C.60° D.70° 3.如图，A，B，C是☉O上的三个点，若∠B＝60°，则∠OAC的度数为30°. 4.如图，AB是☉O的直径，点C，D是☉O上的两点，且AC＝CD.求证：OC∥BD. 5.(2023·深圳宝安区二模)船在航行过程中，船长常常通过测量角度来判断是否有触礁危险.如图，A，B表示灯塔，暗礁分布在经过A，B两点的一个圆形区域内，优弧ACB是有触礁危险的临界线，∠ACB是“危险角”.当船分别位于D，E，F，G四个位置时，船与两个灯塔的夹角小于“危险角”∠ACB的是(　　) A.∠ADB B.∠AEB C.∠AFB D.∠AGB 解题技巧 延长AF，AG，构造圆周角. 6.如图，AB是☉O的一条弦，OD⊥AB，垂足为C，交☉O于点D，点E在☉O上，∠BED＝30°. (1)求∠AOD的度数； (2)若OA＝2，求AB的长. 7.如图，点A，B，C在☉O上，△ABC的高AD，BE相交于点H，延长AD交☉O于点G，连接BG.求证：HD＝GD. 圆周角(2) 课前练习 (1)如图①，若∠AOB＝60°，则∠C＝30°. (2)如图②，＝，∠D＝35°，则∠E＝35°. 基础练习 一、圆周角定理的推论2 　　半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径. 1经典例题如图，AB是☉O的直径，AC和BC是☉O的弦.若∠B＝30°，求∠A的度数. 2变式训练如图，在☉O中，∠CAB＝∠CBA＝45°，点A，B，C在☉O上.求证：AB是☉O的直径. 3母题演变如图，☉O的直径AB为10 cm，弦AC为6 cm，∠ACB的平分线交☉O于点D，则BC＋AD＝( . 拓展提问：△ABD的形状是等腰直角三角形. 4变式训练如图，AD为☉O的直径，AC＝2 cm，∠DAC＝∠ABC，∠BAD＝30°，求AD，BD的长. 二、圆内接多边形 (1)如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆； (2)圆内接四边形的对角互补. 5母题演变 如图，四边形ABCD内接于☉O，E为CD延长线上一点.若∠ADE＝100°，则∠ABC的度数是100°. 6变式训练(2023·江苏)如图，四边形ABCD是☉O的内接四边形，BC是☉O的直径，BC＝2CD，则∠BAD的度数是120°. 强化练习 1.(2023·江门第一中学景贤学校期中)如图，已知AB是☉O的直径，∠BCD＝30°，则∠ABD＝(　　) A.30° B.60° C.90° D.120° 2.如图，四边形ABCD是☉O的内接四边形.若∠D＝2∠B，则∠B＝60°. 3.【应用意识】如图，一圆形玻璃镜面损坏了一部分，为得到同样大小的镜面，工人师傅用直角尺作如图所示的测量，测得AB＝8 cm，BC＝6 cm，则圆形镜面的半径为5cm. 4.如图，点A，B，C在☉O上，∠B＝130°，则∠AOC＝100°. 5.如图，△ABC的三个顶点在☉O上，且AB＝AC，∠BAC＝36°，在上取点D，连接BD，AD，则∠BAD＋∠ABD＝72°. 6.如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的☉O交BC于点D.求证：BD＝CD. 解题技巧 见直径，想直角，添加辅助线. 7.如图，△ABC内接于☉O，AF是☉O的弦，AF⊥BC，垂足为D，点E为上一点，且BE＝CF. (1)求证：AE是☉O的直径； (2)若∠ABC＝∠EAC，AE＝8，求AC的长. 学科网（北京）股份有限公司 $$