第6章 空间向量与立体几何单元测试卷（基础篇）-【帮课堂】2024-2025学年高二数学同步学与练（苏教版2019选择性必修第二册）

第6章 空间向量与立体几何单元测试卷（基础篇） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．，，若则（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 3．长方体中，，则（    ） A． B． C． D． 4．已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 5．已知空间向量，（其中，），若，则最小值是（   ） A． B． C．2 D． 6．在棱长为2的正方体中，M，N分别是棱CD，AD的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（   ）    A． B． C． D． 7．如图，在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是，在下列结论中错误的是（    ） A． B． C． D．向量与的夹角是 8．如图，二面角的大小为，点A，B分别在半平面，内，于点C，于点D．若，，．则（    ）    A． B．6 C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．给出下列命题，其中正确的有（   ） A．若非零空间向量，，满足，，则有 B．若三个非零向量，，不能构成空间的一个基底，则，，必定共面 C．若两个非零向量，与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则，共线 D．已知是空间向量的一个基底，则也是空间向量的一个基底 10．已知向量，则下列结论正确的是（    ） A．向量与向量的夹角为 B． C．向量在向量上的投影向量为 D．向量与向量共面 11．已知在三棱台中，平面，，，．以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，如图所示，则（    ） A． B． C．异面直线与所成角的余弦值为 D．点到直线的距离为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知空间向量，若共面，则实数 13．在正四面体中，棱长为3，点在棱上，且，则 . 14．已知正方体的棱长为1，若动点在线段上运动，则的最大值是 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 如图在边长是4的正方体中，，分别为AB，的中点.    (1)求异面直线EF与所成角的大小. (2)证明：平面. 16．（15分） 已知四棱锥的底面是梯形，底面ABCD，且，．    (1)求证：平面MBD； (2)求点C到平面MBD的距离； (3)求直线PB与平面MBD所成角的正弦值． 17．（15分） 如图，在三棱柱中，平面，，点分别在棱和棱上，且为棱的中点.    (1)求证：； (2)求二面角的余弦值. 18．（17分） 已知空间直角坐标系中四个点的坐标分别为：，，，. (1)若，求x的值； (2)若点在平面上，求x的值. 19．（17分） 在平行四边形中（如图1），为的中点，将等边沿折起，连接，且（如图2）. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)点在线段上，若点到平面的距离为，求平面与平面所成角的余弦值. 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第6章 空间向量与立体几何单元测试卷（基础篇） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【解析】对于A，因为，所以，，共面，故A错误； 对于B，，故，，共面，故B错误； 对于C，因为，所以，，共面，故C错误； 对于D，假设三个向量共面，则存在实数，，使得成立， 则显然方程组无解，所以，，不共面，故D正确. 故选：D. 2．，，若则（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【解析】因为，，，所以存在,，所以 故选：C. 3．长方体中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 由向量的运算法则得，, 代入，，， 所以. 故选：A 4．已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，所以， 且，， 故向量在向量上的投影向量为． 故选：A 5．已知空间向量，（其中，），若，则最小值是（   ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【解析】因为，且，则， 所以，即， 所以， 当且仅当时等号成立. 故选：D. 6．在棱长为2的正方体中，M，N分别是棱CD，AD的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据题意，建立如图所示的空间直角坐标系， 因为在棱长为2的正方体中，M，N分别是棱CD，AD的中点， 可知，，，，，，，， 所以，， 所以， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 故选：D. 7．如图，在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是，在下列结论中错误的是（    ） A． B． C． D．向量与的夹角是 【答案】D 【解析】对于A，在平行六面体中，根据向量加法的三角形法则，， 由于，，所以，选项A正确. 对于B，已知以顶点为端点的三条棱长均为，且它们彼此的夹角都是. ，则 .所以，选项B正确. 对于C，， ， 因为，所以，选项C正确. 对于D，，设向量与的夹角为 ， ， 所以，选项D错误. 故选：D. 8．如图，二面角的大小为，点A，B分别在半平面，内，于点C，于点D．若，，．则（    ）    A． B．6 C． D． 【答案】C 【解析】解法一：在内过点C作，且，连接，， 所以为二面角的平面角. 易知平面，而四边形为矩形，所以， 故平面，因而， ， ； 解法二：由，， 得，，． 因为， 所以， 则， 解得，． 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．给出下列命题，其中正确的有（   ） A．若非零空间向量，，满足，，则有 B．若三个非零向量，，不能构成空间的一个基底，则，，必定共面 C．若两个非零向量，与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则，共线 D．已知是空间向量的一个基底，则也是空间向量的一个基底 【答案】BCD 【解析】当非零空间向量，，时， 满足，，但与不平行，A错误； 三个非零向量，，不能构成空间的一个基底，则它们必共面，B正确； 能构成空间的一个基底的向量必须是不共面的三个向量， 由于非零向量，与任何一个向量都不能构成空间的一个基底， 即向量，与任何一个向量均共面，则，必共线，C正确； 若，，共面，则， 可知，，共面，与为空间向量的一个基底相矛盾， 故可以构成空间向量的一个基底，D正确， 故选：BCD． 10．已知向量，则下列结论正确的是（    ） A．向量与向量的夹角为 B． C．向量在向量上的投影向量为 D．向量与向量共面 【答案】BD 【解析】对于A，，则， 而，因此，A错误； 对于B，，则，，B正确； 对于C，向量在向量上的投影向量为：，C错误； 对于D，由向量，得，向量与向量共面，D正确. 故选：BD 11．已知在三棱台中，平面，，，．以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，如图所示，则（    ） A． B． C．异面直线与所成角的余弦值为 D．点到直线的距离为 【答案】ABD 【解析】根据题意可得，，，则，故A正确； ，，， 则， 因为，所以，故B正确； ，，则，，设异面直线与所成的角为， 则，故C错误； ，则点到直线的距离为，故D正确． 故选：ABD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知空间向量，若共面，则实数 【答案】1 【解析】空间向量共面，则存在实数对使得， 即，则，解得. 故答案为：1. 13．在正四面体中，棱长为3，点在棱上，且，则 . 【答案】 【解析】 . 故答案为：. 14．已知正方体的棱长为1，若动点在线段上运动，则的最大值是 ． 【答案】1 【解析】依题意，设，其中， . 因此的最大值是1. 故答案为：1. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 如图在边长是4的正方体中，，分别为AB，的中点.    (1)求异面直线EF与所成角的大小. (2)证明：平面. 【解析】（1）以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 得，，，，，， 所以，， ， 所以异面直线EF与所成角为； （2）设平面的法向量为， ，， 所以，所以，解得， 令，则，所以平面的法向量为， 因为，所以，所以， 所以平面. 16．（15分） 已知四棱锥的底面是梯形，底面ABCD，且，．    (1)求证：平面MBD； (2)求点C到平面MBD的距离； (3)求直线PB与平面MBD所成角的正弦值． 【解析】（1）连接AC与BD交于点E，连接ME， 因为，，所以，所以． 又，故，所以． 又平面MBD，平面MBD， 所以平面MBD （2）由已知得PD，AD，CD两两垂直， 以DA，DC，DP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 则，，，，又， 故 由已知得，， 设平面BDM的法向量，则，， 即，取，则，，故 设点C到平面MBD的距离为h，则 （3）由（2）知平面BDM的法向量为， 故 所以直线PB与平面MBD所成角的正弦值为 17．（15分） 如图，在三棱柱中，平面，，点分别在棱和棱上，且为棱的中点.    (1)求证：； (2)求二面角的余弦值. 【解析】（1）由于,故建立如图所示的空间直角坐标系，则, , 故， 故，因此 （2）由于平面，故平面的一个法向量为， 设平面的一个法向量为， , 故，令，则， 设二面角的平面角为，由图可知为钝角， 故 18．（17分） 已知空间直角坐标系中四个点的坐标分别为：，，，. (1)若，求x的值； (2)若点在平面上，求x的值. 【解析】（1）， 由于，所以， 解得． （2）， 设，即,,,,,,， 所以，解得，，． 19．（17分） 在平行四边形中（如图1），为的中点，将等边沿折起，连接，且（如图2）. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)点在线段上，若点到平面的距离为，求平面与平面所成角的余弦值. 【解析】（1）连接， 在中，， ， 在中，， 同理可得：， 平面 （2）设为的中点，， 平面平面， 平面平面， 又平面平面平面， 平面以点为坐标原点，为轴，为轴，过点且平行于的直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系， ， ， 设平面的法向量为， ，， 取， 设直线与平面所成角为， （3）设， ，， 设点到平面的距离为， ， ， 是线段上靠近点的三等分点，易求平面的法向量为， 设平面的法向量为， ， . 取， 设平面与平面所成的角为， . 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$