精品解析：天津市南开区2024-2025学年高一上学期阶段性质量监测（二）数学试题

2024—2025学年度第一学期阶段性质量监测（二） 高一年级 数学学科 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．共100分，考试时间100分钟． 第Ⅰ卷 一、选择题：（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用交集的概念计算即可. 【详解】根据交集的概念可知。 故选：C 2. 已知扇形的圆心角为，半径为4，则扇形的弧长为（ ） A. B. 2 C. 4 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】利用弧长公式求解. 【详解】因为扇形的圆心角为，半径为4， 所以扇形的弧长为， 故选：D 3. 函数的零点所在区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】确定函数的单调性，再利用零点存在性定理判断即得. 【详解】函数的定义域为，函数在上都递增， 因此函数在上递增，， 所以函数的零点所在区间是. 故选：B. 4. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】判断“”和“”之间的逻辑推理关系，即可得答案． 详解】当时，必有， 故“”是“”的充分条件， 当时，或，推不出； 故“”是“”的充分不必要条件， 故选：A． 5. 如图所示，在平面直角坐标系中，角的终边与单位圆交于点A，且点A的纵坐标为，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定的图形，求出点的坐标，再利用余弦函数定义可求得答案. 【详解】由图知，点在第二象限，设其横坐标为，由，得， 所以. 故选：C 6. 计算：（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据诱导公式结合两角和的正弦求解即可. 【详解】由诱导公式与两角和的正弦可得： . 故选：A 7. 要得到函数的图象，只要把函数图象（ ） A 向右平移个单位 B. 向左平移个单位 C. 向右平移个单位 D. 向左平移个单位 【答案】C 【解析】 【分析】利用函数图象的平移变换，结合三角函数诱导公式逐项分析判断. 【详解】对于A，平移后得到的函数，A不是； 对于B，平移后得到的函数，B不是； 对于C，平移后得到的函数，C是； 对于D，平移后得到的函数，D不是. 故选：C. 8. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用指数函数、对数函数单调性，结合换底公式计算比较大小. 【详解】依题意，，，， 所以. 故选：B 9. 设函数在上单调递增，则a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定的函数，求出其单调递增区间，再结合集合的包含关系求出范围. 【详解】函数中，，解得， 令，函数在上单调递增，在上单调递减， 而函数在上单调递增，因此函数的单调递增区间是， 依题意，，则，解得， 所以a的取值范围为. 故选：D. 10. 定义在上的奇函数满足：当时，，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性可得，画出函数图象，数形结合得到不等式，求出解集. 【详解】因为是定义在上的奇函数，故即， 故， 当时，增函数，令可得， 结合函数为奇函数，可作出的图象， 由可得或，由图象可得或， 故或，即解集为. 故选：B 第Ⅱ卷 二、填空题：（本大题共5个小题，每小题3分，共15分.） 11. 函数，且的图象恒过点______． 【答案】 【解析】 【分析】根据对数函数的性质，取，求，可得定点坐标. 【详解】令，解得，此时， 故，且的图象恒过点. 故答案为： 12. 函数的值域为______． 【答案】 【解析】 【分析】求出函数定义域，再利用单调性求出值域. 【详解】函数的定义域为， 函数分别在上单调递增，因此函数在上单调递增， ，无最大值， 所以原函数的值域为. 帮答案为： 13. 函数的定义域是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定的函数，由其有意义列出不等式组求出定义域. 【详解】函数有意义，则， 即，解得或， 所以原函数的定义域为. 故答案为：. 14. 若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】利用同角三角函数基本关系化弦为切即可求解． 【详解】由可得， 解得：， 故答案为：． 15. 若方程在区间内有两个相异的解，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】利用辅助角公式化简并分析函数性质，再结合正弦函数的对称性求解. 【详解】，令， ，由，得；由，得， 因此函数在上单调递增，函数值从1增大到2；在上单调递减，函数值从2减小到， 当时，直线与函数在上的图象有两个交点，且这两个交点关于直线对称， 即当时，方程在上有两个相异的解，， 所以. 故答案为：. 三、解答题：（本大题共5个小题，共55分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）（2）根据分数指数幂及对数的运算法则计算可得． 【详解】解：（1） ； （2） ． 17. 已知关于的不等式的解集为或. （1）求，的值； （2）当时，求关于的不等式的解集（用表示）. 【答案】（1） （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）1，2是方程的两根，由韦达定理得到方程组，求出； （2）因式分解得到的两根，分，，，求出解集. 【小问1详解】 因为关于的不等式的解集为或， 所以1，2是方程的两根， 所以，解得； 【小问2详解】 由（1）知关于的不等式，即为， 令得或， ①时，不等式的解集为； ②时，解得，不等式的解集为； ③时，解得，不等式的解集为. 18. 已知函数，且． （1）求a的值及的定义域； （2）求不等式解集． 【答案】（1），； （2）. 【解析】 【分析】（1）由给定函数值求出，结合对数函数意义列式求出定义域. （2）由（1），利用对数函数单调性解不等式. 【小问1详解】 函数，由，得， 解得，所以； 由，得，解得， 所以的定义域为. 【小问2详解】 不等式 ，因此，解得， 所以原不等式的解集为. 19. 已知，，且． （1）求的值； （2）求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据角的范围和题设条件，求出和的值，利用和角公式求出的值，即可求得的值； （2）利用二倍角公式求出，的值，根据和角的余弦公式即可求得. 【小问1详解】 因为，所以， 则，， 又因为，， 所以，， 所以 ， 因为，所以； 【小问2详解】 由（1）知，，， 故， ， 所以． 20. 已知函数的最小正周期为． （1）求的值； （2）求的单调区间； （3）求在区间上的取值范围． 【答案】（1）； （2）递增区间是，递减区间是； （3）. 【解析】 【分析】（1）利用二倍角公式及辅助角公式化简函数，由给定周期求出. （2）利用正弦函数单调性列出不等式，求出的单调区间. （3）求出在指定区间内相位的范围，再利用正弦函数的性质求出函数值范围. 【小问1详解】 函数 由的最小正周期为，得，所以. 【小问2详解】 由（1）知，， 由，得， 由，得， 所以函数的递增区间是，递减区间是. 【小问3详解】 当时，，则，， 所以在区间上的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024—2025学年度第一学期阶段性质量监测（二） 高一年级 数学学科 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．共100分，考试时间100分钟． 第Ⅰ卷 一、选择题：（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知扇形的圆心角为，半径为4，则扇形的弧长为（ ） A. B. 2 C. 4 D. 8 3. 函数的零点所在区间是（ ） A. B. C. D. 4. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 如图所示，在平面直角坐标系中，角的终边与单位圆交于点A，且点A的纵坐标为，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 计算：（ ） A B. C. D. 7. 要得到函数的图象，只要把函数图象（ ） A. 向右平移个单位 B. 向左平移个单位 C. 向右平移个单位 D. 向左平移个单位 8 设，，，则（ ） A. B. C. D. 9. 设函数在上单调递增，则a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 10. 定义在上的奇函数满足：当时，，则不等式的解集是（ ） A B. C. D. 第Ⅱ卷 二、填空题：（本大题共5个小题，每小题3分，共15分.） 11. 函数，且图象恒过点______． 12. 函数的值域为______． 13. 函数定义域是______． 14. 若，则______． 15. 若方程在区间内有两个相异的解，，则______． 三、解答题：（本大题共5个小题，共55分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. 计算： （1）； （2）． 17. 已知关于的不等式的解集为或. （1）求，的值； （2）当时，求关于的不等式的解集（用表示）. 18. 已知函数，且． （1）求a的值及的定义域； （2）求不等式的解集． 19. 已知，，且． （1）求的值； （2）求的值． 20. 已知函数的最小正周期为． （1）求的值； （2）求的单调区间； （3）求在区间上的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$