四川省成都市锦江区嘉祥外国语高级中学2024-2025学年高三上学期周练数学试题（12月29日）

成都市锦江区嘉祥外国语高级中学高2022级高三上周练数学试题（12月29日） 参考答案 1-8. ADCDCCAD 9.AC 10. ABC 11． 【答案】BCD 【详解】对于选项A，沿等路线即可，故A错误； 对于选项B，若存在重复路线，两次移动回到点可以第一次移动到达点，，C，第三次移动再从这些移动方式中选，共有9种走法，另外可以先移动两次再原路返回，第一次移动可能到达点，，C，每个点在第二次移动时都有两种移动方式，故有6种方式；若不存在重复路线，经过点C由四条棱组成的闭合回路只有和两种，每条路都有两种经过方式，共有4种方式；所以概率为，故B正确； 对于选项C，列举法：，，，，，故共有5条不同笔记，故C正确； 对于选项D，先考虑重复路线：前两条路线重复，第一次移动到达点，，C共３条路径；后两条路径重复（即第一次移动到点）同理有３条路径，其中重复，故共只有5条路径； 再考虑不重复路径：只有，1条路径，∴三次移动后到达点A有6条路径.记事件：从点出发，三次移动后到达点；事件C：从点出发，三次移动时经过点C，故，，故，故D确. 故选：BCD. 12. 45 13. 1 14．【答案】 【详解】， 记，在定义域上单调，可得必为单调函数. 若单调递增，则恒成立，即， ∴.又函数在时值趋近于0，不满足.若单调递减，则恒成立，即，即，∴，设，，则， 当时，不成立；当时，，∴在区间上单调递增，在区间上单调递减，∴，即，∴，即，解得. 15. 【答案】(1) (2) 16. 【答案】(1)； (2)乙建立的回归模型拟合效果更好. 【详解】（1）将两边取对数得：，令，则，因为， 所以根据最小二乘估计可知：，所以， 所以回归方程为，即. （2）甲建立的回归模型的. 所以乙建立的回归模型拟合效果更好. 17． 【答案】(1)证明见解析 (2)或 【详解】（1）因为四边形为平行四边形，且为等边三角形，所以． 又因为为的中点，则，所以为等腰三角形， 可得，，即， 因为平面平面，平面平面，平面， 则平面，且平面，所以． （2）取的中点，连接，因为为等边三角形，所以， 取的中点，则，由（1）得，所以， 所以即为二面角的平面角，记为． 以点为坐标原点，以，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系． 则，，因为，则， 可得；， 则点A到直线的距离为，由题意可得， 解得，或，所以二面角的平面角的余弦值为或． 18．【详解】（1）由题意得：解得，∴椭圆C的标准方程是． （2）①因为I为的内切圆圆心，则， 显然是锐角，当且仅当最大时，最大， 即须使最大，又，则须使最小， 在椭圆中，，，在中，由余弦定理， ． 当且仅当时取等号，即当时，为正三角形时，取得最大值，取最大值，此时的最大值为； ②由（1）知，由条件可知的斜率存在且不为0， 设l的方程为，则，令可得． 联立方程得，， 设，，则，， 由可得， 则有，解得，同理． ∴ ．故为定值． 19． 【答案】(1) (2) (3)不存在，理由见解析 【详解】（1），由可得，而因为为函数在区间上的“T点”，故. （2），因为函数在区间上恰有3个“T点”， 所以在上有三个不同的解， 故在上有三个不同的解，设，则， 则在上有两个不同的根，且其中有且只有一个根为或或， 若一个根为，则，此时另一个根为，此时有一根，在上有两个不同的解，故此时在上有三个不同的解； 若一个根为，则，此时另一个根为，同理可得在上有三个不同的解； 若一个根为，则，此时在上仅有一个根，舍；综上，. （3）， 若存在含“和谐T点”的区间，则， 其中， 整理得到：即， 设，故，设， 则，故在上为增函数，故， 故，故不成立， 故函数的定义域内不存在一个包含“和谐T点”的区间 试卷第4页，共4页 试卷第3页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 成都市锦江区嘉祥外国语高级中学高2022级高三上周练数学试题（12月29日） （考试时间：120分钟 满分：150分） 注意事项： 1.在作答前，考生务必将自己的姓名、考号涂写在试卷和答题卡规定的地方。考试结束，监考人员只将答题卡收回，试卷请考生自己妥善保存. 2．选择题部分必须用2B铅笔填涂；非选择题部分必须使用0.5毫米黑色墨水签字笔书写，字体工整、笔迹清楚. 3.请按照题号在答题卡上各题目对应的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题均无效. 4.保持答题卡清洁，不得折叠、污染、破损等. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．“数列 为等差数列” 是 “ ”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 2．已知，则（   ） A． B． C． D． 3．在三棱锥中，若侧棱长均，且底面为直角三角形，斜边， 则三棱锥的外接球半径R为（   ） A． B． C．2 D．3 4．已知直线与圆交于两点，则的面积的最大值为（    ） A．1 B． C． D． 5．已知，则（    ） A．1 B． C． D．2 6．设数据1，2，3，4，5的第m百分位为，， 则集合M中元素的个数为（   ） A．5 B．6 C．9 D．100 7．在中，，若，，，则（    ） A． B． C． D． 8．对，不等式恒成立，则（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 二、选择题: 本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得6分, 部分选对的得部分分, 有选错的得0分. 9．已知复数，，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则的最小值为3 D．若且，则，均为纯虚数 10．已知函数的部分图象如图所示，则（   ） A．在区间上单调递增 B．图象的一条对称轴方程为 C．图象的一个对称中心为点 D．在区间上的值域为 11．甲同学想用一支铅笔从如图的直三棱柱的顶点出发沿三棱柱的棱逐步完成“一笔画”，即每一步均沿着某一条棱从一个端点到达另一个端点，紧接着从上一步的终点出发随机选择下一条棱再次画出，进而达到该棱的另一端点，按此规律一直进行，其中每经过一条棱称为一次移动，并随机选择某个顶点处停止得到一条“一笔画”路径，比如“一笔画”路径.若某“一笔画”路径中没有重复经过任何一条棱，则称该路径为完美路径，否则为不完美路径.下列说法正确的有（   ） A．若“一笔画”路径为完美路径，则甲不可能6次移动后回到点 B．经过4次移动后仍在点的概率为 C．若“一笔画”路径为完美路径，则5次移动后回到点有5条不同笔迹 D．经过3次移动后，到达点的条件下经过点C的概率为 三、填空题: 本题共3小题，每小题5分, 共15分. 12．某流水线上生产的一批零件，其规格指标X可以看作一个随机变量，且，对于的零件即为不合格，不合格零件出现的概率为0.05，现从这批零件中随机抽取500个，用Y表示这500个零件的规格指标X位于区间的个数，则随机变量Y的方差是 . 13．已知双曲线都经过点，离心率分别记为，设双曲线的渐近线分别为和.若，则 . 14．已知函数（其中，且）为其定义域上的单调函数，则实数的取值范围为 . 四、解答题: 本题共5小题, 共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．(本小题满分13分)已知数列的前项和为，. (1)求数列的通项公式； (2)在与之间插入n个实数，使这n+2个数依次组成公差为dn的等差数列，求数列的前n项和Tn. 16．(本小题满分15分)网络直播带货助力乡村振兴，它作为一种新颖的销售土特产的方式，受到社会各界的追捧.某直播间开展地标优品带货直播活动，其主播直播周期次数x（其中10场为一个周期）与产品销售额y（千元）的数据统计如下： 直播周期数x 1 2 3 4 5 产品销售额y（千元） 3 7 15 30 40 根据数据特点，甲认为样本点分布在指数型曲线的周围，据此他对数据进行了一些初步处理.如下表： 3.7 55 382 65 978 101 其中 (1)请根据表中数据，建立y关于x的回归方程； (2)乙认为样本点分布在直线的周围，并计算得回归方程为，以及该回归模型的决定系数，试比较甲、乙两人所建立的模型，谁的拟合效果更好？（精确到0.01） 附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，决定系数：. 17．(本小题满分15分)如图，已知四边形为平行四边形，为的中点，，．将沿折起，使点到达点的位置． (1)若平面平面，求证：； (2)若点A到直线的距离为，求二面角的平面角的余弦值． 18．(本小题满分17分)已知椭圆的左、右焦点分别为，两焦点与短轴的一个顶点构成等边三角形，点在椭圆上. (1)求椭圆的标准方程； (2)过点且斜率不为0的直线与椭圆交于两点，与直线交于点. ①设内切圆的圆心为，求的最大值； ②设，证明：为定值. 19．(本小题满分17分)对于函数图像上不同的三点（其中），记点M处的切线为l，若，则称M为函数在区间上的“T点”．特别地，当，则称M为函数在区间上的“和谐T点”． (1)设是函数在区间上的“T点”，若，求实数n的值； (2)设，若函数在区间上恰有3个“T点”，求所有满足条件的实数a的值组成的集合； (3)设，试探究函数的定义域内是否存在一个包含“和谐T点”的区间，若存在，求出该区间；若不存在，请说明理由． 试卷第2页，共4页 试卷第1页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 $$