第14讲 二元一次方程组90道计算题专项训练（9大题型）-【寒假自学课】2025年七年级数学寒假提升精品讲义（浙教版2024）

第14讲 二元一次方程组90道计算题专项训练（9大题型） 【经典计算题一 二元一次方程组的简单解法】 1．解下列方程组： (1) (2) 2．解方程组： (1)； (2)． 3．解方程组： (1)； (2)． 4．解方程组： 5．解方程组： (1) (2) 6．解下列方程组． (1) (2) 7．用代入法解下列方程组： (1) (2) 8．解方程组： (1) (2) 9．解下列方程组： (1) (2) 10．解方程组 (1)； (2)． 【经典计算题二 二元一次方程组的特殊解法】 11．已知关于x，y的方程组的解是，求关于x，y的方程组的解． 12．两个同学对问题“若方程组的解是，求方程组的解”提出各自的想法．甲说：“这个题目好像条件不够，不能求解”；乙说：“它们的系数有一定的规律，可以试试”；参考他们的讨论，谈谈你的看法． 13．解方程组： (1) (2) 14．利用换元法解下列方程组： (1) (2) 15．整体思想就是从问题的整体性质出发，突出对问题的整体结构的分析，发现问题的整体结构特征，用“整体”的眼光，把某些式子或图形看成一个整体，进行有目的、有意识的整体处理整体思想方法在代数式的化简与求值、解方程（组）、几何证明等方面都有广泛的应用． (1)解方程； (2)在（1）的基础上，求方程组的解． 16．阅读与思考 【阅读理解】 我们把四个数a，b，c，d排成两行两列，记为，称为二阶行列式，规定它的运算法则为． 小李同学在学习二元一次方程组的解法时，发现可以利用二阶行列式求解．例如：求二元一次方程组的解． 解：记，， ，则原方程组的解为 【类比应用】 (1)若二阶行列式，求x的值； (2)已知方程组利用二阶行列式求得，请求，，并写出该方程组的解． 17．数学方法： 解方程组：，若设，，则原方程组可化为，解方程组得，所以，解方程组得，我们把某个式子看成一个整体，用一个字母去替代它，这种解方程组的方法叫做换元法． (1)直接填空：已知关于的二元一次方程组，的解为，那么关于的二元一次方程组的解为： ． (2)知识迁移：请用这种方法解方程组 ． (3)拓展应用：已知关于的二元一次方程组的解为， 求关于的方程组的解． 18．阅读下列解方程组的方法，然后回答并解决有关问题： 解方程组时，如果我们直接考虑消元，那会很麻烦，而采用下面的解法求解会更方便． 解：得，，所以③，将③，得④， ，得，从而可得，所以原方程组的解为． (1)请你用上述方法解方程组． (2)猜想：关于、的方程组（是常数，）的解，并说明理由． 19．数学思想·整体思想  综合与实践 【问题情境】小明同学在学习二元一次方程组时遇到了这样一个问题： 解方程组：． 【观察发现】 （1）如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，容易出错．如果把方程组中的看成一个整体，把看成一个整体，通过换元，可以解决问题．设，则原方程组可化为_____，解关于m，n的方程组，得，所以，解方程组，得_____； 【探索猜想】 （2）运用上述方法解下列方程 组：． 20．数学方法：解方程组，若设，，则原方程组可变形为，解方程组得，所以，解方程组得．我们把某个式子看成一个整体，用一个字母去代替它，这种解方程组的方法叫做换元法． (1)请用这种方法解方程组； (2)已知关于x、y的二元一次方程组的解为，则关于m、n的二元一次方程组的解为______． 【经典计算题三 已知二元一次方程组的解求参数】 21．已知关于的二元一次方程组的解是，求的值． 22．已知和是关于、的二元一次方程的两组解． (1)求、的值； (2)如果是不大于的数，求的最大值． 23．解方程组时，一学生把a看错后得到，而正确的解为， (1)求a，b，c的值； (2)求的立方根． 24．解方程组时，小明本应该解出，由于看错了系数c，从而得到解，试求出的值 25．已知关于x，y的方程组． (1)请直接写出方程的所有正整数解； (2)若方程组的解满足，求m的值； (3)方程总有一个公共解，请求出这个方程的公共解吗？ 26．已知关于x，y的二元一次方程组的解也是方程的解，求m的值． 27．已知是方程组的解，求k和m的值． 28．已知关于x，y的二元一次方程组的解满足，求m的值． 29．如果中的解x、y相同，求m的值． 30．对于题目：“若方程组的解为，且整式，求：整式A的值．” 小明化简求值时，将系数□看错了，他求的A的值为0； 小宇求的结果，与题的正确答案一样，A的值为6． (1)小明将系数□看成的数是多少？ (2)化简整式A． 【经典计算题四 二元一次方程组的错解复原问题】 31．甲、乙两人共同解方程组，由于甲看错了方程①中的，得到方程组的解为；乙看错了方程②中的，得到方程组的解为， (1)求出，的值； (2)此方程组正确的解应该是多少？ 32．甲、乙两人同时解方程组甲看错了，求得解为；乙看错了，求得解为．请你求出的值． 33．在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的a，得解为；乙看错了方程组中的b，得解为．求出原方程组的正确解． 34．甲、乙两人共同解方程组，由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为，乙看错了方程②中的，得到方程组的解为，求原方程组的解． 35．解方程组时，小强正确解得而小刚看错了c，解得求出a、b、c的值． 36．在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的a，而得解为，乙看错了方程组中的b，而得解为，根据上面的信息解答： (1)求出正确的a，b的值 (2)求出原方程组的正确解． 37．小李和小张共同解关于x，y的二元一次方程组由于粗心，小李看错了方程①中的a，得到方程组的解为，小张看错了方程②中的b，得到方程组的解为，求原方程组的解． 38．甲、乙两人解方程组，甲正确地解得，乙因为把c看错，误认为d，解得，求、、、的值 39．甲、乙两名同学在解方程组时，甲解题时看错了m，解得；，乙解题时看错了n，解得．请你根据以上两种结果： (1)求m，n的值； (2)求出原方程组的正确解． 40．甲、乙两人同解方程组 时，甲看错了方程①中的a，解得 ，乙看错②中的b，解得 ． (1)求正确的a，b的值； (2)求原方程组的正确解． 【经典计算题五 构造二元一次方程组求解】 41．若，求的值． 42．阅读理解： 已知实数，满足，，求和的值．仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由可得，由可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．利用“整体思想”，解决下列问题： (1)已知二元一次方程组，则________，_______； (2)对于实数，，定义新运算：，其中，，是常数，等式右边是实数运算．已知，，求的值． 43．在等式中，当时，；当时，． (1)求、的值； (2)求当时的值． 44．在代数式中，当，时，它的值是，当，时，它的值是17，求a，b的值． 45．在等式中，当时，；当时，． (1)求k，b的值； (2)当时，求x的值． 46．已知，当时，；当时，，求和的值． 47．数学活动课上，小云和小辉在讨论老师出示的一道二元一次方程组的问题： 已知关于的二元一次方程组的解满足③，求的值． 小云：将联立可得一个新的不含的二元一次方程组． 小辉：哈哈！直接可以更简便地求出的值． (1)按照小云的方法，求出的值； (2)老师说，小辉的方法体现了整体代入的思想，请按照小辉的思路求出的值． 48．已知代数式． (1)当时，代数式的值是，请用含的代数式表示． (2)当时，代数式的值是；当时，代数式的值是，求，的值． 49．现有三个方程：；；，请你在其中任意选两个方程，组成一个方程组，并求解． 50．若二元一次方程组的解也是二元一次方程 的解，求的值． 【经典计算题六 方程组同解问题】 51．已知关于x、y的方程组和的解相同，求的值． 52．已知关于的方程组和有相同的解． (1)求出它们的相同解． (2)求的值． 53．若关于，的二元一次方程组与方程组有相同的解． (1)求这两个方程组的相同解； (2)求的立方根． 54．已知关于，的方程组和的解相同，试求的值． 55．已知关于x，y的二元一次方程组和关于x，y的二元一次方程组的解相同，求a，b的值． 56．已知方程组和方程组有相同的解，则m的值． 57．已知关于x，y的方程组和有相同的解． (1)求这个相同的解； (2)求的值． 58．已知关于，的方程组与的解相同． (1)求这个相同的解； (2)求，的值． 59．若方程组与有相同的解，求的平方根． 60．已知关于x，y的方程组与有相同的解，求a和b的值． 【经典计算题七 二元一次方程组的含参计算】 61．解答下列各题 (1)已知关于，的二元一次方程组的解，的值相等，求的值． (2)已知关于，的二元一次方程组的解互为相反数，求的值． 62．选择一组α，c的值，使方程组①有无数组解；②无解；③有唯一的解． 63．已知关于x，y的二元一次方程组的解x，y互为相反数，求a的值． 64．已知关于的方程组的解满足其中．若均为正整数，求所有符合条件的整数． 65．已知关于，的方程组与的解相同，求的值． 66．定义：可化为其中一个未知数的系数都为，另一个未知数的系数互为倒数，并且常数项互为相反数的二元一次方程组，称为“相关倒反方程组”．如 ． (1)若关于的方程组 是“相关倒反方程组”，则 ， ． (2)若关于的方程组 可化为“相关倒反方程组”，求该方程组的解． 67．已知关于x，y的二元一次方程组的解互为相反数，求的值． 68．已知关于的二元一次方程组的解满足方程，求m的值． 69．已知关于，的方程组 (1)若方程组的解满足，求的值； (2)无论实数取何值，方程总有一个固定的解，请求出这个解？ (3)若方程组的解中为整数，且是自然数，求的值． 70．已知关于x，y的方程组的解满足方程，求m的值． 【经典计算题八 三元一次方程组的计算】 71．解方程组： (1) (2) 72．解方程组：． 73．解方程组： (1) (2) 74．解方程组： 75．解方程组： 76．已知，且，求的值． 77．解方程组：． 78．解方程组： 79．阅读材料： 已知方程组，求的值． 解法一：由原方程组，得 ，得．③ 把③代入①，得 ． 所以． 解法二： 将原方程组整理得 ，得③ 把③代入①，得． 请根据阅读材料，选择一种方法，尝试解决问题：已知方程组，求的值． 80．解方程组：． 【经典计算题九 二元一次方程组新定义计算】 81．新趋势·新定义  对于未知数为的二元一次方程组，如果方程组的解满足．我们就说方程组的解与具有“邻好关系”． (1)方程组的解是否具有“邻好关系”？说明你的理由： (2)若方程组的解与具有“邻好关系”，求的值． 82．对于任意实数a，b，定义关于“”的一种运算如下：，例如． (1)求的值； (2)若，且，求的值． 83．[阅读感悟] 一些关于方程组的问题，若求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的式子的值，如以下问题：已知实数x，y满足①，②，求和的值．本题的常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得x，y的值再代入欲求值的式子得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得式子的值，如由可得，由可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”． [解决问题] (1)已知二元一次方程组，则___________，___________． (2)某班开展安全教育知识竞赛需购买奖品，买5支铅笔、3块橡皮共需18元，买9支铅笔、5块橡皮共需28元，则购买20支铅笔、20块橡皮共需多少元？ (3)对于实数x，y，定义新运算：，其中a，b，c是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知，，求的值． 84．定义：关于，的二元一次方程与互为“共轭二元一次方程”，例如：与互为“共轭二元一次方程”． (1)直接写出二元一次方程的“共轭二元一次方程”； (2)二元一次方程与它的“共轭二元一次方程”有一个相同的解，求，的值． 85．我们定义一个关于非零常数m，n的新运算，规定：，例如：．若，，求x，y的值． 86．对于有理数定义一种新运算“※”：规定．例如：． (1)若，，求的值； (2)在（）的条件下，试说明：． 87．定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们就称这两个方程为“关联方程”如方程和为“关联方程”． (1)若关于的方程与方程是“关联方程”，求的值； (2)若两个“关联方程”的两个解的差为8，若两个“关联方程”的两个解分别为，求的值； (3)若关于的方程和是“关联方程”，求的值． 88．定义：关于x，y的二元一次方程（其中）中的常数项c与未知数系数a，b之一互换，得到的方程叫“交换系数方程”，例如：的“交换系数方程”为或． (1)方程的“交换系数方程”为______； (2)已知关于x，y的二元一次方程的系数满足，且与它的“交换系数方程”组成的方程组的解恰好是关于x，y的二元一次方程的一个解，求的值； (3)已知m，n，t都是整数，并且是关于x，y的二元一次方程的“交换系数方程”，求的值． 89．阅读感悟： 有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题： 已知实数、满足①，②，求和的值． 本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得、的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由①②可得，由①②可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”． 请根据上述思想解决下列问题： (1)已知二元一次方程组，求和的值； (2)对于实数、，定义新运算：，其中、、是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知，，求的值． 90．现定义一种新运算如下：数对经过运算可以得到数对，并把该运算记作，其中（为常数）．例如，当，且时，． (1)当，且时，_______； (2)若，求和的值； (3)如果组成数对的两个数满足二元一次方程（均不为），并且对任意数对经过运算又得到数对，求的值． ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第14讲 二元一次方程组90道计算题专项训练（9大题型） 【经典计算题一 二元一次方程组的简单解法】 1．解下列方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组； （1）根据代入法，将①代入②，得，得出，再代入①，即可求解； （2）根据加减消元法解二元一次方程组，即可求解． 【详解】（1）解： 将①代入②，得， 解得． 将代入①，得． 所以，原方程组的解为 （2） ①②，得， 解得． 将代入②，得， 解得． 所以，原方程组的解为 2．解方程组： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了解二元一次方程组，能选择适当的方法解方程组是解此题的关键，注意：解二元一次方程组的方法有代入消元法和加减消元法． （1）运用加减消元法解出的值，再代入解出的值，即可作答； （2）先去分母，再运用代入消元法解出的值，即可作答． 【详解】（1）解：， ，得， 解得， 把代入①，得， 解得， 所以方程组的解为； （2）解：， 整理①得，即， 所以整理②得， 把代入， 得， 解得， 把代入， 解得， 所以方程组的解为． 3．解方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握消元法解二元一次方程组，是解题的关键： （1）加减消元法进行求解即可； （2）加减消元法进行求解即可． 【详解】（1）解： ，得：，解得：； 把代入，得：，解得：， ∴方程组的解为：； （2）原方程组可化为：， ，得：，解得：， 把代入，得：，解得：， ∴方程组的解为：． 4．解方程组： 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，利用加减消元法解二元一次方程组即可得解． 【详解】解：由整理得 ③④得，解得：， 把代入方程③，得：， 所以这个方程组的解是：． 5．解方程组： (1) (2) 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查解二元一次方程组，解题的关键是消元，常用消元的方法有代入消元法和加减消元法． （1）采用加减消元法进行求解即可； （2）先化简原方程组，再利用加减消元法进行求解即可． 【详解】（1）解：， 得， 解得， 将代入得， 解得， ∴方程组的解为：； （2）解：， 原方程组化简为：， 得：， 解得， 将代入得， 解得， ∴方程组的解为：． 6．解下列方程组． (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握解方程组的方法是解题的关键． （1）利用加减消元法解方程组即可； （2）先整理方程组，再利用加减消元法进行计算即可． 【详解】（1）解：， 得， 解得， 把代入②得， 解得， 故原方程组的解是； （2）整理原方程组得， 得， 解得， 把代入①得， 解得， 故原方程组的解为． 7．用代入法解下列方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握代入消元法解二元一次方程组是解题的关键． （1）利用代入消元法即可解方程求解即可； （2）利用代入消元法即可解方程求解即可． 【详解】（1）解：， 把②代入①，得，解得∶． 把代入②，得， 所以原方程组的解为． （2）解：， 由①，得③． 把③代入②，得，解得∶． 把代入③，得， 所以原方程组的解为． 8．解方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用加减消元法解答即可； （2）利用加减消元法解答即可． 本题考查了方程组的解法，熟练掌握解方程组的基本步骤是解题的关键． 【详解】（1）解： 得， 解得； 把代入①解得，， 故方程组的解为． （2）解：， 整理，得 得， 把代入①解得，， 故方程组的解为． 9．解下列方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查的是解二元一次方程组，掌握用加减消元法解二元一次方程组是解决此题的关键. （1）先将二元一次方程组化简，利用加减消元法解方程组即可； （2）先将二元一次方程组化简，然后利用加减消元法解方程即可. 【详解】（1）解： 整理得， 得， 把代入代入①得， 解得， ∴方程组的解为． （2）解：， 整理得， 得， ∴． 把代入①， 解得：． 故方程组的解为． 10．解方程组 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（）利用加减法解答即可； （）先化简方程组，再利用加减法解答即可； 本题考查了解二元一次方程组，掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键． 【详解】（1）解：， 得，， ∴， 把代入②得，， ∴， ∴方程组的解为； （2）解：方程组化简得，， 得，， ∴， 把代入①得，， ∴， ∴方程组的解为． 【经典计算题二 二元一次方程组的特殊解法】 11．已知关于x，y的方程组的解是，求关于x，y的方程组的解． 【答案】 【分析】本题考查了代入消元法，以及二元一次方程组的特殊解法，先整理原方程组为，结合关于x，y的方程组的解是，则，然后解出，即可作答． 【详解】解：∵， ， 关于x，y的方程组的解是， 由得， 把代入， 解得， ∴， 解得． 12．两个同学对问题“若方程组的解是，求方程组的解”提出各自的想法．甲说：“这个题目好像条件不够，不能求解”；乙说：“它们的系数有一定的规律，可以试试”；参考他们的讨论，谈谈你的看法． 【答案】见解析 【分析】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值．先将第二个方程组变形为第一个方程组的格式，设，，第一个方程组即可变形为关于，的方程组，解出，的值；然后把，的值代入，，即可解出、的解集． 【详解】解：可变形为①， 设，， 所以方程组①可变为②， 又因为的解是， 所以方程组②的解是，所以，， 所以，． 故方程组的解是． 13．解方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查二元一次方程组的解法，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键； （1）设，则原方程组可变形为，然后进行求解即可； （2）设，则原方程组可变形为，然后进行求解即可 【详解】（1）解：设，则原方程组可变形为， 解得， 从而得方程组， 解得， 故原方程组的解为； （2）解：设，则原方程组可变形为， 解得， 从而得方程组， 解得 故原方程组的解为 14．利用换元法解下列方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组，换元法，灵活运用换元法是解题的关键． （1）令，，原方程组化为，解出和的值代入，，即可求出和的值； （2）令，，原方程组化为，解出和的值代入，，即可求出和的值． 【详解】（1）解：令，， 原方程组化为， 解得， 把代入，， 得， 解得，， 原方程组的解为； （2）解：令，， 原方程组化为， 解得， 将代入，， 得， 解得， 原方程组的解为． 15．整体思想就是从问题的整体性质出发，突出对问题的整体结构的分析，发现问题的整体结构特征，用“整体”的眼光，把某些式子或图形看成一个整体，进行有目的、有意识的整体处理整体思想方法在代数式的化简与求值、解方程（组）、几何证明等方面都有广泛的应用． (1)解方程； (2)在（1）的基础上，求方程组的解． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解及解二元一次方程组，熟知解二元一次方程组的步骤及巧用整体思想是解题的关键． (1)根据解二元一次方程组的步骤对所给方程组进行求解即可； (2)将和看作一个整体，得出关于m，n的二元一次方程组，再对其进行求解即可． 【详解】（1）解：， 得， ， ， 将代入①得， ， ， 所以原方程组的解为； （2）解：由题知， 将和看作一个整体， 则， 解得， 所以原方程组的解为． 16．阅读与思考 【阅读理解】 我们把四个数a，b，c，d排成两行两列，记为，称为二阶行列式，规定它的运算法则为． 小李同学在学习二元一次方程组的解法时，发现可以利用二阶行列式求解．例如：求二元一次方程组的解． 解：记，， ，则原方程组的解为 【类比应用】 (1)若二阶行列式，求x的值； (2)已知方程组利用二阶行列式求得，请求，，并写出该方程组的解． 【答案】(1) (2)，， 【分析】本题考查了新定义题型，涉及了一元一次方程、二元一次方程组的求解，注意正确理解题意即可． （1）由题意得：,即可求解； （2）根据定义即可求解； 【详解】（1）解：由题意得：, 解得： （2）解：， ， 则原方程组的解为 17．数学方法： 解方程组：，若设，，则原方程组可化为，解方程组得，所以，解方程组得，我们把某个式子看成一个整体，用一个字母去替代它，这种解方程组的方法叫做换元法． (1)直接填空：已知关于的二元一次方程组，的解为，那么关于的二元一次方程组的解为： ． (2)知识迁移：请用这种方法解方程组 ． (3)拓展应用：已知关于的二元一次方程组的解为， 求关于的方程组的解． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了用换元法解二元一次方程组，根据题目给出的示例，用换元法解二元一次方程组是解答本题的关键． （1）设，即可得到，解方程组即可求解； （2）设，则原方程组化为，解方程组即可求解； （3）设，则原方程组化为，，根据已知，可得，得到，即可得到答案． 【详解】（1）解：设， 则原方程组化为， ∵关于的二元一次方程组的解为， ∴， 解得：， 故答案为：； （2）解：设， 则原方程组化为， 解得， ∴， 解得； （3）解：设， 则原方程组化为， 整理得， ∵关于的二元一次方程组的解为， ∴， ∴， ∴． 18．阅读下列解方程组的方法，然后回答并解决有关问题： 解方程组时，如果我们直接考虑消元，那会很麻烦，而采用下面的解法求解会更方便． 解：得，，所以③，将③，得④， ，得，从而可得，所以原方程组的解为． (1)请你用上述方法解方程组． (2)猜想：关于、的方程组（是常数，）的解，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】本题考查的是解二元一次方程组，熟知解二元一次方程组的加减消元法和代入消元法并灵活变通是解答此题的关键． （1）利用“加减消元法”解方程组； （2）先假设该方程组的解，利用“加减消元法”解方程组验证即可． 【详解】（1）解：， ，得 ③ ，得④ ，得 解得 把代入③，得， 解得， 原方程组的解是； （2）解：猜想关于、的方程组的解为， 理由如下： 得， ③ ，得④ ，得 解得 把代入③，得， 解得， 原方程组的解是． 19．数学思想·整体思想  综合与实践 【问题情境】小明同学在学习二元一次方程组时遇到了这样一个问题： 解方程组：． 【观察发现】 （1）如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，容易出错．如果把方程组中的看成一个整体，把看成一个整体，通过换元，可以解决问题．设，则原方程组可化为_____，解关于m，n的方程组，得，所以，解方程组，得_____； 【探索猜想】 （2）运用上述方法解下列方程 组：． 【答案】（1），；（2） 【分析】本题考查了解二元一次方程组． （1）根据换元法和加减消元法可得答案； （2）利用换元法将原方程组变形，解关于m，n的方程组，然后得到关于x，y的新的二元一次方程组，再解方程组可得答案； 【详解】解：（1）设， 则原方程组可化为， 解关于m，n的方程组，得， ∴， 解方程组，得， 故答案为：，； （2）设，， 则原方程组可化为， 解关于m，n的方程组，得， ∴， 解方程组，得． 20．数学方法：解方程组，若设，，则原方程组可变形为，解方程组得，所以，解方程组得．我们把某个式子看成一个整体，用一个字母去代替它，这种解方程组的方法叫做换元法． (1)请用这种方法解方程组； (2)已知关于x、y的二元一次方程组的解为，则关于m、n的二元一次方程组的解为______． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，正确理解题意是解题的关键． （1）设，则原方程组变形为，然后解方程组求出A、B的值进而建立方程组，解方程组即可得到答案； （2）根据关于x、y的二元一次方程组的解为，得出，解关于m、n的方程组即可． 【详解】（1）解：设， ∴原方程组变形得：， 整理得：， 得：， 解得：， 把代入②得：， ∴， 解得：． （2）解：∵关于x、y的二元一次方程组的解为， ∴关于m、n的二元一次方程组中， 解方程组得：． 【经典计算题三 已知二元一次方程组的解求参数】 21．已知关于的二元一次方程组的解是，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解：同时满足二元一次方程组的两个方程的未知数的值叫二元一次方程组的解．把代入方程组求得a、b的值，即可求得的值． 【详解】解：把代入二元一次方程组得，， 解得， ∴． 22．已知和是关于、的二元一次方程的两组解． (1)求、的值； (2)如果是不大于的数，求的最大值． 【答案】(1)， (2) 【分析】此题考查了二元一次方程的解，以及解二元一次方程组，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值． （1）将已知两组解代入二元一次方程中得到关于、的方程组，求出方程组的解得到、的值； （2）由、的值确定出二元一次方程，根据题意得到关于的不等式，即可求解． 【详解】（1）解：和是关于、的二元一次方程的两组解， ， 解得：， ，； （2）由（1）得：，， ， 是不大于的数， ， 解得：， 的最大值为． 23．解方程组时，一学生把a看错后得到，而正确的解为， (1)求a，b，c的值； (2)求的立方根． 【答案】(1)，， (2)2 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值． （1）将代入第二个方程，将代入第二个方程，组成方程组求出c与d的值，将正确解代入第一个方程求出a即可； （2）由（1）知a，b，c的值，代入即可求解． 【详解】（1）解：将；分别代入得： ， 解得：， 将代入中得：， 解得：， 则，，； （2）解：把，，代入得， 8的立方根是2， 的立方根为2． 24．解方程组时，小明本应该解出，由于看错了系数c，从而得到解，试求出的值 【答案】 【分析】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值． 将第一对x与y的值代入方程组第二个方程求出c的值，将两对x与y的值代入方程组中第一个方程，求出a，b的值即可． 【详解】解：把代入，得，解得， 把代入，得①， 把代入，得②， ①，②联立方程组，得 解得， ∴． 25．已知关于x，y的方程组． (1)请直接写出方程的所有正整数解； (2)若方程组的解满足，求m的值； (3)方程总有一个公共解，请求出这个方程的公共解吗？ 【答案】(1)，；， (2) (3) 【分析】本题考查了二元一次方程的正整数解的确定，同解方程的含义，二元一次方程组的解法，二元一次方程的固定解，掌握以上知识是解题的关键． （1）把y看作已知数表示出y，进而确定出方程的正整数解即可． （2）由题意得：，解方程组求解x，y，再把x，y的值代入，从而可得答案． （3）方程变形后，确定出公共解即可． 【详解】（1）解：方程， 解得：， 当时，；，． （2）联立得：， 解得：， 代入得：， 解得：． （3）∵，即总有一个解， ∴方程的解与m无关， ∴，， 解得：，． 则方程的公共解为． 26．已知关于x，y的二元一次方程组的解也是方程的解，求m的值． 【答案】 【分析】本题主要考查二元一次方程组的解法，以及了二元一次方程（组）的解，通过解方程组求解x，y是解题的关键． 根据题意将和联立组成方程组，解方程组可求解x，y值，再将x，y值代入代入方程可得关于的一元一次方程，解方程即可求解． 【详解】解；∵关于x，y的二元一次方程组的解也是方程的解， ①②，得 ， 把代入①，得， ， 把，代入，得 ， 解得 27．已知是方程组的解，求k和m的值． 【答案】k和m的值分别为2和3 【分析】本题主要考查解二元一次方程组，根据题意将x和y代入方程组，即可解得k和m的值． 【详解】解：根据题意，把代入方程组，得 ，解得． 即k和m的值分别为2和3． 28．已知关于x，y的二元一次方程组的解满足，求m的值． 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组以及二元一次方程的解，根据方程组的特征得到是解题的关键． 【详解】解：， ，， ③， 把③代入中，得， 解得：． 29．如果中的解x、y相同，求m的值． 【答案】． 【分析】根据方程组的解x、y的值相同，联立方程组，求出x，y的值，然后把x，y的值代入即可求出m的值． 【详解】解：方程组的解x、y的值相同， 联立方程组， 解得， 把代入，得， 解得，． 【点睛】本题主要考二元一次方程组的解法，根据题意联立方程组，从而求出x，y的值是解题的关键． 30．对于题目：“若方程组的解为，且整式，求：整式A的值．” 小明化简求值时，将系数□看错了，他求的A的值为0； 小宇求的结果，与题的正确答案一样，A的值为6． (1)小明将系数□看成的数是多少？ (2)化简整式A． 【答案】(1)小明将系数□看成的数是 (2) 【分析】（1）先求出，设小明将系数□看成了m，则，根据小明求的A的值，得到关于m的方程，解方程即可得到； （2）设正确的□为n，则，根据小宇求的A的值为6得到，解得：，即可得到答案． 【详解】（1）解：∵方程组的解为 ∴，解得． 设小明将系数□看成了m，则， ∵小明求的A的值为0， ∴， 解得：，即小明将系数□看成的数是； （2）设正确的□为n， 则， ∵小宇求的A的值为6 ∴，解得：， ∴． 【点睛】此题考查了二元一次方程组的解、一元一次方程的应用、整式的加减等知识，熟练掌握一元一次方程的解法和整式的加减法则是解题的关键 【经典计算题四 二元一次方程组的错解复原问题】 31．甲、乙两人共同解方程组，由于甲看错了方程①中的，得到方程组的解为；乙看错了方程②中的，得到方程组的解为， (1)求出，的值； (2)此方程组正确的解应该是多少？ 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了二元一次方程组解的含义及其解法，理解二元一次方程组解的含义是解题的关键． （1）把甲的解代入②中求出n的值，把乙的解代入①中求出m的值即可； （2）把m与n的值代入方程组求出解即可． 【详解】（1）解：∵甲看错了方程①中的，得到方程组的解为， ∴把代入②得 ， 解得：， 把代入①得： ， 解得：； （2）把，代入方程组得： 得： ， 即， 把x=2代入①得： ， 则方程组的解为． 32．甲、乙两人同时解方程组甲看错了，求得解为；乙看错了，求得解为．请你求出的值． 【答案】 【分析】本题考查了方程组的解，代数式的值计算，熟练掌握解方程组的解的性质，是解题的关键． 把，代入，求得a值，把，代入，求得b值，后求的值即可． 【详解】解：把，代入， 得， 解得， 把，代入， 得， 解得， 所以． 33．在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的a，得解为；乙看错了方程组中的b，得解为．求出原方程组的正确解． 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，以及二元一次方程组的解，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先分别求出，，得方程组，再运用加减消元法进行解方程，即可作答． 【详解】解：∵解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的a，得解为； ∴把代入， 得， 解得； ∵在解方程组时，乙看错了方程组中的b，得解为． ∴把代入， 得， 解得； 则方程组， 则，得， 解得， 把代入，得， 解得， ∴原方程组的正确解为． 34．甲、乙两人共同解方程组，由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为，乙看错了方程②中的，得到方程组的解为，求原方程组的解． 【答案】原方程组的解为． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键．由题意得，甲看错了方程①中的a，则把代入方程②得出，乙看错了方程②中的，则把代入方程①中得出a，再求解原方程组即可． 【详解】解：把代入方程②中得：， 解得：， 把代入方程①中得：， 解得：， 原方程组为， ，得：， 解得：， 把代入，得：， 所以原方程组的解为． 35．解方程组时，小强正确解得而小刚看错了c，解得求出a、b、c的值． 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，二元一次方程组的解；根据题意把，代入①得出，③．把代入③得，把②得出，即可求解． 【详解】解：把代入①得，即③． 把代入，得． 把③代入，得， 解得，把代入③得． 把代入方程得， 解得． 故． 36．在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的a，而得解为，乙看错了方程组中的b，而得解为，根据上面的信息解答： (1)求出正确的a，b的值 (2)求出原方程组的正确解． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）把代入①，能求出，把代入②，求出即可； （2）运用加减消元法求出原方程组的解，即可作答． 本题考查了解二元一次方程组、二元一次方程组的解和求代数式的值等知识点，能得出关于、的方程是解此题的关键． 【详解】（1）解：依题意，把代入①，得， 解得：， 把代入②，得， 解得：； （2）解：由（1）得， ∴原方程组为， ，得， 把代入③，得， ∴， 解得原方程组的正确解为：， 37．小李和小张共同解关于x，y的二元一次方程组由于粗心，小李看错了方程①中的a，得到方程组的解为，小张看错了方程②中的b，得到方程组的解为，求原方程组的解． 【答案】 【分析】本题主要考查二元一次方程组的错解问题；首先根据甲看错方程①中的a说明甲所解出的结果满足方程②，所以把代入方程②可得：即可求出b；而乙看错方程②中的b说明乙所解出的结果满足方程①，所以把代入方程①可得：即可求出a；根据的值得到原方程组，解方程组即可． 【详解】解：依题意，把代入②得：， 解得：； 把代入①得：， 解得：； 则原方程为： 得， 解得：， ，代入①得，， 解得：， ∴． 38．甲、乙两人解方程组，甲正确地解得，乙因为把c看错，误认为d，解得，求、、、的值 【答案】、、、的值是：4，5，，． 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解．本题需先根据二元一次方程组的解得方法和已知条件分别把与的值代入原方程组，即可求出、、、的值． 【详解】解：把代入得： ， ， 再根据乙把看错，误认为，解得代入得： ， ， ， 、、、的值是：4，5，，． 39．甲、乙两名同学在解方程组时，甲解题时看错了m，解得；，乙解题时看错了n，解得．请你根据以上两种结果： (1)求m，n的值； (2)求出原方程组的正确解． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，加减消元法解方程组． （1）把甲的解代入中求出n的值，把乙的解代入中求出m的值； （2）把与n的值代入方程组，利用加减消元法解方程组即可． 【详解】（1）解：把代入得，解得， 把代入得，解得， ∴，； （2） 解：①②得：， 解得， 把代入①得， 解得， ∴方程组的解为． 40．甲、乙两人同解方程组 时，甲看错了方程①中的a，解得 ，乙看错②中的b，解得 ． (1)求正确的a，b的值； (2)求原方程组的正确解． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查二元一次方程组的错解复原问题： （1）把代入②，把代入①，可求出a和b的值； （2）把a和b的值代入原方程组，利用加减消元法求解即可． 【详解】（1）解：把代入②，得， 解得， 把代入①，得， 解得； （2）解：将，代入原方程组，得， 整理得， 得：， 解得：， 将代入，得：， 解得：， 因此原方程组的正确解为． 【经典计算题五 构造二元一次方程组求解】 41．若，求的值． 【答案】 【分析】首先根据绝对值的非负性、平方的非负性和：，得到关于、的二元一次方程组，解方程组求出、的值，再把、的值代入代数式中求解． 【详解】解：， ，， ， 解得 ， ， 故答案为． 【点睛】本题主要考查了绝对值和平方的非负性、解二元一次方程组、立方根．解决本题的关键是根据绝对值和平方的非负性求出、的值． 42．阅读理解： 已知实数，满足，，求和的值．仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由可得，由可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．利用“整体思想”，解决下列问题： (1)已知二元一次方程组，则________，_______； (2)对于实数，，定义新运算：，其中，，是常数，等式右边是实数运算．已知，，求的值． 【答案】(1)，3． (2)54 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，熟练掌握整体思想是解题的关键． （1）利用①②可求出的值，利用①②进行计算可求出的值； （2）根据题意可得，然后由④-③可得利用整体的思想求出． 【详解】（1）解： 由①②得：， 由①②得：， ∴， ∴． 故答案为：，3． （2）∵，，， 则 由④-③可得： 即 ∴． 43．在等式中，当时，；当时，． (1)求、的值； (2)求当时的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组的解和解二元一次方程组，掌握消元的思想是解题的关键． （1）将x与y的两对值代入等式得到关于k与b的二元一次方程组，求出方程组的解，即可得k与b的值． （2）由（1）得该等式为，再将代入，即可解答． 【详解】（1）将时，； 时，分别代入得： 解得：， （2）由（1）得， 将代入得： ． 44．在代数式中，当，时，它的值是，当，时，它的值是17，求a，b的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了二元一次方程的解以及解二元一次方程组，根据题意构造二元一次方程组，再利用加减法解二元一次方程，解方程即可求出a，b的值． 【详解】解：， ①②，可得：， 解得， 把代入①式得： ， 解得：， ∴原方程组的解是 45．在等式中，当时，；当时，． (1)求k，b的值； (2)当时，求x的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，正确理解题意、得出关于k、b的方程组是解题的关键． （1）把已知的数据代入等式可得关于k、b的方程组，解方程组即可； （2）把代入（1）的等式中求解即可． 【详解】（1）解：根据题意可得：， 解得：； （2）解：因为， 所以， 所以当时，， 解得：． 46．已知，当时，；当时，，求和的值． 【答案】 【分析】此题主要考查了解二元一次方程组的方法．首先根据题意，可得，然后应用加减消元法，求出和的值即可． 【详解】解：，当时，；当时，， ， ①②，可得， 解得， 把代入①，可得：， 解得， 原方程组的解是． 47．数学活动课上，小云和小辉在讨论老师出示的一道二元一次方程组的问题： 已知关于的二元一次方程组的解满足③，求的值． 小云：将联立可得一个新的不含的二元一次方程组． 小辉：哈哈！直接可以更简便地求出的值． (1)按照小云的方法，求出的值； (2)老师说，小辉的方法体现了整体代入的思想，请按照小辉的思路求出的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）联立①③，可得出关于，的二元一次方程组，运用加减消元法，解之即可得出，的值； （2）利用，可得出，结合，可得出关于的一元一次方程，解之即可得出的值． 本题考查了二元一次方程组的解以及解二元一次方程组． 【详解】（1）解：联立①③得：， 由整理得，解得 将代入③得：， 解得：， 原方程组的解为． （2）解：， 得： 则， ∵ ∴ 则， ． 48．已知代数式． (1)当时，代数式的值是，请用含的代数式表示． (2)当时，代数式的值是；当时，代数式的值是，求，的值． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查了代数式，列二元一次方程组，根据题意，列出正确的二元一次方程组，解出，的值，是解答本题的关键． （1）根据题意，当时，代数式的值是，得到，由此求出答案． （2）根据题意，当时，代数式的值是；当时，代数式的值是，得到，由此求出答案． 【详解】（1）解：根据题意得： 当时，代数式的值是， 即， ， 用含的代数式表示：． （2）根据题意得： 当时，代数式的值是；当时，代数式的值是， ， 解得：． 49．现有三个方程：；；，请你在其中任意选两个方程，组成一个方程组，并求解． 【答案】答案不唯一，见解析 【分析】分别选定方程，利用加减消元法求解即可得到答案； 【详解】解：：由①、②组成方程组， 解：①2得④， ②④得， 将①得， ∴， ∴该方程组的解为； 由②、③组成方程组：， 得，， 解得：， 把代入②得， ， 解得：， ∴该方程组的解为：； 由①、③组成方程组：， 得，， 解得：， 把代入①得，， 解得：， ∴该方程组的解为：； 【点睛】本题考查解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握二元一次方程组的解法． 50．若二元一次方程组的解也是二元一次方程 的解，求的值． 【答案】 【分析】根据题意组成新的方程组，求出方程组的解，再把方程组的解代入方程中求出a的值即可． 【详解】解：∵二元一次方程组 的解也是二元一次方程 的解， ∴可建立方程组， 得：，解得， 把代入①得：，解得， ∴方程组的解为， 把代入中得：，解得． 【点睛】本题考查的是二元一次方程同解问题，掌握根据同解的含义构建新的方程组是解题的关键． 【经典计算题六 方程组同解问题】 51．已知关于x、y的方程组和的解相同，求的值． 【答案】1 【分析】此题考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组，乘方的性质，解题的关键是掌握二元一次方程组的求解，正确求得a、b的值．将两个方程组中不含有a，b的两个方程联立，组成新的方程组，求出x和y的值，再代入含有a，b的两个方程中，解关于a，b的方程组得出a，b的值，代入计算即可． 【详解】解：∵关于x、y的方程组和的解相同， ∴， 由得， ， 解得， 把代入①得， ， 解得， ∴方程组的解为， 把代入得， ， 得， ， 把代入③得， ， 解得， ∴． 52．已知关于的方程组和有相同的解． (1)求出它们的相同解． (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解，求代数式的值； （1）根据已知条件，重新把不含有的两个方程联立成方程组，利用加减消元法，求出的值即可； （2）把（1）中所求的分别代入和得关于的方程组，解方程组求出，再代入计算即可． 【详解】（1）解：∵关于的方程组和有相同的解， ∴， 得：， 解得， 把代入②得：， ∴方程组的解为：， ∴它们的相同解为； （2）解：把分别代入和，得， 得：， 把代入①得：， ∴． 53．若关于，的二元一次方程组与方程组有相同的解． (1)求这两个方程组的相同解； (2)求的立方根． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解二元一次方程组，二元一次方程组的解， （1）根据题意联立，解方程组即可； （2）把代入，解方程组后求出，的值，然后代入计算后再求立方根即可； 掌握同解方程组的意义是解题的关键． 【详解】（1）解：∵关于，的二元一次方程组与方程组有相同的解， ∴， ，得：， 解得：， 把代入，得：， 解得：， ∴这两个方程组的相同解为； （2）把代入得：， 整理得：， ，得：， 解得：， 把代入，得：， 解得：， ∴， ∵的立方根为， ∴的立方根为． 54．已知关于，的方程组和的解相同，试求的值． 【答案】25 【分析】方程组的解满足方程组中每一个方程，则两个方程组中的四个方程是同解方程，则将其中两个不含字母、的方程组成一个新的方程组；利用加减消元法对方程组进行求解，即可得到、的值；根据两个方程组同解，则可将、的值代入含有参数的方程组中，即可得到关于、的方程组，据此通过加减消元法的知识即可求出、的值，然后求出的值．本题主要考查方程组同解的问题，解决本题的关键是明确方程组的解的定义． 【详解】解：∵关于，的方程组和的解相同， ∴， 解得， 则是方程组的解， 故可得， 解得， ∴． 55．已知关于x，y的二元一次方程组和关于x，y的二元一次方程组的解相同，求a，b的值． 【答案】，． 【分析】本题考查二元一次方程组的同解问题及解二元一次方程组．根据同解方程定义可以重新组合得到二元一次方程组将其方程组的解代入即可求解． 【详解】解：∵和的解相同， ∴，解得：， 将代入中，得：， 解得：． ∴，． 56．已知方程组和方程组有相同的解，则m的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了方程组的解的定义和解二元一次方程组，首先求得方程组的解是解题的关键．当给出的未知数较多时，应选择只含有2个相同未知数的2个方程组成方程组求解．两方程组有相同的解，那么将有一组x、y值同时适合题中四个方程，把题中已知的两个方程组成一个方程组，解出x、y后，代入中直接求解即可． 【详解】解：由题意可得： 解方程组， 解得， 代入得，， 解得：． 57．已知关于x，y的方程组和有相同的解． (1)求这个相同的解； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查同解方程组： （1）将两个不含参数的方程组成新的方程组，解方程组即可； （2）根据（1）中的解求出参数的值，再代入代数式计算即可． 【详解】（1）解：由题意：方程组的解与两个方程组的解也相同， 解，得：； ∴相同的解为：． （2）解：由题意，可知：方程组的解也为， ∴，解得：， ∴． 58．已知关于，的方程组与的解相同． (1)求这个相同的解； (2)求，的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查的是同解方程组的含义与解法，熟练的建立新的方程组是解本题的关键； （1）由题意可得方程组，再整理为，再利用加减消元法解方程组即可； （2）将代入方程和中，再建立方程组解题即可； 【详解】（1）解：由题意可得：， 整理得：， 得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， ∴方程组的公共解为：； （2）解：将代入方程和中， 得， 得：， 把代入④得：， 解得． 59．若方程组与有相同的解，求的平方根． 【答案】 【分析】本题考查的是同解方程组的含义，二元一次方程组的解法，求一个数的平方根，掌握“利用同解方程组的含义构建新的方程组”是解本题的关键．由同解方程组的含义构建方程组，求解得，则，再求解得，从而可得答案． 【详解】解：∵方程组与有相同的解， ∴，解得， 则，解得， ∴， ∴的平方根为， 故答案为：． 60．已知关于x，y的方程组与有相同的解，求a和b的值． 【答案】， 【分析】本题考查同解方程组，将两个方程组中没有参数的两个方程，组成新的方程，求出未知数的方程，再代入带参数的方程中，求出参数的值即可． 【详解】解：∵关于x，y的方程组和的解相同， ∴，①+②得，解得， 把代入②，得， ∴方程组的解为：， ∴， ∴，． 【经典计算题七 二元一次方程组的含参计算】 61．解答下列各题 (1)已知关于，的二元一次方程组的解，的值相等，求的值． (2)已知关于，的二元一次方程组的解互为相反数，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二元一次方程组的解及解二元一次方程组； （1）依题意，，由①可得，代入②得，，即可求解． （2）依题意，③，代入②得，，，将代入①得，，即可求解． 【详解】（1）解： 依题意， 由①可得， 解得： ∴，代入②得， 解得： （2）解： 依题意，③ 将③代入②得，， 解得： ∴ 将代入①得， 解得： 62．选择一组α，c的值，使方程组①有无数组解；②无解；③有唯一的解． 【答案】①当时，方程组有无数组解；②当时，方程组无解；③当，不论c取何值时，方程组有唯一的解 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握二元一次方程组解的定义．根据①当时，方程组有无数组解（因为两个方程等效）；②当时，方程组无解（因为两个方程矛盾）；③当（即）时，方程组有唯一的解，且唯一的解为． 【详解】解：①当时，方程组有无数组解，解得． ②当时，方程组无解，解得． ③当时，方程组有唯一的解，即当时，不论c取何值，原方程组都有唯一的解． 63．已知关于x，y的二元一次方程组的解x，y互为相反数，求a的值． 【答案】 【分析】利用加减消元法求得x，y关于a的解，然后根据x，y互为相反数求解即可．本题主要考查解二元一次方程组，相反数的性质，解此题的关键在于熟练掌握其知识点． 【详解】解：， ，得，即． 把代入①，得． 由题意得，即， 解得． 64．已知关于的方程组的解满足其中．若均为正整数，求所有符合条件的整数． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解以及二元一次方程组的解法，先求出方程组的解为代入得出，求出m，n代入整理得，然后根据均为正整数讨论可得答案． 【详解】解：解方程组得 因为方程组的解满足 所以， 整理，得． 因为， 所以， 整理，得． 因为均为正整数，所以当时，， 此时； 当时，，此时； 当时，，此时． 综上所述，的值为． 65．已知关于，的方程组与的解相同，求的值． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组的解，理解方程组解的定义是解决问题的关键．根据方程组解的相同，可得新的方程组，求出、，再把、的值代入含有、的方程中求出、，即可解决问题. 【详解】解：关于，的方程组与的解相同， 联立， 得：， 解得：， 将代入中，得到， 把，分别代入，， 解得：，， ． 66．定义：可化为其中一个未知数的系数都为，另一个未知数的系数互为倒数，并且常数项互为相反数的二元一次方程组，称为“相关倒反方程组”．如 ． (1)若关于的方程组 是“相关倒反方程组”，则 ， ． (2)若关于的方程组 可化为“相关倒反方程组”，求该方程组的解． 【答案】(1)，； (2)． 【分析】（1）根据“相关倒反方程组”的定义即可求解； （2）先把化为“相关倒反方程组”，根据“相关倒反方程组”的定义求出的值，然后解二元一次方程组即可； 本题考查了二元一次方程组的解法及新定义，理解新定义，掌握二元一次方程组的解法是解题的关键． 【详解】（1）解：若关于的方程组 是“相关倒反方程组”，则，， 故答案为：，； （2）解：根据题意 得：原方程组化为“相关倒反方程组”是 ， 所以，， 所以，， 所以原方程组为 ， 解得 ． 67．已知关于x，y的二元一次方程组的解互为相反数，求的值． 【答案】 【分析】本题考查的是二元一次方程组的解及其解法，由方程组的解的含义可得，可得，再解方程组，再进一步解答即可. 【详解】解：∵关于x，y的二元一次方程组的解互为相反数，， ∴ 解， 得，， 解得：， 将代入②，得， 将代入，得， 解得. 68．已知关于的二元一次方程组的解满足方程，求m的值． 【答案】 【分析】此题考查了解二元一次方程组和二元一次方程的解，根据题意得到，得到，代入即可求出答案． 【详解】解： 由题意得：， 解得， 将，代入， 得：， ∴， 69．已知关于，的方程组 (1)若方程组的解满足，求的值； (2)无论实数取何值，方程总有一个固定的解，请求出这个解？ (3)若方程组的解中为整数，且是自然数，求的值． 【答案】(1) (2) (3)或或 【分析】此题考查了解二元一次方程的整数解和二元一次方程组的解，熟练掌握运算法则和求方程组的解是本题的关键． （1）将与原方程组中的第一个方程组成新的方程组，可得、的值，再代入第二个方程中可得的值； （2）当含项为零时，取，代入可得固定的解． （3）根据方程组可以求得，的关系式，根据为整数，可以求解的值； 【详解】（1）由题意得：，解得， 把代入，解得； （2）， ∴当，时，， 即固定的解为：， （3）， 得：， ， ， 为整数， ∴，，， 且为自然数， ∴或或， 或或． 70．已知关于x，y的方程组的解满足方程，求m的值． 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组和解一元一次方程，先把方程组中下面方程减上面方程，根据，求解即可，能得出关于m的一元一次方程是解题的关键． 【详解】解： ，得， 因为， 所以， 所以． 【经典计算题八 三元一次方程组的计算】 71．解方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了三元一次方程组的解法，掌握三元一次方程组的解法是解答本题的关键． （1）把三元一次方程组化为二元一次方程组再运用加减消元法求解即可； （2）先将和消去，解出，再解出和即可求解． 【详解】（1）解：， 把代入得， 联立方程组得， 由得， 解得， 把分别代入得，， 原方程组的解为； （2）解：， 由，得： 由，得：， 把代入，得：， 把代入，得：， 原方程组的解集是：． 72．解方程组：． 【答案】 【分析】本题考查三元一次方程组的解法，熟练掌握加减消元法求解三元一次方程组是解题的关键． 利用加减消元法求解即可． 【详解】解： 得 ， 解得： 得 将代入④得 解得：， 将，代入①得 ， 解得：， 原方程组的解为． 73．解方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是三元一次方程组的解法，掌握三元一次方程组的解法是解答本题的关键． （1）先消去未知数，再求解，再进一步解答，从而可得答案； （2）先消去未知数，再求解，再进一步解答，从而可得答案． 【详解】（1）解：， 得：， 得：， 把代入得：， 把，代入得， 方程组的解为：； （2）解： 由，得：． 由，得：， 解得：， 把代入，得：， 把代入，得：， 原方程组的解集是． 74．解方程组： 【答案】 【分析】本题考查的是三元一次方程组的解法，先消去未知数，再求解，再进一步解答，从而可得答案． 【详解】解：， 由①＋②，得：． 由③＋④，得：， 解得：， 把代入①，得：， 把代入②，得：， ∴原方程组的解集是. 75．解方程组： 【答案】 【分析】本题考查了三元一次方程组的解法，首先，则得到的方程与有两个相同的项，然后与相减，即可求得的值，然后把的值代入求得的值，解三元一次方程组的关键是消元，解题之前先观察方程组中的方程的系数特点，认准易消的未知数，消去未知数． 【详解】解：由，得： 由，得：， 把代入，得：， 把代入，得：， ∴原方程组的解集是：． 76．已知，且，求的值． 【答案】 【分析】本题考查分式的值，解方程组等知识，把看成已知数，求出、，然后代入化简即可，解题的关键是把看成已知数解方程组，属于中考常考题型． 【详解】解：把z看作常数，解关于x、y的方程组 ，得 所以原式 ． 77．解方程组：． 【答案】方程组的解为 【分析】本题考查三元一次方程组的解法，方程组利用加减消元法求出解即可，熟练掌握解三元一次方程组的方法和步骤是解题的关键． 【详解】解：， 得：， 得：， 把代入得：， 把，代入得， ∴方程组的解为：． 78．解方程组： 【答案】 【分析】本题考查解三元一次方程组，熟练掌握加减消元法是解题的关键． 【详解】解：①②得， ①③得， 联立④⑤得方程组， 解得， 把代入①得， 所以方程组的解为． 79．阅读材料： 已知方程组，求的值． 解法一：由原方程组，得 ，得．③ 把③代入①，得 ． 所以． 解法二： 将原方程组整理得 ，得③ 把③代入①，得． 请根据阅读材料，选择一种方法，尝试解决问题：已知方程组，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了解三元一次方程组的知识，根据题意采用两种不同的方法求解即可，解题的关键是利用整体法解方程组． 【详解】解：解法一： ， 由得：， 把代入得：， ∴； 解法二： 由题意，将原方程整理得： ， 得：， 得：， 解得：． 80．解方程组：． 【答案】 【分析】本题考查了利用加减消元法解二元一次方程组，解三元一次方程组，熟记方程组的解法是解题关键．先将方程组的第一个方程与第二个方程相加、第二个方程与第三个方程相加可得一个含有x、z的二元一次方程组，再利用加减消元法可求出x、z的值，然后代入第三方程可求出y的值，从而可得方程组的解． 【详解】解： ①②得：， ②③得：， 联立④⑤得， ④⑤得： ，解得：， 将代入④得：，解得：， 将，代入③得：，解得：， 方程组的解为： ． 【经典计算题九 二元一次方程组新定义计算】 81．新趋势·新定义  对于未知数为的二元一次方程组，如果方程组的解满足．我们就说方程组的解与具有“邻好关系”． (1)方程组的解是否具有“邻好关系”？说明你的理由： (2)若方程组的解与具有“邻好关系”，求的值． 【答案】(1)具有“邻好关系”，见解析 (2)或6 【分析】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握新定义，是解题的关键： （1）根据方程，即可得到，即可得出结论； （2）先解二元一次方程组，根据新定义，得到关于的绝对值方程，进行求解即可． 【详解】（1）具有“邻好关系”．理由如下：方程组 由②得． 所以方程组的解具有“邻好关系”； （2）解方程组得 因为方程组的解具有“邻好关系”， 所以， 所以，即． 所以或， 所以或6． 82．对于任意实数a，b，定义关于“”的一种运算如下：，例如． (1)求的值； (2)若，且，求的值． 【答案】(1)0 (2)． 【分析】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法． （1）原式利用题中的新定义计算即可求出值； （2）已知等式利用题中的新定义得到二元一次方程组，计算即可求出所求． 【详解】（1）解：根据题中的新定义得：； （2）解：∵， ∴①， ∵， ∴②， 得 ∴． 83．[阅读感悟] 一些关于方程组的问题，若求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的式子的值，如以下问题：已知实数x，y满足①，②，求和的值．本题的常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得x，y的值再代入欲求值的式子得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得式子的值，如由可得，由可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”． [解决问题] (1)已知二元一次方程组，则___________，___________． (2)某班开展安全教育知识竞赛需购买奖品，买5支铅笔、3块橡皮共需18元，买9支铅笔、5块橡皮共需28元，则购买20支铅笔、20块橡皮共需多少元？ (3)对于实数x，y，定义新运算：，其中a，b，c是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知，，求的值． 【答案】(1)，4 (2)购买20支铅笔、20块橡皮共需160元 (3)1 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、整体思想以及新运算等知识， （1）由得，则，再由得，则； （2）设1支铅笔x元，1块橡皮y元，由题意列出方程组，再由整体思想求出，即可求解； （3）由定义新运算：得，，求出，即可求解． 【详解】（1）解：， 得：， ∴， 得：， ∴， 故答案为：，4； （2）解：设1支铅笔x元，1块橡皮y元， 由题意得：， 得：， ∴， 即购买20支铅笔、20块橡皮共需160元； （3）解：∵， ∴， 得：， ∴， ∴， ∴． 84．定义：关于，的二元一次方程与互为“共轭二元一次方程”，例如：与互为“共轭二元一次方程”． (1)直接写出二元一次方程的“共轭二元一次方程”； (2)二元一次方程与它的“共轭二元一次方程”有一个相同的解，求，的值． 【答案】(1)． (2)，． 【分析】（1）本题考查对题干中“共轭二元一次方程”的理解，理解概念即可解题． （2）本题考查对题干中“共轭二元一次方程”的理解和解二元一次方程，根据概率得出的“共轭二元一次方程”，再将，代入这两个二元一次方程求解，即可解题． 【详解】（1）解：由题知，二元一次方程的“共轭二元一次方程”是， （2）解：二元一次方程的“共轭二元一次方程”是， ∵二元一次方程与它的“共轭二元一次方程”有一个相同的解， ， 解得， ，． 85．我们定义一个关于非零常数m，n的新运算，规定：，例如：．若，，求x，y的值． 【答案】x，y的值分别为2， 【分析】本题考查定义新运算，解二元一次方程组，根据新运算的法则，列出方程组，进行求解即可． 【详解】∵，，， ∴ 解得 ∴x，y的值分别为2，． 86．对于有理数定义一种新运算“※”：规定．例如：． (1)若，，求的值； (2)在（）的条件下，试说明：． 【答案】(1)，； (2)说明见解析． 【分析】（）根据有理数的新定义运算列出关于的二元一次方程组，解方程组即可求解； （）由（）可得，进而根据新定义运算求出，即可求证； 本题考查了有理数的新定义运算，解二元一次方程组，理解新定义运算是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意可得，， 解得， 即，； （2）证明：∵，， ∴， ∴， ∴． 87．定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们就称这两个方程为“关联方程”如方程和为“关联方程”． (1)若关于的方程与方程是“关联方程”，求的值； (2)若两个“关联方程”的两个解的差为8，若两个“关联方程”的两个解分别为，求的值； (3)若关于的方程和是“关联方程”，求的值． 【答案】(1)25 (2)或 (3)2 【分析】本题主要考查了解一元一次方程的应用、解二元一次方程组的应用，正确掌握一元一次方程的解法和二元一次方程组的方法是解题的关键． （1）根据“关联方程”的定义求解即可； （2）根据“关联方程”的定义和已知条件得到关于的二元一次方程组，解方程组即可； （3）分别求出方程的解，再由“关联方程”的定义解答． 【详解】（1）解：解方程，可得， ∵关于的方程与方程是“关联方程”， ∴方程的解为， 将代入方程， 可得， 解得； （2）根据题意，可得或， 解两个二元一次方程组，可得或， ∴求的值为或； （3）解方程，可得， 解方程，可得， ∵关于的方程和是“关联方程”， ∴， 解得． 88．定义：关于x，y的二元一次方程（其中）中的常数项c与未知数系数a，b之一互换，得到的方程叫“交换系数方程”，例如：的“交换系数方程”为或． (1)方程的“交换系数方程”为______； (2)已知关于x，y的二元一次方程的系数满足，且与它的“交换系数方程”组成的方程组的解恰好是关于x，y的二元一次方程的一个解，求的值； (3)已知m，n，t都是整数，并且是关于x，y的二元一次方程的“交换系数方程”，求的值． 【答案】(1)或 (2) (3) 【分析】本题主要考查了求解含参数的二元一次方程组，掌握解二元一次方程组的加减消元法和代入消元法是解题的关键． （1）根据题目所给“交换系数方程”的定义进行解答即可； （2）先求出与它的“交换系数方 程”组成的方程组的解，将其代入方程，得到，然后代入计算即可； （3）根据题意根据题目所给“交换系数方程”的定义，分和两种情况求解即可． 【详解】（1）解：根据“交换系数方程”的定义可知方程“”的交换系数方程为或． 故答案为：或． （2）解：当的“交换系数方程”为时， 联立，解得：， ∵， ∴， ∴， 当的“交换系数方程”为时， 联立，解得：， ∵， ∴， ∴． 综上：与它的“交换系数方 程”组成的方程组的解为． 把代入方程得：，即 ∴． （3）解：∵是关于x，y的二元一次方程的“交换系数方程”， ∴或， ①当时，整理得：，解得：； ； ②当时，解得：， ∴． 综上：． 89．阅读感悟： 有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题： 已知实数、满足①，②，求和的值． 本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得、的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由①②可得，由①②可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”． 请根据上述思想解决下列问题： (1)已知二元一次方程组，求和的值； (2)对于实数、，定义新运算：，其中、、是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知，，求的值． 【答案】(1)11，5 (2)2 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，三元一次方程组的应用，掌握整体思想解决问题是解题的关键． （1）将两方程相加可求的值，将两方程相减可求的值； （2）由题意列出方程组，即可求解． 【详解】（1）解：， ①②可得：， ①②可得：； （2）∵，， ∴，， ∴， ①②可得：． 90．现定义一种新运算如下：数对经过运算可以得到数对，并把该运算记作，其中（为常数）．例如，当，且时，． (1)当，且时，_______； (2)若，求和的值； (3)如果组成数对的两个数满足二元一次方程（均不为），并且对任意数对经过运算又得到数对，求的值． 【答案】(1)； (2)，； (3)． 【分析】（）当，且时，分别求出和即可， （）根据条件列出方程组即可求出的值； （）由任意数对经过运算又得到数对，得，根据 得到代入方程组即可得到答案； 本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握解二元一次方程组的方法，弄清定义，能将所求的问题转化为二元一次方程组是解题的关键． 【详解】（1）当，且时， ， ， ∴， 故答案为：； （2）根据题意得：， 解得：， ∴，； （3）∵任意数对经过运算又得到数对， ∴，则， ∵， ∴， ∴， 又均不为， ∴． ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$