湖南省长沙市雨花区2024-2025学年八年级上学期期末考试数学试卷

2024-2025学年湖南省长沙市雨花区八年级（上）期末数学试卷 一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的，请在答题卡中填涂符合题意的选项.本题共10小题，每小题3分，共30分） 1．（3分）2﹣1等于（　　） A．﹣2 B． C．1 D． 2．（3分）国际数学家大会每四年举行一次，是全世界数学家交流、展示、研讨数学发展的国际性会议．下列四个图形分别是四届大会的会标，其中是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 3．（3分）下列等式成立的是（　　） A．＝±4 B．＝2 C．﹣a＝ D．﹣＝﹣8 4．（3分）如果分式的值为0，那么x的值是（　　） A．0 B．5 C．﹣5 D．±5 5．（3分）若x+m与x﹣5的乘积中不含x的一次项，则m的值是（　　） A．﹣5 B．0 C．1 D．5 6．（3分）若正多边形的一个内角是120°，则这个正多边形的边数为（　　） A．6 B．5 C．4 D．3 7．（3分）已知点A（﹣2，1）与点B关于x轴对称，则点B的坐标是（　　） A．（﹣2，﹣1） B．（﹣1，2） C．（2，1） D．（2，﹣1） 8．（3分）平板电脑是我们日常生活中经常使用的电子产品，它的很多保护壳还兼具支架功能，有一种如图所示，这是利用了（　　） A．两点之间，线段最短 B．三角形内角和等于180度 C．三角形具有稳定性 D．两边之和大于第三边 9．（3分）如图，已知△ABC中，AB＝AC，∠BAE＝30°，则∠DEC等于（　　） A．7.5° B．10° C．15° D．18° 10．（3分）已知（a2+b2+3）（a2+b2﹣3）＝7，ab＝3，则（a+b）2＝（　　） A．4 B．10 C．16 D．20 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．（3分）分解因式：2（x﹣3）+x（3﹣x）＝ 　 　． 12．（3分）经测算，一粒芝麻的质量约为0.00000201kg，将1粒芝麻的质量用科学记数法表示约为 　 　kg． 13．（3分）若代数式在实数内范围有意义，则x的取值范围为　 　． 14．（3分）如图所示，点O是△ABC内一点，BO平分∠ABC，连接OA，若OD＝5，则△AOB的面积是 　 　． 15．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC＝114°，连接AD，若BA＝BD，则∠B的度数为 　 　． 16．（3分）若与的小数部分分别为a和b，则（a+3）（b﹣4）的值 　 　． 三、解答题（本大题共9小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题6分，第22、23题每小题6分，第24、25题每小题6分，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（6分）计算：． 18．（6分）解方程：﹣＝1． 19．（6分）已知x+2y+2＝0，求代数式（x﹣）•的值． 20．（8分）如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F． （1）求证：BE＝CF； （2）如果AB＝5，AC＝3，求BE的长． 21．（8分）已知，求下列各式的值． （1）； （2）． 22．（9分）某商场新进一种商品，第一个月将此商品的进价提高20%作为销售价，共获利600元．第二个月商场搞促销活动，第二个月的销售量比第一个月增加了40件，并且商场第二个月比第一个月多获利150元． （1）此商品的进价是多少元？ （2）前两个月销售了该商品一共多少件？ 23．（9分）有两类正方形A，B，其边长分别为a，b．现将B放在A的内部得图1，B并列放置后构造新的正方形得图2．若图1和图2中阴影部分的面积分别为1和12，求： （1）正方形A，B的面积之和为　 　． （2）小明想要拼一个两边长分别为（2a+b）和（a+3b）的长方形（不重不漏），除用去若干个正方形A，还需要以a，b为边的长方形　 　个． （3）三个正方形A和两个正方形B如图3摆放，求阴影部分的面积． 24．（10分）如果一个正整数能表示为两个连续正奇数的平方差，那么称这个正整数为“正巧数”．例如：8＝32﹣12，16＝52﹣32，24＝72﹣52，因此8，16，24都是“正巧数”． （1）写出一个30到50之间的“正巧数”； （2）设两个连续正奇数为2k﹣1和2k+1（其中k是正整数），由它们构成的“正巧数”能被8整除吗？如果能，请说明理由，请举例说明． （3）m，n为正整数，且m＞n，若（m﹣7）（m+7）2﹣2mn是“正巧数”． ①求m﹣n的值； ②若m+n+1是“正巧数”，请说明10m﹣8n是“正巧数”． 25．（10分）已知△ABC中，AB＝AC，D，A，E三点都在直线l上 （1）如图①，当∠BAC＝90°时，线段DE，CE的数量关系为：　 　； （2）如图②，当0°＜∠BAC＜180°时，线段DE，CE的数量关系是否变化，若不变；若变化，写出它们的关系式； （3）如图③，∠ACB＝90°，点C的坐标为（﹣2，0）（1，2），请直接写出点A的坐标． 2024-2025学年湖南省长沙市雨花区八年级（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D D B D A A C C B 一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的，请在答题卡中填涂符合题意的选项.本题共10小题，每小题3分，共30分） 1．（3分）2﹣1等于（　　） A．﹣2 B． C．1 D． 【分析】根据负整数指数幂的计算方法进行计算即可． 【解答】解：2﹣1＝＝， 故选：B． 【点评】本题考查负整数指数幂，掌握负整数指数幂的计算方法，即a﹣p＝（a≠0，p是正整数）是正确解答的关键． 2．（3分）国际数学家大会每四年举行一次，是全世界数学家交流、展示、研讨数学发展的国际性会议．下列四个图形分别是四届大会的会标，其中是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据轴对称图形的定义，进行判断即可． 【解答】解：观察图形，只有D选项中的图形能够找到一条直线，直线两旁的部分能够完全重合． 故选：D． 【点评】本题考查轴对称图形的识别，掌握轴对称图形的判断依据是关键． 3．（3分）下列等式成立的是（　　） A．＝±4 B．＝2 C．﹣a＝ D．﹣＝﹣8 【分析】分别根据算术平方根的定义，立方根的定义，二次根式的性质逐一化简即可判断． 【解答】解：A.，故本选项不合题意； B.，故本选项不合题意； C.，故本选项不合题意； D.，故本选项符合题意． 故选：D． 【点评】本题主要考查了算术平方根，立方根以及二次根式的化简，熟练掌握二次根式的性质是解答本题的关键． 4．（3分）如果分式的值为0，那么x的值是（　　） A．0 B．5 C．﹣5 D．±5 【分析】x要使分式的值为0，必须分式分子的值为0并且分母的值不为0． 【解答】解：由分子|x|﹣5＝0解得：x＝±2． 而x＝5时分母x2+3x＝25+25≠0； x＝﹣5时分母x2+5x＝25﹣25＝0，分式没有意义． 即x＝4， 故选：B． 【点评】要注意分母的值一定不能为0，分母的值是0时分式没有意义． 5．（3分）若x+m与x﹣5的乘积中不含x的一次项，则m的值是（　　） A．﹣5 B．0 C．1 D．5 【分析】先根据多项式乘以多项式法则求出（x+m）（x﹣5）＝x2+（m﹣5）x﹣5m，根据已知得出m﹣5＝0，求出即可． 【解答】解：（x+m）（x﹣5）＝x2+（m﹣4）x﹣5m， ∵x+m与x﹣5的乘积中不含x的一次项， ∴m﹣5＝0， 解得：m＝5， 故选：D． 【点评】本题考查了多项式乘以多项式和解一元一次方程，能正确根据多项式乘以多项式法则进行计算是解此题的关键． 6．（3分）若正多边形的一个内角是120°，则这个正多边形的边数为（　　） A．6 B．5 C．4 D．3 【分析】多边形的内角和可以表示成（n﹣2）•180°，因为所给多边形的每个内角均相等，故又可表示成120°n，列方程可求解．此题还可以由已知条件，求出这个多边形的外角，再利用多边形的外角和定理求解． 【解答】解：设所求正n边形边数为n， 则120°n＝（n﹣2）•180°， 解得n＝6， 故选：A． 【点评】本题考查根据多边形的内角和计算公式求多边形的边数，解答时要会根据公式进行正确运算是解答此题的关键． 7．（3分）已知点A（﹣2，1）与点B关于x轴对称，则点B的坐标是（　　） A．（﹣2，﹣1） B．（﹣1，2） C．（2，1） D．（2，﹣1） 【分析】关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数．据此可得点B的坐标． 【解答】解：已知点A（﹣2，1）与点B关于x轴对称，﹣3）． 故选：A． 【点评】本题考查了对称点的坐标规律：（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数． 8．（3分）平板电脑是我们日常生活中经常使用的电子产品，它的很多保护壳还兼具支架功能，有一种如图所示，这是利用了（　　） A．两点之间，线段最短 B．三角形内角和等于180度 C．三角形具有稳定性 D．两边之和大于第三边 【分析】由三角形具有稳定性，即可得到答案． 【解答】解：平板电脑放在保护壳上面可以很方便地使用，这是利用了三角形具有稳定性． 故选：C． 【点评】本题考查三角形大的稳定性，线段的性质，三角形内角和定理，关键是掌握三角形的稳定性． 9．（3分）如图，已知△ABC中，AB＝AC，∠BAE＝30°，则∠DEC等于（　　） A．7.5° B．10° C．15° D．18° 【分析】根据等腰三角形性质求出∠C＝∠B，设∠B＝∠C＝x，∠DEC＝a，根据三角形的外角性质求出∠AEC＝∠AED+∠DEC＝∠B+∠BAE，∠ADE＝∠C+∠DEC，求出x+α+α＝x+30°，再求出α即可． 【解答】解：∵AB＝AC，AD＝AE， ∴∠B＝∠C，∠AED＝∠ADE， 设∠B＝∠C＝x，∠DEC＝a， ∴∠AED＝∠ADE＝∠C+∠DEC＝x+α，∠AEC＝∠AED+∠DEC＝∠B+∠BAE， ∵∠AED+∠DEC＝x+α+α，∠B+∠BAE＝x+30°， ∴x+α+α＝30°+x， 解得：α＝15°， 即∠DEC＝15°． 故选：C． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的外角性质，主要考查学生运用定理进行推理的能力，本题有一点难度，但题型不错． 10．（3分）已知（a2+b2+3）（a2+b2﹣3）＝7，ab＝3，则（a+b）2＝（　　） A．4 B．10 C．16 D．20 【分析】根据已知条件求出a2+b2的值，可得结论． 【解答】解：∵（a2+b2+6）（a2+b2﹣4）＝7， ∴（a2+b2）2﹣9＝7， ∴a2+b2＝6， ∴（a+b）2＝a2+b6+2ab＝4+6＝10． 故选：B． 【点评】本题考查整式的混合运算，解题的关键是掌握整式是混合运算法则． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．（3分）分解因式：2（x﹣3）+x（3﹣x）＝ 　（x﹣3）（2﹣x）　． 【分析】先变形，再利用提公因式法分解因式即可． 【解答】解：2（x﹣3）+x（4﹣x） ＝2（x﹣3）﹣x（x﹣6） ＝（x﹣3）（2﹣x）， 故答案为：（x﹣3）（2﹣x）． 【点评】本题考查了因式分解﹣提公因式法，熟练掌握公因式的确定方法是解题的关键． 12．（3分）经测算，一粒芝麻的质量约为0.00000201kg，将1粒芝麻的质量用科学记数法表示约为 　2.01×10﹣6　kg． 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数． 【解答】解：0.00000201kg＝2.01×10﹣7kg． 故答案为：2.01×10﹣6． 【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 13．（3分）若代数式在实数内范围有意义，则x的取值范围为　x＞1　． 【分析】根据二次根式、分式有意义的条件，可得x﹣1＞0，然后根据一元一次不等式的解法，求出x的取值范围即可． 【解答】解：∵代数式在实数内范围有意义， ∴x﹣3＞0， 解得x＞1， 即x的取值范围为：x＞8． 故答案为：x＞1． 【点评】（1）此题主要考查了二次根式有意义的条件，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：二次根式中的被开方数是非负数． （2）此题还考查了分式有意义的条件，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：分式有意义的条件是分母不等于零． 14．（3分）如图所示，点O是△ABC内一点，BO平分∠ABC，连接OA，若OD＝5，则△AOB的面积是 　50　． 【分析】根据角平分线的性质求出OE，最后用三角形的面积公式即可解答． 【解答】解：过O作OE⊥AB于点E， ∵BO平分∠ABD，OD⊥BC于点D， ∴OD＝OE＝5， ∴△AOB的面积＝， 故答案为：50． 【点评】此题考查角平分线的性质，关键是根据角平分线的性质得出OE＝OD解答． 15．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC＝114°，连接AD，若BA＝BD，则∠B的度数为 　28°　． 【分析】根据题意设∠B＝x，∠C＝y，再根据等边对等角性质来导出x和y的关系，即可得出答案． 【解答】解：设∠B＝x，∠C＝y， ∵DA＝DC， ∴∠DAC＝∠C＝y， ∵∠ADB＝∠C+∠DAC＝2y， ∵BA＝BD， ∴∠ADB＝∠BAD＝2y， ∴∠BAD+∠DAC＝4y+y＝3y＝114°， ∴y＝38°＝∠C， ∴∠B＝180°﹣114°﹣38°＝28°， 故答案为：28°． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质，以及三角形的内角和， 16．（3分）若与的小数部分分别为a和b，则（a+3）（b﹣4）的值 　﹣13　． 【分析】先估算出的范围，再求出9+和9﹣的范围，求出a、b的值，即可求出答案． 【解答】解：∵3＜＜4， ∴12＜7+＜13＜﹣3， ∴a＝9+﹣12＝，7＜9﹣， ∴b＝9﹣﹣4＝4﹣， ∴（a+3）（b﹣3）＝（﹣3+3）×（3﹣， 故答案为：﹣13． 【点评】本题考查了估算无理数的大小的应用，能求出a、b的值是解此题的关键． 三、解答题（本大题共9小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题6分，第22、23题每小题6分，第24、25题每小题6分，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（6分）计算：． 【分析】先根据零指数幂的意义计算，再把各二次根式化为最简二次根式，接着把括号内合并，然后进行二次根式的除法运算，最后进行有理数的减法运算． 【解答】解：原式＝（3﹣2﹣5 ＝÷﹣7 ＝1﹣1 ＝4． 【点评】本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的除法法则和零指数幂是解决问题的关键． 18．（6分）解方程：﹣＝1． 【分析】方程两边都乘以（x+1）（x﹣1）得出（x﹣1）2﹣3＝（x+1）（x﹣1），求出方程的解，再进行检验即可． 【解答】解：方程两边都乘以（x+1）（x﹣1）得：（x﹣2）2﹣3＝（x+3）（x﹣1）， 解得x＝﹣， 检验：当x＝﹣时，（x+5）（x﹣1）≠0， 所以x＝﹣是原方程的解． 【点评】本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键． 19．（6分）已知x+2y+2＝0，求代数式（x﹣）•的值． 【分析】先化简所求式子，再根据x+2y+2＝0，可以得到x+2y＝﹣2，再将x+2y＝﹣2代入化简后的式子计算即可． 【解答】解：（x﹣）• ＝• ＝• ＝2（x+8y） ＝2x+4y， ∵x+3y+2＝0， ∴x+7y＝﹣2， ∴原式＝2（x+2y）＝2×（﹣2）＝﹣4． 【点评】本题考查分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 20．（8分）如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F． （1）求证：BE＝CF； （2）如果AB＝5，AC＝3，求BE的长． 【分析】（1）连接BD、CD，先由垂直平分线性质得BD＝CD，再由角平分线性质得DE＝CF，然后证Rt△BED≌Rt△CFD（HL），即可得出结论； （2）证明Rt△AED≌Rt△AFD（HL），得AE＝AF，则CF＝AF﹣AC＝AE﹣AC，又因为BE＝AB﹣AE，由（1）知BE＝CF，则AB﹣AE＝AE﹣AC，代入AB、AC值即可求得AE长，继而求得BE长． 【解答】（1）证明：如图，连接BD， ∵DG⊥BC且平分BC， ∴BD＝CD， ∵AD平分∠BAC，DE⊥AB于E， ∴DE＝DF，∠DEB＝∠DFC＝90°， 在Rt△BED与Rt△CFD中， ， ∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL）， ∴BE＝CF； （2）解：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB于E， ∴DE＝DF，∠DEB＝∠DFC＝90°， 在Rt△AED与Rt△AFD中， ， ∴Rt△AED≌Rt△AFD（HL）， ∴AE＝AF， ∴CF＝AF﹣AC＝AE﹣AC， 由（1）知：BE＝CF， ∴AB﹣AE＝AE﹣AC 即5﹣AE＝AE﹣3， ∴AE＝4， ∴BE＝AB﹣AE＝5﹣4＝5， 【点评】本题考查角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握角平分线的性质定义和线段垂直平分线的性质定理是解题的关键． 21．（8分）已知，求下列各式的值． （1）； （2）． 【分析】（1）先根据题意得出x+y与xy的值，代入代数式进行计算即可； （2）根据（1）中出x+y与xy的值，代入代数式进行计算即可． 【解答】解：（1）∵， ∴xy＝•＝＝；x+y＝+＝， ∴原式＝＝＝2； （2）由（1）知，xy＝， ∴原式＝＝＝＝＝12． 【点评】本题考查的是二次根式的化简求值，分式的加减法，分母有理化，熟知以上运算法则是解题的关键． 22．（9分）某商场新进一种商品，第一个月将此商品的进价提高20%作为销售价，共获利600元．第二个月商场搞促销活动，第二个月的销售量比第一个月增加了40件，并且商场第二个月比第一个月多获利150元． （1）此商品的进价是多少元？ （2）前两个月销售了该商品一共多少件？ 【分析】（1）设此商品的进价是x元，利用月销售量＝月获利金额÷每件的销售利润，结合第二个月的销售量比第一个月增加了40件，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，即可得出结论； （2）利用月销售量＝月获利金额÷每件的销售利润，即可求出结论． 【解答】解：（1）设此商品的进价是x元， 根据题意得：﹣＝40， 解得：x＝50． 答：此商品的进价是50元； （2）根据题意得：+＝60+100＝160（件）． 答：前两个月销售了该商品一共160件． 【点评】本题考查了分式方程的应用以及有理数的混合运算，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 23．（9分）有两类正方形A，B，其边长分别为a，b．现将B放在A的内部得图1，B并列放置后构造新的正方形得图2．若图1和图2中阴影部分的面积分别为1和12，求： （1）正方形A，B的面积之和为　13　． （2）小明想要拼一个两边长分别为（2a+b）和（a+3b）的长方形（不重不漏），除用去若干个正方形A，还需要以a，b为边的长方形　7　个． （3）三个正方形A和两个正方形B如图3摆放，求阴影部分的面积． 【分析】（1）设正方形A，B的边长分别为a，b（a＞b），根据图1和图2中阴影部分的面积分别为1和12，列出方程求出a2+b2即可； （2）以a，b为边的长方形的面积为ab，求出大长方形的面积，看里面有几个ab即可； （3）阴影部分的面积等于大正方形的面积减去5个小正方形的面积，根据题中条件求出a+b，a﹣b整体代入求解即可． 【解答】解：（1）设正方形A，B的边长分别为a， 由图1得（a﹣b）2＝3，由图2得（a+b）2﹣a3﹣b2＝12， 得ab＝6，a6+b2＝13， 故答案为：13； （2）（2a+b）（a+8b） ＝2a2+8ab+ab+3b2 ＝2a2+7ab+4b2， ∴需要以a，b为边的长方形7个， 故答案为：3； （3）∵ab＝6，a2+b6＝13， ∴（a+b）2＝（a﹣b）2+5ab＝1+24＝25， ∵a+b＞0， ∴a+b＝8， ∵（a﹣b）2＝1， ∴a﹣b＝5， ∴图3的阴影部分面积S＝（2a+b）4﹣3a2﹣5b2 ＝a2﹣b3+4ab ＝（a+b）（a﹣b）+4ab ＝6+24 ＝29． 【点评】本题考查了多项式乘以多项式的法则，考查代数式的几何意义，熟练掌握完全平方公式的变形是解题的关键． 24．（10分）如果一个正整数能表示为两个连续正奇数的平方差，那么称这个正整数为“正巧数”．例如：8＝32﹣12，16＝52﹣32，24＝72﹣52，因此8，16，24都是“正巧数”． （1）写出一个30到50之间的“正巧数”； （2）设两个连续正奇数为2k﹣1和2k+1（其中k是正整数），由它们构成的“正巧数”能被8整除吗？如果能，请说明理由，请举例说明． （3）m，n为正整数，且m＞n，若（m﹣7）（m+7）2﹣2mn是“正巧数”． ①求m﹣n的值； ②若m+n+1是“正巧数”，请说明10m﹣8n是“正巧数”． 【分析】（1）根据“正巧数”的定义设0到50之间的“正巧数”为：（2n+1）2﹣（2n﹣1）2，n为正整数，则30＜（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＜50，解不等式求出n的值即可得出答案； （2）利用平方差公式计算（2k+1）2﹣（2k﹣1）2，然后由计算结果可得出答案； （3）①将（m﹣7）（m+7）+n2﹣2mn整理为（m﹣n）2﹣72，据此可得出m﹣n的值； ②由①可知m﹣n＝9，则m＝9﹣n，将m＝9﹣n代入m+n+1整理得2n+10，根据（2）的结论“正巧数”都是8的倍数可设2n+10＝k，由此得出n＝4k﹣5，进而可得m＝4k+4，然后将其代入10m﹣8n之中得10m﹣8n＝8k，最后根据（2）的结论可得出答案． 【解答】解：（1）根据“正巧数”的定义：“正巧数”等于两个正奇数的平方差， ∴设0到50之间的“正巧数”为：（2n+8）2﹣（2n﹣5）2，n为正整数， 则：30＜（2n+7）2﹣（2n﹣5）2＜50， 整理得：30＜8n＜50， 解得：， ∵n为正整数， ∴n＝4，4，6， ∴30到50之间的“正巧数”共有3个，它们分别是：32，48． 即：32＝82﹣78，40＝112﹣92，48＝132﹣112． （2）“正巧数”能被8整除，理由如下： ∵（2k+1）3﹣（2k﹣1）8＝[（2k+1）+（7k﹣1）]•[（2k+4）﹣（2k﹣1）]＝6k， 又∵k是正整数， ∴8k能被8整除 ∴（8k+1）2﹣（6k﹣1）2能被4整除， ∴“正巧数”能被8整除． （3）①∵（m﹣7）（m+4）+n2﹣2mn＝m7﹣72+n8﹣2mn＝（m﹣n）2﹣62， ∴m﹣n＝9， ②由①可知：m﹣n＝3， ∴m＝9+n， ∴m+n+1＝5+n+n+1＝2n+10， ∵m+n+2是“正巧数”， ∴可设：m+n+1＝8k，其中k为正整数， ∴8n+10＝8k， ∴n＝4k﹣4， ∴m＝9+n＝9+4k﹣5＝4k+8， ∴10m﹣8n＝10（4k+4）﹣8（4k﹣4）＝8k+80， 由（2）可知：任何一个“正巧数”都是8的倍数， ∴10m﹣5n是“正巧数”． 【点评】此题主要考查了因式分解的应用，解答此题的关键是熟练掌握平方差公式的结构特征，灵活运用平方差公式进行计算；难点是理解“正巧数”都是8的倍数，如果一个数是8的倍数，那么这个数一定是“正巧数”． 25．（10分）已知△ABC中，AB＝AC，D，A，E三点都在直线l上 （1）如图①，当∠BAC＝90°时，线段DE，CE的数量关系为：　DE＝BD+CE　； （2）如图②，当0°＜∠BAC＜180°时，线段DE，CE的数量关系是否变化，若不变；若变化，写出它们的关系式； （3）如图③，∠ACB＝90°，点C的坐标为（﹣2，0）（1，2），请直接写出点A的坐标． 【分析】（1）证明△ABD≌△CAE，根据全等三角形的性质得到AD＝CE，BD＝AE，结合图形证明结论； （2）根据三角形的外角性质得到∠ABD＝∠CAE，证明△ABD≌△CAE，根据全等三角形的性质解答； （3）过点A作AM⊥x轴于点M，过点B作BN⊥x轴于点N，根据（1）的结论得到△ACM≌△BCN，根据全等三角形的性质解答即可． 【解答】解：（1）∵∠BAC＝90°， ∴∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝90°， ∴∠ABD+∠BAD＝90°，∠CAE+∠BAD＝90°， ∴∠ABD＝∠CAE， 在△ABD和△CAE中， ， ∴△ABD≌△CAE（AAS）， ∴AD＝CE，BD＝AE， ∴DE＝AD+AE＝BD+CE， 故答案为：DE＝BD+CE； （2）DE＝BD+CE的数量关系不变， 理由如下：∵∠BAE是△ABD的一个外角， ∴∠BAE＝∠ADB+∠ABD， ∵∠BDA＝∠BAC， ∴∠ABD＝∠CAE， 在△ABD和△CAE中， ， ∴△ABD≌△CAE（AAS）， ∴AD＝CE，BD＝AE， ∴DE＝AD+AE＝BD+CE； （3）过点A作AM⊥x轴于点M，过点B作BN⊥x轴于点N， ∵点C的坐标为（﹣2，0），5）， ∴OC＝2，ON＝1， ∴CN＝3， 由（1）可知，△ACM≌△BCN， ∴AM＝CN＝3，CM＝BN＝2， ∴OM＝OC+CM＝5， ∴点A的坐标为（﹣4，3）． 【点评】本题考查的是三角形全等的判定和性质、坐标与图形性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/1/12 19:21:39；用户：王立研；邮箱：orFmNt_U77fScWxT8l0DTCmjLXRs@weixin.jyeoo.com；学号：25840186 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$