5.1.1 任意角 课件-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

5.1 任意角和弧度制 5.1.1 任意角 学习目标 课标要求 1.结合实例，了解角的概念的推广及其实际意义. 2.理解象限角的概念，并掌握终边相同角的含义及其表示. 素养要求 在角的概念推广过程中，经历由具体到抽象，重点提升学生的数学抽象、直观想象素养. 宁波光华学校 ：刘雨萌 抽象概念 内涵解析 这种概念的优点是形象、直观、容易理解，但它是从图形形状来定义角，这种定义称为静态定义，其弊端在于“狭隘” 初中是如何定义角的？ 角可以看作从同一顶点出发的两条射线所成的图形 角的范围是[0º, 360º). 追 初中角的取值范围？ 追 生活中很多实例不在这个范围内。例如： 跳水运动员向内、向外转体1080º； 经过1小时，时针、分针、秒针各转了多少度？ 这些例子不仅不在范围[0º, 360º) ，而且方向不同，有必要将角的概念推广到任意角，想想用什么办法才能推广到任意角？ 关键是用运动的观点来看待角的变化。 宁波光华学校 ：刘雨萌 抽象概念 内涵解析 ⑴“旋转”形成角 一条射线由原来的位置OA，绕着它的端点O按逆时针方向旋转到另一位置OB，就形成角α． 旋转开始时的射线OA叫做角α的始边，旋转终止的射线OB叫做角α的终边，射线的端点O叫做角α的顶点． 宁波光华学校 ：刘雨萌 知识概念 1.角的概念及其表示 角可以看成一条　　　绕着它的端点　　　所成的　　　.如图, (1)始边:射线的　　　位置OA; 终边:射线的　　　位置OB; 顶点:射线的端点O. (2)记法:图中的角可记为“角α”或“∠α”或“∠AOB”. 射线 旋转 图形 起始 终止 宁波光华学校 ：刘雨萌 抽象概念 内涵解析 ⑵．“正角”与“负角”、“0º角” 我们把按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角，把按顺时针方向旋转所形成的角叫做负角，如图，以OA为始边的角α=210°，β=－150°，γ=660°， 特别地，当一条射线没有作任何旋转时，我们也认为这时形成了一个角，并把这个角叫做零度角（0º）． 角的记法：角α或∠α.可以简记成α. 宁波光华学校 ：刘雨萌 知识概念 2.任意角:我们把角的概念推广到了任意角,包括正角、负角和零角. 名称 定义 图示 正角 一条射线绕其端点按　　　　方向旋转形成的角 负角 一条射线绕其端点按　　　　方向旋转形成的角 零角 一条射线　　　做任何旋转形成的角 逆时针 顺时针 没有 宁波光华学校 ：刘雨萌 知识概念 3.角的相等 如果角α和角β的旋转方向相同且旋转量相等,那么就称　　　. 4.角的加法 设α,β是任意两个角,我们规定,把角α的终边旋转角β,这时终边所对应的角是　　　. 5.相反角:把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为　　　　,角α的相反角记为　　,α-β=α+　　　. α=β α+β 相反角 -α (-β) 宁波光华学校 ：刘雨萌 典例分析 任意角的概念 例1　　　若手表时针走过4小时,则时针转过的角度为 A.120° B.-120° C.-60° D.60° √ 跟踪训练1　如图(1),∠AOC=　　　;如图(2),∠AOC=　　　.  110° -70° 宁波光华学校 ：刘雨萌 抽象概念 内涵解析 现在,我们把角的概念推广到了任意角,如何更形象地表示一个角? 提示　我们通常在直角坐标系内讨论角,为了方便,使角的顶点与原点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合,那么,角的终边在第几象限,就说这个角是第几象限角. 注意： (1)锐角是第一象限角,第一象限角未必是锐角;钝角是第二象限角,第二象限角未必是钝角;直角的终边在坐标轴上,它不属于任何象限. (2)每一个象限都有正角和负角. (3)无法比较两个象限角的大小. 宁波光华学校 ：刘雨萌 例2 (多选)下列四个角中,属于第二象限角的是 A.160° B.480° C.-960° D.1 530° 典例分析 象限角 √ √ √ 跟踪训练2 (多选)下列叙述不正确的是 A.三角形的内角是第一象限角或第二象限角 B.钝角是第二象限角 C.第二象限角比第一象限角大 D.小于180°的角是钝角、直角或锐角 √ √ √ 宁波光华学校 ：刘雨萌 抽象概念 内涵解析 给定一个角,它的终边是否唯一?若两个角的终边相同,那么这两个角相等吗? 提示　给定一个角,它的终边唯一;两个角终边相同,这两个角不一定相等,比如30°角的终边和390°角的终边相同,它们正好相差了360°. 终边相同的角 所有与角α终边相同的角,连同角α在内,可构成一个集合 S＝{β|β＝α＋k·360°,k∈Z},即任一与角α终边相同的角,都可以表示成角α与整数个周角的和. 宁波光华学校 ：刘雨萌 典例分析 终边相同的角 例3 (1)已知α=-1 845°,在与角α终边相同的角中,求满足下列条件的角. ①最小的正角; ②最大的负角; ③-360°~720°之间的角. 方法一　因为-1 845°=-45°+(-5)×360°, 即-1 845°角与-45°角的终边相同, 所以与角α终边相同的角的集合是 {β|β=-45°+k·360°,k∈Z}, ①最小的正角为315°. ②最大的负角为-45°. ③-360°~720°之间的角分别是-45°,315°,675°. 宁波光华学校 ：刘雨萌 (2)写出终边落在直线y=-x上的角β的集合S. 典例分析 终边相同的角 直线y=-x过原点,它是第二、四象限的角平分线所在的直线,故在0°~ 360°范围内终边在直线y=-x上的角有135°,315°. 因此,终边在直线y=-x上的角的集合 S={β|β=135°+k·360°,k∈Z}∪{β|β=315°+k·360°,k∈Z} ={β|β=135°+2k·180°,k∈Z}∪{β|β=135°+(2k+1)·180°,k∈Z} ={β|β=135°+n·180°，n∈Z}. 宁波光华学校 ：刘雨萌 延伸探究 终边相同的角 终边落在x轴非负半轴上 __________________ 终边落在x轴非正半轴上 ________________________ 终边落在y轴非负半轴上 _______________________ 终边落在y轴非正半轴上 ________________________ 终边落在x轴上 __________________ 终边落在y轴上 _______________________ 终边落在坐标轴上 _________________ {α|α=k·360°,k∈Z} {α|α=180°+k·360°,k∈Z} {α|α=90°+k·360°,k∈Z} {α|α=270°+k·360°,k∈Z} {α|α=k·180°,k∈Z} {α|α=90°+k·180°,k∈Z} {α|α=k·90°,k∈Z} 宁波光华学校 ：刘雨萌 巩固提升 终边相同的角 跟踪训练3 若角2α与240°角的终边相同,则角α可以表示为 A.120°+k·360°,k∈Z B.120°+k·180°,k∈Z C.240°+k·360°,k∈Z D.240°+k·180°,k∈Z √ 宁波光华学校 ：刘雨萌 典例分析 区域角以及终边在已知直线上的角的表示 例4 已知角α的终边在图中阴影部分内,试指出角α的取值范围. 终边在30°角的终边所在直线上的角的集合为S1={α|α=30°+k·180°,k∈Z}, 终边在180°-75°=105°角的终边所在直线上的角的集合为S2={α|α=105°+k·180°,k∈Z}, 因此,终边在图中阴影部分内的角α的取值范围为{α|30°+k·180°≤α<105°+k·180°,k∈Z}. 宁波光华学校 ：刘雨萌 (1)表示区域角的三个步骤 ①先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界. ②按由小到大分别标出起始和终止边界对应的-360°~360°范围内的角α和β,写出最简区间 {x|α<x<β},其中β-α<360°. ③起始、终止边界对应角α,β再加上360°的整数倍,即得区域角的集合. (2)实线包括边界,虚线不包括边界. 小结提升 宁波光华学校 ：刘雨萌 巩固提升 区域角以及终边在已知直线上的角的表示 跟踪训练4 如图所示. (1)分别写出终边落在射线OA,OB上的角的集合; 终边落在射线OA上的角的集合为{α|α=210°+k·360°,k∈Z},终边落在射线OB上的角的集合为{α|α=300°+k·360°,k∈Z}. (2)写出终边落在阴影部分(包含边界)的角的集合. 终边落在阴影部分(包含边界)的角的集合是 {α|210°+k·360°≤α≤300°+k·360°,k∈Z}. 宁波光华学校 ：刘雨萌 课堂小结 1.知识清单: (1)任意角的概念. (2)终边相同的角的表示. (3)象限角、区域角的表示. 2.方法归纳:数形结合、分类讨论. 3.常见误区:锐角与小于90°角的区别,终边相同的角的表示中漏掉k∈Z. 宁波光华学校 ：刘雨萌 1.“α是锐角”是“α是第一象限角”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 α是锐角能推出α是第一象限角,但是反之不成立,例如400°角是第一象限角,但不是锐角, 所以“α是锐角”是“α是第一象限角”的充分不必要条件. √ 1 2 3 4 宁波光华学校 ：刘雨萌 2.2 024°角是 A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 因为2 024°=5×360°+224°,所以2 024°角的终边与224°角的终边相同,为第三象限角. √ 1 2 3 4 宁波光华学校 ：刘雨萌 3.与-460°角终边相同的角可以表示成 A.460°+k·360°,k∈Z B.100°+k·360°,k∈Z C.260°+k·360°,k∈Z D.-260°+k·360°,k∈Z 因为-460°=260°+(-2)×360°,所以与-460°角终边相同的角可以表示成260°+k·360°,k∈Z. √ 1 2 3 4 宁波光华学校 ：刘雨萌 4.已知角α的终边在图中阴影表示的范围内(不包含边界),那么角α的集合是　　　　　 .  1 2 3 4 {α|45°+k·360°<α<150°+k·360°,k∈Z} 观察图形可知,角α的集合是 {α|45°+k·360°<α<150°+k·360°,k∈Z}. 宁波光华学校 ：刘雨萌 $$