复习06 零点及二分法（九大考点）-2025年高一数学复习与预习手册（寒假不停学）（人教A版2019）

2025年高一数学复习与预习手册（寒假不停学）（人教A版2019） 复习06 零点及二分法 知识点 1 ：函数的零点 1.零点的概念：对于一般函数，我们把使的实数叫做函数的零点． 温馨提示：同二次函数的零点一样，一般函数的零点也不是一个点，而是一个实数，当自变量取该值时，其函数值等于零． 2．方程、函数、图象之间的关系 方程有实根⇔函数的图象与轴有交点⇔函数有零点． 知识点 2 ：函数零点的存在性定理 如果函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，并且有，那么，函数y=f(x)在区间内至少有一个零点，即存在，使得，这个也就是方程的解． 温馨提示：定理实际上是通过零点附近函数值的正负来研究函数值为零的情况，要求具备两条： （1）函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线；（2）. 知识点 3 ：二分法 1．二分法的定义：对于在区间上图象连续不断且的函数,通过不断地把它的零点所在区间一分为二,使所得区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法． 温馨提示：二分就是将所给区间平均分成两部分,通过不断逼近的办法,找到零点附近足够小的区间,根据所要求的精确度,用此区间的某个数值近似地表示真正的零点． 2．二分法求函数零点的一般步骤 给定精确度,用二分法求函数零点近似值的一般步骤如下： （1）确定的初始区间,验证； （2）求区间的中点； （3）计算,并进一步确定零点所在的区间 ①若 (此时),则就是函数的零点； ②若 (此时零点),则令； ③若 (此时零点),则令. （4）判断是否达到精确度：即若,则得到零点近似值(或)；否则重复步骤（2）～（4）． 考点01 函数的零点 【方法点拨】求零点，则方程，求出对应的根即可 例1．函数的零点是 . 例2．（多选）已知3是函数的一个零点，则（    ） A． B． C． D． 变式1-1．求函数的零点； 变式1-2．如图，网格纸上的小正方形的边长均为1，一次函数的图象不仅平分正方形的面积，也平分矩形的面积，则 ，函数的零点为 ．    变式1-3．关于的函数的两个零点为，且，则＝（　　） A． B． C． D． 考点02 判断零点区间及已知零点区间求参数 【方法点拨】判断函数零点所在区间的3个步骤： ①代入：将区间端点值代入函数求出函数的值；②判断：把所得的函数值相乘，并进行符号判断； ③结论：若符号为正且函数在该区间内是单调函数，则在该区间内无零点，若符号为负且函数连续，则在该区间内至少有一个零点． 例3．已知函数，则在下列区间中使函数有零点的区间是（    ） A． B． C． D． 例4．已知方程的根在区间，上，则 ． 变式2-1．已知函数的图象是一条连续不断的曲线，且，，，，，则在下列区间中，一定包含零点的区间是（    ） A． B． C． D． 变式2-2．函数与的图象交点为．若，，则 ． 变式2-3．已知函数的零点位于区间内，则 . 考点03 判断零点的个数 【方法点拨】判断函数零点个数的方法： ①图象法：结合函数图象进行判断，即转化为两函数图象的交点个数问题； ②单调性法：借助函数的单调性进行判断．若函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，且在区间上单调,满足,则函数在区间上有且仅有一个零点, 例5．函数的零点个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 例6．函数 的零点的个数为 变式3-1．方程的根的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 变式3-2．函数的零点个数为 . 变式3-3．函数的零点的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 考点04 已知零点个数求参数 【方法点拨】已知函数零点个数求参数常用的方法： ①直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； ②分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； ③数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解. 例7．已知函数，函数，若有两个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例8．已知函数，若关于的方程恰有三个实数根，则的取值范围为 ． 变式4-1．已知函数，其中，若存在实数，使得关于的方程恰有三个不同的实数根，则的取值范围是 . 变式4-2．已知，若存在实数，使得关于的方程有两个不等实根，则实数的取值范围是 . 变式4-3．已知函数，若函数零点的个数为3或4，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 考点05 已知零点分布求参数 例9．已知函数有两个零点，一个大于1另一个小于1，则实数的取值范围为 . 例10．若函数在区间上存在零点，则常数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 变式5-1．若函数f（x）＝3ax＋1－2a在区间（－1，1）内存在一个零点，则a的取值范围是（    ） A． B． C．（－∞，－1） D．（－∞，－1）∪ 变式5-2．已知函数有一个零点在区间内，求实数的取值范围是（    ） A． B．或 C．或 D．或 变式5-3．若函数有零点，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 考点06 比较零点的大小 例11．已知函数的零点分别为，则（    ） A． B． C． D． 例12．已知函数的零点依次为，则的大小关系为 . 变式6-1．已知正数分别是函数的零点，则（    ） A． B． C． D． 变式6-2．若，，，则，，由小到大的顺序是 变式6-3．（多选）已知函数，的零点分别为，，则（    ） A． B． C． D． 考点07 零点之和 例13．已知函数，若，，，是方程的四个互不相等的解，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 例14．已知函数，函数满足，若函数恰有2025个零点，则所有零点之和为（   ） A． B． C． D． 变式7-1．定义域为R的函数，若关于x的方程恰有5个不同的实数解，，，，，则等于（   ） A．1 B． C． D．0 变式7-2．已知定义域为的函数，且满足，若方程的解为，则的范围为 ． 变式7-3．已知1是函数的一个零点，则函数的所有零点之和为（    ） A． B．2 C．3 D．4 考点08 镶嵌函数的零点问题 例15．已知，方程有6个不同实数解，则的取值范围（    ） A． B． C． D． 例16．已知函数，，且方程有两个不同的解，则实数m的取值范围为 ，关于x的方程解的个数为 ． 变式8-1．已知则方程的解集是 . 变式8-2．已知函数，则函数零点的个数是 . 变式8-3．已知函数若关于的方程有6个互不相等的实数解，则实数的取值范围是 . 考点09 二分法 【方法点拨】利用二分法求方程近似解（函数零点）的步骤： ①构造函数,利用图象确定方程的解所在的大致区间,通常限制在区间. ②利用二分法求出满足精确度的方程的解所在的区间. ③区间内的任一实数均是方程的近似解,通常取区间的一个端点． 例17．小明同学在用二分法研究函数在区间的零点时，发现，，，那么他下一步应计算（    ） A． B． C． D． 例18．求方程的零点（精确到0.1）． 变式9-1．若函数的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表： 那么方程的一个近似根精确到为 ． 变式9-2．已知函数在区间上有一个零点，如果用二分法求的近似值（精确度为0.01），则应将区间至少等分的次数为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 变式9-3．若函数的图象是连续的，且函数的唯一零点同在，，，内，则与符号不同的是 .（填写所有正确的序号） ①；②；③；④；⑤. 1．（2024-2025学年高一上学期阶段性质量监测（二）数学试题）函数的零点所在区间是（   ） A． B． C． D． 2．（2024-25高一上·甘肃兰州·期末）已知是函数的一个零点，若，，则（   ） A．， B．， C．， D．， 3．（2024-25高一上·天津·阶段练习）下列函数中，不能用二分法求零点的是（    ） A． B． C． D． 4．（2024-25高一上·吉林长春·期末）已知函数，若关于x的方程有4个不同的实根，且，则（   ） A． B． C． D． 6．（2024-25高一上·新疆·期末）已知函数，若函数有3个零点，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．（2024-25高一上·全国·课后作业）（多选）用二分法求函数零点近似值时，第一次取的区间是，则第三次所取的区间可能是（    ） A． B． C． D． 8．（2024-25高一上·江西吉安·期末）（多选）已知函数，下面关于的方程的实数根的个数，说法正确的是（    ） A．当时，原方程有6个根 B．当时，原方程有6个根 C．当时，原方程有4个根 D．不论取何值，原方程都不可能有7个根 9．（2024-25高一上·四川达州·期末）已知函数，若有零点，则的取值范围为 ． 10．（2024-25高一上·上海·阶段练习）方程有四个不同的实数根，求的取值范围 . 11．（2003·全国·高考真题）方程的根 ．（结果精确到0.1） 12．（2024-25高一上·安徽合肥·期末）已知. (1)作出函数的图象； (2)写出函数的单调区间； (3)若函数有两个零点，求实数m的取值范围. 13．（2024-25高一上·云南楚雄·期末）已知幂函数在上单调递增． (1)求的解析式； (2)若函数在上有零点，求的取值范围． 14．（2024-25高一上·福建莆田·期末）若函数有零点，但不能用二分法求其零点，求实数的值. 15．（2024-25高一上·甘肃·期末）函数，其中． (1)若，求的零点； (2)若函数有两个零点，求的取值范围． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$2025年高一数学复习与预习手册（寒假不停学）（人教A版2019） 复习06 零点及二分法 知识点 1 ：函数的零点 1.零点的概念：对于一般函数，我们把使的实数叫做函数的零点． 温馨提示：同二次函数的零点一样，一般函数的零点也不是一个点，而是一个实数，当自变量取该值时，其函数值等于零． 2．方程、函数、图象之间的关系 方程有实根⇔函数的图象与轴有交点⇔函数有零点． 知识点 2 ：函数零点的存在性定理 如果函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，并且有，那么，函数y=f(x)在区间内至少有一个零点，即存在，使得，这个也就是方程的解． 温馨提示：定理实际上是通过零点附近函数值的正负来研究函数值为零的情况，要求具备两条： （1）函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线；（2）. 知识点 3 ：二分法 1．二分法的定义：对于在区间上图象连续不断且的函数,通过不断地把它的零点所在区间一分为二,使所得区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法． 温馨提示：二分就是将所给区间平均分成两部分,通过不断逼近的办法,找到零点附近足够小的区间,根据所要求的精确度,用此区间的某个数值近似地表示真正的零点． 2．二分法求函数零点的一般步骤 给定精确度,用二分法求函数零点近似值的一般步骤如下： （1）确定的初始区间,验证； （2）求区间的中点； （3）计算,并进一步确定零点所在的区间 ①若 (此时),则就是函数的零点； ②若 (此时零点),则令； ③若 (此时零点),则令. （4）判断是否达到精确度：即若,则得到零点近似值(或)；否则重复步骤（2）～（4）． 考点01 函数的零点 【方法点拨】求零点，则方程，求出对应的根即可 例1．函数的零点是 . 【答案】6 【详解】令，即， 则，， 解得或（舍去）， 所以函数的零点为6. 故答案为：6. 例2．（多选）已知3是函数的一个零点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】显然，， 当时，代入函数可得，可得， 所以. 则，则. 故选：BD 变式1-1．求函数的零点； 【答案】和 【详解】当时，，得； 当时，，得， 所以函数的零点为和. 变式1-2．如图，网格纸上的小正方形的边长均为1，一次函数的图象不仅平分正方形的面积，也平分矩形的面积，则 ，函数的零点为 ．    【答案】 / 【详解】    由图可知正方形的对称中心的坐标为，矩形的对称中心的坐标为． 当且仅当一次函数的图象经过这两个对称中心时，正方形与矩形的面积恰能各自被其平分． 设，则，解得则； 又由，解得，则函数的零点为． 故答案为：；. 变式1-3．关于的函数的两个零点为，且，则＝（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】依题意得是方程的两不等实根， 所以， ，， 所以，即， 又，所以. 故选：A 考点02 判断零点区间及已知零点区间求参数 【方法点拨】判断函数零点所在区间的3个步骤： ①代入：将区间端点值代入函数求出函数的值；②判断：把所得的函数值相乘，并进行符号判断； ③结论：若符号为正且函数在该区间内是单调函数，则在该区间内无零点，若符号为负且函数连续，则在该区间内至少有一个零点． 例3．已知函数，则在下列区间中使函数有零点的区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】函数为R上增函数，函数在内单调递减，函数在上单调递增， 又， 因此函数在区间内有零点，在区间上不存在零点， 当时，，则，当时，，则， 当时，，则，因此函数在上都不存在零点. 故选：B 例4．已知方程的根在区间，上，则 ． 【答案】 【详解】原问题转化为的零点所在区间问题， 函数是增函数， 所以， ， 所以， 函数的零点在之间， 函数的零点在区间，上， ， 故答案：． 变式2-1．已知函数的图象是一条连续不断的曲线，且，，，，，则在下列区间中，一定包含零点的区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为的图象是一条连续不断的曲线， 且，，，， 所以，由零点存在性定理可知一定包含零点的区间是． 故选：C. 变式2-2．函数与的图象交点为．若，，则 ． 【答案】3 【详解】令函数，显然函数在R上单调递增， 由函数与的图象交点为，得函数的零点为， 而，因此存在唯一，使得， 所以. 故答案为：3 变式2-3．已知函数的零点位于区间内，则 . 【答案】2 【详解】由题意可知函数在定义域内单调递增， 易知， 而，所以, 根据零点存在定理可知，函数在区间内存在零点， 所以可得. 故答案为： 考点03 判断零点的个数 【方法点拨】判断函数零点个数的方法： ①图象法：结合函数图象进行判断，即转化为两函数图象的交点个数问题； ②单调性法：借助函数的单调性进行判断．若函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，且在区间上单调,满足,则函数在区间上有且仅有一个零点, 例5．函数的零点个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【详解】当时，令，解得， 当时，，，在连续， 所以在上存在零点，又因为单调递增，所以函数在上有唯一零点， 综上，的零点个数为2. 故选：C 例6．函数 的零点的个数为 【答案】2 【详解】令，得，即， 作出与的图象，可知它们只有2个交点. 故答案为：2. 变式3-1．方程的根的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】由题意可转化为函数（），（）两函数图象交点问题， 在同一平面直角坐标系中画出两个函数的图象，如图所示， 由图得两个函数图象有2个交点，故原方程根的个数为2． 故选：B． 变式3-2．函数的零点个数为 . 【答案】2 【详解】令，可得， 设，， 在同一坐标系下分别画出函数，的图象， 可以发现两个函数图象一定有2个交点，因此函数有2个零点. 故答案为：2. 变式3-3．函数的零点的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【详解】令，则， 在同一坐标系内分别作出的图象， 因为， ， 在定义域上都单调递增且随着的增大， 的增长速度远大于， 所以的图象有两个交点， 所以的零点个数为2. 故选：C. 考点04 已知零点个数求参数 【方法点拨】已知函数零点个数求参数常用的方法： ①直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； ②分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； ③数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解. 例7．已知函数，函数，若有两个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】令，即， 因为有两个零点，则函数和有两个交点， 画出函数的图象，如图， 由图可知，要使函数和有两个交点， 则，即，则的取值范围是. 故选：A. 例8．已知函数，若关于的方程恰有三个实数根，则的取值范围为 ． 【答案】 【详解】关于的方程恰有三个实数根等价于函数与的图象的交点个数为， 作出的图象，由图可知两个函数图象有个交点时，的取值范围为 故答案为：. 变式4-1．已知函数，其中，若存在实数，使得关于的方程恰有三个不同的实数根，则的取值范围是 . 【答案】 【详解】当时，作出函数的图象如下图所示， 当时，， 所以若要存在实数，使得关于的方程恰有三个不同的实数根， 则必须，解得， 所以的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：把方程的根的问题围转化为函数图象交点个数问题，数形结合求解. 变式4-2．已知，若存在实数，使得关于的方程有两个不等实根，则实数的取值范围是 . 【答案】 【详解】当，对于，在上单调递减，在上单调递增， 所以，此时一定存在实数，使得关于的方程有两个不等实根； 当时，在上单调递增，在上单调递增， 此时要使关于的方程有两个不等实根，只需， 而，所以； 综上，. 故答案为： 变式4-3．已知函数，若函数零点的个数为3或4，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】函数零点的个数，即为的交点个数， 画出与的大致图像， 结合图像可知：当的交点个数为3或4时， 的取值范围是， 故选：D. 考点05 已知零点分布求参数 例9．已知函数有两个零点，一个大于1另一个小于1，则实数的取值范围为 . 【答案】 【详解】函数有两个零点，一个大于1另一个小于1， 又，则，函数的对称轴方程为， 当时，函数的示意图如下： 所以，解得， 当， ，此时无解， 所以实数的取值范围为. 故答案为： 例10．若函数在区间上存在零点，则常数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，可知在上单调递增， 因为在上存在零点， 所以在上存在唯一零点， 所以，即， 解得. 故选：A 变式5-1．若函数f（x）＝3ax＋1－2a在区间（－1，1）内存在一个零点，则a的取值范围是（    ） A． B． C．（－∞，－1） D．（－∞，－1）∪ 【答案】D 【详解】当a＝0时，f（x）＝1与x轴无交点，不合题意，所以a≠0； 函数f（x）＝3ax＋1－2a在区间（－1，1）内是单调函数， 所以f（－1）·f（1）＜0，即（5a－1）（a＋1）＞0， 解得a＜－1或a＞. 故选：D. 变式5-2．已知函数有一个零点在区间内，求实数的取值范围是（    ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】C 【详解】当函数只有一个零点，则，解得； 当函数有两个零点，且一个零点在上时， 则或或 解得或或, 综上所述，实数的取值范围是或. 故选：C 变式5-3．若函数有零点，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为函数与均在上单调递增， 所以在上单调递增. 要使函数有零点，则只需要即可， 即，解得. 故选：D. 考点06 比较零点的大小 例11．已知函数的零点分别为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】函数的零点为函数与的图象交点的横坐标， 函数的零点为函数与的图象交点的横坐标， 函数的零点为函数与的图象交点的横坐标． 在同一直角坐标系内作出函数、、与的图象如图： 由图可知，. 故选：B． 例12．已知函数的零点依次为，则的大小关系为 . 【答案】 【详解】根据题意，得 令，即，故，所以； 令，即，故，且，则，所以； 令，即，故； 所以. 故答案为：. 变式6-1．已知正数分别是函数的零点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由函数在上为增函数，又， 则存在唯一零点，即； 令，则，解得或，则； 令，可得函数的零点即为与的交点的横坐标，画简图如图： 可得（负值舍去），则．综上，． 故选：B 变式6-2．若，，，则，，由小到大的顺序是 【答案】 【详解】依题意，，，， ，，， 因此，成立的值是函数与的图象交点的横坐标， 成立的值是函数与的图象交点的横坐标， 成立的值是函数与的图象交点的横坐标， 在同一坐标系内作出函数，，，的图象，如图， 观察图象，得，即， 所以，，由小到大的顺序是. 故答案为：. 变式6-3．（多选）已知函数，的零点分别为，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】因为函数与的图象关于直线对称，图象也关于直线对称， 设与图象的交点为A， 与图象的交点为， 则与关于直线对称，则，． 因为，所以，则，即， 因为的图象与直线的交点为， 所以，，，则． 故选：ABD. 考点07 零点之和 例13．已知函数，若，，，是方程的四个互不相等的解，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以， 当时，令，即，解得或， 方程的解的个数即为的图象与的图象的交点个数， 在同一平面直角坐标系中作出函数的图象与的图象， 结合两函数图象可知，方程的四个互不相等的解时，的取值范围是. 不妨设， 结合图象知：且，， 由，即，所以，又， ， 故的取值范围是. 故选：C 例14．已知函数，函数满足，若函数恰有2025个零点，则所有零点之和为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，得函数的定义域为R， 又，即函数是奇函数， 函数的图象关于点对称，则函数的图象关于点对称， 由，得函数的图象关于点对称， 因此函数的图象关于点对称，由函数恰有2025个零点， 得函数有一个零点为，其余零点关于对称， 所以所有零点之和为. 故选：A 变式7-1．定义域为R的函数，若关于x的方程恰有5个不同的实数解，，，，，则等于（   ） A．1 B． C． D．0 【答案】B 【详解】令，作出函数的大致图象， 当时，， 故函数的图象关于直线对称， 因为关于的方程恰有个不同的实数根， 则关于的方程恰有两根，设为、，且必有一根为，设， 设方程的两根分别为、，且，则， 令，解得或，又因为，不妨设， 所以，则， 因此，. 故选：B. 变式7-2．已知定义域为的函数，且满足，若方程的解为，则的范围为 ． 【答案】 【详解】由题意知定义域为的函数，且满足， 即函数为奇函数， 根据解析式可得如下函数草图，的解为， 不妨设，    结合，由图知：，， 由，则， 所以，可得， 而，可得， 所以在上单调递增， 则. 故答案为： 【点睛】思路点睛：函数零点的性质讨论，应根据图象的特征结合对数运算性质找到不同零点之间的相互关系后将目标代数式转化为单变量函数，再结合函数的单调性或导数可求相应的范围. 变式7-3．已知1是函数的一个零点，则函数的所有零点之和为（    ） A． B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】由，得，则， 由 . 解得或， 所以函数的所有零点之和为2． 故选：B 考点08 镶嵌函数的零点问题 例15．已知，方程有6个不同实数解，则的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】作出函数的图像，如图所示： 令，构建， 若方程有6个不同实数解， 则函数有2个零点，不妨设， 结合函数的图像，有如下几种情况： 若，则，解得； 若，则，解得， 此时的零点为2，不合题意； 若，则，无解，不合题意； 综上所述：的取值范围为. 故选：A. 例16．已知函数，，且方程有两个不同的解，则实数m的取值范围为 ，关于x的方程解的个数为 ． 【答案】 ; 4 【详解】①由题意可知，直线与函数的图象有两个不同的交点，如下图所示： 由图可知，当时，直线与函数的图象有两个不同的交点，故； ②方程中，设， 即，即函数与直线的交点问题， 作出函数的图象如下图所示： 因为，函数与有个交点， 即有三个根、、，其中、、， 再结合图象可知，方程有个不同的根，方程有个根， 方程有个根， 综上所述，方程有个不同的解. 故答案为：；. 【点睛】方法点睛： 判断函数零点个数（或方程的根的个数）的常用方法： （1）直接法：直接令，求解方程得到方程的根，即得到个数； （2）零点存在定理法：结合单调性利用零点存在定理判断零点的存在，即得个数； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解，通常借助分离参数把一个函数构造成常值函数，研究曲线与直线的交点个数问题，以减低难度. 变式8-1．已知则方程的解集是 . 【答案】 【详解】当时，，若，，此方程恒成立，故； 若，， 因为，，所以方程在时无解； 当时，，，即，解得， 所以方程的解集是. 故答案为：. 变式8-2．已知函数，则函数零点的个数是 . 【答案】 【详解】令，即，解得或， 作出函数的图象如图， 由图可知，方程有个实数解，有个实数解，且均互不相同， 所以的实数解有个，即零点的个数是个. 故答案为：. 变式8-3．已知函数若关于的方程有6个互不相等的实数解，则实数的取值范围是 . 【答案】 【详解】由题意，画出直线和函数的图象，如图， 由图象可知，当时，有3个解. 设，则原方程变为， 所以原方程有6个不同的实数解的充要条件是 方程的两根满足且. 则，解得， 即实数的取值范围为. 故答案为：． 【点睛】思路点睛：画出直线和函数的图象，.进而根据图象，得出解的情况.然后根据已知零点的个数，分析得出方程根的分布情况，即可得出系数的范围. 考点09 二分法 【方法点拨】利用二分法求方程近似解（函数零点）的步骤： ①构造函数,利用图象确定方程的解所在的大致区间,通常限制在区间. ②利用二分法求出满足精确度的方程的解所在的区间. ③区间内的任一实数均是方程的近似解,通常取区间的一个端点． 例17．小明同学在用二分法研究函数在区间的零点时，发现，，，那么他下一步应计算（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意零点在区间上，因此应计算， 故选：C． 例18．求方程的零点（精确到0.1）． 【答案】2.1 【详解】令，设函数的零点为， 因为，，所以， 由二分法得到下表， 中点 所在区间 2.5 2.25 2.125 2.1875 2.15625 2.140625 2.1484375 因为在精确度为0.1时，，， 所以在精确度为0.1时， ． 变式9-1．若函数的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表： 那么方程的一个近似根精确到为 ． 【答案】 【详解】因为，所以在内函数必有零点， 因为，所以函数零点在内， 因为，所以函数零点在内， 因为，所以函数零点在内， 因为，所以函数零点在内， 而， 所以方程的一个近似根精确到为， 故答案为：. 变式9-2．已知函数在区间上有一个零点，如果用二分法求的近似值（精确度为0.01），则应将区间至少等分的次数为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【详解】由于每等分一次，零点所在区间的长度变为原来的，则等分次后的区间长度变为原来的， 则由题可得，即，， 则至少等分的次数为7. 故选：C. 变式9-3．若函数的图象是连续的，且函数的唯一零点同在，，，内，则与符号不同的是 .（填写所有正确的序号） ①；②；③；④；⑤. 【答案】①②④ 【详解】由二分法的步骤可知， 因为零点在内，则有，则与符号不同，不妨设，，故①正确 取中点2，因为零点在内，则有，则，，故②正确 取中点1，因为零点在内，则有，则由知，故③错误 取中点，因为零点在内，则有，则由知，故④正确 取中点，因为零点在内，则有，则由知，故⑤错误。 所以与符号不同的是，，. 故答案：①②④ 1．（2024-2025学年高一上学期阶段性质量监测（二）数学试题）函数的零点所在区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】函数的定义域为，函数在上都递增， 因此函数在上递增，， 所以函数的零点所在区间是. 故选：B. 2．（2024-25高一上·甘肃兰州·期末）已知是函数的一个零点，若，，则（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【详解】因为与均在上单调递增， 所以在上单调递增， 又是函数的一个零点，，， 则，. 故选：B 3．（2024-25高一上·天津·阶段练习）下列函数中，不能用二分法求零点的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于A，函数在上单调递增，有唯一零点， 所以函数值在零点两侧异号，故可用二分法求零点； 对于B，函数， 故函数有唯一零点，且函数值在零点两侧同号，故不能用二分法求零点； 对于C，当时，， 当且仅当时，等号成立，无零点； 当时，当且仅当时，等号成立， 在上单调递减，在上单调递增， 此时有两个零点，且函数值在零点两侧异号，故可用二分法求零点； 对于D，函数在上单调递增，有唯一零点， 所以函数值在零点两侧异号，故可用二分法求零点. 故选：B 4．（2024-25高一上·吉林长春·期末）已知函数，若关于x的方程有4个不同的实根，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由关于x的方程有4个不同的实根，得函数与图象有4个交点； 作出函数与的图象，如图：    观察图象得，， 由，得，即，则， 而二次函数图象关于对称，则，因此， 由，解得或，则， 所以. 故选：A 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是正确作出函数的图象，借助对数函数、二次函数的性质数形结合求解. 5．（北京市东城区2024-2025学年高三上学期期末统考数学试卷）已知．用表示中的最大值，设．若函数在区间上有且仅有两个零点，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】当时，，所以在区间上无零点； 当时，，所以若在区间内存在零点，则， 当时，， 若即，则， 所以在区间内有两个零点，此时，矛盾； 若，即或时，， 所以在区间内有一个零点， 又因为，有两个零点， 当时，或，或， 此时的另一个零点为或，均不在区间内， 当时必须且只需即可（如图所示）， 即，即，解得， 综上实数的取值范围为， 故选：C 6．（2024-25高一上·新疆·期末）已知函数，若函数有3个零点，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由于函数有3个零点， 则方程有三个根， 故函数与的图象有三个交点； 函数，其图象如下所示， 又因为函数， 则实数的取值范围， 故选：B. 【点睛】关键点点睛：解决此题的关键在于转化思想的应用，将方程根的个数问题，转化为函数和图象交点的个数， 7．（2024-25高一上·全国·课后作业）（多选）用二分法求函数零点近似值时，第一次取的区间是，则第三次所取的区间可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】第二次所取的区间可能为，第三次所取的区间可能为，． 故选：AD 8．（2024-25高一上·江西吉安·期末）（多选）已知函数，下面关于的方程的实数根的个数，说法正确的是（    ） A．当时，原方程有6个根 B．当时，原方程有6个根 C．当时，原方程有4个根 D．不论取何值，原方程都不可能有7个根 【答案】ABC 【详解】令，则方程实数根的个数等价于函数的图象与直线交点的个数， 由于，所以作出函数的图象如下，    当时，函数的图象与直线交点只有1个，故方程实数根的个数为1个； 当或时，函数的图象与直线交点有2个，故方程实数根的个数为2个； 当时，函数的图象与直线交点有3个，故方程实数根的个数为3个； 方程，可化为， 对AB，当时，， 方程有3个不等实数根，分别记为，且， 从而有1个实数根，有3个不等实数根，有2个不等实数根， 所以方程有6个不等实数根，AB正确； 当时，有2个实数根，分别为， 从而方程有1个实数根，方程有3个不等实数根， 所以方程有4个不等实数根，C正确； 当时，，方程有3个不等实数根，分别为， 方程有2个不等实数根，方程有3个不等实数根，方程有2个不等实数根， 则方程有7个不等实数根，D错误； 故选:ABC. 9．（2024-25高一上·四川达州·期末）已知函数，若有零点，则的取值范围为 ． 【答案】 【详解】函数，由，得， 因此，， 所以的取值范围为. 故答案为： 10．（2024-25高一上·上海·阶段练习）方程有四个不同的实数根，求的取值范围 . 【答案】 【详解】方程恰有四个不同的实数根，即函数与函数的图像有四个不同的交点，如图所示： 由图可知：，即得． 故答案为：. 11．（2003·全国·高考真题）方程的根 ．（结果精确到0.1） 【答案】2.6 【详解】设，函数单调递增， 且 ， ， 结果保留到,则. 故答案为：. 12．（2024-25高一上·安徽合肥·期末）已知. (1)作出函数的图象； (2)写出函数的单调区间； (3)若函数有两个零点，求实数m的取值范围. 【答案】(1)作图见解析 (2)的单调增区间是；无单调递减区间； (3) 【详解】（1）画出函数的图象，如图所示： （2）由图象得： 的单调增区间是；无单调递减区间； （3）若函数有两个零点， 则与有2个交点，结合图像得. 13．（2024-25高一上·云南楚雄·期末）已知幂函数在上单调递增． (1)求的解析式； (2)若函数在上有零点，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）为幂函数，且在上单调递增，，解得：， . （2）由（1）得：，在上连续且单调递增， ，解得：， 即的取值范围为. 14．（2024-25高一上·福建莆田·期末）若函数有零点，但不能用二分法求其零点，求实数的值. 【答案】2或. 【详解】由题意得，函数有零点，但不能用二分法求其零点， 因为函数有零点，且不能用二分法求其零点， 所以函数的图象在轴上方或下方（包括轴），且与轴有交点． 当时，得，函数，能用二分法求出零点，不符合题意； 当时，得，函数为二次函数， 因为函数有零点，且不能用二分法求其零点， 所以函数的图象与轴有1个交点， 所以关于 的一元二次方程有两个相等实根， 即，解得或． 综上，或. 15．（2024-25高一上·甘肃·期末）函数，其中． (1)若，求的零点； (2)若函数有两个零点，求的取值范围． 【答案】(1)16 (2) 【详解】（1）当时，， 令，可得， 解得， 即函数的零点为16； （2）显然此时，令，可得或， 则或， 则， 当且仅当，即时等号成立， 故的取值范围为． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$