专题9.2 图形旋转几何模型（3种几何模型12类题型）（知识梳理与考点模型分类讲解）-2024-2025学年八年级数学下册基础知识专项突破讲与练（苏科版）

专题9.2 图形旋转几何模型（3种几何模型12类题型）（知识梳理与考点分类讲解） 第一部分【模型图形归纳与题型目录】 【模型1】等边三角形旋转模型 在等边中，为内一点，将绕点按逆时针方向旋转，使得与重合，经过这样的旋转变化，将图1中的、、三条线段集中于图2中的一个中，此时也为正三角形。 图1 图2 【模型2】正方形旋转模型 在正方形中，为正方形内一点，将绕点按顺时针方向旋转，使得与重合。经过旋转变化，将图3中的、、三条线段集中于图4中的中，此时为等腰直角三角形。 图3 图4 【模型3】等腰直角三角形旋转模型 如图5，在等腰直角三角形中，，为内一点，将绕点按逆时针方向旋转，使得与重合。经过这样旋转变化，在图6中的一个为等腰直角三角形。 图5 图6 模型类型与题型目录 【模型1】等边三角形旋转模型 【题型1】利用等边三角形旋转模型求线段长.....................................2 【题型2】利用等边三角形旋转模型求角度.......................................3 【题型3】利用等边三角形旋转模型求面积.......................................4 【题型4】利用等边三角形旋转模型进行推理.....................................5 【模型2】正方形旋转模型 【题型5】利用正方形的旋转模型求角度.........................................6 【题型6】利用正方形的旋转模型求线段长.......................................6 【题型7】利用正方形的旋转模型求面积.........................................7 【题型8】利用正方形的旋转模型进行推理.......................................8 【模型3】等腰直角三角形旋转模型 【题型9】利用等腰直角三角形的旋转模型求角度、线段与面积或线段长.............9 【题型10】用等腰直角三角形的旋转模型进行推理...............................10 【题型11】中考链接.........................................................11 【题型12】拓展与延伸.......................................................11 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】利用等边三角形旋转模型求线段与面积 【例1】（2023·四川巴中·模拟预测）如图，为等边三角形，点为内一点，且，，，、为、上的动点，且，则的最小值为（   ） A． B． C． D． --【变式1】（2024·重庆沙坪坝·模拟预测）如图，，都是等边三角形，将绕点C旋转，使得点A，D，E在同一直线上，连接．若，，则的长是 ． 【变式2】（2023·广西贺州·二模）如图，点P为等边三角形外一点，连接，，若，，，则的长是 ．    【题型2】利用等边三角形旋转模型求角度 【例2】（2024·山东聊城·一模）如图，在等边三角形中，点D在边上，连接，将绕点B旋转一定角度，使得，连接．若，则为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（2017·山东滨州·一模）如图，点是等边三角形内一点，且，，，若将绕着点逆时针旋转60度后得到，则的度数是 ． 【变式2】（2022·广东·模拟预测）等边三角形中，，，，则的度数为 ． 【题型3】利用等边三角形旋转模型求面积 【例3】（2023·山东滨州·模拟预测）如图，点是等边三角形内一点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接.若，，，则四边形的面积为（    ） A． B． C． D． 【变式1】．（2022·湖南·中考真题）如图，点是等边三角形内一点，，，，则与的面积之和为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2023·贵州遵义·一模）如图，为等边三角形内一点，，，，将绕点顺时针旋转得到，则图中阴影部分的面积为 ． 【题型4】利用等边三角形旋转模型进行推理 【例4】（2024·北京门头沟·一模）如图，在等边三角形中，有一点P，连接、、，将绕点B逆时针旋转得到，连接、，有如下结论：①；②是等边三角形；③如果，那么．以上结论正确的是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【变式1】（2023·天津河西·二模）如图，已知，，将绕点顺时针旋转60°得到，连接，，和交于点．则下列结论中正确的是（    ）    A． B．与不一定平行 C．可以看作是平移而成的 D．和都是等边三角形 【变式2】（2022·福建泉州·模拟预测）如图，在等边内有一点，将绕点逆时针旋转，使与重合，点旋转至点，若三点在同一直线上，且与交于点．现给出以下结论：①是等边三角形；②；③；④，其中正确的是 ．（写出所有正确结论的序号） 【题型5】利用正方形的旋转模型求角度 【例5】（23-24九年级上·重庆沙坪坝·阶段练习）如图，正方形中，为正方形内一点，连接，使，再连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（21-22八年级下·黑龙江鸡西·期中）如图，P是正方形ABCD内一点，且点P到点B、C、D的距离分别为、、4，则的度数为 【变式2】如图，正方形ABCD中，点G为对角线AC上一点，AG=AB．∠CAE=15°且AE=AC，连接GE．将线段AE绕点A逆时针旋转得到线段AF，使DF=GE，则∠CAF的度数为 ． 【题型6】利用正方形的旋转模型求线段长 【例6】（22-23九年级上·天津武清·期中）如图，P为正方形内一点，，将绕点C逆时针旋转得到，则的长是（        ） A．1 B． C．2 D． 【变式1】（2023·贵州铜仁·三模）如图，正方形中，，O是边的中点，点E是正方形内一动点， ，连接，将线段绕点D逆时针旋转得，连接、，则线段长的最小值为 ．    【变式2】（2021·黑龙江哈尔滨·一模）如图，已知：PA＝，PB＝4，以AB为一边作正方形ABCD，使P、D两点落在直线AB的两侧．当∠APB＝45°时，则PD的长为 ． 【题型7】利用正方形的旋转模型求面积 【例7】（2014·黑龙江大庆·中考真题）如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转45°后得到正方形AB1C1D1，边B1C1与CD交于点O，则四边形AB1OD的面积是（　　） A． B． C． D． 【变式1】（2020·山东滨州·中考真题）如图，点是正方形内一点，且点到点、、的距离分别为、、，则正方形的面积为 ． 【题型8】利用正方形的旋转模型进行推理 【例8】（2024·河北邯郸·三模）题目：“如图，在正方形中，点在边上（不与点，重合），点在边上（不与点，重合），将线段绕点顺时针旋转，使点的对应点落在正方形的边上，将线段绕点顺时针旋转，使点的对应点落在正方形的边上，依次操作下去．若经过多次操作可得到首尾顺次相接的正边形，求的值．”对于其答案，甲答：，乙答：或，则正确的是 （       ） A．只有甲答的对 B．只有乙答的对 C．甲、乙答案合在一起才完整 D．甲、乙答案合在一起也不完整 【变式1】如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接E，F．给出下列五个结论：①AP=EF；②PD=EC；③∠PFE=∠BAP；④△APD一定是等腰三角形；⑤AP⊥EF．其中正确结论的序号是 ． 9．（2022·广东广州·一模）正方形ABCD中，ADF绕着点A顺时针旋转90°后得到ABM，点M、B、E、C在一条直线上，且AEM与AEF恰好关于AE所在直线成轴对称，已知EF＝5，正方形边长为6．那么EFC的面积是 ． 【变式2】（22-23九年级上·湖北黄冈·期中）如图，已知中，，，将绕点逆时针旋转得到，以下结论：①，②，③，④，其中正确结论的序号是 ． 【题型9】利用等腰直角三角形的旋转模型求角度、线段与面积 【例9】（2021·河南信阳·模拟预测）如图，在中，，，以为边作等腰直角三角形（为直角顶点，、两点在直线的两侧），线段长的最大值为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（2024·山东聊城·三模）如图，点D是等腰直角三角形内的一点，且，，将绕点 A按逆时针方向旋转，得到，连接，交于点F．若，则 ．    【变式2】（2024·重庆大渡口·一模）如图，和是等腰直角三角形，，的边AF，AG交边BC于点D，E．若，，则AD的值是 ． 【题型10】用等腰直角三角形的旋转模型进行推理 【例12】（23-24八年级上·山东威海·期末）如图，在等腰直角中，，点为斜边上一点，将绕点逆时针旋转得到，则下列说法不一定正确的是（    ） A． B．是等腰三角形 C． D． 【变式1】（2023·天津河北·二模）如图，已知为等腰直角三角形，，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点分别为点，下列结论中错误的是（    ）    A． B． C． D．是等边三角形 【变式2】（22-23八年级上·福建漳州·阶段练习）已知如图，在中，，，直角的顶点是边的中点，两边，分别交，于点，，当在内绕顶点旋转（点不与，重合）时，给出以下5个结论：①；②是等腰直角三角形；③；④；⑤．上述结论始终正确的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【点拨】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定与 第三部分【中考链接与拓展延伸】 【题型11】拓展延伸 【例1】（2016·四川达州·中考真题）如图，是等边三角形内一点，将线段绕点顺时针旋转60°得到线段,连接.若,则四边形的面积为 .    【例2】（2020·山东滨州·中考真题）如图，点是正方形内一点，且点到点、、的距离分别为、、，则正方形的面积为 ． 【题型12】拓展延伸 【例1】（22-23八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，已知、是边长为的正方形内部两点，且满足，若的面积为，则与的面积之和为 ． 【例2】（2024·重庆大渡口·一模）如图，和是等腰直角三角形，，的边AF，AG交边BC于点D，E．若，，则AD的值是 ． 【例3】（22-23八年级上·四川宜宾·期末）如图，和都是等腰直角三角形，，点D是边上的动点（不与点B、C重合），与交于点F，连接．下列结论：①；②;③；④在内存在唯一一点P，使得的值最小，若点D在的延长线上，且的长为2，则．其中含所有正确结论的选项是 ．    1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题9.2 图形旋转几何模型（3种几何模型12类题型）（知识梳理与考点分类讲解） 第一部分【模型图形归纳与题型目录】 【模型1】等边三角形旋转模型 在等边中，为内一点，将绕点按逆时针方向旋转，使得与重合，经过这样的旋转变化，将图1中的、、三条线段集中于图2中的一个中，此时也为正三角形。 图1 图2 【模型2】正方形旋转模型 在正方形中，为正方形内一点，将绕点按顺时针方向旋转，使得与重合。经过旋转变化，将图3中的、、三条线段集中于图4中的中，此时为等腰直角三角形。 图3 图4 【模型3】等腰直角三角形旋转模型 如图5，在等腰直角三角形中，，为内一点，将绕点按逆时针方向旋转，使得与重合。经过这样旋转变化，在图6中的一个为等腰直角三角形。 图5 图6 模型类型与题型目录 【模型1】等边三角形旋转模型 【题型1】利用等边三角形旋转模型求线段长.....................................2 【题型2】利用等边三角形旋转模型求角度.......................................6 【题型3】利用等边三角形旋转模型求面积.......................................9 【题型4】利用等边三角形旋转模型进行推理....................................12 【模型2】正方形旋转模型 【题型5】利用正方形的旋转模型求角度........................................16 【题型6】利用正方形的旋转模型求线段长......................................19 【题型7】利用正方形的旋转模型求面积........................................22 【题型8】利用正方形的旋转模型进行推理......................................25 【模型3】等腰直角三角形旋转模型 【题型9】利用等腰直角三角形的旋转模型求角度、线段与面积或线段长............28 【题型10】用等腰直角三角形的旋转模型进行推理...............................31 【题型11】中考链接.........................................................34 【题型12】拓展与延伸.......................................................36 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】利用等边三角形旋转模型求线段与面积 【例1】（2023·四川巴中·模拟预测）如图，为等边三角形，点为内一点，且，，，、为、上的动点，且，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了旋转的知识、最短路径的知识，有一定的难度．利用旋转的知识画出图形，根据最短路径和三角形的相关知识进行计算． 解：如图：将绕点顺时针旋转得到，连接，， 由旋转可得：，， 是等边三角形， ，， ， ， ， ； 如图： 连接，将绕点逆时针旋转得到， 连接，则是等边三角形，， ，， ， 当点、、三点共线时与重合，有最小值． 故选：B 【变式1】（2024·重庆沙坪坝·模拟预测）如图，，都是等边三角形，将绕点C旋转，使得点A，D，E在同一直线上，连接．若，，则的长是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查等边三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．根据题意证明，即可求解． 解：，都是等边三角形， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，， ， ， ． 故答案为：． 【变式2】（2023·广西贺州·二模）如图，点P为等边三角形外一点，连接，，若，，，则的长是 ．    【答案】 【分析】 把绕点B顺时针旋转，连接，，可证是等边三角形，利用证明，得出，在中，利用勾股定理求出，即可求解． 解： 解：把绕点B顺时针旋转，连接，，如图所示：    则，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又，， ∴． 故答案为：． 【点拨】本题主要考查等边三角形的判定和性质，直角三角形，勾股定理，旋转的性质的综合，三角形全等的判定和性质，掌握旋转的性质，等边三角形的性质，勾股定理是解题的关键． 【题型2】利用等边三角形旋转模型求角度 【例2】（2024·山东聊城·一模）如图，在等边三角形中，点D在边上，连接，将绕点B旋转一定角度，使得，连接．若，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质，找到全等三角形是求解的关键；根据，以及可证，进而证得为等边三角形，有，再根据证≌，可得到，即可求出为． 解：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴为等边三角形， ∴， 在和中， ∴≌ ∴， ∴． 故选：D． 【变式1】（2017·山东滨州·一模）如图，点是等边三角形内一点，且，，，若将绕着点逆时针旋转60度后得到，则的度数是 ． 【答案】/度 【分析】本题考查旋转的性质、等边三角形的判定和性质、勾股定理的逆定理等知识，解题的关键是勾股定理逆定理的应用，属于中考常考题型． 首先证明为等边三角形，得，由可得，在中，已知三边，用勾股定理逆定理证出得出，可求的度数，由此即可解决问题． 解：连接，由题意可知 则，，， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， 又∵，，， ∴， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∴ ∴， 故答案为． 【点拨】本题考查旋转的性质、等边三角形的判定和性质、勾股定理的逆定理等知识，解题的关键是勾股定理逆定理的应用，属于中考常考题型． 【变式2】（2022·广东·模拟预测）等边三角形中，，，，则的度数为 ． 【答案】 【分析】根据旋转的性质得到AD=AO=3，∠OAD=60°，CD=OB=5，求得△AOD是边长为3的等边三角形，得到OD=3，∠AOD=60°，根据勾股定理的逆定理得到∠COD=90°，于是得到结论． 解：解把△AOB绕点A逆时针旋转60°到△ADC，连结OD， ∵△AOB≌△ADC， ∴AO=AD=3，BO=CD=5， ∵∠OAD为旋转角， ∴∠OAD=60°， ∴△AOD为等边三角形， ∴∠AOD=60°，OD=AO=3， 在△COD中， ∵OC2+OD2=42+32=25=52， ∴△COD为直角三角形， ∴∠COD=90°， ∴∠AOC=∠AOD+∠COD=60°+90°=150°． 故答案为：150°． 【点拨】本题考查了旋转的性质，勾股定理的逆定理，等边三角形的判定和性质，解题的关键是正确的作出辅助线． 【题型3】利用等边三角形旋转模型求面积 【例3】（2023·山东滨州·模拟预测）如图，点是等边三角形内一点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接.若，，，则四边形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，证明为等边三角形，再证明，结合已知条件证明为直角三角形，，可得的面积，过作于，利用等边三角形的性质与勾股定理求解，可得的面积，从而可得答案． 解：连接． ∵为等边三角形， ∴，． ∵线段绕点顺时针旋转60°得到线段， ∴，， ∴为等边三角形， ∴． ∵，， ∴． 在和中， ∴， ∴． 在中，∵，，， ∴， ∴为直角三角形，， 过作于， ∴． 故选A. 【点拨】本题考查的是等边三角形的判定与性质，三角形全等的判定与性质，旋转的性质，勾股定理及勾股定理的逆定理的应用，掌握以上知识是解题的关键． 【变式1】．（2022·湖南·中考真题）如图，点是等边三角形内一点，，，，则与的面积之和为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将绕点B顺时针旋转得，连接，得到是等边三角形，再利用勾股定理的逆定理可得，从而求解． 解：将绕点顺时针旋转得，连接， ，，， 是等边三角形， ， ∵，， ， ， 与的面积之和为 ． 故选：C． 【点拨】本题主要考查了等边三角形的判定与性质，勾股定理的逆定理，旋转的性质等知识，利用旋转将与的面积之和转化为，是解题的关键． 【变式2】（2023·贵州遵义·一模）如图，为等边三角形内一点，，，，将绕点顺时针旋转得到，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】连接，过点D作于点F，根据旋转的性质可得，，，从而可证，是等边三角形，然后根据求解即可． 解：解∶连接，过点D作于点F， ， 由题意，知，，，， ∴是等边三角形， ∴， 又， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴ ． 故答案为：． 【点拨】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理的逆定理等知识，添加合适的辅助线进行解答是解题的关键． 【题型4】利用等边三角形旋转模型进行推理 【例4】（2024·北京门头沟·一模）如图，在等边三角形中，有一点P，连接、、，将绕点B逆时针旋转得到，连接、，有如下结论：①；②是等边三角形；③如果，那么．以上结论正确的是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】D 【分析】①根据等边三角形的性质得出，，根据旋转的性质得出，即可求证；②根据旋转的性质得出，即可证明是等边三角形；③根据等边三角形的性质得出根据全等三角形的性质得出，则，即可推出． 解：①∵是等边三角形， ∴，， ∵绕点B逆时针旋转得到， ∴， ∴，即， ∵， ∴，故①正确，符合题意； ②∵绕点B逆时针旋转得到， ∴， ∴是等边三角形，故②正确，符合题意； ③∵是等边三角形， ∴ ∵，， ∴， ∴， ∴，故③正确，符合题意； 综上：正确的有①②③， 故选：D． 【点拨】本题考查了等边三角形的判定和性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键的掌握旋转前后对应边相等；全等三角形的判定方法以及全等三角形对应角相等；等边三角形的判定方法以及等边三角形三个角都是60度；直角三角形两直角边平方和等于斜边平方． 【变式1】（2023·天津河西·二模）如图，已知，，将绕点顺时针旋转60°得到，连接，，和交于点．则下列结论中正确的是（    ）    A． B．与不一定平行 C．可以看作是平移而成的 D．和都是等边三角形 【答案】D 【分析】由旋转性质得，，则，，所以，是等边三角形，故可判定D正确；由等边三角形性质得，从而可求得，则，可判定A错误；由，得，可判定B错误；与的边长不相等，所以不可以看作是平移而成的，可判定C错误． 解：∵绕点顺时针旋转60°得到， ∴，， ∴，，， ∴，是等边三角形， 故D选项正确，符合题意； ∴， ∴， ∴ 故A选项错误；不符合题意； ∵ ∴ 故B选项错误，不符合题意； ∵与的边长不相等， ∴不可以看作是平移而成的， 故C选项错误，不符合题意； 故选：D． 【点拨】本题词考查旋转的性质，等边三角形的判定与性质，平行线的判定，熟练掌握旋转的性质和等边三角形的判定与性质是解题的关键． 【变式2】（2022·福建泉州·模拟预测）如图，在等边内有一点，将绕点逆时针旋转，使与重合，点旋转至点，若三点在同一直线上，且与交于点．现给出以下结论：①是等边三角形；②；③；④，其中正确的是 ．（写出所有正确结论的序号） 【答案】①②④ 【分析】根据题意可得，，即可判断说法①；根据等边三角形的性质和三角形外角的性质可得，，易得，再结合，即可判断说法②；根据“由两个角对应相等的三角形是相似三角形”，结合与、均不相等，即可判断说法③；证明，即可判断故说法④． 解：∵为等边三角形， ∴，， 由旋转的性质可得，， ∴是等边三角形，故说法①正确； ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， 由旋转的性质可得， ∴，故说法②正确； ∵，， 又∵，， ∴与、均不相等， ∴与不是相似三角形，故说法③错误； 由旋转的性质可得， ∴， ∴， ∴， ∴，故说法④正确． 故答案为：①②④． 【点拨】本题主要考查了等边三角形的判定与性质、旋转的性质、全等三角形的性质、三角形外角的定义和性质等知识，熟练掌握旋转的性质和等边三角形的性质是解题关键． 【题型5】利用正方形的旋转模型求角度 【例5】（23-24九年级上·重庆沙坪坝·阶段练习）如图，正方形中，为正方形内一点，连接，使，再连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定，等腰三角形的性质，连接由等腰三角形的性质可得，由旋转的性质可证明，即可求解． 解：连接如图： 是正方形， ， ，， ， ， ， 由绕点逆时针旋转得到， 得，， ，， ， ， ， ． 故选：D． 【变式1】（21-22八年级下·黑龙江鸡西·期中）如图，P是正方形ABCD内一点，且点P到点B、C、D的距离分别为、、4，则的度数为 【答案】/135度 【分析】如图，将△BCP绕点B顺时针旋转90°得到△DCM，连接PM．首先证明∠PMD=90°，推出∠DMC=∠BPC=135°即可． 解：如图，将△BCP绕点B顺时针旋转90°得到△DCM，连接PM，如图所示： ∵CP=CM=，∠PCM=90°， ∴，， ∵PB=DM=2， ∴， ∵,， ∴， ∴∠PMD=90°， ∴∠DMC=∠PMD+∠CPM=90°+45°=135°， ∴∠BPC=∠DMC=135°． 故答案为：135°． 【点拨】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理的逆定理，等腰三角形的性质，解题的关键是学会利用旋转法添加辅助线，构造全等三角形解决问题． 【变式2】如图，正方形ABCD中，点G为对角线AC上一点，AG=AB．∠CAE=15°且AE=AC，连接GE．将线段AE绕点A逆时针旋转得到线段AF，使DF=GE，则∠CAF的度数为 ． 【答案】30°或60° 解：∵线段AE绕点A逆时针旋转得到线段AF， ∴AE=AF， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=AD， ∵AG=AB， ∴AD=AG， 在△AGE和△ADF中，， ∴△AGE≌△ADF（SSS）， ∴∠DAF=∠CAE=15°， ∵AC为正方形ABCD的对角线， ∴∠CAD=45°， 点F在AD的下方时，∠CAF=∠CAD−∠DAF=45°−15°=30° 点F在AD的上方时，∠CAF=∠CAD+∠DAF=45°+15°=60° 综上所述，∠CAF的度数为30°或60°. 故答案为30°或60° 【点拨】此题考查了旋转的性质、正方形的性质、全等三角形的判定与性质，熟记性质并求出∠DAF的度数是解题的关键，作出图形更形象直观. 【题型6】利用正方形的旋转模型求线段长 【例6】（22-23九年级上·天津武清·期中）如图，P为正方形内一点，，将绕点C逆时针旋转得到，则的长是（        ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】根据旋转的性质，旋转后的三角形是等腰直角三角形，由勾股定理可求得 解：∵绕点C逆时针旋转得到，其旋转中心是点C，旋转角度是 ∴, ∴是等腰直角三角形 ∴ 故选项是B． 【点拨】本题考查了旋转的性质、正方形的性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握正方形和旋转的性质，得出三角形是等腰直角三角形是解决问题的关键 【变式1】（2023·贵州铜仁·三模）如图，正方形中，，O是边的中点，点E是正方形内一动点， ，连接，将线段绕点D逆时针旋转得，连接、，则线段长的最小值为 ．    【答案】 【分析】连接，将线段绕点逆时针旋转得，连接，，，证明，可得，由勾股定理可得，根据，即可得出的最小值． 解：如图，连接，将线段绕点逆时针旋转得，连接，，，    ， ， 在与中， ， ， ， 正方形中，，是边的中点， ， ， ， ， ， 线段长的最小值为． 故答案为：． 【点拨】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，两点之间线段最短，勾股定理．解题的关键是掌握图形旋转的性质． 【变式2】（2021·黑龙江哈尔滨·一模）如图，已知：PA＝，PB＝4，以AB为一边作正方形ABCD，使P、D两点落在直线AB的两侧．当∠APB＝45°时，则PD的长为 ． 【答案】2 【分析】由于AD＝AB，∠DAB＝90°，则把△APD绕点A顺时针旋转90°得到△AFB，AD与AB重合，PA旋转到AF的位置，根据旋转的性质得到AP＝AF，∠PAF＝90°，PD＝FB，则△APF为等腰直角三角形，得到∠APF＝45°，PF＝AP＝2，即有∠BPF＝∠APB+∠APF＝45°+45°＝90°，然后在Rt△FBP中，根据勾股定理可计算出FB的长，即可得到PD的长． 解：∵AD＝AB，∠DAB＝90°， ∴把△APD绕点A顺时针旋转90°得到△AFB，AD与AB重合，PA旋转到AF的位置，如图， ∴AP＝AF，∠PAF＝90°，PD＝FB， ∴△APF为等腰直角三角形， ∴∠APF＝45°，PF＝AP＝2， ∴∠BPF＝∠APB+∠APF＝45°+45°＝90°， 在Rt△FBP中，PB＝4，PF＝2， ∴由勾股定理得FB＝2， ∴PD＝2， 故答案为：2． 【点拨】此题主要考查四边形内线段求解，解题的关键是熟知旋转的性质、正方形的特点及勾股定理的应用． 【题型7】利用正方形的旋转模型求面积 【例7】（2014·黑龙江大庆·中考真题）如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转45°后得到正方形AB1C1D1，边B1C1与CD交于点O，则四边形AB1OD的面积是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接AC1，AO，根据四边形AB1C1D1是正方形，得出∠C1AB1=∠AC1B1=45°，求出∠DAB1=45°，推出A、D、C1三点共线，在Rt△C1D1A中，由勾股定理求出AC1，进而求出DC1=OD，根据三角形的面积计算即可． 解：连接AC1， ∵四边形AB1C1D1是正方形， ∴∠C1AB1=×90°=45°=∠AC1B1， ∵边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转45°后得到正方形AB1C1D1， ∴∠B1AB=45°， ∴∠DAB1=90°-45°=45°， ∴AC1过D点，即A、D、C1三点共线， ∵正方形ABCD的边长是1， ∴四边形AB1C1D1的边长是1， 在Rt△C1D1A中，由勾股定理得：AC1=， 则DC1=-1， ∵∠AC1B1=45°，∠C1DO=90°， ∴∠C1OD=45°=∠DC1O， ∴DC1=OD=-1， ∴S△ADO=×OD•AD=， ∴四边形AB1OD的面积是=2×=-1， 故选C． 【变式1】（2020·山东滨州·中考真题）如图，点是正方形内一点，且点到点、、的距离分别为、、，则正方形的面积为 ． 【答案】/ 【分析】将绕点顺时针旋转得到，连接，过点作于．由旋转的性质可知，，进而根据等腰直角三角形的性质得到，再根据勾股定理得到，再由直角三角形斜边上的中线得到，最后根据勾股定理求解即可． 解：如图，将绕点顺时针旋转得到，连接，过点作于． 由旋转的性质可知，， ， ， ，， ， ， ， ， ， ，，共线， ， ， ， ， ， 正方形的面积为． 故答案为． 【点拨】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质和判定，勾股定理，直角三角形斜边上的中线，正确构造旋转图形是解题的关键． 【变式2】 【题型8】利用正方形的旋转模型进行推理 【例8】（2024·河北邯郸·三模）题目：“如图，在正方形中，点在边上（不与点，重合），点在边上（不与点，重合），将线段绕点顺时针旋转，使点的对应点落在正方形的边上，将线段绕点顺时针旋转，使点的对应点落在正方形的边上，依次操作下去．若经过多次操作可得到首尾顺次相接的正边形，求的值．”对于其答案，甲答：，乙答：或，则正确的是 （       ） A．只有甲答的对 B．只有乙答的对 C．甲、乙答案合在一起才完整 D．甲、乙答案合在一起也不完整 【答案】C 【分析】本题考查了正方形的性质、旋转的性质、正多边形的判定与性质等知识；熟练掌握正方形的性质和旋转的性质是解题的关键． 解：分3种情况讨论，①当落在点时，如图所示， 此时， ②当落在边上时，如图所示， 此时， ②当落在边上时，如图所示， 此时， 故选：C． 【变式1】如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接E，F．给出下列五个结论：①AP=EF；②PD=EC；③∠PFE=∠BAP；④△APD一定是等腰三角形；⑤AP⊥EF．其中正确结论的序号是 ． 【答案】①③⑤ 【分析】可以作PG⊥AB，证明△APG≌△FEP即可. 解：如图，作PG⊥AB，易知PG=PE，且AG=EC=FP，则△APG≌△FEP，所以AP=EF，∠PFE=∠BAP，运用旋转的知识易知AP⊥EF，所以正确结论的序号是①③⑤. 【点拨】做辅助线证明全等是解题的关键. 9．（2022·广东广州·一模）正方形ABCD中，ADF绕着点A顺时针旋转90°后得到ABM，点M、B、E、C在一条直线上，且AEM与AEF恰好关于AE所在直线成轴对称，已知EF＝5，正方形边长为6．那么EFC的面积是 ． 【答案】6 【分析】由旋转可得，S△ADF＝S△ABM，由对称可得，ME＝EF＝5且S△AEF＝S△AEM，得到五边形ABEFD的面积是30，正方形ABCD的面积是36，进而可得答案． 解：由旋转可得，S△ADF＝S△ABM， 由对称可得，ME＝EF＝5且S△AEF＝S△AEM， ∴S△AEF＝S△AEMME•AB15， ∵S△ADF＝S△ABM， ∴五边形ABEFD的面积是15+15＝30， 而正方形ABCD的面积是6×6＝36， ∴△EFC的面积是36﹣30＝6． 故答案为：6． 【点拨】本题考查旋转的性质，掌握旋转前后的图形面积相等是解题关键． 【变式2】（22-23九年级上·湖北黄冈·期中）如图，已知中，，，将绕点逆时针旋转得到，以下结论：①，②，③，④，其中正确结论的序号是 ． 【答案】①②④ 【分析】根据旋转的性质可得，，，再根据旋转角的度数为，通过推理证明对①②③④四个结论进行判断即可． 解：①绕点逆时针旋转得到， ，故①正确； ②绕点逆时针旋转， ． ， ． ， ． ，故②正确； ③在中， ，， ． ． 与不垂直．故③不正确； ④在中， ，， ． ，故④正确． ①②④这三个结论正确． 故答案为：①②④． 【点拨】本题考查了旋转性质的应用，掌握图形的旋转只改变图形的位置，不改变图形的形状与大小是解决问题的关键． 【题型9】利用等腰直角三角形的旋转模型求角度、线段与面积 【例9】（2021·河南信阳·模拟预测）如图，在中，，，以为边作等腰直角三角形（为直角顶点，、两点在直线的两侧），线段长的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由旋转的性质可得，，，由等腰直角三角形的性质可得，由三角形的三边关系可求解． 解：如图，将绕点顺时针，得到，连接， ≌，， ，， ， 在中，， 当点在上时，的最大值， 故选：C． 【点拨】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，三角形的三边关系，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 【变式1】（2024·山东聊城·三模）如图，点D是等腰直角三角形内的一点，且，，将绕点 A按逆时针方向旋转，得到，连接，交于点F．若，则 ．    【答案】/107度 【分析】本题考查旋转的性质，等腰三角形的性质，余角的性质，三角形外角的性质．熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 先由旋转的性质得，，再根据等腰直角三角形的性质和余角性质求得，，然后由三角形外角性质求解即可． 解：由旋转可得：，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式2】（2024·重庆大渡口·一模）如图，和是等腰直角三角形，，的边AF，AG交边BC于点D，E．若，，则AD的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了旋转全等和勾股定理解三角形，将顺时针旋转到位置，得到直角三角形，可求出，再证明，得到，进而求出，过点A作，由等腰三角形三线合一和直角三角形斜边中线等于斜边一半得出，再在直角三角形求出． 解：如图，将绕点A顺时针旋转到位置，连接 ∵和是等腰直角三角形，， ∴，， 由旋转性质可知：，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， 过点A作， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为． 【点拨】本题涉及了旋转的性质、半角模型、构造全等三角形转换线段关系和勾股定理，解题关键是通过旋转构造全等三角形得到，由求出． 【题型10】用等腰直角三角形的旋转模型进行推理 【例12】（23-24八年级上·山东威海·期末）如图，在等腰直角中，，点为斜边上一点，将绕点逆时针旋转得到，则下列说法不一定正确的是（    ） A． B．是等腰三角形 C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查的是旋转的性质、等腰直角三角形的性质和判定、勾股定理的应用，熟练掌握相关知识是解题的关键．由，可得，由旋转的性质可知，可判定A正确，B正确；根据，可得，即可得，判断D正确；不能证明，可判断C错误． 解：∵， ∴． 由旋转的性质可知，故A正确，不符合题意； ∴是等腰直角三角形，故B正确，不符合题意； ∴ ∴， ∴， ∵， ∴，故D正确，不符合题意 不能证明，故C错误，符合题意； 故选：C． 【变式1】（2023·天津河北·二模）如图，已知为等腰直角三角形，，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点分别为点，下列结论中错误的是（    ）    A． B． C． D．是等边三角形 【答案】C 【分析】根据旋转可知，，，则得和是等边三角形，即可作答． 解：根据旋转的性质可知，，， ∴和是等边三角形，故选项D结论正确， ∴，故选项B结论正确； ∵为等腰直角三角形，， ∴， ∴，故选项A结论正确， ，故选项 C结论错误，符合题意； 故选：C． 【点拨】本题考查了旋转的性质和全等三角形的判定与性质，得出和是等边三角形是解答本题的关键． 【变式2】（22-23八年级上·福建漳州·阶段练习）已知如图，在中，，，直角的顶点是边的中点，两边，分别交，于点，，当在内绕顶点旋转（点不与，重合）时，给出以下5个结论：①；②是等腰直角三角形；③；④；⑤．上述结论始终正确的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【点拨】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定与【答案】A 【分析】①证明得，当点E不是的中点时，，由此判断①； ②由全等三角形性质得，，，则为等腰直角三角形，判断②； ③由，得，进而得，可判断③； ④根据等腰直角三角形的性质，，根据随着点E的变化而变化，只有当点E为的中点时，，从而判断④； ⑤当不是的平分线时，，此时，由此判断⑤． 解：①∵，， ∴是等腰直角三角形， ∵点P为BC的中点， ∴，， ∵是直角， ∴， ∴， 在和中， ， ∴（ASA）， ∴， 当点E不是的中点时，， 故①错误； ②∵，， ∴为等腰直角三角形， 故②正确； ③∵， ∴， ∴， ∴， 故③正确； ④根据等腰直角三角形的性质，， 所以，随着点E的变化而变化，只有当点E为的中点时，， 故④错误； ⑤∵，AB＝AC， ∴， 当不是的平分线时，， 此时， 故⑤错误； 故②③正确， 故选：A． 性质：全等三角形的判定与性质，熟记各性质并求出三角形全等是解题的关键． 第三部分【中考链接与拓展延伸】 【题型11】拓展延伸 【例1】（2016·四川达州·中考真题）如图，是等边三角形内一点，将线段绕点顺时针旋转60°得到线段,连接.若,则四边形的面积为 .    【答案】24+9． 解：如图，连结PQ， 根据等边三角形的性质得∠BAC=60°，AB=AC， 再根据旋转的性质得AP=PQ=6，∠PAQ=60°， 即可判定△APQ为等边三角形，所以PQ=AP=6； 在△APC和△ABQ中，AB=AC，∠CAP=∠BAQ，AP=PQ， 利用SAS判定△APC≌△ABQ， 根据全等三角形的性质可得PC=QB=10； 在△BPQ中，已知PB2=82=64，PQ2=62，BQ2=102，即PB2+PQ2=BQ2， 所以△PBQ为直角三角形，∠BPQ=90°， 所以S四边形APBQ=S△BPQ+S△APQ=×6×8+×62=24+9． 故答案为：24+9．    【点拨】本题考查旋转的性质；等边三角形的性质；全等三角形的判定及性质． 【例2】（2020·山东滨州·中考真题）如图，点是正方形内一点，且点到点、、的距离分别为、、，则正方形的面积为 ． 【答案】/ 【分析】将绕点顺时针旋转得到，连接，过点作于．由旋转的性质可知，，进而根据等腰直角三角形的性质得到，再根据勾股定理得到，再由直角三角形斜边上的中线得到，最后根据勾股定理求解即可． 解：如图，将绕点顺时针旋转得到，连接，过点作于． 由旋转的性质可知，， ， ， ，， ， ， ， ， ， ，，共线， ， ， ， ， ， 正方形的面积为． 故答案为． 【点拨】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质和判定，勾股定理，直角三角形斜边上的中线，正确构造旋转图形是解题的关键． 【题型12】拓展延伸 【例1】（22-23八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，已知、是边长为的正方形内部两点，且满足，若的面积为，则与的面积之和为 ． 【答案】 【分析】本题考查了运用旋转的性质求解，全等三角形的判定与性质；将绕点逆时针旋转至与重合，得，则，将绕点顺时针旋转至与重合，得，则，再证明，根据求解即可． 解：将绕点逆时针旋转至与重合，得，则， 将绕点顺时针旋转至与重合，得，则， ∴ 连接 ∵ ∴ ∴ 即： ∵ ∴ ∴ 同理可得： ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 故答案是： 【例2】（2024·重庆大渡口·一模）如图，和是等腰直角三角形，，的边AF，AG交边BC于点D，E．若，，则AD的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了旋转全等和勾股定理解三角形，将顺时针旋转到位置，得到直角三角形，可求出，再证明，得到，进而求出，过点A作，由等腰三角形三线合一和直角三角形斜边中线等于斜边一半得出，再在直角三角形求出． 解：如图，将绕点A顺时针旋转到位置，连接 ∵和是等腰直角三角形，， ∴，， 由旋转性质可知：，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， 过点A作， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为． 【点拨】本题涉及了旋转的性质、半角模型、构造全等三角形转换线段关系和勾股定理，解题关键是通过旋转构造全等三角形得到，由求出． 【例3】（22-23八年级上·四川宜宾·期末）如图，和都是等腰直角三角形，，点D是边上的动点（不与点B、C重合），与交于点F，连接．下列结论：①；②;③；④在内存在唯一一点P，使得的值最小，若点D在的延长线上，且的长为2，则．其中含所有正确结论的选项是 ．    【答案】①②③ 【分析】①正确．证明，可得结论；②正确．根据得到，得到证明即可；③正确．根据得到，根据三角形外角性质，得到，证明即可；④错误．将绕点B顺时针旋转得到，连接，当点A，点P，点N，点M共线时， 值最小，此时，，设，则，构建方程求出t，可得结论． 解：∵和都是等腰直角三角形，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故①正确； ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴； 故②正确； ∵， ∴， 根据三角形外角性质，得到， ∴， 故③正确； 将绕点B顺时针旋转得到，连接， 根据旋转性质，得到是等边三角形， 当点A，点P，点N，点M共线时， 值最小，此时，，，    设，则，根据题意，得， 解得， 故 故④错误． 故答案为：①②③． 【点拨】本题考查等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，直角三角形的性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$