第6章 空间向量与立体几何单元测试卷（提升篇）-【帮课堂】2024-2025学年高二数学同步学与练（苏教版2019选择性必修第二册）

第6章 空间向量与立体几何单元测试卷（提升篇） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．如图，空间四边形中，，，，点M在线段上，且，点N为中点，则（    ） A． B． C． D． 2．在平行六面体中，点分别在棱上，且.若，则（    ） A． B． C． D． 3．已知三个向量共面，则（    ） A． B． C． D． 4．如图，在平行六面体中，，，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 5．在棱长为4的正方体中，分别是棱，的中点，过作平面，使得，则点到平面的距离是（    ） A． B． C． D． 6．如图，在三棱柱中，与相交于点O，，，，，则线段的长度为（   ） A． B． C． D． 7．在四棱锥中，底面为正方形，底面分别为的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 8．正方体的棱长为3，平面内一动点满足，当三棱锥的体积取最大值时，该三棱锥外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法正确的是（    ） A．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面 B．空间中任意两个单位向量必相等 C．已知空间三点，，在一条直线上，则实数的值是 D．若，则为钝角 10．已知正方体的棱长为1，动点分别在棱和线段上，满足平面，则（    ） A．到平面的距离有最大值 B．到平面的距离有最小值 C．两点距离有最大值1 D．两点距离有最小值 11．如图，在正方体中，点P在线段上运动，则下列结论正确的是（   ） A．直线平面 B．三棱锥的体积为定值 C．异面直线与所成角的取值范围是 D．直线与平面所成角的正弦值的最大值为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知直线过点，且直线的一个方向向量为，则坐标原点到直线的距离为 . 13．已知点为三棱锥的底面所在平面内的一点，且，其中，，则的最大值为 ． 14．在长方体中，为棱上的动点（不与重合），在直线上的点满足.给出下列四个结论： ①； ②为定值； ③存在点，使得平面平面； ④存在点，使得点到平面的距离为2. 其中所有正确结论的序号是 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 如图所示，平行六面体中，，，，． (1)求； (2)求的长度． 16．（15分） 如图，长方体 中， ，点 在线段 上，且 . (1)求证: 平面 ; (2)求点 到平面 的距离; (3)求平面 和平面 夹角的余弦值. 17．（15分） 如图所示的几何体中，底面是菱形，，平面，，，且平面平面.    (1)在线段上是否存在点，使得四点共面？若存在，请给出证明；若不存在，请说明理由. (2)若，求二面角的余弦值. 18．（17分） 如图，四边形是正方形，四边形是直角梯形且，，，，，，的中点分别为，，. (1)画出过点，，的截面（不必写出证明过程）； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)若是（1）中过点，，的截面上一点，二面角的余弦值为，求满足题意的点轨迹的长度. 19．（17分） 如图，等腰直角三角形中，，是中点，、分别是、边上的动点，且，将沿折起，将点折至点的位置，得到四棱锥. (1)求证：； (2)若，二面角是直二面角，求平面与平面夹角的余弦值； (3)当时，是否存在这样的点，使得二面角为，且直线与平面所成角为，若存在，求出的长，若不存在，请说明理由. 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第6章 空间向量与立体几何单元测试卷（提升篇） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．如图，空间四边形中，，，，点M在线段上，且，点N为中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意可得： 故选：D. 2．在平行六面体中，点分别在棱上，且.若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为， 所以 ， 因为，所以，故. 故选：A 3．已知三个向量共面，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为共面，所以设，所以，解得， 故选：C. 4．如图，在平行六面体中，，，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设， ， . ，. ， 异面直线与所成角的余弦值. 故选：D. 5．在棱长为4的正方体中，分别是棱，的中点，过作平面，使得，则点到平面的距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】如图所示： 以原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系， ， ， 设平面的一个法向量为， ， ， 则，令，则， 即为平面的一个法向量， 点到平面的距离. 故选：D 6．如图，在三棱柱中，与相交于点O，，，，，则线段的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意可知，四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ，，则线段的长度为． 故选：A． 7．在四棱锥中，底面为正方形，底面分别为的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】建立如图所示空间直角坐标系，设， 则，，，， 由分别为的中点，则，， 则，，, 设平面的法向量为， 则，设，则， 所以平面的法向量为， 设直线与平面所成角为， . 故选：C. 8．正方体的棱长为3，平面内一动点满足，当三棱锥的体积取最大值时，该三棱锥外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图，以点为原点建立空间直角坐标系， ，，，由可知， ， 整理为， 所以点的轨迹是平面内，以为圆心，2为半径的圆， 如下图，点到平面的最大值为6，此时点在的延长线上，且， 所以平面，， 等腰直角三角形的外接圆的半径为， 所以三棱锥的外接球的半径， 所以三棱锥外接球的表面积 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法正确的是（    ） A．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面 B．空间中任意两个单位向量必相等 C．已知空间三点，，在一条直线上，则实数的值是 D．若，则为钝角 【答案】AC 【解析】A：设是空间三个向量，其中共线，则存在不全为零的实数使得，于是，其中的系数不全为零，所以这三个向量一定共面，故A对； B：相等向量是方向和模长都相同的向量，单位向量长度相同，但方向不一定相同，故B错； C：由题设，，则，可得，故C对； D：若反向共线时，但此时不为钝角，故D错. 故选：AC 10．已知正方体的棱长为1，动点分别在棱和线段上，满足平面，则（    ） A．到平面的距离有最大值 B．到平面的距离有最小值 C．两点距离有最大值1 D．两点距离有最小值 【答案】AD 【解析】如图建立空间直角坐标系， 过点作交于点，过作交于点， 则平面平面，故，过作交于点． 所以到平面的距离就是到平面的距离， 当与重合时，有最大距离为，无最小距离，故A正确B错误． 设，，则，所以， 故， 当时，，无最大值，故C错误D正确． 故选：AD 11．如图，在正方体中，点P在线段上运动，则下列结论正确的是（   ） A．直线平面 B．三棱锥的体积为定值 C．异面直线与所成角的取值范围是 D．直线与平面所成角的正弦值的最大值为 【答案】ABD 【解析】A项，如图，连接. ，，， 且平面， 平面，平面， ，同理，， ，且平面， 直线平面，故A正确； B项，，且， 四边形是平行四边形. ，平面，平面， 平面，点P在线段上运动， 到平面的距离，即点到平面的距离，其为定值， 又的面积是定值， 三棱锥的体积为定值. 不妨设正方体的棱长为1， 则， 即三棱锥的体积为定值，故B正确； 如图，以为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系. 点P在线段上运动，则可设， 则. C项，，． 所以， ， 因为，则，， ，因为异面直线与所成角为锐角或直角， 故与所成角的取值范围为，故C错误； D项， ，． 由A选项正确，可知是平面的一个法向量， ∴直线与平面所成角的正弦值为 ， ∴当时，直线与平面所成角的正弦值的最大值为，故D正确． 故选：ABD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知直线过点，且直线的一个方向向量为，则坐标原点到直线的距离为 . 【答案】 【解析】由题设，则坐标原点到直线的距离. 故答案为： 13．已知点为三棱锥的底面所在平面内的一点，且，其中，，则的最大值为 ． 【答案】// 【解析】由空间向量共面定理可得，即， 又，解得， 当且仅当时等号成立， 即的最大值为. 故答案为：. 14．在长方体中，为棱上的动点（不与重合），在直线上的点满足.给出下列四个结论： ①； ②为定值； ③存在点，使得平面平面； ④存在点，使得点到平面的距离为2. 其中所有正确结论的序号是 . 【答案】①④ 【解析】在长方体中，，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，设， ，由，得，解得， 对于①，，，因此，①正确； 对于②，， 不是常数，因此不为定值，②错误； 对于③，由平面，得平面， 即平面的一个法向量为，设平面的法向量， 则，令，得，，即不垂直， 因此不存在点，使得平面平面，③错误； 对于④，点到平面的距离，若， 则，整理得，解得， 因此存在点，使得点到平面的距离为2，④正确， 所以所有正确结论的序号是①④. 故答案为：①④ 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 如图所示，平行六面体中，，，，． (1)求； (2)求的长度． 【解析】（1）在平行六面体中，． 因为，，，，， 所以，， ， 则 ． （2）因为， 所以 ， 则． 16．（15分） 如图，长方体 中， ，点 在线段 上，且 . (1)求证: 平面 ; (2)求点 到平面 的距离; (3)求平面 和平面 夹角的余弦值. 【解析】（1）建立如图所示的空间直角坐标系， ， 设平面的法向量为， ，， 则有， 显然，因此 平面 ； （2）由， 设点 到平面 的距离为，则有 （3）平面的法向量为， ， 则有， 设平面 和平面 夹角为， 则有. 17．（15分） 如图所示的几何体中，底面是菱形，，平面，，，且平面平面.    (1)在线段上是否存在点，使得四点共面？若存在，请给出证明；若不存在，请说明理由. (2)若，求二面角的余弦值. 【解析】（1）线段上存在点，且为的中点，使得四点共面.证明如下： 连接.∵四边形是菱形，. 又平面，平面，. 又，平面，平面. 连接.∵为的中点，，. 又平面平面，平面平面，平面，平面. ，（垂直于同一个平面的两条直线互相平行）， ∴在线段上存在点，且为的中点，使得四点共面. （2）取的中点，连接，设交于点，连接，， 则，且. 平面，平面. 又，∴以为原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系. ∵底面是菱形，，，. ，. 由（1）知，∴四边形是矩形，， ∴，，，， ，，. 设平面的法向量为， 则，即， 取，则. 设平面的法向量为， 所以，即， 取，则. ， 由图易知二面角为钝角，所以二面角的余弦值为. 解法二：设二面角的大小为，由平面平面，可得二面角的大小为，则. 连接，设与的交点为，过点作于点，连接，由（1）知平面，则，又，所以平面，所以， 则为二面角的平面角. 易知，，，所以， 所以， 所以二面角的余弦值为. 18．（17分） 如图，四边形是正方形，四边形是直角梯形且，，，，，，的中点分别为，，. (1)画出过点，，的截面（不必写出证明过程）； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)若是（1）中过点，，的截面上一点，二面角的余弦值为，求满足题意的点轨迹的长度. 【解析】（1）取中点，连接，则五边形为过，，的截面， 理由，因为，，的中点分别为，，. 所以，又平面，平面， 所以平面，平面， 又，且平面，所以平面平面， 由平面平面，所以，又的中点. 所以为的中点，同理可得为的中点. （2）由（1）可知直线与平面所成的角即为直线与平面所成的角， 由题意可得，，平面， 所以平面，所以为直线与平面所成的角， 由，，可得，又， 所以，又，所以， 所以，所以直线与平面所成角的正弦值为； （3）以为坐标原点，为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系， 设，则， 所以， 设平面的法向量为， 则，令，则，， 所以平面的一个法向量为， 又平面，所以平面的一个法向量为， 又因为二面角的余弦值为， 所以， 所以，两边平方得， 所以，解得或（舍去）， 当时，，当，， 所以满足题意的点轨迹的长度为. 19．（17分） 如图，等腰直角三角形中，，是中点，、分别是、边上的动点，且，将沿折起，将点折至点的位置，得到四棱锥. (1)求证：； (2)若，二面角是直二面角，求平面与平面夹角的余弦值； (3)当时，是否存在这样的点，使得二面角为，且直线与平面所成角为，若存在，求出的长，若不存在，请说明理由. 【解析】（1）∵，， ∴，即，， ∵，，平面，∴平面， ∵平面，∴. （2）∵二面角是直二面角，∴平面平面， ∵平面平面，，平面，∴平面， 如图，以，，分别为，，轴建立空间直角坐标系， 设，则，，，，， ∴，. 设平面法向量为， ，令，则，，故， 由题意得，平面法向量为， 设平面与平面的夹角为， 则. （3） 分别以、所在直线分别为轴、轴，过作平面的垂线为轴，建立如图空间直角坐标系， 设，则，，，， 由（1）得，二面角的平面角为，即，故， ∴，. 由题意得，平面的法向量为， ，解得， ∴存在点，. 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$