5.2.2 同角三角函数的基本关系 课件-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

5.2 三角函数的概念 5.2.2 同角三角函数的基本关系 学习目标 课标要求 1.理解同角三角函数的基本关系式. 2.会用同角三角函数的基本关系式进行三角函数式的求值、化简和证明. 素养要求 通过同角三角函数式的应用，重点提升学生的数学抽象、逻辑推理、数学运算素养. 宁波光华学校 ：刘雨萌 抽象概念 内涵解析 公式一表明终边相同的角的同一三角函数值相等，那么，终边相同的角的三个三角函数值之间是否也有某种关系呢？ α 0 sin α 0 1 cos α 1 0 tan α 0 1 不存在 宁波光华学校 ：刘雨萌 抽象概念 内涵解析 若P(x,y)是角α的终边与单位圆的交点,则角α的三个三角函数值之间有什么联系? 如图5.2.7，设点 圆的交点.过P作轴的垂线，交轴于M，则三角形，而且OP=1.由勾股定理有 显然，当α的终边与坐标轴重合时，这个公式也成立. 根据三角函数的定义，当，有 这就是说，同一个角的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角的正切. 宁波光华学校 ：刘雨萌 知识概念 同角三角函数的基本关系 平方关系:sin2α+cos2α= ; 商数关系:= .  这就是说,同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1,商等于角α的正切. 1 tan α (1)“同角”的含义,一是角相同,二是对任意一个角关系式都成立. (2)对于sin2α+cos2α=1对一切α∈R恒成立,而tan α=仅对α∈成立. (3)sin2α是(sin α)2的缩写,不能写成sin α2. 宁波光华学校 ：刘雨萌 思考辨析 × √ × × 宁波光华学校 ：刘雨萌 典例分析 利用同角三角函数的基本关系求值 例1 (1)已知cos α=-,求sin α,tan α的值. ∵cos α=-<0, ∴α是第二或第三象限角. 当α是第二象限角时,sin α>0,tan α<0, ∴sin α===, tan α==-; 当α是第三象限角时,sin α<0,tan α>0, ∴sin α=-=-=-, tan α==. (2)已知tan α=-4,求的值. = ==. 宁波光华学校 ：刘雨萌 (1)已知一个三角函数值可以求出另外两个,即“知一求二”. (2)已知tan α的值,求关于sin α,cos α齐次式的值的方法 ①对于形如或的分式,分子、分母同时除以cos α或cos2α,将正弦、余弦转化为正切,从而求值. ②对于形如asin2α+bsin αcos α+ccos2α的式子,将其看成分母为1的分式,再将分母1变形为sin2α+cos2α,转化为形如的式子求值. 小结提升 宁波光华学校 ：刘雨萌 巩固提升 利用同角三角函数的基本关系求值 跟踪训练1 (1)已知sin α+3cos α=0,求sin α,cos α的值. ∵sin α+3cos α=0,∴sin α=-3cos α. 又sin2α+cos2α=1, ∴(-3cos α)2+cos2α=1, 即10cos2α=1,∴cos α=±. 又由sin α=-3cos α,可知sin α与cos α异号, ∴角α的终边在第二或第四象限. 当角α的终边在第二象限时, cos α=-,sin α=; 当角α的终边在第四象限时, cos α=,sin α=-. (2)已知=-1,求sin2α+sin αcos α+1的值. 方法一　(弦化切) 由==-1,得tan α=1, 所以sin2α+sin αcos α+1= = = ===2. 方法二　因为=-1, 所以sin α=cos α, 所以sin2α+sin αcosα+1=sin2α+cos2α+1=2. 宁波光华学校 ：刘雨萌 例2 已知sin θ+cos θ=(0<θ<π),求sin θcos θ和sin θ-cos θ的值. 典例分析 sin θ±cos θ型求值问题 因为sin θ+cos θ=(0<θ<π), 所以(sin θ+cos θ)2=, 即sin2θ+2sin θcos θ+cos2θ=, 所以sin θcos θ=-, 所以sin θ>0,cos θ<0,所以sin θ-cos θ>0, 所以sin θ-cos θ = ==. 宁波光华学校 ：刘雨萌 小结提升 已知sin θ±cos θ,sin θcos θ求值问题,一般利用三角恒等式,采用整体代入的方法求解,涉及的三角恒等式有 (1)(sin θ+cos θ)2=1+2sin θcos θ; (2)(sin θ-cos θ)2=1-2sin θcos θ; (3)(sin θ+cos θ)2+(sin θ-cos θ)2=2; (4)(sin θ-cos θ)2=(sin θ+cos θ)2-4sin θcos θ. 上述三角恒等式告诉我们,若已知sin θ+cos θ，sin θ-cos θ， sin θcos θ中的任何一个,则另两个式子的值均可求出. 宁波光华学校 ：刘雨萌 跟踪训练2 若sin θ-cos θ=,则tan θ+=　　　　.  巩固提升 sin θ±cos θ型求值问题 -2 由已知得(sin θ-cos θ)2=2, ∴sin θcos θ=-, ∴tan θ+=+==-2. 宁波光华学校 ：刘雨萌 抽象概念 内涵解析 你能发现同角三角函数的基本关系的哪些变形形式? 提示　sin2α+cos2α=1⇒ tan α=⇒ 利用上述变换我们可以对三角函数式进行化简,也就是代数式的恒等变换,要使结果尽可能的简单,也就是项数尽可能的少,次数尽可能的低,函数种类尽可能的少,式子中尽量不含根号,能求值的尽量求值. 宁波光华学校 ：刘雨萌 例3 (1)化简:. 典例分析 利用同角三角函数的基本关系化简和证明 原式===1. (2)证明:=. 因为(sin α-cos α+1)cos α=sin αcos α-cos2α+cos α =sin αcos α+cos α-(1-sin2α) =cos α(sin α+1)-(1+sin α)(1-sin α) =(1+sin α)(cos α-1+sin α) =(1+sin α)(sin α+cos α-1), 且sin α+cos α-1≠0,cos α≠0, 所以=. 宁波光华学校 ：刘雨萌 小结提升 (1)三角函数式的化简技巧 ①化切为弦,即把正切都化为正弦、余弦,从而减少函数名称,达到化繁为简的目的. ②对于含有根号的,常把根号里面的部分化成完全平方式,然后去根号达到化简的目的. ③对于化简含高次的三角函数式,往往借助于因式分解,或构造sin2α+cos2α=1,以降低函数次数,达到化简的目的. 宁波光华学校 ：刘雨萌 (2)证明三角恒等式的常用方法 ①从左向右推导或从右向左推导. ②左右归一法,即证明左右两边都等于同一个式子. ③化异为同法,即针对题设与结论间的差异,有针对地变形,以消除差异. ④变更命题法,如要证明=,可证ad=bc,或证=等. ⑤比较法,即证明“左边-右边=0”或“=1”. 小结提升 宁波光华学校 ：刘雨萌 巩固提升 利用同角三角函数的基本关系化简和证明 跟踪训练3 (1)化简:+(1+tan2α)cos2α. 原式=+cos2α =+·cos2α=1+1=2. (2)求证:=. 方法一　左边= ====右边. 所以原等式成立. 宁波光华学校 ：刘雨萌 课堂小结 1.知识清单: (1)同角三角函数的基本关系. (2)利用同角三角函数的基本关系求值、化简与证明. 2.方法归纳:由部分到整体、整体代换法. 3.常见误区:求值时注意α的范围,如果无法确定,一定要对α所在的象限进行分类讨论. 宁波光华学校 ：刘雨萌 1.已知tan α=,α∈,则cos α的值是 A.± B. C.- D. √ 1 2 3 4 随堂检测 宁波光华学校 ：刘雨萌 2.若tan α=2,则的值为 A.0 B. C.1 D. ==. √ 1 2 3 4 宁波光华学校 ：刘雨萌 3.已知sin α-cos α=-,则sin αcos α等于 A. B.- C.- D. √ 1 2 3 4 宁波光华学校 ：刘雨萌 4.若2sin α+cos α=0,则-=　　　　.  1 2 3 4 -8 - = ===-, ∵2sin α+cos α=0,∴tan α=-, ∴原式==-8. 宁波光华学校 ：刘雨萌 (1)因为sin2＋cos2＝1，所以sin2α＋cos2β＝1.( ) (2)sin2＋cos2＝1.( ) (3)对任意的角α，都有tan α＝成立.( ) (4)若sin α＝，则cos α＝.( ) $$