5.3.1 诱导公式（一） 课件-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

5.3 诱导公式 第1课时 诱导公式（一） 学习目标 课标要求 1.了解三角函数的诱导公式的意义与作用. 2.理解诱导公式的推导过程. 3.能运用有关诱导公式解决一些三角函数的求值、化简和证明问题. 素养要求 借助单位圆的对称性，利用定义推导诱导公式，重点提升学生的逻辑推理、数学运算素养. 宁波光华学校 ：刘雨萌 在前面的学习中,我们知道终边相同的角的同一三角函数值相等,即公式一,并且利用公式一可以把求绝对值较大的三角函数值转化为求0°~360°角的三角函数值,对于90°~360°角的三角函数值,我们能否进一步把它们转化到锐角范围内来求解,这是我们今天要学习的内容. 导语 宁波光华学校 ：刘雨萌 抽象概念 内涵解析 一、诱导公式二 1.问题　角π＋α的终边与角α的终边有什么关系？ 提示　角π＋α的终边与角α的终边关于原点对称，点P1与点P关于原点对称. 2.问题　角π＋α的终边与单位圆的交点P1(cos(π＋α)，sin(π＋α))与点P(cos α，sin α)有什么关系呢？两点的坐标有什么关系？ 提示　点P1与点P关于原点对称，两点P1与P的横坐标、纵坐标分别互为相反数. 3.填空　诱导公式二：sin(π＋α)＝_________，cos(π＋α)＝______________，tan(π＋α)＝____________. －sin α －cos α tan α 宁波光华学校 ：刘雨萌 练一练 解析　∵sin(3π＋α)＝sin(π＋α)＝－sin α. B 宁波光华学校 ：刘雨萌 抽象概念 内涵解析 二、诱导公式三与公式四 1.问题　(1)角－α的终边与角α的终边有什么关系？角－α的终边与单位圆的交点P2(cos(－α)，sin(－α))与点P(cos α，sin α)有怎样的关系？ 提示　角－α的终边与角α的终边关于x轴对称，点P2与点P关于x轴对称. (2)点P与点P2的坐标有什么关系？ 提示　点P与点P2的横坐标相等，纵坐标相反. 2.思考　你能否借助π＋α，－α与α的终边关系，猜想到角π－α与α终边与单位圆的交点之间的关系，两交点的坐标有什么联系？ 提示　角π－α与角α的终边与单位圆的交点关于y轴对称，两点的横坐标相反，纵坐标相等. 宁波光华学校 ：刘雨萌 知识小结 2.公式二：（小化锐） sin(π+α)= ,  cos(π+α)= ,  tan(π+α)= .  1.公式一：（大化小） sin(α+k·2π)=　　 , cos(α+k·2π)= , tan(α+k·2π)= ,其中k∈Z.  3.公式三：（负化正） sin(-α)= ,  cos(-α)= ,  tan(-α)= .  4.公式四：（小化锐） sin(π-α)= ,  cos(π-α)= ,  tan(π-α)= .  注意：(1)函数名称不变.(2)运用公式时把α“看成”锐角. (3)诱导公式中角α可以是任意角,要注意正切函数中要求α≠kπ+,k∈Z. sin α cos α tan α -sin α -cos α tan α -sin α cos α -tan α sin α -cos α -tan α 宁波光华学校 ：刘雨萌 4.做一做　(多选)下列各式中，正确的是(　 　) A.sin(－x)＝sin x 　　　　 B.cos(2π－x)＝cos x C.tan(x－3π)＝tan x 　　　　 D.cos(x－π)＝－cos x 解析　sin(－x)＝－sin x，知A不正确. cos(2π－x)＝cos(－x)＝cos x知，B正确. tan(x－3π)＝tan(x－π)＝tan x，知C正确. cos(x－π)＝cos(π－x)＝－cos x，知D正确. 练一练 BCD 宁波光华学校 ：刘雨萌 5.思考辨析　正确的在后面的括号内打“√”，错误的打“×”. √ × √ × 概念辨析 宁波光华学校 ：刘雨萌 典例分析 给角求值 例1 利用公式求下列三角函数值: (1)cos(-480°)+sin 210°; 原式=cos 480°+sin(180°+30°) =cos(360°+120°)-sin 30° =cos 120°- =cos(180°-60°)- =-cos 60°-=--=-1. (2)sin·cos·tan. 原式=sin·cos·tan =sin·cos·tan =sin·cos·tan =-sin·cos·tan =-××=-. 宁波光华学校 ：刘雨萌 总结提升 利用诱导公式求任意角的三角函数值的步骤 (1)“负化正”——用公式一或三来转化. (2)“大化小”——用公式一将角化为0到2π间的角. (3)“小化锐”——用公式二或四将大于的角转化为锐角. (4)“锐求值”——得到锐角三角函数后求值. 宁波光华学校 ：刘雨萌 跟踪训练 sin+tan-cos=　　　.  跟踪训练 给角求值 0 原式=sin+tan-cos =sin+tan-cos =sin-tan+cos =-1+=0. 宁波光华学校 ：刘雨萌 例2 已知cos=,则cos= 　　　　.  典例分析 给式求值 - cos=cos=-cos=-. 延伸探究 1.若本例中的条件不变,求cos的值. cos=cos=cos=cos=. 2.若本例中的条件不变,求cos-sin2的值. 因为cos=cos=-cos=-, sin2=sin2=1-cos2=1-=, 所以cos-sin2=--=-. 宁波光华学校 ：刘雨萌 跟踪训练 给式求值 跟踪训练2 (1)已知sin(π+α)=,且α是第四象限角,则cos(α-2π)的值是 A.- B. C.± D. √ (2)已知sin=-,且θ∈,则cos=　　　　.  - 宁波光华学校 ：刘雨萌 典例分析 利用公式进行化简 例3 化简:(1); 原式====1. (2). 原式= ==-1. 宁波光华学校 ：刘雨萌 跟踪训练 利用公式进行化简 跟踪训练3 若tan(5π+α)=m,则的值为 A. B. C.-1 D.1 因为tan(5π+α)=tan α=m, 所以原式=====. 宁波光华学校 ：刘雨萌 课堂小结 1.知识清单: (1)诱导公式二~四. (2)给角求值,给值(式)求值. 2.方法归纳:数形结合、公式法. 3.常见误区:符号的确定. 宁波光华学校 ：刘雨萌 1.sin 2 024°等于 A.sin 44° B.-sin 44° C.sin 46° D.-sin 46° sin 2 024°=sin(5×360°+224°) =sin 224°=sin(180°+44°)=-sin 44°. √ 1 2 3 4 宁波光华学校 ：刘雨萌 2.log2的值为 A.-1 B.- C. D. √ 1 2 3 4 宁波光华学校 ：刘雨萌 3.已知cos(π+α)=,且α是第三象限角,那么sin(α-π)的值是 A. B.- C. D.- √ 1 2 3 4 宁波光华学校 ：刘雨萌 4.化简:·tan(π+α)=　　　　.  1 2 3 4 -1 原式=·tan α=·=-1. 宁波光华学校 ：刘雨萌 4.做一做　若sin(3π＋α)＝eq \f(1,3)，则sin α等于(　　) A. B.－ C.3 D.－3 ∴－sin α＝，则sin α＝－. (1)tan 210°＝.( ) (2)对于诱导公式中的角α一定是锐角.( ) (3)在△ABC中，sin(A＋B)＝sin C.( ) (4)sin(α－π)＝sin α.( ) $$