5.2.1 三角函数的概念 课件-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

5.2 三角函数的概念 5.2.1 三角函数的概念 学习目标 课标要求 1.借助单位圆理解任意角的三角函数定义. 2.能利用定义解决相关问题素养要求 素养要求 1.通过对正弦函数、余弦函数、正切函数定义的理解，重点提升学生的数学抽象和直观想象素养. 宁波光华学校 ：刘雨萌 抽象概念 内涵解析 在初中，我们通过直角三角形的边角关系，学习了锐角的正弦、余弦、正切三个三角函数，如图所示. 追问 定义中的三个三角函数，对于同样大的一个角来说，如果三角形的大小改变(相似变化)，其三角函数值是否改变？ 提示　不变. 如图，如果一个锐角α的终边与单位圆的交点是P(x，y)，根据初中所学在直角三角形中正弦、余弦、正切的定义，你能否用点P的坐标表示sin α，cos α，tan α？这一结论能否推广到α是任意角时的情形呢？ 宁波光华学校 ：刘雨萌 抽象概念 内涵解析 ，在直角坐标系中，设P(x,y)，它与原点的距离为 宁波光华学校 ：刘雨萌 知识概念 前提 如图，设α是一个任意角，它的终边与________交于点P(x，y)   定义 正弦 ____叫做α的正弦函数，记作__________，即sin α＝____ 余弦 ____叫做α的余弦函数，记作__________，即cos α＝____ 正切 ____叫做α的正切函数，记作________，即tan α＝___(x≠0) 三角函数 将正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数,通常将它们记为:正弦函数y=sin x,x∈R；余弦函数y=cos x,x∈R 正切函数y=tan x,x∈ 单位圆 y sin α y x cos α x tan α 宁波光华学校 ：刘雨萌 典例分析 三角函数的概念 例1 (1)求的正弦、余弦和正切值. 在直角坐标系中,作∠AOB=(如图). 易知∠AOB的终边与单位圆的交点坐标为, 所以sin =,cos =-,tan =-. (2)若角α的终边经过点P(-3a,4a)(a≠0),求2sin α+cos α的值. 因为r==5|a|, ①若a>0,则r=5a,角α是第二象限角,sin α===,cos α===-, 所以2sin α+cos α=-=1. ②若a<0,则r=-5a,角α是第四象限角,sin α==-,cos α==, 所以2sin α+cos α=-+=-1. 宁波光华学校 ：刘雨萌 利用三角函数的定义求一个角的三角函数值有以下几种情况 (1)若已知角,则只需确定出该角的终边与单位圆的交点坐标,即可求出各三角函数值. (2)若已知角α终边上一点P(x,y)(x≠0)是单位圆上一点,则sin α ＝y,cos α=x,tan α=. (3)若已知角α终边上一点P(x,y)(x≠0)不是单位圆上一点,则先 求r=,再求sin α=,cos α=,tan α=. (4)若已知角α终边上的点的坐标含参数,则需进行分类讨论. 小结提升 宁波光华学校 ：刘雨萌 巩固提升 三角函数的概念 跟踪训练1 (多选) 若角α的终边经过点P(x,-3)且sin α=-,则x的值为 A.- B.-1 C.1 D. √ √ |OP|=, ∵sin α===-, 解得x2=1,∴x=±1. 宁波光华学校 ：刘雨萌 抽象概念 内涵解析 根据任意角的三角函数定义，先将正弦、余弦、正切函数在弧度制下的定义域填入下表，在将这三种函数的值在各象限的符号填入表中的括号。 三角函数 定义域 口诀:一全正,二正弦,三正切,四余弦. 宁波光华学校 ：刘雨萌 知识概念 正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号 (1)图示: (2)口诀:一全正,二正弦,三正切,四余弦. 宁波光华学校 ：刘雨萌 例2 (1)若sin αtan α<0,且<0,则角α是 A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 典例分析 正弦、余弦、正切函数值在各个象限内的符号 √ (2)(多选)下列选项中,符号为负的是 A.sin(-100°) B.cos(-220°) C.tan 10 D.cos π √ √ √ 宁波光华学校 ：刘雨萌 巩固提升 正弦、余弦、正切函数值在各个象限内的符号 跟踪训练2 已知点P(sin α,cos α)在第三象限,则角α的终边在 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 √ ∵点P(sin α,cos α)在第三象限, ∴∴α为第三象限角. 宁波光华学校 ：刘雨萌 终边相同的角的三角函数值有何关系？ 抽象概念 内涵解析 提示　由三角函数的定义,可以知道,终边相同的角的同一三角函数的值相等. 终边相同的角的同一三角函数的值　　　. 诱导公式一即 相等 sin(α+k·2π)=　　 , cos(α+k·2π)= , tan(α+k·2π)= , 其中k∈Z.  sin α cos α tan α 公式一作用： 大化小 宁波光华学校 ：刘雨萌 典例分析 诱导公式一 例3 　计算下列各式的值: (1)sin(-1 395°)cos 1 110°+cos(-1 020°)sin 750°; 原式=sin(-4×360°+45°)cos(3×360°+30°)+cos(-3×360°+60°) sin(2×360°+30°) =sin 45°cos 30°+cos 60°sin 30° =×+×=+=. (2)sin+costan 4π. 原式=sin+costan(4π+0)=sin+cos×0=. 宁波光华学校 ：刘雨萌 巩固提升 诱导公式一 跟踪训练3 计算下列各式的值: (1)tan 405°-sin 450°+cos 750°; 原式=tan(360°+45°)-sin(360°+90°)+cos(2×360°+30°) =tan 45°-sin 90°+cos 30° =1-1+=. (2)sin+tan. 原式=sin+tan =sin+tan=+1. 宁波光华学校 ：刘雨萌 课堂小结 1.知识清单: (1)三角函数的定义及求法. (2)三角函数值在各象限内的符号. (3)诱导公式一. 2.方法归纳:由特殊到一般、转化与化归、分类讨论. 3.常见误区:三角函数值的大小只与角的大小有关,与终边上的点无关;正切函数的定义域为. 宁波光华学校 ：刘雨萌 1.已知sin α=,cos α=-,则角α的终边与单位圆的交点坐标是 A. B. C. D. √ 1 2 3 4 当堂检测 宁波光华学校 ：刘雨萌 2.已知角α的终边经过点(-5,12),则cos α等于 A. B. C.- D.- 设点P(-5,12), 则|OP|==13, 故cos α==-. √ 1 2 3 4 宁波光华学校 ：刘雨萌 3.若cos α<0,tan α>0,则α的终边在 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 √ 1 2 3 4 宁波光华学校 ：刘雨萌 4.计算:sin+cos+tan=　　　　.  1 2 3 4 2 原式=sin+cos+tan=sin+cos+tan =++1=2. 宁波光华学校 ：刘雨萌 课后作业 宁波光华学校 ：刘雨萌 定义sin α＝eq \f(对边,斜边)，cos α＝eq \f(邻边,斜边)，tan α＝eq \f(对边,邻边). $$