第16章二次根式 微专题02 二次根式化简求值的十种技巧-2024-2025学年人教版八年级数学下册微专题系列

2024-2025学年人教版八年级数学下微专题系列 第16章二次根式 微专题二 二次根式化简求值的十种技巧 二次根式化简求值是本章的重点，其主要依据是二次根式的性质和二次根式的运算法则。根据题型特点有以下十种解题技巧需掌握。 技巧1 估算法 【例1-1】．估算的结果（　　） A．在6和7之间 B．在7和8之间 C．在8和9之间 D．在9和10之间 【例1-2】．估算的运算结果应在（ ） A．2到3之间 B．3到4之间 C．4到5之间 D．5到6之间 【变式1-1】．估算的值应在（   ） A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间 【变式1-2】．估算的运算结果应在（    ） A．6与7之间 B．7与8之间 C．8与9之间 D．9与10之间 【变式1-3】．通过估算，比较与的大小． 技巧2 公式法 【例2-1】．计算 ． 【例2-2】．计算： ． 【变式2-1】．计算： 【变式2-2】．计算： 【变式2-3】．计算： 技巧3 拆项法 【例3-1】计算： 【变式3-1】．阅读材料，并完成下列任务： 材料一：裂项求和 小华在学习分式运算时，通过具体运算：，，，…… 发现规律：（n为正整数），并证明了此规律成立． 应用规律：快速计算． 材料二：根式化简 例1        ； 例2         任务一：化简． (1)化简： (2)猜想：___________________（n为正整数）． 任务二：应用 (3)计算：； 任务三：探究 (4)已知 ， 比较x和y的大小，并说明理由． 【变式3-2】．请你阅读下列材料，并完成相应的任务 裂项法，是数学中求和的一种方法，是分解与组合思想在求和中的具体应用．具体方法是将求和中的每一项进行分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的．我们以往的学习中已经接触过分数裂项求和．例如：． 在学习完二次根式后我们又掌握了一种根式裂项．例如： (1)模仿材料中的计算方法，化简：____________． (2)观察上面的计算过程，直接写出式子____________． (3)利用根式裂项求解：． 【变式3-3】．知识链接：我们利用平方差公式可以计算形如的运算． 例：． 请仿照例子计算：． 技巧4 倒数法 【例4-1】计算： 【变式4-1】计算： 【变式4-2】计算： 技巧5 约分法 【例5-1】计算： 【变式5-1】还可以用以下方法化简: . （1）.请用一种方法化简; （2）.化简: .. 【变式5-2】．观察下列各式的化简过程(其中)： ①； ②； ③. (1)上述各式化简过程的共同特点是：先将______变形，通过约分，化去______中的根号. (2)试用上述方法化去下列各式分母中的根号. ①. ②. ③. (3)你还有别的方法化去上列各式分母中的根号吗？ 【变式5-3】 甲乙两人化简- 甲：- =- =- = --+ =-+ 乙：- =- =--+ =-+ 甲乙两同学的解法谁的正确，说明理由。 技巧6 配方法 【例6-1】．阅读下列材料回答问题： 形如的化简，只要我们找到两个数a，b，使，，则，，那么便有．如，，，，． (1)填空：______，______； (2)化简： ①， ②； (3)计算：． 【例6-2】．先阅读下列材料，再解决问题： 阅读材料：数学上有一种根号内又带根号的数，它们能通过完全平方公式及二次根式的性质化去一层根号．例如： ． 解决问题： (1)在横线和括号内上填上适当的数： ； (2)根据上述思路，试将予以化简． 【变式6-1】．先阅读材料，然后回答问题： 小张同学在研究二次根式的化简时，遇到了个问题：化简，经过思考，小张解决这个问题的过程 如下： (1)在上述化简过程中，第 步出现了错误，化简的正确结果为 ； (2)请根据你从上述材料中得到的启发，化简； 【变式6-2】．阅读材料． 把根式进行化简，若能找到两个数m、n，是且，则把变成开方，从而使得化简． 如： 解答问题： (1)填空：______，______． (2) 【变式6-3】．像，这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简： 如：， 再如：， 请用上述方法探索并解决下列问题： (1)化简： (2)化简： (3)若，且为正整数，求的值． 技巧7 平方法 【例7-1】．“分母有理化”是我们常用的一种化简方法，除此之外，我们也可以用平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数，如：对于，设，易知，故． 由， 解得，即． 根据以上方法，求的值． 【变式7-1】 计算： 【变式7-2】．已知正整数满足．则这样的的取值（    ）． A．有一组 B．有二组 C．多于二组 D．不存在 【变式7-3】．小颖利用平方差公式，自己探究出一种解某一类根式方程的方法．下面是她解方程＋＝5的过程． 解：设﹣＝m，与原方程相乘得： （＋）×（）＝5m， x﹣2﹣（x﹣7）＝5m，解之得m＝1， ∴﹣＝1，与原方程相加得： （＋）+（）＝5＋1， 2＝6，解之得，x＝11，经检验，x＝11是原方程的根． 学习借鉴解法，解方程﹣＝1． 技巧8 辅元法 【例8-1】．已知x∶y∶z＝1∶2∶3(x>0，y>0，z>0)，求的值． 【变式8-1】．人们把这个数叫做黄金分割数，著名数学家华罗庚优选法中的法就应用了黄金分割数．设，，则，记，，，…，则 ． 【变式8-2】．阅读下面材料： 将边长分别为a，，，，……的正方形面积分别记为，，，，……． 则 ； ； …… 根据以上材料解答下列问题： (1)根据材料中的规律可得面积记为的正方形边长是 ； (2)猜想的结果，并证明你的猜想； (3)令，，，…，，且，求T的值． 【变式8-3】．阅读理解： 材料1：平方差公式，当，时，有．在二次根式的一些运算或化简中，若能灵活运用公式，可使计算或化简变得简单． 如， 材料2：如图1，在中，，点是的中点，于交于，若，，求的值． 解：设，则，解得，． 问题解决： (1)化简：； (2)如图2，在中，，，若，求的值； (3)如图3，在等腰中，，，，则 ． 技巧9 换元法 【例9-1】已知：n= +的值 【变式9-1】．（23-24八年级上·湖南岳阳·期末）阅读下列材料，然后回答问题． 学习数学，最重要的是学习数学思想，其心一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算，比如我们熟悉的下面这个题：已知，求我们可以把和看成是一个整体，令，则这样，我们不用求出a，b，就可以得到最后的结果． (1)计算： (2)m是正整数，且，求m． (3)已知，求的值． 【变式9-2】．（20-21八年级下·广东惠州·期中）阅读下列材料，然后回答问题． ①在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如一样的式子，可以将其进一步化简： 以上这种化简的步骤叫做分母有理化． ②学习数学，最重要的是学习数学思想，其中一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算． (1)计算：． (2)已知m是正整数，，，，求m． (3)已知，则的值为? 【变式9-3】．（23-24八年级下·湖北武汉·期中）阅读材料：像、……两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式.例如与，与等都是互为有理化因式.在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号． 例如：；． 根据以上信息，解答下列问题： (1)直接写出下列各式分母有理化的结果： ①______；②______； (2)直接写出的结果为______； (3)已知，，且，试求的值． 技巧10整体代入法 【例10-1】．请阅读下列材料： 问题：已知，求代数式的值． 小明的做法是：根据得，∴，．把作为整体代入，得：．即：把已知条件适当变形，再整体代入解决问题． 仿照上述方法解决问题： (1)已知，求代数式的值； (2)已知，求代数式的值． 【变式10-1】．如下内容是李明在练习中的一道解题过程，在这个过程中体现的数学思想是（    ） 已知，．求的值． 解：； 原式． A．方程 B．整体 C．数形结合 D．函数 【变式10-2】．阅读材料一：利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，例如，，求证：．证明： 左边右边． 阅读材料二：基本不等式，当且仅当时等号成立，它是解决最值问题的有力工具．例如：在的条件下，，∴，当且仅当，即时，有最小值，最小值为2．请根据阅读材料解答下列问题 (1)若正数x，则的最小值为______． (2)若正数a，b满足，，n为的最小值，求； (3)若正数a，b满足，若不等式恒成立，求实数m的取值范围． 【变式10-3】．《见微知著》谈到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂，从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径．恒等变形，是代数式求值的一个很重要的方法．利用恒等变形，可以把无理数运算转化为有理数运算，可以把次数较高的代数式转化为次数较低的代数式． 如：当时，求的值．若直接把代入所求的式中，进行计算，显然很麻烦，我们可以通过恒等变形，对本题进行解答． 方法：将条件变形，因，得，再把等式两边同时平方，把无理数运算转化为有理数运算． 由平方得，整理可得：，即． 所以． 请参照以上的解决问题的思路和方法，解决以下问题： (1)若，则______，______； (2)若，求的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年人教版八年级数学下微专题系列 第16章二次根式 微专题二 二次根式化简求值的十种技巧（解析版） 二次根式化简求值是本章的重点，其主要依据是二次根式的性质和二次根式的运算法则。根据题型特点有以下十种解题技巧需掌握。 技巧1 估算法 【例1-1】．估算的结果（　　） A．在6和7之间 B．在7和8之间 C．在8和9之间 D．在9和10之间 【答案】A 【知识点】二次根式的除法、无理数的大小估算 【分析】先根据二次根式的除法法则计算，后运用无理数估算思想计算求解即可． 【详解】∵ ， 且， ∴， 故选A． 【点睛】本题考查了二次根式的除法，无理数的估算，熟练掌握除法运算，正确进行无理数的估算是解题的关键． 【例1-2】．估算的运算结果应在（ ） A．2到3之间 B．3到4之间 C．4到5之间 D．5到6之间 【答案】D 【知识点】二次根式的除法、无理数的大小估算 【详解】解：= ，∵2＜＜3，∴在5到6之间． 故选D． 【点睛】此题主要考查了估算无理数的大小，正确进行计算是解题关键． 【变式1-1】．估算的值应在（   ） A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间 【答案】C 【知识点】无理数的大小估算、二次根式的乘法 【分析】本题考查了无理数的估算、二次根式的运算，先运用二次根式的乘法进行化简，然后估算求解即可． 【详解】解： ， ∵，即， ∴， 故选：C． 【变式1-2】．估算的运算结果应在（    ） A．6与7之间 B．7与8之间 C．8与9之间 D．9与10之间 【答案】A 【知识点】二次根式的乘法、无理数的大小估算 【分析】本题考查二次根式的乘法运算、无理数的估算，正确求得运算结果是解答的关键．先根据二次根式的乘法运算法则求解，然后根据无理数的估算方法求解即可． 【详解】解： ， ∵， ∴， 即运算结果应在6与7之间， 故选：A． 【变式1-3】．通过估算，比较与的大小． 【答案】． 【知识点】比较二次根式的大小 【分析】根据二次根式的性质得，，然后求解即可． 【详解】解：根据二次根式的性质得， ∵ ∴，即 故答案为 【点睛】此题考查了二次根式比较大小，涉及了二次根式的性质，解题的关键是掌握二次根式的大小比较方法． 技巧2 公式法 【例2-1】．计算 ． 【答案】 【知识点】运用平方差公式进行运算、利用二次根式的性质化简、二次根式的加减运算、二次根式的混合运算 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的计算是解题的关键． 根据平方差公式以及完全平方公式进行计算即可． 【详解】 解：原式 ． 【例2-2】．计算： ． 【答案】 【知识点】二次根式的混合运算 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，正确进行运算是解题的关键； 分别用完全平方公式与平方差公式展开，再合并同类二次根式即可． 【详解】 解：原式 ． 【变式2-1】．计算： 【答案】 【知识点】二次根式的混合运算 【分析】本题主要考查了二次根式混合运算． 利用平方差公式和完全平方公式先化简，再根据二次根式加减运算法则进行计算即可． 【详解】 解： ． 【变式2-2】．计算： 【答案】(2) 【知识点】零指数幂、二次根式的加减运算、二次根式的混合运算 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，乘法公式，掌握运算法则，并正确进行计算是解题的关键； 分别用平方差公式及完全平方公式展开，再合并同类二次根式即可． 【详解】 解： ． 【变式2-3】．计算： 【答案】 【知识点】运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算、二次根式的混合运算 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，乘法公式的应用； 利用平方差公式与完全平方公式展开，再合并同类二次根式即可． 【详解】 解：， ， ， ． 技巧3 拆项法 【例3-1】计算： 【答案】- 【知识点】运用平方差公式进行运算、、二次根式的混合运算 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，乘法公式的应用 【详解】 解：原式= = =+ =+ =—+- =- 【变式3-1】．阅读材料，并完成下列任务： 材料一：裂项求和 小华在学习分式运算时，通过具体运算：，，，…… 发现规律：（n为正整数），并证明了此规律成立． 应用规律：快速计算． 材料二：根式化简 例1        ； 例2         任务一：化简． (1)化简： (2)猜想：___________________（n为正整数）． 任务二：应用 (3)计算：； 任务三：探究 (4)已知 ， 比较x和y的大小，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3) (4)，理由见解析 【知识点】分母有理化、二次根式的加减运算 【分析】本题考查二次根式裂项求解，解题关键是熟练进行二次根式分母有理化的化简． （1）根据题目中的例子可以写出答案； （2）根据例2，可以写出相应的猜想； （3）根据分母有理化，可得二次根式的化简，根据二次根式的加减，即可得到答案； （4）结合例1，例2的规律进行计算即可； 【详解】（1） （2） ， ， ， 故答案为：； （3） ； （4） ， ， ， 故． 【变式3-2】．请你阅读下列材料，并完成相应的任务 裂项法，是数学中求和的一种方法，是分解与组合思想在求和中的具体应用．具体方法是将求和中的每一项进行分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的．我们以往的学习中已经接触过分数裂项求和．例如：． 在学习完二次根式后我们又掌握了一种根式裂项．例如： (1)模仿材料中的计算方法，化简：____________． (2)观察上面的计算过程，直接写出式子____________． (3)利用根式裂项求解：． 【答案】(1)； (2)； (3)2. 【知识点】分母有理化 【分析】(1）根据材料，对二次根式分母有理化，进行化简即可； (2）根据题中材料进行总结，即可得出答案； (3）对式子中各项二次根式进行分母有理化，裂项求和进行计算即可． 【详解】（1） （2） （3） 【点睛】本题考查二次根式裂项求解，解题关键是熟练进行二次根式分母有理化的化简． 【变式3-3】．知识链接：我们利用平方差公式可以计算形如的运算． 例：． 请仿照例子计算：． 【答案】 【知识点】运用平方差公式进行运算、二次根式的乘法 【分析】本题考查了二次根式的乘法运算，平方差公式，熟练掌握二次根式的乘法运算及平方差公式是解题的关键．先将和分别提取公因式和，，再根据平方差公式和二次根式的乘法运算法则计算，即得答案． 【详解】原式 ． 技巧4 倒数法 【例4-1】计算： 【答案】 【知识点】运用乘法分配律进行运算、二次根式的乘法 【分析】本题考查了二次根式的除法运算，乘法分配律，熟练掌握二次根式的乘法运算及乘法分配律是解题的关键．先将++3提取公因式，再根据约分和二次根式的乘法运算法则计算，即得答案． 【详解】 解：先求原式的倒数= = = 所以： = = 【变式4-1】计算： 【答案】 【知识点】运用乘法分配律进行运算、二次根式的乘法，因式分解的方法。 【分析】本题考查了二次根式的除法运算，乘法分配律，熟练掌握二次根式的乘法运算及因式分解的方法是解题的关键．先将--+3分组分解，再根据约分和二次根式的乘法运算法则计算，即得答案． 【详解】 解：先计算原式的倒数： = = = =+ 所以： = = 【变式4-2】计算： 【答案】 【知识点】运用乘法分配律进行运算、二次根式的乘法，因式分解的方法 【详解】 解：设=x = = = + =-+-1 =-1 所以原式= = 技巧5 约分法 【例5-1】计算： 【答案】 【知识点】运用乘法分配律进行运算、二次根式的乘法，因式分解的方法 解：原式= = = = 【变式5-1】还可以用以下方法化简: . （1）.请用一种方法化简; （2）.化简: . 答案：（1）.解法一:原式. 解法二:原式. （2）.由题中规律可得原式. 【变式5-2】．观察下列各式的化简过程(其中)： ①； ②； ③. (1)上述各式化简过程的共同特点是：先将______变形，通过约分，化去______中的根号. (2)试用上述方法化去下列各式分母中的根号. ①. ②. ③. (3)你还有别的方法化去上列各式分母中的根号吗？ 【答案】(1)分子 ，分母；(2)①；② ；③；(3)见解析. 【知识点】分母有理化 【分析】（1）观察三个化简过程，它们的共同特点是先变形分子，使分子出现含分母的因式，然后约分可化去分母中的根号； （2）①利用二次根式的性质把a+3写成的平方形式，然后约分即可；②③都是利用平方差公式把分子分解，然后约分即可； （3）利用分式的基本性质，把分子分母都乘以分母的有理化因式可化去分母中的根号． 【详解】(1)上述各式化简过程的共同特点是：先将分子变形，通过约分．化去分母中的根号； 故答案为分子，分母； (2)①. ② . ③. (3)把分子、分母都乘以分母的有理化因式，可化去上列各式分母中的根号. 【点睛】此题考查分母有理化，解题关键在于掌握运算法则. 【变式5-3】 甲乙两人化简- 甲：- =- =- = --+ =-+ 乙：- =- =--+ =-+ 甲乙两同学的解法谁的正确，说明理由。 【答案】乙 【知识点】分母有理化 【分析】（1）观察两个个化简过程，它们的共同特点是先通分或约分变形，然后约分可化去分母中的根号； 【详解】甲的解法中分子分母同乘以-,,后面的式子分子分母同乘以,这两个式子是否为0不确定，故错误。 乙的解法采用了因式分解的方法，避免了分子分母同乘以一个为0的数，将分子变为积的形式，与分母约分，达到化简目的. 技巧6 配方法 【例6-1】．阅读下列材料回答问题： 形如的化简，只要我们找到两个数a，b，使，，则，，那么便有．如，，，，． (1)填空：______，______； (2)化简： ①， ②； (3)计算：． 【答案】(1)； (2)①；② (3) 【知识点】复合二次根式的化简 【分析】本题主要考查了化简复合二次根式： （1）先把变形为，进而得到，据此化简即可；同理可把变形为据此化简即可； （2）①根据进行化简即可；②根据进行化简即可； （3）先把原式变形为，进一步变形得到，据此化简即可． 【详解】（1）解： ； ； 故答案为：；； （2）解：① ； ② ； （3）解： ． 【例6-2】．先阅读下列材料，再解决问题： 阅读材料：数学上有一种根号内又带根号的数，它们能通过完全平方公式及二次根式的性质化去一层根号．例如： ． 解决问题： (1)在横线和括号内上填上适当的数： ； (2)根据上述思路，试将予以化简． 【答案】(1)；；； (2) 【知识点】复合二次根式的化简 【分析】本题主要考查了复合二次根式化简： （1）根据结合完全平方公式得到，据此化简即可； （2）根据结合完全平方公式得到，据此化简即可． 【详解】（1）解： ； 故答案为：；；；； （2）解： ． 【变式6-1】．先阅读材料，然后回答问题： 小张同学在研究二次根式的化简时，遇到了个问题：化简，经过思考，小张解决这个问题的过程 如下： (1)在上述化简过程中，第 步出现了错误，化简的正确结果为 ； (2)请根据你从上述材料中得到的启发，化简； 【答案】(1)④， (2) 【知识点】运用完全平方公式进行运算、利用二次根式的性质化简、复合二次根式的化简 【分析】本题考查了二次根式的性质和化简，掌握被开方数化成完全平方的形式，利用二次根式的性质进行化简是解题的关键． （1）根据二次根式的性质即可求解； （2）根据（1）中的材料化简即可． 【详解】（1）解：①， ②， ③， ④， 在上述化简过程中，第④步出现了错误，化简的正确结果为：； （2）解：原式 ． 【变式6-2】．阅读材料． 把根式进行化简，若能找到两个数m、n，是且，则把变成开方，从而使得化简． 如： 解答问题： (1)填空：______，______． (2) 【答案】(1)； (2) 【知识点】运用完全平方公式进行运算、利用二次根式的性质化简、复合二次根式的化简 【分析】本题考查了二次根式的性质，将被开方数化为平方的形式是解题的关键． （1）仿照例题，根据，即可求解；直接利用完全平方公式将原式变形进而得出答案． （2）根据材料提供计算步骤，对进行化简，进行计算即可． 【详解】（1）解：∵， ； ， ； （2）解： ． 【变式6-3】．像，这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简： 如：， 再如：， 请用上述方法探索并解决下列问题： (1)化简： (2)化简： (3)若，且为正整数，求的值． 【答案】(1) (2) (3)或． 【知识点】运用完全平方公式进行运算、利用二次根式的性质化简、复合二次根式的化简 【分析】此题考查化简二次根式，完全平方公式的应用，准确变形是解题的关键． （1）利用题中复合二次根式借助构造完全平方式的新方法求解； （2）利用题中复合二次根式借助构造完全平方式的新方法求解； （3）利用完全平方公式，结合、n为正整数求解即可． 【详解】（1）解：； 故答案为： （2）； 故答案为： （3）∵ ∴， ∴，， ∴ 又∵、n为正整数， ∴，或者， ∴当时，； 当时，． ∴k的值为：或． 技巧7 平方法 【例7-1】．“分母有理化”是我们常用的一种化简方法，除此之外，我们也可以用平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数，如：对于，设，易知，故． 由， 解得，即． 根据以上方法，求的值． 【答案】 【知识点】复合二次根式的化简 【分析】本题主要考查了化简复合二次根式，仿照题意设，再把等式两边同时平方进行计算求解即可． 【详解】解：设， ∴ ， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式7-1】 计算： 【答案】 【知识点】复合二次根式的化简 【分析】本题主要考查了二次根式的性质，解题的关键是熟练掌握二次根式混合运算法则、乘法公式进行计算 【详解】解：设=x（x>0）则x2= = =2 故= 【变式7-2】．已知正整数满足．则这样的的取值（    ）． A．有一组 B．有二组 C．多于二组 D．不存在 【答案】A 【知识点】复合二次根式的化简 【分析】本题主要考查了二次根式的性质，解题的关键是熟练掌握二次根式混合运算法则进行计算．根据，得出，即可得出，，，根据，分三种情况求出的值进行验证即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，，， 又∵， 当时，不合题意， 当时，不合题意， 当时，符合题意， 满足条件的取值只有1组． 故选：A． 【变式7-3】．小颖利用平方差公式，自己探究出一种解某一类根式方程的方法．下面是她解方程＋＝5的过程． 解：设﹣＝m，与原方程相乘得： （＋）×（）＝5m， x﹣2﹣（x﹣7）＝5m，解之得m＝1， ∴﹣＝1，与原方程相加得： （＋）+（）＝5＋1， 2＝6，解之得，x＝11，经检验，x＝11是原方程的根． 学习借鉴解法，解方程﹣＝1． 【答案】x＝7 【知识点】复合二次根式的化简 【分析】根据借鉴题中的方法，即可计算求解． 【详解】解：设+＝m，与原方程相乘得： （﹣）×（+）＝m， x﹣3﹣（x﹣6）＝m，解之得m＝3， ∴+＝3，与原方程相加得： （﹣）+（+）＝3＋1， 2＝4，解之得，x＝7，经检验，x＝7是原方程的根． 【点睛】此题主要考查解无理方程，解题的关键是阅读理解，用新方法解决问题． 技巧8 辅元法 【例8-1】．已知x∶y∶z＝1∶2∶3(x>0，y>0，z>0)，求的值． 【答案】 【知识点】二次根式的混合运算 【详解】试题分析：运用设k法求解即可. 试题解析：设x＝k(k＞0)，则y＝2k，z＝3k， ∴原式＝. 【变式8-1】．人们把这个数叫做黄金分割数，著名数学家华罗庚优选法中的法就应用了黄金分割数．设，，则，记，，，…，则 ． 【答案】2024 【知识点】异分母分式加减法、分母有理化 【分析】本题考查分式的规律计算，正确掌握异分母分式的加减计算法则及运用规律解决问题是解题的关键．根据异分母分式加法法则分别求出、、 ⋯ 、的值，发现结果均为1，依此解答即可． 【详解】解：， ， ， ， ∴． 故答案为：2024 【变式8-2】．阅读下面材料： 将边长分别为a，，，，……的正方形面积分别记为，，，，……． 则 ； ； …… 根据以上材料解答下列问题： (1)根据材料中的规律可得面积记为的正方形边长是 ； (2)猜想的结果，并证明你的猜想； (3)令，，，…，，且，求T的值． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3) 【知识点】二次根式的加减运算、二次根式的应用、数字类规律探索、二次根式的混合运算 【分析】本题考查二次根式的运算中的规律探究，解题的关键是得到： （1）根据题意，抽象概括出面积记为的正方形边长即可； （2）根据已有等式，推导出的结果，利用平方差公式法因式分解计算求证即可； （3）利用（2）中点的结论，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵将边长分别为a，，，，……的正方形面积分别记为，，，，…… ∴面积记为的正方形边长为； 故答案为：； （2）猜想，证明如下： ∵， ∴ ； （3）∵， ∴ ． 【变式8-3】．阅读理解： 材料1：平方差公式，当，时，有．在二次根式的一些运算或化简中，若能灵活运用公式，可使计算或化简变得简单． 如， 材料2：如图1，在中，，点是的中点，于交于，若，，求的值． 解：设，则，解得，． 问题解决： (1)化简：； (2)如图2，在中，，，若，求的值； (3)如图3，在等腰中，，，，则 ． 【答案】(1) (2)； (3) 【知识点】分母有理化、含30度角的直角三角形、线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查了二次根式的混合运算和解含角的直角三角形，熟练掌握二次根式的分母有理化是关键． （1）利用平方差公式分母有理化即可； （2）作的垂直平分线交于点，交于点，利用外角性质得到，解直角三角形得到，代入计算即可； （3）作，垂足为，利用（2）的结论得到，根据三角形面积底乘高计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：如图，作的垂直平分线交于点，交于点， ， ， ， ， ，， ， ； （3）解：如图，作，垂足为， ，， ，， 由（2）可知：， ． 故答案为：． 技巧9 换元法 【例9-1】已知：n= +的值 【答案】n 【知识点】二次根式的加减运算 【祥解】 解：设x=n+2+ Y=n+2- 则x+y=2n+4 xy=4n+8 原式=+= = =-2 =n 【变式9-1】．（23-24八年级上·湖南岳阳·期末）阅读下列材料，然后回答问题． 学习数学，最重要的是学习数学思想，其心一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算，比如我们熟悉的下面这个题：已知，求我们可以把和看成是一个整体，令，则这样，我们不用求出a，b，就可以得到最后的结果． (1)计算： (2)m是正整数，且，求m． (3)已知，求的值． 【答案】(1)1；10 (2)1 (3)8 【知识点】运用完全平方公式进行运算、分母有理化、利用二次根式的性质化简、二次根式的混合运算 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，分母有理化，数学常识，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）先把每一个二次根式进行分母有理化，然后再进行计算即可解答； （2）先利用分母有理化化简，从而求出，然后根据已知可得，再利用完全平方公式进行计算即可解答； （3）利用完全平方公式，进行计算即可解答． 【详解】（1）解： （2） ； （3） ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∵， ∴． 【变式9-2】．（20-21八年级下·广东惠州·期中）阅读下列材料，然后回答问题． ①在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如一样的式子，可以将其进一步化简： 以上这种化简的步骤叫做分母有理化． ②学习数学，最重要的是学习数学思想，其中一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算． (1)计算：． (2)已知m是正整数，，，，求m． (3)已知，则的值为? 【答案】(1) (2)504 (3)9 【知识点】分母有理化、运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算、二次根式的混合运算 【分析】（1）将各部分分子变为2，再根据分母有理化去分母后可相互消掉可得结果； （2）、互为倒数，分母有理化后可得的值，代入所求式子即可； （3）设，，则，利用已知等式导出，根据完全平方公式计算出即为所求． 【详解】（1）解： ； （2），， ，，， ， ， ， ； （3）设，，则， ， ， ， ， ， ， ．（舍去）， ． 【点睛】本题考查了分母有理化的技巧，利用完全平方公式和平方差公式设未知数整体代入是常用的方法． 【变式9-3】．（23-24八年级下·湖北武汉·期中）阅读材料：像、……两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式.例如与，与等都是互为有理化因式.在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号． 例如：；． 根据以上信息，解答下列问题： (1)直接写出下列各式分母有理化的结果： ①______；②______； (2)直接写出的结果为______； (3)已知，，且，试求的值． 【答案】(1)①；② (2) (3) 【知识点】分母有理化、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题主要考查了分母有理化，完全平方公式： （1）①根据分母有理化的方法求解即可；②根据分母有理化的方法求解即可； （2）根据分母有理化的方法求解即可； （3）先把x、y有理化得到，，则，再由结合已知条件式推出，则或，即可得到或，进而即可求解 【详解】（1）解：① ， 故答案为：； ② ， 故答案为：； （2）解： ， 故答案为：； （3）解：∵，， ∴，，， ∴，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴或， ∴或， ∴或（舍去）， ∴ 技巧10整体代入法 【例10-1】．请阅读下列材料： 问题：已知，求代数式的值． 小明的做法是：根据得，∴，．把作为整体代入，得：．即：把已知条件适当变形，再整体代入解决问题． 仿照上述方法解决问题： (1)已知，求代数式的值； (2)已知，求代数式的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】利用二次根式的性质化简、整式的加减运算、运用完全平方公式进行运算 【分析】（1）根据求出，然后两边平方后求出，求出，再代入求出答案即可； （2）根据求出，再两边平方求出，求出，再变形后代入，即可求出答案． 【详解】（1）解：， ， 两边平方得：， 即， ， ； （2）解：， ， ， 两边平方，得， 即， ， 即， ． 【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，完全平方公式，整式的加减，解题的关键是能够整体代入． 【变式10-1】．如下内容是李明在练习中的一道解题过程，在这个过程中体现的数学思想是（    ） 已知，．求的值． 解：； 原式． A．方程 B．整体 C．数形结合 D．函数 【答案】B 【知识点】利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，算术平方根的非负性，熟练掌握这些数学概念是解题的关键．根据求代数式值中的整体思想，即可解答． 【详解】在这个过程中体现的数学思想是整体的数学思想， 故选：B． 【变式10-2】．阅读材料一：利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，例如，，求证：．证明： 左边右边． 阅读材料二：基本不等式，当且仅当时等号成立，它是解决最值问题的有力工具．例如：在的条件下，，∴，当且仅当，即时，有最小值，最小值为2．请根据阅读材料解答下列问题 (1)若正数x，则的最小值为______． (2)若正数a，b满足，，n为的最小值，求； (3)若正数a，b满足，若不等式恒成立，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】利用二次根式的性质化简、求不等式组的解集、异分母分式加减法、负整数指数幂 【分析】（1）根据材料2即可求解； （2）先根据分式的性质以及恒等式变形求得的值，再根据负指数幂即可求解； （3）根据题意可得，进而解不等式组，即可求解． 【详解】（1）解：∵ ∴的最小值为 故答案为：． （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ （3）∵正数a，b满足， ∴ ∵不等式恒成立， ∴ ∴①或② ∴解不等式组①无解，解不等式组②得 【点睛】本题主要考查了不等式恒成立与最值关系的转化，二次根式的性质化简，分式的加减运算，负整数指数幂，理解题意，利用好不等式的性质是解题的关键 【变式10-3】．《见微知著》谈到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂，从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径．恒等变形，是代数式求值的一个很重要的方法．利用恒等变形，可以把无理数运算转化为有理数运算，可以把次数较高的代数式转化为次数较低的代数式． 如：当时，求的值．若直接把代入所求的式中，进行计算，显然很麻烦，我们可以通过恒等变形，对本题进行解答． 方法：将条件变形，因，得，再把等式两边同时平方，把无理数运算转化为有理数运算． 由平方得，整理可得：，即． 所以． 请参照以上的解决问题的思路和方法，解决以下问题： (1)若，则______，______； (2)若，求的值． 【答案】(1)， (2) 【知识点】运用完全平方公式进行运算、分式化简求值、利用二次根式的性质化简 【分析】（1）根据完全平方公式求出，把代入计算求出； （2）把进行恒等变形，代入计算即可． 【详解】（1）解： ， ， ； ， ， ， 故答案为：；； （2）， ，，， ， ， 原式 ． 【点睛】本题考查的是二次根式的化简求值，完全平方公式，分式的化简求值，掌握代数式的恒等变形方法是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$