7.3 平行线的性质十大题型解题技巧（解析版）-2024-2025学年七年级数学下册题型技巧培优系列（人教版）

2024-2025学年七年级下题型技巧培优系列 （人教版）七年级数学下册《相交线平行线》 7.3 平行线的性质十大题型解题技巧 知识要点归纳 知识点1.平行线的性质1 两条直线被第三条直线所截，如果两直线平行，那么同位角相等. 简单说成：两直线平行，同位角相等。 知识点2.平行线的性质2 两条直线被第三条直线所截，如果两直线平行，那么内错角相等. 简单说成：两直线平行，内错角相等。 知识点3.平行线的性质3 两条直线被第三条直线所截，如果两直线平行，那么同旁内角互补. 简单说成：两直线平行，同旁内角互补。 注意：同位角相等、内错角相等、同旁内角互补的前提是两直线平行，不能一看到同位角、内错角就认为它们相等，一看到同旁内角就认为它们互补。 知识点4.综合平行线的性质判定 1.利用数学知识解决实际问题，关键是将实际问题正确地转化为数学问题，即画出示意图或列式表示，然后再解决数学问题，最后回归实际 2.判定两条直线平行的方法除了利用平行线的判定定理外，有时需要结合运用“平行于同一条直线的两条直线平行”． 3.在解决与平行线相关问题时，有时需作出适当的辅助线. 题型归纳 题型突破、典例精析 【题型1 利用平行线的性质求角度】 【例1-1】．如图，是的平分线，且，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【例1-2】．如图所示，直线，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】．如图，将一块含有角的直角三角板的顶点放在直尺的一边上，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】．如图，，直线l分别与，相交，若，则的度数为 ． 【变式1-3】．如图，点分别在直线上，且，若在同一平面内存在一点O，使，则 ． 【题型2 利用平行线的性质解决生活问题】 【例2-1】．一辆汽车在笔直的公路上行驶，在两次转弯后，仍在原来的方向上平行前进，那么这两次转弯的角度可以是（     ） A．先右转，再左转 B．先左转，再右转 C．先左转，再右转 D．先右转，再右转 【例2-2】．如图，地面上的琪琪看热气球上的明明为仰角，热气球上的明明看地面上的琪琪为（   ）    A．仰角 B．仰角 C．俯角 D．俯角 【变式2-1】．如图，在一条公路的两侧铺设了两条平行管道和，如果管道与纵向联通管道的夹角，那么管道与纵向联通管道的夹角的度数等于 ． 【变式2-2】．“中欧铁路”为了安全起见在某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯．如图，灯A射线从开始顺时针旋转至便立即回转，灯B射线从开始顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是每秒2度，灯B转动的速度是每秒1度．假定主道路是平行的，即，且． (1)填空：_______； (2)若灯B射线先转动30秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线第一次到达之前，灯A转动几秒，两灯的光束互相平行？ 【变式2-3】．如图①是一盏可以伸缩的台灯，它的优点是可以变化伸缩，找到合适的照明角度．图②是这盏台灯的示意图．已知台灯水平放置，当灯头与支架平行时可达到最佳照明角度，此时支架与水平线的夹角，两支架和的夹角． (1)求此时支架与底座的夹角的度数； (2)求此时灯头与水平线的夹角的度数． 【题型3 利用平行线的性质和判定求角度】 【例3-1】．如图，直线、被直线、所截，若，则的大小是 度． 【例3-2】．已知：如图，与相交于点F，点D在上，，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【变式3-1】．已知：如图，、是直线上两点，，平分，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【变式3-2】．如图，分别与交于点G、H，分别与交于点B、C，分别与交于点D、E，．若，，求的度数． 【变式3-3】．如图，已知，求 的度数． 【题型4 利用平行线的性质证明】 【例4-1】．已知：如图，，，，，求证：． 证明：，（已知） （垂直定义） （_______） ______（_______） （已知） ______（等量代换） （_______） ______（_______） （已知） （_______） 【例4-2】．如图，已知，，求证：． 阅读下面的解答过程，并填空（理由）． 证明：（已知）， （   ） 又（已知）， （   ） （   ） 【变式4-1】．如图，已知，射线交于点，交于点，从点引一条射线，且． 求证：． 【变式4-2】．如图，，，，，请判断与的位置关系，并说明理由． 【变式4-3】．如图，已知，，．求证：． 证明：（已知）， ________________（________________）， ________（________________）． （已知），________（等量代换）， （________________）， （________________）． （已知），（等量代换）， ________________（________________）． 【题型5 综合利用平行线的性质判定证明】 【例5-1】．如图，点、、分别是的边、、上的点，连接，，且，． (1)证明：； (2)若，平分，求的度数． 【例5-2】．已知：如图，，． (1)判断与的位置关系，并说明理由． (2)若平分，若，求的度数． 【变式5-1】．完成下面的推理填空： 已知：如图，、分别在和上，，与互余，于． 求证：． 证明：，（已知） ．（垂直的定义） ，（已知） __________．（_____） ，（_____） 又， _____． 又与互余，（已知） ．（同角的余角相等） ．（_____） 【变式5-2】．如图，，，的平分线交的延长线于点． (1)求证：； (2)探究，，之间的数量关系，并说明理由； 【变式5-3】．如图，和相交于点是上一点，是上一点，且． (1)试说明：； (2)若，求的度数． 【题型6 利用平行线的性质和判定探究角度之间关系】 【例6-1】．（1）【感知】将一副三角板按如图①所示的方式放置，使三角板的直角顶点E落在上，，且，则的大小为 度． （2）【探究】如图②，将图①一个三角板放在一组直线与之间（其中），并使直角顶点A在直线上，顶点C在直线上，现测得，试说明． （3）【拓展】现将图①的三角板按图③方式摆放（其中），使顶点C在直线上，直角顶点A在直线上．若，直接写出与之间的关系式． 【例6-2】．．如图，已知，．点是射线上一动点（与点不重合），，分别平分和交射线于点E，F． (1)求的度数，若，请直接用含的式子表示； (2)随着点的运动，设，，与之间的数量关系是否改变？若不改变，请求出此数量关系；若改变，请说明理由； (3)当时，请直接写出的度数． 【变式6-1】．．已知，如图，，则，，之间的关系为（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】．．如图，，，则、、的关系为（   ） A． B． C． D． 【变式6-3】．．（1）如图①，，则________； 如图②，，则________，请你说明理由； （2）如图③，，则________； （3）利用上述结论解决问题：如图④，，和的平分线相交于点F，，求的度数． 【题型7 利用平行线的性质和判定解决折叠问题】 【例7-1】．如图，将沿直线折叠，使点落在边上的点处，若，且，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【例7-2】．如图所示，将长方形纸片折叠，使点B与点D重合，点A落在点处，折痕为，若，那么的度数为 ． 【变式7-1】．如图，直线，M、N分别为直线上一点，且满足，是射线上的一个动点（不包括端点），将三角形沿折叠，使顶点M落在点Q处．若，则的度数为 ． 【变式7-2】．如图①，已知长方形纸带，，，，点分别在边上，如图②，将纸带先沿直线折叠后，点分别落在的位置，如图③，将纸带再沿折叠一次，使点落在线段上点的位置，若，则 ． 【变式7-3】．数学活动课上，琳琳同学将一张长方形纸条沿折叠，点落在点处． (1)如图，她通过测量发现：，请你证明她的结论； (2)如图，点在上，点在上，连接，，将四边形沿所在直线折叠得到，交于，点的对应点落在点处，点的对应点落在点处．她通过测量发现：，请你证明她的结论． (3)如图，在（）的条件下，将四边形沿向上折叠得到四边形，点的对应点恰好落到上的点处，点落到点处，猜想，与的数量关系，并证明你的结论． 【题型8 利用平行线的性质和判定解决三角板放置问题】 【例8-1】．将一副三角板（厚度不计）如图摆放，使含角的三角板的一条直角边与含角的三角板的斜边垂直，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【例8-2】．将一副直角三角板如图放置，使含角的三角板的短直角边和含角的三角板的一条直角边对齐，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式8-1】．如图，将三角板的直角顶点放在直线上，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式8-2】．已知直线，将一块含角的直角三角板按如图所示方式放置（），并且顶点，分别落在直线，上，若，则的度数是 °． 【变式8-3】．将一副三角板中的两块直角三角板的直角顶点按如图方式叠放在一起，友情提示：，，． (1)①若，则的度数为________． ②若，则的度数为________． (2)由（1）猜想与的数量关系，并说明理由． (3)若且点在直线的上方，当这两块直角三角板有一组边互相平行时，请直接写出角度所有可能的值（不必说明理由）． 【题型9 利用平行线的性质和判定解决跨学科问题】 【例9-1】．如图1，是我国具有自主知识产权、用于探索宇宙的单口径球面射电望远镜“中国天眼”．如图2，是“中国天眼”接收来自宇宙的电磁波的原理图，其中为竖直方向的馈源（反射面），入射波经过三次反射后沿水平射出，且，已知入射波与法线的夹角，则（    ） A． B． C． D． 【例9-2】．跨学科试题·音乐五线谱是一种记谱法，通过在五根等距离的平行线上标以不同时值的音符及其他记号来记载音乐，如图，和是五线谱上的两条线段，点在，之间的一条平行线上，若，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式9-1】．两千多年前，我们的祖先就运用杠杆原理发明了木杆秤，学名戥子．如图，这是一杆古秤在称物时的状态，已知．则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式9-2】．跨学科试题·物理如图，玻璃厂工人为了测试一块玻璃的两个面是否平行，采用了这样一个小办法：一束光线从空气射入玻璃中会发生折射现象，光线从玻璃射入空气也会发生折射现象，如图所示，如果，，那么工人就会判定玻璃的两个面平行，你明白这个办法的道理吗？请给出理由． 【变式9-3】．跨学科试题·物理 如图1，将支架平面镜放置在水平桌面上，激光笔与水平天花板的夹角为，激光笔发出的入射光线射到上后，反射光线与形成．由光的反射定律可知，、与的垂线所形成的夹角始终相等，即． (1)的度数为_____． (2)如图2，点固定不动，调节支架平面镜，调节角为． ①若，求的度数； ②若反射光线恰好与平行，求的度数． 【题型10 利用平行线的性质和判定解决拐点问题】 【例10-1】【探究】如图①，已知， （1）若，，求的度数； （2）求证：； 【应用】如图②，已知，若，，，则_____________． 【例10-2】．小明观察“抖空竹”时发现，可以将某一时刻的情形抽象成数学问题：如图，已知，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式10-1】．如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕道而过，如果第一次拐的角，第二次拐的角，第三次拐的角是，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，则是（   ） A． B． C． D． 【变式10-2】．已知如图， ①由图（1）易得、、的关系_______（直接写结论）； ②由图（2）试猜想、、的关系并说明理由； [延伸拓展] 利用上面（1）（2）得出的结论完成下题 ③已知，，，．若，则______°． 【变式10-3】．阅读下列材料： 已知：如图1，直线，点E是之间的一点，连接得到．求证：．小冰是这样做的：证明：过点E作，则有．图1即． 请利用材料中的结论，完成下面的问题： 已知：直线，直线分别与交于点E、F． (1)如图2，和的平分线交于点G．猜想的度数，并证明你的猜想； (2)如图3，和为内满足的两条线，分别与的平分线交于点和．求证：． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年七年级下题型技巧培优系列 （人教版）七年级数学下册《相交线平行线》 7.3 平行线的性质十大题型解题技巧（解析版） 知识要点归纳 知识点1.平行线的性质1 两条直线被第三条直线所截，如果两直线平行，那么同位角相等. 简单说成：两直线平行，同位角相等。 知识点2.平行线的性质2 两条直线被第三条直线所截，如果两直线平行，那么内错角相等. 简单说成：两直线平行，内错角相等。 知识点3.平行线的性质3 两条直线被第三条直线所截，如果两直线平行，那么同旁内角互补. 简单说成：两直线平行，同旁内角互补。 注意：同位角相等、内错角相等、同旁内角互补的前提是两直线平行，不能一看到同位角、内错角就认为它们相等，一看到同旁内角就认为它们互补。 知识点4.综合平行线的性质判定 1.利用数学知识解决实际问题，关键是将实际问题正确地转化为数学问题，即画出示意图或列式表示，然后再解决数学问题，最后回归实际 2.判定两条直线平行的方法除了利用平行线的判定定理外，有时需要结合运用“平行于同一条直线的两条直线平行”． 3.在解决与平行线相关问题时，有时需作出适当的辅助线. 题型归纳 题型突破、典例精析 【题型1 利用平行线的性质求角度】 【例1-1】．如图，是的平分线，且，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题考查了平分线的定义、平行线的性质．首先根据两直线平行内错角相等，可得，再根据角平分线的定义可知． 【详解】解：如下图所示， ， ， 平分， ． 故选：C． 【例1-2】．如图所示，直线，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题考查了平行线的性质求角度，根据得到，再根据平角定义结合进行求解即可． 【详解】解：如图， ， ，， ， 故选：C． 【变式1-1】．如图，将一块含有角的直角三角板的顶点放在直尺的一边上，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】利用邻补角互补求角度、根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题考查平行线的性质，根据直尺的两条对边平行，内错角相等求出的度数，再根据邻补角，求出的度数即可． 【详解】解：∵直尺的两条对边平行，， ∴， ∴； 故选B． 【变式1-2】．如图，，直线l分别与，相交，若，则的度数为 ． 【答案】/130度 【知识点】两直线平行同位角相等 【分析】本题考查平行线的性质，掌握两直线平行，同位角相等是解题关键． 根据两直线平行，同位角相等即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【变式1-3】．如图，点分别在直线上，且，若在同一平面内存在一点O，使，则 ． 【答案】或 【知识点】根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题主要考查了平行线的性质，解决问题的关键是作平行线，利用平行线的性质以及角的和差关系进行计算．分两种情况：点O在和之间，点在上方，过O作，依据平行线的性质，即可得到的度数． 【详解】解：分两种情况： 当点O在和之间时， 过点O作，如图①，则， ； 当点O在上方时， 过点O作，如答图②，则 ．           图①                     图② 【题型2 利用平行线的性质解决生活问题】 【例2-1】．一辆汽车在笔直的公路上行驶，在两次转弯后，仍在原来的方向上平行前进，那么这两次转弯的角度可以是（     ） A．先右转，再左转 B．先左转，再右转 C．先左转，再右转 D．先右转，再右转 【答案】B 【知识点】平行线的性质在生活中的应用 【分析】本题考查平行线的性质，根据题意画出图形是解答此题的关键． 根据题意画出图形，根据平行线的性质判定即可． 【详解】解：如图所示： A、 故本选项错误； B、 故本选项正确； C、 故本选项错误； D、 故本选项错误． 故选B． 【例2-2】．如图，地面上的琪琪看热气球上的明明为仰角，热气球上的明明看地面上的琪琪为（   ）    A．仰角 B．仰角 C．俯角 D．俯角 【答案】C 【知识点】平行线的性质在生活中的应用 【分析】本题考查了平行线的性质，俯角、仰角的定义，解题关键是能正确理解俯角、仰角的定义． 根据平行线的性质，俯角、仰角的定义求解即可； 【详解】解：俯角和仰角都是视线与水平线的夹角，视线在水平线之上的是仰角，视线在水平线之下的是俯角， 根据题意可得：水平线互相平行，热气球上的明明看地面上的琪琪时视线在水平线之下， 故视线与水平线夹角为，故为俯角． 故选：C． 【变式2-1】．如图，在一条公路的两侧铺设了两条平行管道和，如果管道与纵向联通管道的夹角，那么管道与纵向联通管道的夹角的度数等于 ． 【答案】/80度 【知识点】平行线的性质在生活中的应用 【分析】本题考查平行线的性质的应用，根据平行线的性质，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴； 故答案为：． 【变式2-2】．“中欧铁路”为了安全起见在某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯．如图，灯A射线从开始顺时针旋转至便立即回转，灯B射线从开始顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是每秒2度，灯B转动的速度是每秒1度．假定主道路是平行的，即，且． (1)填空：_______； (2)若灯B射线先转动30秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线第一次到达之前，灯A转动几秒，两灯的光束互相平行？ 【答案】(1) (2)30或110秒 【知识点】平行线的性质在生活中的应用、几何问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查了平行线的性质与角的和差关系的运用、一元一次方程的几何应用， （1）根据两角之和为以及两角之比为即可求解； （2）设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行，分为两种情况得到关于t的方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：∵且， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：； （2）设灯A转t秒时，两灯的光束互相平行， 或， 所以或． 答：灯A转动30或110秒，两灯的光束互相平行． 【变式2-3】．如图①是一盏可以伸缩的台灯，它的优点是可以变化伸缩，找到合适的照明角度．图②是这盏台灯的示意图．已知台灯水平放置，当灯头与支架平行时可达到最佳照明角度，此时支架与水平线的夹角，两支架和的夹角． (1)求此时支架与底座的夹角的度数； (2)求此时灯头与水平线的夹角的度数． 【答案】(1) (2) 【知识点】平行线的性质在生活中的应用 【分析】此题考查了平行线的性质，熟记平行线的性质定理是解题的关键． （1）过点作，根据平行线的性质求解即可； （2）根据平行线的性质及角的和差求解即可． 【详解】（1）解：如图，过点作， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）， ， ， ， ， ． 【题型3 利用平行线的性质和判定求角度】 【例3-1】．如图，直线、被直线、所截，若，则的大小是 度． 【答案】 【知识点】根据平行线判定与性质求角度、求一个角的补角 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键． 由，根据“同位角相等，两直线平行”，得出，根据“两直线平行，内错角相等”，得出，根据补角的和为，则计算得出答案即可． 【详解】解：如图，标记， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【例3-2】．已知：如图，与相交于点F，点D在上，，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】根据平行线判定与性质求角度 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先由，证明，得，因为，故，即可作答． （2）因为，所以，则，即可作答． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， 【变式3-1】．已知：如图，、是直线上两点，，平分，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【知识点】根据平行线判定与性质证明、根据平行线判定与性质求角度 【分析】本题考查了平行线的判定和性质；熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键． （1）由邻补角可得，结合题意可得，再由同位角相等两直线平行证得结论； （2）结合（1）由两直线平行同旁内角互补求得，再由角平分线求得，最后由两直线平行内错角相等可求解． 【详解】（1）证明：， ， ， ∴； （2）解：，， ， 平分， ， ∵， ． 【变式3-2】．如图，分别与交于点G、H，分别与交于点B、C，分别与交于点D、E，．若，，求的度数． 【答案】 【知识点】利用邻补角互补求角度、根据平行线判定与性质求角度 【分析】此题考查了平行线的判定与性质，邻补角的定义．根据平行线的判定定理与性质定理证明，得出，进而根据邻补角的定义，求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式3-3】．如图，已知，求 的度数． 【答案】． 【知识点】根据平行线判定与性质求角度、与余角、补角有关的计算 【分析】本题主要考查了平行线的判定及性质，对顶角与补角的性质等知识点，由已知且，可得到，根据同位角相等两直线平行可得到，根据两直线平行同位角相等可得到，已知，则，根据同旁内角互补即可得到，根据平行线的性质即可求得的度数，熟练掌握平行线的判定及性质是解决此题的关键． 【详解】解：且， ， ∴， ， ， ， ，而， ． 【题型4 利用平行线的性质证明】 【例4-1】．已知：如图，，，，，求证：． 证明：，（已知） （垂直定义） （_______） ______（_______） （已知） ______（等量代换） （_______） ______（_______） （已知） （_______） 【答案】同位角相等，两直线平行；；两直线平行，内错角相等；；同位角相等，两直线平行；；两直线平行，同位角相等；等量代换 【知识点】垂线的定义理解、根据平行线判定与性质证明 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，垂直的定义，熟知平行线的性质与判定条件是解题的关键． 根据平行线的性质与垂直的定义进行证明即可． 【详解】证明：，（已知） （垂直定义） （同位角相等，两直线平行） （两直线平行，内错角相等） （已知） （等量代换） （同位角相等，两直线平行） （两直线平行，同位角相等） （已知） （等量代换） ； 故答案为：同位角相等，两直线平行；；两直线平行，内错角相等；；同位角相等，两直线平行；；两直线平行，同位角相等；等量代换 【例4-2】．如图，已知，，求证：． 阅读下面的解答过程，并填空（理由）． 证明：（已知）， （   ） 又（已知）， （   ） （   ） 【答案】同旁内角互补，两直线平行；如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；两直线平行，同位角相等． 【知识点】根据平行线判定与性质证明 【分析】本题考查平行线的判定与性质，首先根据同旁内角互补，两直线平行证明，然后根据平行公理的推论得到，进而得到． 【详解】证明：（已知）， （同旁内角互补，两直线平行） 又（已知）， （如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行） （两直线平行，同位角相等）． 【变式4-1】．如图，已知，射线交于点，交于点，从点引一条射线，且． 求证：． 【答案】见解析 【知识点】同(等)角的余(补)角相等的应用、根据平行线判定与性质证明 【分析】此题考查了平行线的性质和判定，解题的关键是熟练掌握平行线的性质和判定及其应用．先证明，得出，根据平行线的性质得出，根据，得出，即可得出结论． 【详解】证明：∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式4-2】．如图，，，，，请判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】，理由见解析 【知识点】根据平行线判定与性质证明 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，先根据平行线的性质求出，由角的和差关系可求出，则可判断与互补，然后根据平行线的判定可得出，最后根据平行线的传递性即可得出结论． 【详解】解：． 理由：，， ． 又， ． 又， ， ， 又， ． 【变式4-3】．如图，已知，，．求证：． 证明：（已知）， ________________（________________）， ________（________________）． （已知），________（等量代换）， （________________）， （________________）． （已知），（等量代换）， ________________（________________）． 【答案】见解析 【知识点】根据平行线判定与性质证明 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，掌握平行线的判定和性质是解题关键．根据平行线的判定定理和性质定理补全证明过程即可． 【详解】解：（已知）， （内错角相等，两直线平行）， （两直线平行，同旁内角互补）． （已知）， （等量代换）， （同旁内角互补，两直线平行）， （两直线平行，同位角相等）． （已知）， （等量代换）， （同位角相等，两直线平行）． 【题型5 综合利用平行线的性质判定证明】 【例5-1】．如图，点、、分别是的边、、上的点，连接，，且，． (1)证明：； (2)若，平分，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线的性质求角的度数、根据平行线判定与性质证明 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义，掌握两直线平行，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补是解题关键． （1）由两直线平行，同旁内角互补，得到，进而得出，即可证明结论； （2）由平行线的性质，得到，结合角平分线的定义，得出，即可得出的度数． 【详解】（1）证明：， ， ， ， （2）解：，， ， 平分， ， ， ． 【例5-2】．已知：如图，，． (1)判断与的位置关系，并说明理由． (2)若平分，若，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【知识点】根据平行线判定与性质证明 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义； （1）根据可得，从而证明，根据平行线的判定即可证明结论； （2）根据平行线的性质和角平分线的性质求解即可． 【详解】（1）解：． 理由：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 【变式5-1】．完成下面的推理填空： 已知：如图，、分别在和上，，与互余，于． 求证：． 证明：，（已知） ．（垂直的定义） ，（已知） __________．（_____） ，（_____） 又， _____． 又与互余，（已知） ．（同角的余角相等） ．（_____） 【答案】，，同位角相等，两直线平行，两直线平行，同位角相等，，内错角相等，两直线平行； 【知识点】与余角、补角有关的计算、垂线的定义理解、根据平行线判定与性质证明 【分析】本题考查的是平行线的判定与性质，根据题干信息的提示逐步完善推理过程与推理依据即可． 【详解】证明：，（已知） ．（垂直的定义） ，（已知） ．（同位角相等，两直线平行） ，（两直线平行，同位角相等） 又， ． 又与互余，（已知） ．（同角的余角相等） ．（内错角相等，两直线平行） 【变式5-2】．如图，，，的平分线交的延长线于点． (1)求证：； (2)探究，，之间的数量关系，并说明理由； 【答案】(1)详见解析 (2)，理由见解析． 【知识点】平行公理推论的应用、根据平行线判定与性质证明 【分析】（）根据平行线的性质和判定即可求证， （）作，根据平行公理推论得，然后根据平行线的性质即可求解， 本题考查了平行线的性质和判定，平行公理推论，熟练掌握平行线的性质和判定，平行公理推论是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）解：，如图，作， 则， 由（）可得， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【变式5-3】．如图，和相交于点是上一点，是上一点，且． (1)试说明：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】根据平行线判定与性质证明 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，掌握平行线的性质与判定是解题的关键． （1）根据平行线的性质可得，等量代换可得，根据平行线的判定定理即可得证； （2）过点作，根据平行线的性质与判定可得，，根据即可求解． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ； （2）解：如图，过点作， ， ，， ， ． 【题型6 利用平行线的性质和判定探究角度之间关系】 【例6-1】．（1）【感知】将一副三角板按如图①所示的方式放置，使三角板的直角顶点E落在上，，且，则的大小为 度． （2）【探究】如图②，将图①一个三角板放在一组直线与之间（其中），并使直角顶点A在直线上，顶点C在直线上，现测得，试说明． （3）【拓展】现将图①的三角板按图③方式摆放（其中），使顶点C在直线上，直角顶点A在直线上．若，直接写出与之间的关系式． 【答案】（1）；（2）见解析；（3） 【分析】本题是几何变换综合题，主要考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键． （1）根据平行线的性质可得，所以可得，进一步可求得答案； （2）由已知可求得，即可根据“同旁内角互补，两直线平行”得出结论； （3）根据平行线的性质可得，进一步可得，再根据，即可得出结论． 【详解】解：（1）， ， ， ； 故答案为：75； （2），理由如下： ， ， ， ， ， ； （3），理由如下： ， ， ， ， ， ， ． 【例6-2】．．如图，已知，．点是射线上一动点（与点不重合），，分别平分和交射线于点E，F． (1)求的度数，若，请直接用含的式子表示； (2)随着点的运动，设，，与之间的数量关系是否改变？若不改变，请求出此数量关系；若改变，请说明理由； (3)当时，请直接写出的度数． 【答案】(1)， (2)不改变，恒为，理由见解析 (3) 【分析】本题主要考查了平行线的性质、角平分线的定义的运用等知识点，掌握两直线平行，内错角相等是解题的关键． （1）先根据平行线的性质得出，再根据分别平分和，即可得出的度数；同理：当，用含的式子表示即可； （2）根据平行线的性质得出，再根据平分，即可得到进而得出，进而完成解答； （3）根据，得出，进而得，根据，进而求得的度数． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∵分别平分和， ∴ ∴； 若， ∵，． ∴， ∴， ∵分别平分和， ∴， ∴； （2）解：不变．恒为，理由如下： ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴，， 当时，则有， ∴， ∴， ∴． 【变式6-1】．．已知，如图，，则，，之间的关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，熟知两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等是解题的关键． 作，根据平行线的性质可得，，然后由整理后可得答案． 【详解】解：如图，作，    ∵， ∴， ∴，， 又∵， ∴， 即． 故选：C． 【变式6-2】．．如图，，，则、、的关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是平行线的判定与性质，根据题意作出辅助线是解答此题的关键．分别过点作，利用平行线的性质建立角之间的关系即可解答． 【详解】解：分别过点作， ， ， ， ， ， ． 故选：D． 【变式6-3】．．（1）如图①，，则________； 如图②，，则________，请你说明理由； （2）如图③，，则________； （3）利用上述结论解决问题：如图④，，和的平分线相交于点F，，求的度数． 【答案】（1），，见解析；（2）；（3） 【分析】本题考查的是平行线的判定与性质，平行公理的应用，角平分线的定义； （1）直接由两直线平行，同旁内角互补可得图①答案；如图，过点作，证明，再利用平行线的性质可得图②的答案； （2）如图，过点作，证明，再结合（1）的结论可得答案； （3）过作．证明，可得．求解，再结合角平分线的定义可得答案． 【详解】解：（1）  ，理由如下： 理由：∵， ∴． 如图，过点作． ， ， ， ． （2）如图，过点作． ， ， ∴， 结合（1）的结论可得：， ∴； （3）如图，过作． ， ， ． ， ． 平分，平分， ， 【题型7 利用平行线的性质和判定解决折叠问题】 【例7-1】．如图，将沿直线折叠，使点落在边上的点处，若，且，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质，折叠的性质，解题的关键是掌握折叠的性质．由可得，根据折叠得：，最后根据平角的定义即可求解． 【详解】解：， ， 由折叠得：， ， 故选：C． 【例7-2】．如图所示，将长方形纸片折叠，使点B与点D重合，点A落在点处，折痕为，若，那么的度数为 ． 【答案】 【分析】先利用长方形的性质可得，从而可得，再利用平角定义可得，然后利用折叠的性质可得：，从而利用平行线的性质进行计算，即可解答． 本题考查了长方形的折叠，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是长方形， ∴， ∵， ∴， ∴， 由折叠得：， ∵， ∴， 故答案为：． 【变式7-1】．如图，直线，M、N分别为直线上一点，且满足，是射线上的一个动点（不包括端点），将三角形沿折叠，使顶点M落在点Q处．若，则的度数为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是结合图形分析清楚各角之间的关系．分两种情况：①点在与之间；②点在下方，结合折叠性质可得，由平行线的性质可求得，结合，，从而可求解． 【详解】解：①当点在与之间， 由折叠可得：， ， ， ， ， ，，， ， 解得：； ②当点在下方时，如图，    由折叠可得：， ， ， ， ， ，，， ， 解得：； 综上所述：的度数为或． 故答案为：或． 【变式7-2】．如图①，已知长方形纸带，，，，点分别在边上，如图②，将纸带先沿直线折叠后，点分别落在的位置，如图③，将纸带再沿折叠一次，使点落在线段上点的位置，若，则 ． 【答案】 【分析】此题考查了折叠的性质，平行线的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 由折叠得，根据，得到，由折叠的性质得到，即，再根据求出，代入数值即可求出答案． 【详解】解：根据折叠的性质可得， ∵， ∴， 又∵根据折叠的性质可得， ∴， ∵根据折叠的性质可得， ∴， ∵，，， ∴， 将代入上式，即， 解得， 故答案为． 【变式7-3】．数学活动课上，琳琳同学将一张长方形纸条沿折叠，点落在点处． (1)如图，她通过测量发现：，请你证明她的结论； (2)如图，点在上，点在上，连接，，将四边形沿所在直线折叠得到，交于，点的对应点落在点处，点的对应点落在点处．她通过测量发现：，请你证明她的结论． (3)如图，在（）的条件下，将四边形沿向上折叠得到四边形，点的对应点恰好落到上的点处，点落到点处，猜想，与的数量关系，并证明你的结论． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)，理由见解析 【分析】（）作，根据平行线的性质和折叠的性质即可求解； （）根据平行线的性质，折叠的性质和角度和差； （）根据平行线的性质，折叠的性质和角度和差； 本题考查了平行线的性质额折叠的性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）证明：作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （3），理由： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 【题型8 利用平行线的性质和判定解决三角板放置问题】 【例8-1】．将一副三角板（厚度不计）如图摆放，使含角的三角板的一条直角边与含角的三角板的斜边垂直，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】三角板中角度计算问题、根据平行线判定与性质求角度 【分析】本题考查平行线的判定和性质，与三角板有关的计算，先证明，得到，进行求解即可． 【详解】解：如图，由题意，得：， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选D． 【例8-2】．将一副直角三角板如图放置，使含角的三角板的短直角边和含角的三角板的一条直角边对齐，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】平行公理推论的应用、根据平行线判定与性质求角度 【分析】本题考查了平行线的判定与性质、平行公理推论，熟练掌握平行线的判定与性质是解题关键．如图（见解析），过点作，先根据平行线的性质可得，再根据平行线的判定可得，根据平行公理推论可得，然后根据平行线的性质可得，由此即可得． 【详解】解：如图，过点作， 由题意得：，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 【变式8-1】．如图，将三角板的直角顶点放在直线上，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】三角板中角度计算问题、对顶角相等、根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，平行线的性质的应用，注意∶两直线平行，同位角相等，题目比较好，难度不大． 根据三角形内角和定理求出/4．得出∠5，根据平行线的性质得出∠3=∠5，即可得出答案． 【详解】解： ，， ， ， ， 故答案为：C． 【变式8-2】．已知直线，将一块含角的直角三角板按如图所示方式放置（），并且顶点，分别落在直线，上，若，则的度数是 °． 【答案】38 【知识点】根据平行线判定与性质求角度 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，两直线平行，内错角相等．作，根据平行线的性质求得，，再结合三角板的角的度数即可求得答案． 【详解】解：作， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：38． 【变式8-3】．将一副三角板中的两块直角三角板的直角顶点按如图方式叠放在一起，友情提示：，，． (1)①若，则的度数为________． ②若，则的度数为________． (2)由（1）猜想与的数量关系，并说明理由． (3)若且点在直线的上方，当这两块直角三角板有一组边互相平行时，请直接写出角度所有可能的值（不必说明理由）． 【答案】(1)①；② (2)．理由见解析 (3)可能为或 【知识点】三角板中角度计算问题、根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题主要考查了平行线的性质，以及直角三角形的性质． （1）①根据和的度数，求得的度数，再根据求得的度数； ②根据和的度数，求得的度数，再根据求得的度数； （2）根据以及，进行计算即可得出结论； （3）分2种情况进行讨论：当时，当时，分别求得角度即可． 【详解】（1）解：①∵，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； ②因为，， 所以， 所以， 故答案为：； （2）解：猜想：．理由如下： 因为，， 所以， 即； （3）解：可能为或． 当时， 所以， 因为， 所以； 当时， ． 【题型9 利用平行线的性质和判定解决跨学科问题】 【例9-1】．如图1，是我国具有自主知识产权、用于探索宇宙的单口径球面射电望远镜“中国天眼”．如图2，是“中国天眼”接收来自宇宙的电磁波的原理图，其中为竖直方向的馈源（反射面），入射波经过三次反射后沿水平射出，且，已知入射波与法线的夹角，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质，过点作，可得，根据题意得到，再由平行线的性质得到，得出答案，掌握平行线的性质是解题的关键． 【详解】解：过点作，为法线，如图： ∵， ∴， ∴， ∴为法线， ∴， ∵为法线，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 【例9-2】．跨学科试题·音乐五线谱是一种记谱法，通过在五根等距离的平行线上标以不同时值的音符及其他记号来记载音乐，如图，和是五线谱上的两条线段，点在，之间的一条平行线上，若，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了平行线的性质．根据平行线的性质得到，，进而求解即可． 【详解】如图所示， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故选：A． 【变式9-1】．两千多年前，我们的祖先就运用杠杆原理发明了木杆秤，学名戥子．如图，这是一杆古秤在称物时的状态，已知．则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质，平角，根据两直线平行，内错角相等得到，得出的度数，由平角的定义即可得到的度数． 【详解】解：如图， 由题意得：， ∴， ∵ ∴， 又 ∴． 故选：C． 【变式9-2】．跨学科试题·物理如图，玻璃厂工人为了测试一块玻璃的两个面是否平行，采用了这样一个小办法：一束光线从空气射入玻璃中会发生折射现象，光线从玻璃射入空气也会发生折射现象，如图所示，如果，，那么工人就会判定玻璃的两个面平行，你明白这个办法的道理吗？请给出理由． 【答案】见解析 【分析】本题考查平行线的判定与性质．延长l，首先由，推出，从而结合，，推出，从而结合平行线的判定定理证明即可． 【详解】解：如图，延长l， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴工人就会判定玻璃的两个面平行． 【变式9-3】．跨学科试题·物理 如图1，将支架平面镜放置在水平桌面上，激光笔与水平天花板的夹角为，激光笔发出的入射光线射到上后，反射光线与形成．由光的反射定律可知，、与的垂线所形成的夹角始终相等，即． (1)的度数为_____． (2)如图2，点固定不动，调节支架平面镜，调节角为． ①若，求的度数； ②若反射光线恰好与平行，求的度数． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】本题考查了平行线的判定及性质，余角的性质等； （1）由垂直的定义得，，由余角的性质即可求解； （2）①过点作，由平行线的性质得 ，由平行线的判定方法得，由平行线的性质得，求出后，即可求解；②由平行线的性质得，由平行线的判定方法得，由平行线的性质，即可求解； 掌握平行线的判定及性质，能根据题意作出辅助平行线是解题的关键． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ， ， 故答案：； （2）解：①过点作，如图， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案：； ②如图， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 故答案：． 【题型10 利用平行线的性质和判定解决拐点问题】 【例10-1】【探究】如图①，已知， （1）若，，求的度数； （2）求证：； 【应用】如图②，已知，若，，，则_____________． 【答案】（1）；（2）见解析；【应用】． 【分析】本题考查的是平行公理的应用，平行线的性质，利用平行公理作出辅助线是解本题的关键． （1）如图所示，过点P作，首先得到，求出，然后证明出，即可得到； （2）根据得到，根据得到，进而求解即可； 应用：过点P作，延长到点M，由（2）得，进而得到，同理得到，进而求解即可． 【详解】解：（1）如图所示，过点P作， ∵， ∴； ∵， ∴； ∵， ∴， ∴； （2）∵， ∴； ∵， ∴， ∴； 应用：如图所示，过点P作，延长到点M， 由（2）得，， ∵，， ∴， ∴； ∵， ∴； 由（2）得，， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：138． 【例10-2】．小明观察“抖空竹”时发现，可以将某一时刻的情形抽象成数学问题：如图，已知，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质．首先过点作，根据两直线平行内错角相等可得：，根据两直线平行同位角相等可得：，，根据角之间的关系可得：，等量代换可得：． 【详解】解：如下图所示，过点作， ，， ， ， 又， ． 故选：D． 【变式10-1】．如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕道而过，如果第一次拐的角，第二次拐的角，第三次拐的角是，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，则是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了平行线的性质与判定．首先根据题意作辅助线：过点作，即可得，则可求得：，，进而可得的值． 【详解】解：过点作， ， ， ，， ，， ， ， 故选：D． 【变式10-2】．已知如图， ①由图（1）易得、、的关系_______（直接写结论）； ②由图（2）试猜想、、的关系并说明理由； [延伸拓展] 利用上面（1）（2）得出的结论完成下题 ③已知，，，．若，则______°． 【答案】（1）；（2），理由见解析；（3）85 【分析】本题考查了平行线的性质，通过平行线的性质推出各角之间的关系，解题关键在于作出相应的辅助线． ①如图（1），过点作，根据平行线的判定及性质：两直线平行，内错角相等，即可得出答案； ②如图（2），过点作，根据平行线的判定及性质：两直线平行，同旁内角互补，即可得出答案； ③根据题意得：，，由②结合得：，再由②的结论即可求解． 【详解】解：①如图（1）所示：过点作， ∵，， ∴， ，， ， ； ②如图（2）所示：过点作， ∵，， ∴， ，， ； ∴； ③∵，， ，， ∵，由②得， ∵， ∴， ∴， ∵，由①得， ∴． 故答案为：85． 【变式10-3】．阅读下列材料： 已知：如图1，直线，点E是之间的一点，连接得到．求证：．小冰是这样做的：证明：过点E作，则有．图1即． 请利用材料中的结论，完成下面的问题： 已知：直线，直线分别与交于点E、F． (1)如图2，和的平分线交于点G．猜想的度数，并证明你的猜想； (2)如图3，和为内满足的两条线，分别与的平分线交于点和．求证：． 【答案】(1)，见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了平行线的性质和判定，角平分线的定义，作出辅助线构造平行线是解题的关键． 对于（1），先由材料中的结论得，再根据平行线的定义得，然后根据平行线的性质得，最后代入整理可得结论； 对于（2），作，可得，由上述可得，及，再根据平行线的性质得，即可得，进而得出，最后根据平行线的性质得出结论． 【详解】（1）解：如图2所示，猜想：． 证明：由材料中的结论得， ∵分别平分和， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴； （2）证明：如图3，过点作， ∵， ∴， 由结论可得， ∴． ∵平分， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $$