湖南省长沙市湖南师范大学附属中学2024-2025学年高二上学期期末考试数学试题

湖南师大附中2024一2025学年度高二第一学期期来考试 数学 时量：120分钟满分：150分 得分： 中 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的， 1.已知等差数列{an},a2=3,a6=11,则a4= A.6 B.7 G.8 D.9 的 副 2双曲线苦-营-1的渐近线方程是 种 A.y=士4x By=士 中 C.y=±2x Dy= 新 3.已知过点（一1,0）的直线与曲线y=e相切于点A,则切点A的坐标为 A(0,1) B.(1,e) C.(2,e2) D.(3,e3) 拟 若（丘+》” 展开式中只有第7项的二项式系数最大，则n A.9 D.10 C.11 D.12 5.现有4个同学站成一排，将甲、乙2个同学加入排列，保持原来4个同学 顺序不变，不同的方法共有 椒 A.10种 B.20种 C.30种 D.60种 6.已知等比数列{an}中，公比g>0,若a2=4,则a1十a2十ag 八有最小值一4 B.有最小值12 ” C.有最大值-4 D.有最大值12 7.函数y=5√x一1+√10一2x的最大值为 A.2W2 B.5+√6 C.10 D.63 高二数学试题（附中版）第1页（共8页） 8.函数f(x)=工一上(x≠0)的图象犹如两条飘逸的绸带而被称为飘带函 数，也是一对优美的双曲线.在数列{c}中，6=1，上=f()(n∈N, Cn n≥2)，记数列{cn}的前n项积为T.,数列(T.}的前n项和为Sa,则当 n≥2时 A号<S<2 B1<S.<号 c<s.<8 D.<s<2 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项 中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选 错的得0分. 9.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F到准线的距离是4，直线l过点 F且与C交于A(x,y),B(x2,y2)两点，M为弦AB的中点，则下列说 法正确的是 A.抛物线C的焦点坐标是(2,0) B.x1x2=4 C.若x1十x2=5,则|AB=7 D.若以M为圆心的圆与C的准线相切，则AB是该圆的一条直径 10.中国的五岳是指在中国境内的五座名山，坐落于东西南北中五个方位， 分别是东岳泰山、西岳华山、南岳衡山、北岳恒山、中岳嵩山.小明与其 父母共3人计划在假期出游，每人选一个地方，则 A.3人选择的地点均不同的方法总数为60 B.恰有2人选一个地方的方法总数为15 C恰有1人选素山的概率是铝 D.若小明已选择去泰山，其父母至少有一人选择去泰山的概率为 25 高二数学试题（附中版）第2页（共8页） 11.杨辉三角形又称贾宪三角形，因首现于南宋杰出数学家杨辉的《详解九 章算法》而得名，它的排列规律如图所示：在第一行的中间写下数字1： 在第二行写下两个1，和第一行的1形成三角形；随后的每一行，第一 个位置和最后一个位置的数都是1，其他的每个位置的数都是它左上 方和右上方的两个数之和.那么下列说法中正确的是 第一行 第二行 第三行C 第四行 第五行 第六行1510105 A.第n行的第r(≤n)个位置的数是C%1 D.若从杨辉三角形的第三行起，每行第3个位置的数依次组成一个新 的数列{an},则a10=55 C.70在杨辉三角中共出现了3次 1行的第个数为a,则3 选择题答题卡 题号 1 6 8 9 10 11 得分 答案 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.用数学归纳法证明1+号+}+…十2一<n(n∈N且m>1),第-步 要证的不等式是 13.已知O为坐标原点，点P(0,1),圆C:x2+y2-4x十3=0，点Q为圆C 上的一动点，则∠POQ的最小值为 In z,0<x≤e, 14.设函数f(x) 若方程f(x)=m有三个实数根x1, 2-In x,x>e, 2,,满足<<，则+1十的取值范围是 工2 高二数学试题（附中版）第3页（共8页） 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或 演算步骤， 15.(本题满分13分) 设△ABC的内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且ccos C是acos B 与bcos A的等差中项. (1)求角C: (2)设c=3,求△ABC周长的最大值 士一Mn石科hG1,第4而（北R而1 16.(本题满分15分) 已知数列a}满足a,=2,且a1十登+是+…十品="，在数列 2n {bn}中，b1=2,点P(bn,bn+1)在函数y=x十2的图象上 (1)求{an}和{bn}的通项公式； (2)将数列6，}和口+号)的所有公共项从小到大排列得到数列(c, 求数列{cn}的前n项和Tm 17.(本题满分15分) 如图①，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD,E,F分别为AB,CD的中点， CD=2AB=2EF=4,M为DF的中点.现将四边形BEFC沿EF折 起，使平面BEFC⊥平面AEFD,得到如图②所示的多面体.在图②中： M 图① 图② (1)证明：EF⊥MC; (2)求平面MAB与平面DAB夹角的余弦值. 18.(本题满分17分) 设x,y∈R,向量i,j分别为平面直角坐标系内x,y轴正方向上的单位 向量，若向量a=(x十√3)i+y,b=(x一√3)i+yi,且|a+|b川=4. (1)求点M(x,y)的轨迹C的方程； (②)设椭圆E:希+苦-1，曲线C的切线y=kz十m交椭圆E于A,B 两点，求证：△OAB(O为坐标原点)的面积为定值. 19.(本题满分17分) 若Vn∈N·,都存在唯一的实数cn,使得f(cn)=n,则称函数f(x)存在 “源数列”{cn}.已知f(x)=√x一lnx,x∈(0,1]. (1)证明：f(x)存在源数列； (2)(1)若f(x)-入≤0恒成立，求入的取值范围； (1)记f(x)的源数列为c》,证明：{c}的前n项和S.<号