精品解析：天津市第二南开学校2024-2025学年上学期九年级数学期末考试卷

九年级 数学 第Ⅰ卷 一．选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 1. 下列交通标志既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形；如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可． 【详解】解：A.不是轴对称图形，不是中心对称图形，故A选项不合题意； B. 不是轴对称图形，不是中心对称图形，故B选项不合题意； C. 是轴对称图形又是中心对称图形，故C选项合题意； D. 是轴对称图形，不是中心对称图形，故D选项不合题意； 故选：C． 2. 关于二次函数的性质，下列说法不正确的是（ ） A. 顶点是 B. 图象开口向上 C. 函数有最小值 D. 当时，y随x的增大而增大 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象、性质、最值，根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题． 【详解】解：∵二次函数， ∴图象的顶点坐标为，故选项A说法错误，符合题意； ∵， ∴函数的图象开口向上，故选项B说法正确，不符合题意； ∴函数的最小值为，故选项C说法正确，不符合题意； ∵对称轴为直线，函数的图象开口向上； ∴当时，y随x的增大而增大，故选项D说法正确，不符合题意； 故选：A． 3. “圆材埋壁”是我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题，“今有圆材，埋壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现在的数学语言表述是：如图所示，为的直径，，垂足为E，寸，寸，则直径长度是（ ） A. 12寸 B. 13寸 C. 24寸 D. 26寸 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查垂径定理、勾股定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键． 设的半径为，根据垂径定理得到，在中，利用勾股定理列出方程，求解半径，从而求出直径长度． 【详解】解：设的半径为， 、、， 为的直径，， ， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得， 寸． 4. 已知反比例函数的图象经过点，则该函数的图象位于（ ） A. 第一、三象限 B. 第二、三象限 C. 第二、四象限 D. 第三、四象限 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的图象性质是解题的关键．先根据图象经过的点的坐标求出值，再利用反比例函数图象的性质即可求解． 【详解】解：反比例函数的图象经过点， ， ， 该反比例函数的图象位于第二、四象限． 故选：C． 5. 计算的值为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查特殊三角函数及实数的运算，熟知特殊角的三角函数值及实数的运算法则是正确解决本题的关键． 把三角函数值代入再按实数混合运算法则计算即可． 【详解】解： ， 故答案为：D． 6. 若点，，在反比例函数的图像上，则x1，x2，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限，再根据A、B、C三点纵坐标的特点判断出三点所在的象限，由函数的增减性及四个象限内点的横纵坐标的特点即可解答． 【详解】解：∵反比例函数y＝中，k=12>0， ∴此函数的图象在一、三象限，在每一象限内y随x的增大而减小， ∵y1＜y2＜0＜y3， ∴． 故选B． 【点睛】本题比较简单，考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，解答此题的关键是熟知反比例函数的增减性． 7. 如图，是的直径，是的切线，切点为与的延长线交于点C，若，，则的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质，圆周角定理，含角直角三角形的三边关系，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 连接，先根据圆周角定理得到，再利用含角的直角三角形的三边关系得出，，再证明，再根据切线的性质得出，再求出的长，最后计算． 【详解】解：如图，连接， ∵是的直径， ∴， 在中， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选： D． 8. 已知抛物线先向左平移h个单位长度，再向下平移k个单位长度，得到的抛物线的解析式为，则h和k的值分别为（ ） A. 1，3 B. 3， C. 1， D. 3， 【答案】A 【解析】 【分析】根据抛物线的平移规律，原抛物线顶点为，平移后的顶点为，通过比较顶点坐标的变化确定平移步骤. 【详解】解：由题可知，原抛物线解析式为，顶点坐标为. 平移后的抛物线解析式为，顶点坐标为. 观察可得：顶点横坐标从变为， 即向左平移了个单位， ∴； 顶点纵坐标从变为， 即向下平移了个单位， ∴； 综上，，. 故选：A. 【点睛】本题主要考查了二次函数图象与几何变换．关键是将抛物线的平移问题转化为顶点的平移，用顶点式表示抛物线解析式． 9. 如图，内接于，则劣弧的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，勾股定理及弧长公式，解题的关键是连接辅助线求出弧所对的圆心角度数．连接，，根据圆周角定理求出圆心角，求出，根据弧长公式求解即可． 【详解】解：连接，， ， ， ，， ， 劣弧的长为， 故选：A． 10. 我们都知道蜂巢是很多个正六边形组合来的．正六边形蜂巢的建筑结构密合度最高、用材最少、空间最大、也最为坚固．如图，某蜂巢的房孔是边长为6的正六边形，若的内接正六边形为正六边形，则的长为（ ） A. 12 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意可得，则，再根据平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦可得，，再根据可得是等边三角形，则，最后结合三角函数即可求解． 【详解】解：连接，交于点M，连接， ∵六边形是的内接正六边形， ∴，， ∴， ∵经过圆心O， ∴，， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵在中，，，， ∴， ∴， 故选C． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质、三角函数综合和圆周角定理，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键． 11. 如图，在等边三角形中，有一点P，连接、、，将绕点B逆时针旋转得到，连接、，有如下结论：①；②是等边三角形；③如果，那么．以上结论正确的是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 【答案】D 【解析】 【分析】①根据等边三角形的性质得出，，根据旋转的性质得出，即可求证；②根据旋转的性质得出，即可证明是等边三角形；③根据等边三角形的性质得出根据全等三角形的性质得出，则，即可推出． 【详解】解：①∵是等边三角形， ∴，， ∵绕点B逆时针旋转得到， ∴， ∴，即， ∵， ∴，故①正确，符合题意； ②∵绕点B逆时针旋转得到， ∴， ∴是等边三角形，故②正确，符合题意； ③∵是等边三角形， ∴ ∵，， ∴， ∴， ∴，故③正确，符合题意； 综上：正确的有①②③， 故选：D． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键的掌握旋转前后对应边相等；全等三角形的判定方法以及全等三角形对应角相等；等边三角形的判定方法以及等边三角形三个角都是60度；直角三角形两直角边平方和等于斜边平方． 12. 已知二次函数图象的对称轴为直线，部分图象如图所示，下列结论中：①；②；③；④若t为任意实数，则有；⑤当图象经过点时，方程的两根为，则，其中正确的结论有（ ） A. ①②③ B. ②③⑤ C. ②③④ D. ②③④⑤ 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．根据抛物线开口方向，与轴的交点位置分别得到，，再利用对称轴得到，即可判断①；根据抛物线与轴有两个交点，即可判断②；当时，，得到，再结合和，即可判断③；当时，有最小值即可判断④；当图象经过点时，利用二次函数的对称性可得图象也经过点，进而得到，，即可判断⑤． 【详解】解：由图象可知，抛物线开口向上，与轴交于负半轴， ，， 抛物线对称轴为直线， ，即， ，故①错误； 由图象可知，抛物线与轴有两个交点， ，故②正确； 由图象可知，当时，， ， 又， ， ， ，故③正确； 由图象可知，当时，有最小值， （t为任意实数）， ，故④正确； 抛物线对称轴为直线，当图象经过点时， 由二次函数对称性得，图象也经过点， 的图象与直线的交点为和， 即方程的两根为和， 又方程的两根为， ，， ，故⑤错误； 综上所述，正确的结论②③④． 故选：C． 二．填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 13. 将二次函数化成的形式，结果为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了把二次函数的解析式的一般式化为顶点式，解决本题的关键是利用配方法整理即可．把二次函数的解析式凑成完全平方式，得到，再用完全平方公式分解因式可得． 【详解】解：， 配方得：， 分解因式得：． 故答案为： ． 14. 有四枚材质、大小、背面图案完全相同的中国象棋棋子“”“”“”“”，将它们背面朝上任意放置，从中随机翻开一枚，恰好翻到棋子“”的概率是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了概率，熟练掌握概率公式是解本题的关键．概率所求情况数与总情况数之比． 根据概率公式计算即可． 【详解】解：∵共有4枚棋子， ∴从中任意摸出一张，恰好翻到棋子“”的概率是． 故答案为： 15. 一个圆锥的侧面展开图是半径为，圆心角为的扇形，则此圆锥底面圆的半径为________________． 【答案】3 【解析】 【分析】设该圆锥底面圆的半径为，则可根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和弧长公式得到，然后解方程即可． 【详解】解：设该圆锥底面圆的半径为， 根据题意得，解得， 即该圆锥底面圆的半径为3． 故答案为：3． 【点睛】本题主要考查圆锥的底面半径，掌握弧长公式是关键． 16. 点F是正五边形边的中点，连接并延长与延长线交于点G，则的度数为______． 【答案】##18度 【解析】 【分析】连接，，根据正多边形的性质可证，得到，进而得到是的垂直平分线，即，根据多边形的内角和公式可求出每个内角的度数，进而得到，再根据三角形的内角和定理即可解答． 【详解】解：连接，， ∵五边形是正五边形， ∴， ∴， ∴， ∵点F是的中点， ∴是的垂直平分线， ∴， ∵在正五边形中，， ∴， ∴． 故答案为： 【点睛】本题考查正多边形的性质，内角，全等三角形的判定及性质，垂直平分线的判定，三角形的内角和定理，正确作出辅助线，综合运用相关知识是解题的关键． 17. 如图，矩形中，，点E在上，且，点F在边上运动，以线段为斜边在点B的异侧作等腰直角三角形，连接，当最小时，的值为__． 【答案】 【解析】 【分析】如图1，取的中点O，连接，作射线，证明B，E，G，F在以O为圆心的圆上，得点G在的平分线上，当时，最小，此时，画出图2，根据是以为斜边的等腰直角三角形，证明，可得，设，根据，可得，根据含30度角的直角三角形可得，进而可得结论． 【详解】解：如图1，取的中点O，连接，作射线， ∵四边形是矩形， ， ∵O是的中点， ， ，O是的中点， ， ， ∴B，E，G，F在以O为圆心的圆上， ， ， ， ， 平分， ∴点G在的平分线上， ∴当时，最小， 此时，如图2， 平分， ∴， ， 是以为斜边的等腰直角三角形，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ∵四边形是矩形， ， 设， ∵， ∴， 在中，， ， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题属于几何综合题，是中考选择题的压轴题，考查了矩形的性质，四点共圆，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质，垂线段最短，含30度角的直角三角形，解决本题的关键是准确作辅助线综合运用以上知识． 18. 如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，圆上的点，均在格点上． （1）线段的长等于________； （2）若点，分别在圆上，满足且．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点，，并简要说明点，的位置是如何找到的（不要求证明）________． 【答案】 ①. ②. 取格点，连接，，与圆相交于点，；连接，连接与相交于点；连接并延长，与相交于点，则点，即为所求 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理即可求解； （2）首先取格点，连接，，与圆相交于点，；连接，可证得，可得，连接与相交于点，再根据圆周角定理，可得与为直径，点O为圆心，连接并延长，与相交于点，则点，即为所求． 【详解】解：（1）， 故答案为：； （2）如图：取格点，连接，，与圆相交于点，；连接，连接与相交于点；连接并延长，与相交于点，则点，即为所求． 证明：在与中， ， ， ， ， 与为直径，点O为圆心， 为直径， ， 点，即为所求， 故答案为：取格点，连接，，与圆相交于点，；连接，连接与相交于点；连接并延长，与相交于点，则点，即为所求． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，圆周角定理，证得与是圆的直径是解决本题的关键与． 第Ⅱ卷 三．解答题（本大题共7小题，共66分） 19. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何值，方程都有两个不相等的实数根； （2）如果方程的两个实数根为，且，求的值． 【答案】（1） 证明：， ∵无论取何值，，恒成立， ∴无论取何值，方程都有两个不相等的实数根． （2）或． 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，解一元二次方程，掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． （1）根据根的判别式证明恒成立即可； （2）由题意可得，，，进行变形后代入即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵是方程的两个实数根， ∴，， ∴， 解得：或． 20. 如图，已知抛物线经过两点． （1）求抛物线的解析式和顶点坐标； （2）当时，直接写出的取值范围； （3）点为抛物线上一点，若，求出此时点的坐标． 【答案】（1）， （2） （3）点的坐标为或 【解析】 【分析】（1）由题意，根据抛物线的交点式表示解析式，再将交点式转化为顶点式即可得到答案； （2）由抛物线的图象与性质可知，当时，在对称轴处取最小值，再比较当与时的函数值即可得到的取值范围； （3）由平面直角坐标系中三角形面积得到，解方程得或，分类将其代入抛物线解析式解一元二次方程即可得到答案． 【小问1详解】 解：抛物线经过两点， 抛物线解析式为， 则抛物线的顶点坐标为； 【小问2详解】 解：由（1）知，抛物线的解析式为， 抛物线开口向上，对称轴为， 当时，在对称轴处取最小值，则； 当时，；当时，； 当时，的取值范围是； 【小问3详解】 解：如图所示： ， ， ， ， ， 解得或， 当时，代入抛物线的解析式为，得， 解得或， 则此时点的坐标为或； 当时，代入抛物线的解析式为，得， 此方程无解； 综上所述，点的坐标为或． 【点睛】本题考查二次函数综合，涉及求二次函数解析式、二次函数图象与性质、求函数值的范围、平面直角坐标系中三角形面积、直接开平方法解一元二次方程，熟记二次函数图象与性质，数形结合是解决问题的关键． 21. 一名在校大学生利用“互联网+”自主创业，销售一种产品，这种产品的成本价元/件，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的销售价不高于元/件，市场调查发现，该产品每天的销售量（件）与销售价（元/件）之间的函数关系如图所示． （1）求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （2）求每天的销售利润（元）与销售价（元/件）之间的函数关系式，并求出每件销售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？ （3）如果每天获得元的利润，销售单价为多少元？ 【答案】（1）；（2），当销售单价为16元时，利润最大，最大值为144元；（3）14元 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解可得关于x的函数解析式； （2）根据“总利润==每件的利润销售量”可得函数解析式，将其配方成顶点式，利用二次函数的性质进一步求解可得． （3）将代入即可求解． 【详解】（1）设与的函数解析式为， 将、代入，得：， 解得：， 所以与的函数解析式为； （2）根据题意知 ， 当时，随的增大而增大， 当时，取得最大值，最大值为， （3）根据题意知， ，（舍去） 答：销售单价为元 【点睛】本题是一道二次函数的综合题，考查了用待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式． 22. 如图，是的直径，是上的一点，且于点，点是的中点，连接交于，连接，． （1）的度数为 度． （2）求证：； （3）过点C作于点，若，求的长． 【答案】（1） （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）由圆周角定理及弧中点性质可得答案； （2）根据等腰三角形的判定，判断，即可证明； （3）利用（1）、（2）的结论，再证明出是等腰直角三角形即可． 【小问1详解】 解：如图，连接， ， ， 是的中点， ， ， ， ， 故答案为：． 【小问2详解】 为直径， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【小问3详解】 ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了圆的相关概念性质的应用，等腰直角三角形的性质及勾股定理的计算是解题关键． 23. 如图，某校数学兴趣小组要测量建筑物的高度，测角仪的高度为米．他们在点C测得楼顶A的仰角为，前行米到达F点，这时在点E处测得楼顶A的仰角为，求建筑物的高度（结果保留整数）．参考数据： ． 【答案】20 【解析】 【分析】如图：由题意可得：，设,再解直角三角形表示出、的长，再根据求得的长，最后根据即可解答． 【详解】解：如图：由题意可得：，设， 在中，,即； 在中，,即； 又∵， ∴，解得：， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，发现直角三角形并正确的运用三角函数解直角三角形是解答本题的关键． 24. 如图1，在中，，，点、分别在边、上，，连接，点、、分别为、、的中点． （1）观察猜想：图1中，线段与的数量关系是 ，位置关系是 ； （2）探究证明：把绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接，，，判断的形状，并说明理由； （3）拓展延伸：把绕点A在平面内自由旋转，若，，直接写出面积的最大值． 【答案】（1）， （2）是等腰直角三角形 （3） 【解析】 【分析】（1）根据三角形中位线定理得，，，，从而得出，； （2）首先利用证明，得，，再由（1）同理说明结论成立； （3）先判断出最大时，的面积最大，进而求出，，即可得出最大，最后用面积公式即可得出结论． 【小问1详解】 解：点，是，的中点， ，， 点，是，的中点， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：是等腰直角三角形． 理由如下：由旋转知，， ，， ， ，， 利用三角形的中位线得，，， ， 是等腰三角形， 同（1）的方法得，， ， 同（1）的方法得，， ， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形； 【小问3详解】 解：如图，同（2）的方法得，是等腰直角三角形，连接， ∵， ∴当点三点共线时，最大， 如图： 最大时，的面积最大， 最大， 在中，，， ∴由勾股定理得：， ∵点M为中点， ， 在中，，同上可求， ， 同上可得：， ∴， ． 【点睛】本题是几何变换综合题，主要考查了等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形中位线定理，三角形的三边关系和旋转的性质等知识，证明是等腰直角三角形是解题的关键． 25. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C，点在抛物线上，点P是抛物线上一动点． （1）求该抛物线的解析式； （2）连接，若上方抛物线上有一点P，且P到直线的距离为，求点P的坐标； （3）如下图，连接，抛物线上是否存在点P，使？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在，点的坐标为或 【解析】 【分析】（1）代入和，直接利用待定系数法求解即可； （2）先求出点的坐标，得到的解析式，作交于点，轴交轴于点，交于点，通过证明是等腰直角三角形，得出，再设点P的坐标为，表示出的长度，解方程求出的值即可解答； （3）将绕点顺时针方向旋转至，可得，，则，进而得到的解析式，结合图形和题意可知直线上存在符合题意的点，联立抛物线和直线的解析式得到一个点的坐标；连接、，过点作交于点，通过证明得到，结合图形和题意可知直线上也存在符合题意的点，再根据点在抛物线上可知点与点重合，得到另一个点的坐标，即可得出结论． 【小问1详解】 解：代入和，得， 解得：， 抛物线的解析式为． 【小问2详解】 解：令，则， ， ， ， ， 又， ， 设直线的解析式为， 代入和，得， 解得：， 直线的解析式为； 作交于点，轴交轴于点，交于点， 轴， 轴， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， 由题意得，， ， 设点P的坐标为，则点N的坐标为， ， 解得：， ， 点P的坐标为． 【小问3详解】 解：存在，理由如下： 令，则， 解得：，， ， 如图，将绕点顺时针方向旋转至，则，， ， 由（2）中的结论得，， ， ， 直线上存在符合题意的点， 设直线的解析式为， 代入和得，， 解得：， 直线的解析式为， 联立， 解得：或， ； 如图，连接、，过点作交于点， ，， 轴， ，， ，，， ， ， 是等腰直角三角形， ， ，， ，， 又， ， ， ， ， 直线上也存在符合题意的点， 又点在抛物线上， 点与点重合，即； 综上所述，点P的坐标为或． 【点睛】本题是二次函数的综合题，主要考查了待定系数法求二次函数解析式、等腰直角三角形的判定与性质、旋转变换、全等三角形的判定与性质，熟练掌握相关知识的联系与运用，学会利用数形结合思想和正确添加辅助线求解是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级 数学 第Ⅰ卷 一．选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 1. 下列交通标志既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 关于二次函数的性质，下列说法不正确的是（ ） A. 顶点是 B. 图象开口向上 C. 函数有最小值 D. 当时，y随x的增大而增大 3. “圆材埋壁”是我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题，“今有圆材，埋壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现在的数学语言表述是：如图所示，为的直径，，垂足为E，寸，寸，则直径长度是（ ） A. 12寸 B. 13寸 C. 24寸 D. 26寸 4. 已知反比例函数的图象经过点，则该函数的图象位于（ ） A. 第一、三象限 B. 第二、三象限 C. 第二、四象限 D. 第三、四象限 5. 计算的值为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 6. 若点，，在反比例函数的图像上，则x1，x2，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，是的直径，是的切线，切点为与的延长线交于点C，若，，则的长度为（ ） A. B. C. D. 8. 已知抛物线先向左平移h个单位长度，再向下平移k个单位长度，得到的抛物线的解析式为，则h和k的值分别为（ ） A. 1，3 B. 3， C. 1， D. 3， 9. 如图，内接于，则劣弧的长为（ ） A. B. C. D. 10. 我们都知道蜂巢是很多个正六边形组合来的．正六边形蜂巢的建筑结构密合度最高、用材最少、空间最大、也最为坚固．如图，某蜂巢的房孔是边长为6的正六边形，若的内接正六边形为正六边形，则的长为（ ） A. 12 B. C. D. 11. 如图，在等边三角形中，有一点P，连接、、，将绕点B逆时针旋转得到，连接、，有如下结论：①；②是等边三角形；③如果，那么．以上结论正确的是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 12. 已知二次函数图象的对称轴为直线，部分图象如图所示，下列结论中：①；②；③；④若t为任意实数，则有；⑤当图象经过点时，方程的两根为，则，其中正确的结论有（ ） A. ①②③ B. ②③⑤ C. ②③④ D. ②③④⑤ 二．填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 13. 将二次函数化成的形式，结果为___________． 14. 有四枚材质、大小、背面图案完全相同的中国象棋棋子“”“”“”“”，将它们背面朝上任意放置，从中随机翻开一枚，恰好翻到棋子“”的概率是________． 15. 一个圆锥的侧面展开图是半径为，圆心角为的扇形，则此圆锥底面圆的半径为________________． 16. 点F是正五边形边的中点，连接并延长与延长线交于点G，则的度数为______． 17. 如图，矩形中，，点E在上，且，点F在边上运动，以线段为斜边在点B的异侧作等腰直角三角形，连接，当最小时，的值为__． 18. 如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，圆上的点，均在格点上． （1）线段的长等于________； （2）若点，分别在圆上，满足且．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点，，并简要说明点，的位置是如何找到的（不要求证明）________． 第Ⅱ卷 三．解答题（本大题共7小题，共66分） 19. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何值，方程都有两个不相等的实数根； （2）如果方程的两个实数根为，且，求的值． 20. 如图，已知抛物线经过两点． （1）求抛物线的解析式和顶点坐标； （2）当时，直接写出的取值范围； （3）点为抛物线上一点，若，求出此时点的坐标． 21. 一名在校大学生利用“互联网+”自主创业，销售一种产品，这种产品的成本价元/件，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的销售价不高于元/件，市场调查发现，该产品每天的销售量（件）与销售价（元/件）之间的函数关系如图所示． （1）求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （2）求每天的销售利润（元）与销售价（元/件）之间的函数关系式，并求出每件销售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？ （3）如果每天获得元的利润，销售单价为多少元？ 22. 如图，是的直径，是上的一点，且于点，点是的中点，连接交于，连接，． （1）的度数为 度． （2）求证：； （3）过点C作于点，若，求的长． 23. 如图，某校数学兴趣小组要测量建筑物的高度，测角仪的高度为米．他们在点C测得楼顶A的仰角为，前行米到达F点，这时在点E处测得楼顶A的仰角为，求建筑物的高度（结果保留整数）．参考数据： ． 24. 如图1，在中，，，点、分别在边、上，，连接，点、、分别为、、的中点． （1）观察猜想：图1中，线段与的数量关系是 ，位置关系是 ； （2）探究证明：把绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接，，，判断的形状，并说明理由； （3）拓展延伸：把绕点A在平面内自由旋转，若，，直接写出面积的最大值． 25. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C，点在抛物线上，点P是抛物线上一动点． （1）求该抛物线的解析式； （2）连接，若上方抛物线上有一点P，且P到直线的距离为，求点P的坐标； （3）如下图，连接，抛物线上是否存在点P，使？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $