5.1.2 弧度制 课件—2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

5.1 任意角和弧度制 5.1.2 弧度制 学习目标 课标要求 1.理解角度制与弧度制的概念，能对弧度和角度进行正确的转换. 2.体会引入弧度制的必要性，建立角的集合与实数集的一一对应关系. 3.掌握并能应用弧度制下的弧长公式和扇形面积公式. 素养要求 1.借助单位圆建立弧度制的概念，体会引入弧度制的必要性，重点提升学生的数学抽象素养. 2.应用弧度制下的弧长公式和扇形面积公式解决相关问题，重点提升数学运算、逻辑推理素养. 宁波光华学校 ：刘雨萌 抽象概念 内涵解析 在初中学过的角度中,1度的角是如何规定的?在给定半径的圆中,当弧长一定时,圆心角确定吗? 提示　1度的角等于周角的.圆心角是确定的. 追 度量长度可以用米、英尺、码等不同的单位制,度量质量可以用千克、磅等不同的单位制.不同的单位制能给解决问题带来方便.角的度量是否也能用不同的单位制呢? 角度制 定义 用____作为单位来度量角的单位制 1度的角 周角的_____为1度的角，记作1° 度 宁波光华学校 ：刘雨萌 抽象概念 内涵解析 射线OA绕端点O旋转到OB形成角α,在旋转过程中,射线OA上的一点P(不同于点O)的轨迹是一条圆弧,这条圆弧对应于圆心角α.设α=n°,OP=r,点P所形成的圆弧的长为l,由l=可知, 弧长l与半径r的比值为=n·. 若在射线OA上任取一点Q(不同于点O),OQ=r1,在旋转过程中,点Q所形成的圆弧的长为l1,则弧长l1与半径r1的比值和弧长l与半径r的比值有何关系? 圆心角α所对应的弧长和半径的比值，只与α的大小有关. 这个比值随α的确定而唯一确定。 宁波光华学校 ：刘雨萌 知识概念 1.弧度制 我们规定:长度等于　　　长的　　　所对的圆心角叫做1弧度的角,弧度单位用符号rad表示,读作弧度. 2.弧度数的计算 在半径为r的圆中,弧长为l的弧所对的圆心角为α rad,那么=. 3.一般地,正角的弧度数是一个　　　,负角的弧度数是一个　　　,零角的弧度数是　　. 半径 圆弧 正数 负数 0 宁波光华学校 ：刘雨萌 抽象概念 内涵解析 角度制、弧度制都是角的度量制，它们之间应该如何换算？ 角度化弧度 弧度化角度 360°=　　 rad 2π rad=______ 180°= rad π rad=______ 1°= rad≈0.017 45 rad 1 rad=°≈57.30°=57°18' 度数×=弧度数 弧度数×=度数 2π π 360° 180° 宁波光华学校 ：刘雨萌 一些特殊角的度数与弧度数的对应关系 知识概念 度 0° 30° 45° _____ 90° 120° 135° 150° _____ 270° 360° 弧度 0 ___ ___ ____ ____ ____ π ___ 60° 180° 2π 注： (1)弧度单位rad可以省略. (2)在同一个题目中,弧度与角度不能混用. 宁波光华学校 ：刘雨萌 典例分析 角度制与弧度制的互相转化 例1 (1)①将112°30'化为弧度为　　　　.  ②将- rad化为角度为　　　　.  rad -75° ②因为1 rad=°,所以- rad=-°=-75°. (2)已知α=15°,β= rad,γ=1 rad,θ=105°,φ= rad,试比较α,β,γ,θ,φ的大小. 法一　(化为弧度)α=15°=15× rad= rad,θ=105°=105× rad= rad, 显然<<1<,故α<β<γ<θ=φ. ①因为1°= rad,所以112°30'=×112.5 rad= rad. 宁波光华学校 ：刘雨萌 巩固提升 角度制与弧度制的互相转化 跟踪训练1 把下列角度化成弧度或弧度化成角度: (1)72°; 72°=72×=. (2)-300°; -300°=-300×=-. (3)2; 2=°=°. (4)-. -=-°=-40°. 宁波光华学校 ：刘雨萌 典例分析 用角度制与弧度制表示坐标系 例2 1.教材175页练习3 用弧度制表示 （1）终边在x轴上的角的集合. （2）终边在y轴上的角的集合. 2.教材176页3 分别用角度和弧度写出第一、二、三、四象限角的集合. 宁波光华学校 ：刘雨萌 巩固提升 用角度制与弧度制表示坐标系 跟踪训练2 (1)用弧度制表示与150°角终边相同的角的集合为 A. B. C. D. √ (2)终边落在图中阴影部分(包含边界)的角的集合为(用弧度制表示)　　　　　　 .  宁波光华学校 ：刘雨萌 抽象概念 内涵解析 我们初中所学扇形的弧长和面积公式是什么? 　设扇形的半径为R，弧长为l，α(0<α<2π)为其圆心角，则 圆心角α=. 度量单位类别 α为角度制 α为弧度制 扇形的弧长 l＝______ l＝_______ 扇形的面积 S＝_______ S＝_______＝___________ α·R 宁波光华学校 ：刘雨萌 典例分析 弧度制下的扇形的弧长与面积公式 例3 已知扇形的周长为10 cm,面积为4 cm2,求扇形圆心角的弧度数. 设扇形圆心角的弧度数为θ(0<θ<2π),弧长为l cm,半径为R cm, 依题意有 整理得R2-5R+4=0,解得R=1或R=4. 当R=1时,l=8,此时,θ=8>2π,舍去. 当R=4时,l=2,此时,θ==. 综上可知,扇形圆心角的弧度数为. 宁波光华学校 ：刘雨萌 延伸探究 已知一扇形的周长为4,当它的半径与圆心角取何值时,扇形的面积最大?最大值是多少? 延伸探究 弧度制下的扇形的弧长与面积公式 设扇形圆心角的弧度数为θ(0<θ<2π),弧长为l,半径为r,面积为S,则l+2r=4, 所以l=4-2r, 所以S=lr=×(4-2r)×r=-r2+2r=-(r-1)2+1, 所以当r=1时,S最大,且Smax=1, 此时,θ===2. 故当r=1,θ=2时,扇形的面积最大,最大值为1. 宁波光华学校 ：刘雨萌 巩固提升 弧度制下的扇形的弧长与面积公式 跟踪训练3 已知扇形的半径为10 cm,圆心角为60°,求扇形的弧长和面积. 已知扇形的圆心角α=60°=, 半径r=10 cm, 则弧长l=αr=×10=(cm), 面积S=lr=××10=(cm2). 宁波光华学校 ：刘雨萌 课堂小结 1.知识清单: (1)弧度制的概念. (2)弧度制与角度制的相互转化. (3)掌握特殊角的度数与弧度数的对应关系. (4)弧度制下的扇形的弧长与面积的计算. 2.方法归纳:由特殊到一般、数学运算. 3.常见误区:弧度与角度混用. 宁波光华学校 ：刘雨萌 1.(多选)下列说法中,正确的是 A.半圆所对的圆心角是π rad B.周角的大小等于2π C.1弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径 D.长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是1弧度 √ 1 2 3 4 √ √ 根据弧度的定义及角度与弧度的换算知A,B,C均正确,D错误. 当堂检测 宁波光华学校 ：刘雨萌 2.时针经过一小时,转过了 A. rad B.- rad C. rad D.- rad 时针经过一小时,转过了-30°, -30°=- rad. √ 1 2 3 4 宁波光华学校 ：刘雨萌 3.用弧度制表示与-330°角终边相同的角的集合为 A. B. C. D. √ 1 2 3 4 宁波光华学校 ：刘雨萌 4.周长为9,圆心角为1 rad的扇形的面积为　　　　.  1 2 3 4 设扇形的半径为r,弧长为l, 由题意可知 解得 所以扇形的面积S=lr=. 宁波光华学校 ：刘雨萌 l·R α·R2 $$