精品解析：江苏省南通市海门区2024-2025学年七年级上学期11月期中考试(第二届学生学科素养竞赛)数学试卷

第二届初中学生学科素养竞赛 七年级数学 注意事项 考生在答题前请认真阅读本注意事项： 1．本试卷共6页，满分为150分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回． 2．答题前，请务必将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写在试卷及答题卡上指定的位置． 3．答案必须按要求填涂、书写在答题卡上，在试卷、草稿纸上答题一律无效． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 下列各数中，互为相反数是（ ） A. 与3 B. 与 C. 与 D. 与 2. 2023年5月21日，以“聚力新南通、奋进新时代”为主题的第五届通商大会暨全市民营经济发展大会召开，40个重大项目集中签约，计划总投资约元．将用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 对于代数式的值，下列说法正确的是（ ） A. 比5大 B. 比5小 C. 比m大 D. 比m小 4. 计算的结果为（ ） A. 1 B. C. 7 D. 343 5. 已知有理数满足，那么在数轴上表示有理数的点（ ） A. 在原点右侧 B. 在原点或原点右侧 C. 在原点左侧 D. 在原点或原点左侧 6. 对于多项式，下列说法正确的是（ ） A. 二次项系数是 B. 常数项是 C. 次数是 D. 项数是 7. 如果a＋b＞0，且b＜0，那么a、b、－a、－b的大小关系为（ ） A. a＜－b＜－a＜b B. －b＜a＜－a＜b C. a＜b＜－b＜－a D. －a＜b＜－b＜a 8. 某商场促销，把原价元的空调以八折出售，仍可获利元，则这款空调进价为（ ） A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 9. 若，则的值为（ ） A. 24 B. 20 C. 18 D. 16 10. 某窗户形状如图所示（图中长度单位：），其上部是半圆形，下部是由两个相同的长方形和一个正方形构成．已知半圆的半径为，长方形的长和宽分别为和．给出下面四个结论： 窗户外围的周长是； 窗户的面积是； ； ． 上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共8小题，第11～12题每小题3分，第13～18题每小题4分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 11. 数轴上表示和表示2025的两点之间的距离为______． 12. 若a，b互为倒数，m，n互为相反数，则=________． 13. 若有理数，满足，则____． 14. 如果x－y＝5，m＋n＝2，则 (y＋m)－(x－n)的值是____. 15. 如果代数式中不含项，则＝______________． 16. 有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示．化简代数式：=_______ ． 17. 如图是一组有规律的图案，它们是由边长相同的小正方形组成，其中部分小正方形涂有阴影，依此规律.第n个图案中有__个涂有阴影的小正方形(用含有n的代数式表示) 18. 如图，在一块长方形区域中布置了图中阴影部分所示的展区，其中的展台有三种不同的形状，其规格如图所示．根据图中信息，用等式表示，，满足的关系为______． 三、解答题（本大题共8小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 20. (1)在数轴上表示下列各数，并用“<”号把它们连接. 3， -1， 0， -2.5, 1.5， 2 (2)快递员要从物流中心出发送货，已知甲住户在物流中心的东边 2km 处，乙住户在甲住户的西边 3km 处，丙住户在物流中心的西边 1.5km 处，请建立数轴表示物流中心、甲住户、乙住户、丙住户的位置关系. 21. （1）化简：； （2）先化简，再求值：，其中，． 22. 如图，正方形边长为． （1）根据图中数据，用含，代数式表示阴影部分的面积； （2）当，时，求阴影部分的面积． 23. 李明购买了甲、乙两个品牌的衬衣若干件，其中甲品牌衬衣买了n件，乙品牌衬衣比甲品牌衬衣多买了5件．已知甲品牌衬衣每件100元，乙品牌衬衣每件80元，则李明共需付款多少元？（结果用含n的代数式表示） 24. 为了更好地使用和节约水资源，自2014年5月1日起，北京市居民生活用水开始实施阶梯水价，下表为北京市居民用水（自来水）水费收费标准： 阶梯 每户年用水量 （单位：立方米） 水单价 （单位：元/立方米） 价格组成（单位：元/立方米） 水费 水资源费 污水处理费 第一阶梯 0～180（含180） 5 第二阶梯 180～260（含260） 7 第三阶梯 260以上 9 例如，某用户的年用水量为300立方米，按三阶梯计量应缴纳水费为： （元）． 请解答以下问题： （1）如果用户的年用水量为100立方米，则用户需缴纳的水费为________元； （2）如果用户一年缴纳水费为1040元，则用户该年用水量为________立方米； （3）如果用户的年用水量为（）立方米，求用户该年应缴纳水费多少元？（用含的代数式表示，并化简） 25. 下图是一个运算程序， （1）当，时，求输出结果； （2）若，输出结果与相等，求值； （3）若输入非零有理数，恰互为相反数，比较代数式的值与0的大小． 26. 在小学，我们知道像12，27，36，45，108，…这样的自然数能被3整除．一般地，如果一个自然数所有数位上的数字之和能被3整除，那么这个自然数就能被3整除．事实上，我们可以证明这个结论的正确性．以两位数为例，若一个两位数的十位、个位上的数字分别为a，b，则通常记这个两位数为，于是，显然，能被3整除，因此，若能被3整除，那么，就能被3整除，即能被3整除． 根据上述材料，解答下列问题： （1）下列各数中，能被3整除的有 ；（填序号） ①25；②225；③1025；④2025 （2）设是一个四位数，若能被3整除，试说明这个数能被3整除； （3）设表示任意一个位自然数，若能被3整除，试说明能被3整除． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二届初中学生学科素养竞赛 七年级数学 注意事项 考生在答题前请认真阅读本注意事项： 1．本试卷共6页，满分为150分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回． 2．答题前，请务必将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写在试卷及答题卡上指定的位置． 3．答案必须按要求填涂、书写在答题卡上，在试卷、草稿纸上答题一律无效． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 下列各数中，互为相反数是（ ） A. 与3 B. 与 C. 与 D. 与 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了化简多重符号、相反数的定义，先化简多重符号，再根据相反数的定义逐项判断即可得解，熟练掌握相反数的定义是解此题的关键． 【详解】解：A、，故与3不是互为相反数，不符合题意； B、，故与是互为相反数，符合题意； C、，故与不是互为相反数，不符合题意； D、，故与不是互为相反数，不符合题意； 故选：B． 2. 2023年5月21日，以“聚力新南通、奋进新时代”为主题的第五届通商大会暨全市民营经济发展大会召开，40个重大项目集中签约，计划总投资约元．将用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】用科学记数法表示绝对值较大的数时，一般形式为，其中，为整数． 【详解】解：． 故选：B． 【点睛】本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原来的数，变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数，确定与的值是解题的关键． 3. 对于代数式的值，下列说法正确的是（ ） A. 比5大 B. 比5小 C. 比m大 D. 比m小 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查代数式的意义，理解加法运算的意义是解答此题的关键． 根据代数式的意义求解即可． 【详解】解：∵表示比m大5， 故选：C． 4. 计算的结果为（ ） A. 1 B. C. 7 D. 343 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了有理数乘除运算，根据有理数的运算法则和运算顺序进行计算即可求解． 【详解】解： ； 故选：D． 5. 已知有理数满足，那么在数轴上表示有理数的点（ ） A. 在原点右侧 B. 在原点或原点右侧 C. 在原点左侧 D. 在原点或原点左侧 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了有理数与数轴，利用了非负数的绝对值，非正数与数轴的关系：非正数位于原点及原点的左边．由，得，从而可得答案． 【详解】解：由，得， ∴实数在数轴上的对应点在原点或原点左侧 故选：D． 6. 对于多项式，下列说法正确的是（ ） A. 二次项系数是 B. 常数项是 C. 次数是 D. 项数是 【答案】C 【解析】 【分析】根据多项式的项和次数的定义，确定各个项和各个项的系数即可． 【详解】解：、中二次项为，其系数为，此选项判断错误，不符合题意； 、中常数项是，此选项判断错误，不符合题意； 、中次数是，此选项判断正确，符合题意； 、是三次三项式，项数是，选项判断错误，不符合题意； 故选：． 【点睛】此题考查了多项式，解题的关键是正确理解多项式的有关概念． 7. 如果a＋b＞0，且b＜0，那么a、b、－a、－b的大小关系为（ ） A. a＜－b＜－a＜b B. －b＜a＜－a＜b C. a＜b＜－b＜－a D. －a＜b＜－b＜a 【答案】D 【解析】 【分析】根据＋b＞0，且b＜0得出＞0，然后利用相反数性质进一步判断即可. 【详解】∵＋b＞0，且b＜0， ∴＞0， ∴－ <0，， ∴－ <b，－ <， ∵正数大于负数， ∴－＜b＜－b＜， 故选：D. 【点睛】本题主要考查了有理数的大小比较，熟练掌握相关概念是解题关键. 8. 某商场促销，把原价元的空调以八折出售，仍可获利元，则这款空调进价为（ ） A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 【答案】C 【解析】 【分析】设这款空调进价为元，根据“把原价元的空调以八折出售，仍可获利元”列出关系式求解即可． 【详解】解：设这款空调进价为元，根据题意得 ， 解得：， 这款空调进价为1600元， 故选：C． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，读懂题意找到等量关系式是解题的关键． 9. 若，则的值为（ ） A. 24 B. 20 C. 18 D. 16 【答案】D 【解析】 【分析】根据得到，再将整体代入中求值． 【详解】解：， 得， 变形为， 原式． 故选：D． 【点睛】本题考查代数式求值，将变形为是解题的关键． 10. 某窗户的形状如图所示（图中长度单位：），其上部是半圆形，下部是由两个相同的长方形和一个正方形构成．已知半圆的半径为，长方形的长和宽分别为和．给出下面四个结论： 窗户外围的周长是； 窗户的面积是； ； ． 上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据图形中圆，正方形和长方形边的数量关系及面积公式即可求解． 【详解】根据图形可知：窗户外围的周长是，故正确； 窗户的面积是，故错误； 由图形可知：，故正确； 由，和得不出关系，故错误； 故选：． 【点睛】此题考查了列代数式问题，解题的关键熟练掌握正方形和圆的周长及面积求法． 二、填空题（本大题共8小题，第11～12题每小题3分，第13～18题每小题4分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 11. 数轴上表示和表示2025的两点之间的距离为______． 【答案】4049 【解析】 【分析】本题主要考查了数轴上两点间的距离．利用数轴上两点之间的距离求法得出答案． 【详解】解：数轴上表示和表示2025的两点之间的距离为． 故答案为： 12. 若a，b互为倒数，m，n互为相反数，则=________． 【答案】２ 【解析】 【分析】利用倒数，相反数的定义确定出m+n与ab的值，代入计算即可求出值． 【详解】解:根据题意得，， 则原式 =， 故答案为：2． 【点睛】此题考查了代数式求值，相反数，以及倒数，熟练掌握各自的定义是解本题的关键． 13. 若有理数，满足，则____． 【答案】 【解析】 【分析】根据非负数的性质，可求出、的值，然后代入代数式求解即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：． 【点睛】此题考查了非负数的性质，解题的关键是熟练掌握几个非负数之和为零，则每一项都应为零． 14. 如果x－y＝5，m＋n＝2，则 (y＋m)－(x－n)的值是____. 【答案】－3； 【解析】 【分析】先将原式去括号，再利用加法交换律和结合律即可求出答案. 【详解】原式去括号得：y+m-x+n 根据加法交换律和结合律整理得：（y-x）+(m+n) 因为x－y＝5，所以-（x-y）=-5，即y-x=-5 所以原式=-5+2=-3 故答案是-3. 【点睛】本题考查的是有理数的加法和相反数的意义，通过x－y＝5，得到y-x=-5是解题的关键. 15. 如果代数式中不含项，则＝______________． 【答案】 【解析】 【分析】先将代数式化简，再由代数式中不含项，可得到关于的方程，即可求解． 【详解】解： ∵代数式中不含项， ∴ ， 解得： ． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了整式加减的混合运算，以及无关项问题，根据题意得到是解题的关键． 16. 有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示．化简代数式：=_______ ． 【答案】5c+b##b+5c 【解析】 【分析】根据数轴上点的位置判断出绝对值里边式子的正负，利用绝对值的代数意义化简，去括号合并即可． 【详解】由图可知a＜b＜0＜c， 则a+b＜0，c-a＞0，b-c＜0， ∴ ∴原式= 故答案为：． 【点睛】本题考查了整式的加减、数轴及绝对值的知识，掌握数轴上右边的数总比左边的数大是解答本题的关键． 17. 如图是一组有规律图案，它们是由边长相同的小正方形组成，其中部分小正方形涂有阴影，依此规律.第n个图案中有__个涂有阴影的小正方形(用含有n的代数式表示) 【答案】（4n+1）##（1+4n） 【解析】 【详解】解：由图可得，第1个图涂有阴影的小正方形的个数为5， 第2个图涂有阴影小正方形的个数为5×2-1=9， 第3个图涂有阴影的小正方形的个数为5×3-2=13， …， 第n个图涂有阴影的小正方形的个数为5n-（n-1）=4n+1. 故答案为：（4n+1）. 18. 如图，在一块长方形区域中布置了图中阴影部分所示的展区，其中的展台有三种不同的形状，其规格如图所示．根据图中信息，用等式表示，，满足的关系为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了根据图形列代数式、等式的性质．解决本题的关键是把长方形左、右两边的长度分别用含，，的代数式表示出来，根据长方形的宽相等可得等式，整理可得． 【详解】解：长方形左侧宽为：， 长方形右侧宽为：， ， 整理得：． 故答案为： ． 三、解答题（本大题共8小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）29 （2） （3）28 （4） 【解析】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）按照从左到右的顺序进行计算，即可解答； （2）先把有理数的除法转化为乘法，然后再利用乘法分配律的逆运算进行计算，即可解答； （3）先算乘方，再算乘除，后算加减，即可解答； （4）利用乘法分配律进行计算，即可解答． 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 ； 【小问3详解】 ； 【小问4详解】 ． 20. (1)在数轴上表示下列各数，并用“<”号把它们连接. 3， -1， 0， -2.5, 1.5， 2 (2)快递员要从物流中心出发送货，已知甲住户在物流中心的东边 2km 处，乙住户在甲住户的西边 3km 处，丙住户在物流中心的西边 1.5km 处，请建立数轴表示物流中心、甲住户、乙住户、丙住户的位置关系. 【答案】（1）图详见解析（2）图详见解析 【解析】 【分析】（1）画出数轴，注意数轴的三要素，原点，正方向，单位长度要体现出来，然后把以上各数在原点上以点的形式表示出来，最后按照左边的数小于右边的数进行排列. （2）以物流中心为原点，正方向为东方，单位长度为1km，建立数轴，表示出各个位置. 【详解】（1） 由数轴可知，左边的数小于右边的数，则 （2）以物流中心为原点，正方向为东，单位长度为1km，则甲所在位置为+2km，乙所在位置为+2-3=-1km，丙所在位置为0-1.5=-1.5km.如图所示： 【点睛】本题考查了用数轴比较数字大小以及用数轴上的点表示相对位置.务必清楚的是，数轴上，左边的数大于右边的数；用数轴表示相对位置时，找准参考点即原点，正负表示相反方向. 21. （1）化简：； （2）先化简，再求值：，其中，． 【答案】（1）；（2）， 【解析】 【分析】本题考查了整式的加减法，代数式求值，理解去括号的法则，合并同类项的法则是解答关键． （1）先去括号，再合并同类项求解； （2）先去括号，再合并同类项，最后将，代入化简后的代数式中计算求解． 【详解】解：（1） ； （2） ； 当，时，原式． 22. 如图，正方形的边长为． （1）根据图中数据，用含，的代数式表示阴影部分的面积； （2）当，时，求阴影部分的面积． 【答案】（1） （2）14 【解析】 【分析】本题考查了列代数式和代数式的求值．列出代数式是解决本题的关键． （1）用正方形的面积两个三角形的面积即可； （2）把，代入计算即可． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解：当，时， ． 23. 李明购买了甲、乙两个品牌的衬衣若干件，其中甲品牌衬衣买了n件，乙品牌衬衣比甲品牌衬衣多买了5件．已知甲品牌衬衣每件100元，乙品牌衬衣每件80元，则李明共需付款多少元？（结果用含n的代数式表示） 【答案】李明共需付款元 【解析】 【分析】本题考查整式加减的应用，根据题意列出代数式，再运用整式的加减运算法则计算即可． 【详解】解：（元）． 答：李明共需付款元． 24. 为了更好地使用和节约水资源，自2014年5月1日起，北京市居民生活用水开始实施阶梯水价，下表为北京市居民用水（自来水）水费收费标准： 阶梯 每户年用水量 （单位：立方米） 水单价 （单位：元/立方米） 价格组成（单位：元/立方米） 水费 水资源费 污水处理费 第一阶梯 0～180（含180） 5 第二阶梯 180～260（含260） 7 第三阶梯 260以上 9 例如，某用户的年用水量为300立方米，按三阶梯计量应缴纳水费为： （元）． 请解答以下问题： （1）如果用户年用水量为100立方米，则用户需缴纳的水费为________元； （2）如果用户一年缴纳的水费为1040元，则用户该年用水量为________立方米； （3）如果用户的年用水量为（）立方米，求用户该年应缴纳水费多少元？（用含的代数式表示，并化简） 【答案】（1）500 （2）200 （3）用户该年应缴纳水费元 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用： （1）利用单价乘以水量即可； （2）首先得出所用自来水的范围，设未知数、根据等量关系列方程即可； （3）根据数量关系，列出算式即可； 解题的关键是明确题意，找准数量关系，列出方程． 【小问1详解】 解：（元）， 答：则用户需缴纳的水费为500元， 故答案为：500． 【小问2详解】 （元）， 则使用自来水260立方米时，应缴纳：， 设用户该年用水量为立方米， 则1， 解得：， 答：用户该年用水量为200立方米， 故答案为：200． 【小问3详解】 ， ， ， ， 答：用户该年应缴纳水费元． 25. 下图是一个运算程序， （1）当，时，求输出结果； （2）若，输出结果与相等，求的值； （3）若输入非零有理数，恰互为相反数，比较代数式的值与0的大小． 【答案】（1）-3；（2）-3；（3）见解析 【解析】 【分析】（1）若a=-1，b=2，根据-1＜2，把a、b的值代入|a|-2b即可． （2）若a=3，输出结果m的值与输入b的值相同，则b=m，分两种情况：3＞m；3≤m，求出b的值是多少即可． （3）根据相反数的定义得到a+b=0，再分a＞0，b＜0和a＜0，b＞0两种情况分别讨论． 【详解】解：（1）∵a=-1，b=2，-1＜2， ∴a＜b， ∴m=|-1|-2×2=-3． （2）∵a=3，输出结果m的值与输入b的值相等， ∴b=m， ①3＞m时， ∵|3|+2m=m， 解得m=-3，符合题意． ②3≤m时， ∵|3|-2m=m， 解得m=1，不符合题意， 故m的值为-3； （3）∵非零有理数a和b互为相反数， ∴a+b=0， 若a＞0，b＜0，则a＞b， ∴m=|a|+2b=a+2b， ∴2a-3b+4m=2a-3b+4（a+2b）=6a+5b=a+5（a+b）=a＞0； 若a＜0，b＞0，则a＜b， ∴m=|a|-2b=-a-2b， ∴2a-3b+4m=2a-3b+4（-a-2b）=-2a-11b=-2（a+b）-9b=-9b＜0． 【点睛】此题主要考查了代数式求值问题，整式的加减运算，要熟练掌握，求代数式的值可以直接代入、计算．如果给出的代数式可以化简，要先化简再求值．题型简单总结以下三种：①已知条件不化简，所给代数式化简；②已知条件化简，所给代数式不化简；③已知条件和所给代数式都要化简． 26. 在小学，我们知道像12，27，36，45，108，…这样的自然数能被3整除．一般地，如果一个自然数所有数位上的数字之和能被3整除，那么这个自然数就能被3整除．事实上，我们可以证明这个结论的正确性．以两位数为例，若一个两位数的十位、个位上的数字分别为a，b，则通常记这个两位数为，于是，显然，能被3整除，因此，若能被3整除，那么，就能被3整除，即能被3整除． 根据上述材料，解答下列问题： （1）下列各数中，能被3整除的有 ；（填序号） ①25；②225；③1025；④2025 （2）设是一个四位数，若能被3整除，试说明这个数能被3整除； （3）设表示任意一个位自然数，若能被3整除，试说明能被3整除． 【答案】（1）②④ （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查列代数式以及数的整除，整式加减的应用． （1）计算各数位上的数字之和，若能被3整除，则该数就能被3整除，据此逐个判断即可； （2），根据已知条件按照材料的方法即可证明； （3） ． 根据，…，和能被3整除，即可得证． 【小问1详解】 解：①∵，而7不能被3整除， ∴不能被3整除； ②∵，而9能被3整除， ∴225能被3整除； ③∵，而8不能被3整除， ∴1025不能被3整除； ④∵，而9能被3整除， ∴2025能被3整除； 综上所述，能被3整除有②225，④2025． 故答案为：②④ 【小问2详解】 解：， ∵能被3整除， 能被3整除， ∴能被3整除， ∴能被3整除； 【小问3详解】 解： ． ∵，…，都能被3整除， 能被3整除， ∴能被3整除，即能被3整除． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$