复习05 指对函数的图象及性质（十大考点）-2025年高一数学复习与预习手册（寒假不停学）（人教A版2019）

2025年高一数学复习与预习手册（寒假不停学）（人教A版2019） 复习05 指对函数的图象及性质 知识点 1 ：指数与指数幂的运算 1．根式 （1）次方根的概念与性质 次 方 根 概念 一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，. 性质 ①当是奇数时，正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数.这时，的次方根用符号表示. ②当是偶数时，正数的次方根有两个，这两个数互为相反数.这时，正数的正的次方根用符号表示，负的次方根用符号表示.正的次方根与负的次方根可以合并写成.负数没有偶次方根. ③0的任何次方根都为0，记作. （2）根式的概念与性质 根 式 概念 式子叫做根式，这里叫做根指数，叫做被开方数. 性质 ①. ②当为奇数时，. ③当为偶数时，. 2．实数指数幂 （1）分数指数幂 ①我们规定正数的正分数指数幂的意义是. 于是，在条件下，根式都可以写成分数指数幂的形式. ②正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿，我们规定且 . ③0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义. （2）实数指数幂 对于任意实数，均有下面的运算性质： ①；②；③. 知识点 2 ：对数与对数运算 1．对数的概念 （1）对数：一般地，如果，那么数 x叫做以a为底 N的对数，记作，其中a叫做对数的底数，N叫做真数. （2）对数式与指数式的互化：. （3）两个重要对数：常用对数，以10为底的对数lgN；自然对数，以无理数e=2.71828…为底数的对数lnN. 2．对数的性质 （1）1的对数等于0，即； （2）底数的对数等于1，即； （3）对数恒等式. 3．对数的运算性质 如果，那么：（1）； （2）； （3）. 4．对数的换底公式 对数的换底公式：. 换底公式的变形及推广： （1）；（2）； 知识点 3 ：指数函数的图象与性质 1．指数函数的概念 一般地，函数叫做指数函数，其中是自变量，函数的定义域是. 【注】指数函数的结构特征： （1）底数：大于零且不等于1的常数；（2）指数：仅有自变量x；（3）系数：的系数是1. 2．指数函数的图象与性质 定义域 值域 奇偶性 非奇非偶函数 对称性 函数与的图象关于y轴对称 过定点 过定点，即时， 图象 单调性 在上是减函数 在上是增函数 函数值的变化情况 当时，；当时， 当时，；当时， 底数对图象的影响 指数函数在同一坐标系中的图象的相对位置与底数大小关系如下图所示，其中 ①在y轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小； ②在y轴左侧，图象从下到上相应的底数由大变小. 即无论在y轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大. 知识点 4 ：对数函数及其性质 1．对数函数的概念 一般地，我们把函数叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是. 2．对数函数的图象和性质 一般地，对数函数的图象与性质如下表所示： 图象 定义域 值域 性质 过定点，即时， 在上是减函数 在上是增函数 当x＞1时，y＜0； 当0＜x＜1时，y＞0 当x＞1时，y＞0； 当0＜x＜1时，y＜0 在直线的右侧，当时，底数越大，图象越靠近x轴； 当时，底数越小，图象越靠近x轴，即“底大图低”． 考点01 指数、对数运算 【方法点拨】（1）利用指数幂的运算性质化简求值的方法：进行指数幂的运算时，一般化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数，同时兼顾运算的顺序． （2）对数的运算：根据定义进行指数与对数的互化，利用对数的性质和运算性质进行对数运算 例1． . 【答案】2 【详解】. 故答案为：2 例2．（1）若，求的值； （2）已知，，试用，表示. 【答案】（1）；（2） 【详解】（1）因为，所以， 所以，则， 所以. （2）因为，， 所以. 变式1-1．计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）. （2） . 变式1-2．已知实数满足，则 ． 【答案】1 【详解】，. 所以. 故答案为：1 变式1-3．设是方程的两个根，则 ， . 【答案】 27 9 【详解】由题意知，， 所以. 故答案为：27；9 考点02 指对函数定义与解析式 【方法点拨】（1）指数函数的结构特征：①底数：大于零且不等于1的常数；②指数：仅有自变量；③系数：的系数是1； （2）判断一个函数是对数函数必须是形如且)的形式，即必须满足以下条件：①系数为1；②底数为大于0且不等于1的常数；③对数的真数仅有自变量. 例3．若函数（是自变量）为指数函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由为指数函数，得且，解得， 故选：A. 例4．函数（，且）是对数函数，且过点，则 ． 【答案】1 【详解】由题设，可得，故， 所以. 故答案为：1 变式2-1．若函数是对数函数，则 . 【答案】5 【详解】解：根据对数函数的定义有，解得， 故答案为：5． 变式2-2．已知指数函数的图像经过点，则 ． 【答案】/0.5 【详解】设（，且），由于其图像经过点 ， 所以，解得或（舍去）， 因此，故 . 故答案为：. 变式2-3．若函数是对数函数，则实数a的值为 ． 【答案】2 【详解】解：因为函数是对数函数， 所以，解得． 故答案为：2. 考点03 求指对函数的定义域 【方法点拨】（1）“”型函数定义域的求法：定义域是使有意义的x的取值范围，即函数的定义域与的定义域相同； （2）求对数函数定义域的注意事项：①真数大于零；②对数的底数大于零且不等于1. 例5．函数的定义域为 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据题意，函数， 则函数，即， 所以. 故选：C 例6．函数中，实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，则，解得，且， 所以实数a的取值范围是. 故选：C. 变式3-1．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为中， 所以函数中，即， 所以的定义域为， 故选：B． 变式3-2．函数的定义域是 . 【答案】 【详解】由题意，解得且， 故答案为：． 变式3-3．函数定义域为 ，则实数的取值范围是 . 【答案】 【详解】由函数定义域为 ，可得不等式在上恒成立， ① 当时，不等式为显然成立； ② 当时，需使，解得. 综上可得，实数的取值范围是. 故答案为：. 考点04 求指对函数的值域 【方法点拨】（1）“”型函数值域的步骤：①由定义域求出的值域；②利用指数函数的单调性求得此函数的值域； （2）求对数型函数的值域，一般需根据对数函数的单调性及真数的取值范围求解；形如 型的函数值域求解常用换元法、配方法等解题技巧． 例7．函数在上的值域是（    ） A．R B．(－∞，1] C．[0，1] D．[0，＋∞) 【答案】C 【详解】因为函数为单调增函数， 所以在上的值域为 故选：C 例8．若函数的表达式为，则函数的值域是 ． 【答案】 【详解】当时，，当时，， 所以函数的定义域是. 故答案为： 变式4-1．已知函数，，则函数的值域为 ． 【答案】 【详解】，， 的定义域为，解得， 所以函数的定义域为， ， 又 ，又， ，即函数的值域为. 故答案为：. 变式4-2．求函数的值域 【答案】 【详解】因为，且定义域为， 当时，，则， 所以，所以函数的值域为. 变式4-3．已知函数的值域为M.若，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，可知有解，且无最大值， 即有解，且无最大值， 当时，有解，无最大值，符合题意； 当时，有解，但有最大值，不符合题意； 当时，有解需满足，解得， 此时无最大值，满足题意. 综上，实数a的取值范围是. 故选：A 考点05 指对函数的图象问题 【方法点拨】（1）抓住特殊点：指数函数的图象过定点，对数函数的图象过定点； （2）巧用图象变换：函数图象的平移变换(左右平移、上下平移)； （3）利用函数的奇偶性与单调性：奇偶性确定函数图象的对称情况，单调性决定函数图象的走势 例9．函数（）的图象的大致形状是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【详解】是分段函数，根据的正负写出分段函数的解析式，， 时，图象与在第一象限的图象一样是增函数， 时，图象与的图象关于轴对称. 故选：C． 例10．函数的图象简图可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，得，解得或， 则的定义域为或， 可知在处处无意义，故ABC错误；D正确. 故选：D. 变式5-1．（多选）已知，，且，函数与的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】由，，且，则，所以， 若时，则，所以曲线函数图象上升，即为增函数， 且单调递减，又函数与关于y轴对称， 所以曲线为增函数，选项B符合条件； 若，则，曲线函数图象下降，即为减函数， 且单调递增，又函数与关于y轴对称， 所以函数的图象下降，即为减函数，选项C符合条件， 故选：BC. 变式5-2．在同一坐标系内作出的两个函数图像如图所示，则这两个函数为（    ）    A．和 B．和 C．和 D． 和 【答案】D 【详解】对于选项A，由图可知为减函数，故，此时 为上的增函数，与图象矛盾，排除A 对于选项B，由图可知为减函数，故，此时为上 的增函数，与图象矛盾，排除B 对于选项C，由图可知为减函数，故，此时为上的减函数，与图象矛盾，排除C 故选：D． 变式5-3．已知实数且，函数的大致图象如下，则，的取值范围可能为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由图象可知函数是减函数，所以； 当时，，所以． 故选：C. 考点06 指对函数过定点问题 【方法点拨】（1）求指数型函数图象所过的定点时，只要令指数为0，求出对应的的值，即可得函数图象所过的定点；（2）求对数型函数图象所过的定点时，只要令真数为1，求出对应的的值，即可得函数图象所过的定点 例11．已知函数（且），则必过的定点P的坐标为 ． 【答案】 【详解】当时，， 所以必过的定点P的坐标为. 故答案为：. 例12．已知函数，且的图象恒过点，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【详解】令，解得，又， 所以函数，且）的图象恒过点， 即，所以． 故选：B． 变式6-1．已知函数的图象经过定点，则 . 【答案】 【详解】对任意，当，即时，恒成立， 因此函数的图象过定点，则， 所以. 故答案为： 变式6-2．已知，函数的图象经过点，则的最小值为（   ） A． B．6 C． D．8 【答案】D 【详解】函数的图象经过点，则，即， 又，. 当且仅当取等号.即取等号. 故选：D. 变式6-3．已知函数图像恒过定点，且点在函数图象上，则的最小值为（   ） A．4 B．1 C．2 D． 【答案】C 【详解】由得，又，所以定点为，从而， ， 当且仅当时等号成立. 故选：C. 考点07 指对函数的单调性问题 【方法点拨】（1）关于指数型函数且的单调性由两点决定，一是底数还是；二是的单调性．它由两个函数复合而成，然后利用复合函数单调的性质解题； （2）求形如的函数的单调区间，一定树立定义域优先意识，即由，先求定义域，接下来的步骤与指数型函数一致 例13．函数单调递增，且，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据指数函数的单调性可得，在上单调递增， 于是单调递增时只需，则； 又因为在上单调递增， 且，则，即 于是. 故选：C 例14．函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为函数在上单调递减，在上单调递增， 是减函数，根据复合函数的单调性，可得的单调递减区间为． 故选：D. 变式7-1．已知关于x的函数在上单调递增，则实数a的取值范围（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意，在上单调递减， 则函数在上单调递减， 且对于恒成立， 则，解得. 故选：A. 变式7-2．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】因为指数函数在上单调递增，由可知， 再由不等式的同向可加性可知，故是的充分条件； 因为，可构造函数，为增函数加增函数型，故在上单调递增. 由题意知，故，即是的必要条件； 综上所述，故是的充分必要条件. 故选：C. 变式7-3．已知在R上是增函数，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设， 因在R上是增函数，则分别递增，且. 即. 故选：D 考点08 指对比较大小 【方法点拨】（1）同底的利用指对数函数的单调性；（2）同真的利用对数函数的图象或用换底公式转化； （3）底数和真数都不同，找中间量；（4）若底数为同一参数，则根据底数对指对数函数单调性的影响，对底数进行分类讨论 例15．设，，，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】， ， 因为单调递增，所以， 因为单调递减，所以， 所以，综上, 故选：D. 例16．（多选）下列不等式中，正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】对于A，因在上为减函数，故，故A错误； 对于B，因为上的减函数，故，故B正确； 对于C，因为，故，而，故， 故，故C成立； 对于D， ，而， 故，故D成立， 故选：BCD 变式8-1．设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，且， 所以. 故选：C. 变式8-2．若，，，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，所以. 故选：D 变式8-3．设是定义域为的偶函数，且在单调递减，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】函数是定义域为的偶函数，且在单调递减， 所以 ， ， ∴， ，即. 故选：C. 考点09 指对函数解不等式 【方法点拨】（1）形如，的不等式：可借助指对数函数的单调性求解．如果的值不确定，需分和两种情况讨论． （2）形如，的不等式：注意将化为以为底的指数幂或对数的形式，再借助指对函数的单调性求解． 例17．已知函数． (1)求的定义域； (2)求不等式的解集． 【答案】(1) (2)． 【详解】（1）由题意得， 得，即的定义域为． （2）由题意得， 则由，得，得，即或． 因为的定义域为， 所以不等式的解集为． 例18．已知函数则满足的的取值范围是 . 【答案】 【详解】根据题意得，或， 综上：的取值范围是. 故答案为： 变式9-1．设常数，已知. (1)当时，求函数的单调递增区间； (2)当时，求的解集. 【答案】(1)单调递增区间为（或） (2) 【详解】（1）若，则的定义域为， 且，可知为偶函数， 设，且， 则， 因为，则，，则， 可得，即， 所以函数在内单调递增， 结合偶函数对称性可知：函数在内单调递减， 所以函数的单调递增区间为（或）. （2）若，则， 因为，即， 整理可得，则，解得， 所以的解集为. 变式9-2．（1）若，求值：. （2）若（，且），求的取值范围. 【答案】（1）4；（2）. 【详解】（1）原式 . （2）当时，由得， ∴，解得. 当时，，故恒成立， 综上得，的取值范围为. 变式9-3．设（且），求的取值范围． 【答案】答案见解析 【详解】当时，由可得， 即，即，解得或； 当时，由可得， 即，即，解得． 综上所述，当时，的取值范围是； 当时，的取值范围是． 考点10 指对函数的综合问题 例19．已知函数，. (1)解关于的不等式； (2)，，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2). 【详解】（1）由，得，即. 当，即时，恒成立，解集为； 当，即时，由，得，两边同取以为底的对数，得. 综上，当时，的解集为，当时，的解集为. （2）由，得， 即， 两边同除以，得. 设， 令，，则. 当时，是增函数， 所以的值域为， 因为，，所以， 故实数的取值范围为. 例20．已知函数，， (1)解方程：； (2)设，求函数在区间上的最大值的表达式. 【答案】(1)2 (2) 【详解】（1）所给的方程即， 可得或（舍去），所以. （2）由于，， 令，则， ①当时，，则； ②当时，令， 若，则， 若，当，即时，， 当，即时，， 当，即时，， 综上，. 变式10-1．已知，． (1)当时，解不等式； (2)若关于x的方程的解集中恰好有一个元素，求实数a的值； 【答案】(1)或 (2)或 【详解】（1）当时，， 由得， 解得或， 所以不等式的解集为或； （2）由得， 所以，整理得， 当时，由得， 此时只有一个解，满足题意； 当时，令，得，解得， 此时只有一个解，满足题意； 综上所述，或. 变式10-2．已知函数，且． (1)若的值域为，求的取值范围； (2)若，求方程的解集； (3)当时，求图象的对称轴方程和不等式的解集． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）若的值域为，则取遍所有正数， 由，且， 解得． （2）因为函数为增函数，， 所以． 由，得， 整理得，解得， 故方程的解集为． （3）当时，的定义域为． 因为，且，所以图象的对称轴方程为． 又在上单调递增，定义域为， 所以所求不等式等价于， 解得或，故所求不等式的解集为 变式10-3．函数（其中，为常数，且，）的图象经过点，. (1)求函数的解析式； (2)若不等式在区间上有解，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意得，解之得， 故； （2）由（1）知在区间上有解， 即在区间上有解，所以， 因为， 由于得，所以当即时，有最大值为， 因此的取值范围为. 1．（2024-25高一上·吉林长春·期中）已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】根据题意，得， 因为，所以． 故选：D. 2．（2024-25高一上·天津红桥·期末）设，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意可知：在内单调递减， 可得，即； 在内单调递增，可得，即； 在内单调递减，可得，即； 综上所述：. 故选：B. 3．（2024-25高一上·湖南·阶段练习）“”是“为指数函数”的（    ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】当时，是指数函数； 若是底数为的指数函数．则，且，解得， 故“”是“为指数函数”的充分不必要条件． 故选：C. 4．（2024-25高一上·四川达州·期末）已知，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】令，函数都是增函数，则函数是增函数， 由，得，即，因此，， 当时，. 故选：B 5．（2024-25高一上·江苏常州·阶段练习）设函数则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为则不等式的解集 或， 或， 所以或 所以不等式的解集为. 故选：A. 6．（2024-25高一上·江苏常州·阶段练习）已知函数的定义域为，若存在，满足，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】令，且在单调递减，所以的最小值为， 可得，且， 所以在上单调递增，所以 因为存在，满足， 则， 所以， 故 ，解得：， 故选：D. 7．（2024-25高一上·福建莆田·阶段练习）（多选）已知函数（，且）的图象如图所示，则下列选项正确的是（    ）    A． B． C． D．的图象不经过第四象限 【答案】BD 【详解】对于A，由图象可知函数单调递减，则，故A错误； 对于B，当时，，由图象可得，解得，故B正确； 对于C，，由是增函数，则，故C错误； 对于D，由，，则函数是增函数， 当时，，故D正确. 故选：BD. 8．（2024-25高一上·湖南衡阳·期末）（多选）函数，则下列说法正确的是（   ） A．是偶函数 B．是奇函数 C．是奇函数 D．是奇函数 【答案】BC 【详解】因为函数的定义域为R， 又，所以函数为偶函数， 由恒成立，可知函数的定义域为， 又 ， 所以，即函数为奇函数， 对于A，因为， 所以函数既不是奇函数，也不是偶函数，故A错误； 对于B，因为函数的定义域为，又， 所以函数为奇函数，故B正确； 对于C，由指数函数，的值域可知，恒成立； 所以函数的定义域为，又， 所以函数是奇函数，故C正确； 对于D，令，则函数的定义域为，又， 所以函数为偶函数，即函数为偶函数，故D错误. 故选：BC． 9．（2024-25高一上·上海松江·期中）已知，则 ．（用的代数式子表示） 【答案】 【详解】由，，则． 故答案为：． 10．（2024-25高一上·江西南昌·阶段练习）已知函数的定义域为，为偶函数，对任意的，当时，，则关于的不等式的解集为 .（用区间表示） 【答案】 【详解】为偶函数，其图象关于轴对称， 的图象关于直线对称. 又当时，， 在上单调递增， 故不等式可等价为， 即， 当时，不等式可化为，即，无解， 当时，不等式可化为，即， 即，所以，解得. 故答案为：. 11．（2024-25高一上·河北衡水·阶段练习）已知函数，若对任意的，总存在，使得成立，则实数a的取值范围为 【答案】 【详解】函数，函数在上单调递增，函数在上单调递减， 又在上单调递增，因此在上单调递减，， 由对任意的，总存在，使得成立， 得函数在上的最大值小于在上的最大值，即， 当时，，满足，则； 当时，在上单调递增，则，则； 当时，在上单调递减，则，则， 所以实数a的取值范围为. 故答案为：. 12．（2024-25高一上·黑龙江大庆·期中）计算： (1)； (2)； (3)若，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1） ＝； （2） ＝ ＝ ＝； （3）由，得， 则． 13．（2024-25高一上·山西·阶段练习）已知函数． (1)当时，求在区间上的值域； (2)当时，解不等式． 【答案】(1) (2)或. 【详解】（1）当时，， 令，因为，所以， 令，则函数在上单调递增， ∴当时，有最小值， 当时，有最大值， ∴函数在区间上的值域为. 故时，在区间上的值域为. （2）当时，． 由，得，即， 解得 或， 所以 或， 所以不等式的解集为或. 14．（2024-25高一上·江苏常州·阶段练习）已知二次函数，且关于的不等式的解集为. (1)求实数a，b的值； (2)若不等式对恒成立，求实数m的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意，，且和1是关于的方程的两根， 故解得 （2）由对恒成立，即对恒成立， 只要，其中. 而， 当且仅当即时取等号. 故当时，取最小值. 因此，，即， 即实数的取值范围是. 15．（2024-25高一上·江苏常州·阶段练习）已知函数，其中，a为常数，且. (1)当时，求在区间上的最值及取最值时的值； (2)若的最小值为，求实数的值. 【答案】(1)当时，取最小值；当时，取最大值42 (2) 【详解】（1）令， 当时，，设， 因为时，所以. 因此，当即时，取最小值； 当即时，取最大值42； （2）设，， 当时，， 当时，，从而当，取最小值. 又因为的最小值为，所以，即， 而，，则； 当时，，又，则，， 故即，与的最小值为矛盾； 综上所述，. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$2025年高一数学复习与预习手册（寒假不停学）（人教A版2019） 复习05 指对函数的图象及性质 知识点 1 ：指数与指数幂的运算 1．根式 （1）次方根的概念与性质 次 方 根 概念 一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，. 性质 ①当是奇数时，正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数.这时，的次方根用符号表示. ②当是偶数时，正数的次方根有两个，这两个数互为相反数.这时，正数的正的次方根用符号表示，负的次方根用符号表示.正的次方根与负的次方根可以合并写成.负数没有偶次方根. ③0的任何次方根都为0，记作. （2）根式的概念与性质 根 式 概念 式子叫做根式，这里叫做根指数，叫做被开方数. 性质 ①. ②当为奇数时，. ③当为偶数时，. 2．实数指数幂 （1）分数指数幂 ①我们规定正数的正分数指数幂的意义是. 于是，在条件下，根式都可以写成分数指数幂的形式. ②正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿，我们规定且 . ③0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义. （2）实数指数幂 对于任意实数，均有下面的运算性质： ①；②；③. 知识点 2 ：对数与对数运算 1．对数的概念 （1）对数：一般地，如果，那么数 x叫做以a为底 N的对数，记作，其中a叫做对数的底数，N叫做真数. （2）对数式与指数式的互化：. （3）两个重要对数：常用对数，以10为底的对数lgN；自然对数，以无理数e=2.71828…为底数的对数lnN. 2．对数的性质 （1）1的对数等于0，即； （2）底数的对数等于1，即； （3）对数恒等式. 3．对数的运算性质 如果，那么：（1）； （2）； （3）. 4．对数的换底公式 对数的换底公式：. 换底公式的变形及推广： （1）；（2）； 知识点 3 ：指数函数的图象与性质 1．指数函数的概念 一般地，函数叫做指数函数，其中是自变量，函数的定义域是. 【注】指数函数的结构特征： （1）底数：大于零且不等于1的常数；（2）指数：仅有自变量x；（3）系数：的系数是1. 2．指数函数的图象与性质 定义域 值域 奇偶性 非奇非偶函数 对称性 函数与的图象关于y轴对称 过定点 过定点，即时， 图象 单调性 在上是减函数 在上是增函数 函数值的变化情况 当时，；当时， 当时，；当时， 底数对图象的影响 指数函数在同一坐标系中的图象的相对位置与底数大小关系如下图所示，其中 ①在y轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小； ②在y轴左侧，图象从下到上相应的底数由大变小. 即无论在y轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大. 知识点 4 ：对数函数及其性质 1．对数函数的概念 一般地，我们把函数叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是. 2．对数函数的图象和性质 一般地，对数函数的图象与性质如下表所示： 图象 定义域 值域 性质 过定点，即时， 在上是减函数 在上是增函数 当x＞1时，y＜0； 当0＜x＜1时，y＞0 当x＞1时，y＞0； 当0＜x＜1时，y＜0 在直线的右侧，当时，底数越大，图象越靠近x轴； 当时，底数越小，图象越靠近x轴，即“底大图低”． 考点01 指数、对数运算 【方法点拨】（1）利用指数幂的运算性质化简求值的方法：进行指数幂的运算时，一般化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数，同时兼顾运算的顺序． （2）对数的运算：根据定义进行指数与对数的互化，利用对数的性质和运算性质进行对数运算 例1． . 例2．（1）若，求的值； （2）已知，，试用，表示. 变式1-1．计算： (1)； (2)． 变式1-2．已知实数满足，则 ． 变式1-3．设是方程的两个根，则 ， . 考点02 指对函数定义与解析式 【方法点拨】（1）指数函数的结构特征：①底数：大于零且不等于1的常数；②指数：仅有自变量；③系数：的系数是1； （2）判断一个函数是对数函数必须是形如且)的形式，即必须满足以下条件：①系数为1；②底数为大于0且不等于1的常数；③对数的真数仅有自变量. 例3．若函数（是自变量）为指数函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例4．函数（，且）是对数函数，且过点，则 ． 变式2-1．若函数是对数函数，则 . 变式2-2．已知指数函数的图像经过点，则 ． 变式2-3．若函数是对数函数，则实数a的值为 ． 考点03 求指对函数的定义域 【方法点拨】（1）“”型函数定义域的求法：定义域是使有意义的x的取值范围，即函数的定义域与的定义域相同； （2）求对数函数定义域的注意事项：①真数大于零；②对数的底数大于零且不等于1. 例5．函数的定义域为 （    ） A． B． C． D． 例6．函数中，实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式3-1．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 变式3-2．函数的定义域是 . 变式3-3．函数定义域为 ，则实数的取值范围是 . 考点04 求指对函数的值域 【方法点拨】（1）“”型函数值域的步骤：①由定义域求出的值域；②利用指数函数的单调性求得此函数的值域； （2）求对数型函数的值域，一般需根据对数函数的单调性及真数的取值范围求解；形如 型的函数值域求解常用换元法、配方法等解题技巧． 例7．函数在上的值域是（    ） A．R B．(－∞，1] C．[0，1] D．[0，＋∞) 例8．若函数的表达式为，则函数的值域是 ． 变式4-1．已知函数，，则函数的值域为 ． 变式4-2．求函数的值域 变式4-3．已知函数的值域为M.若，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 考点05 指对函数的图象问题 【方法点拨】（1）抓住特殊点：指数函数的图象过定点，对数函数的图象过定点； （2）巧用图象变换：函数图象的平移变换(左右平移、上下平移)； （3）利用函数的奇偶性与单调性：奇偶性确定函数图象的对称情况，单调性决定函数图象的走势 例9．函数（）的图象的大致形状是（    ） A．   B．   C．   D．   例10．函数的图象简图可能是（   ） A． B． C． D． 变式5-1．（多选）已知，，且，函数与的图象可能是（   ） A． B． C． D． 变式5-2．在同一坐标系内作出的两个函数图像如图所示，则这两个函数为（    ）    A．和 B．和 C．和 D． 和 变式5-3．已知实数且，函数的大致图象如下，则，的取值范围可能为（    ）    A． B． C． D． 考点06 指对函数过定点问题 【方法点拨】（1）求指数型函数图象所过的定点时，只要令指数为0，求出对应的的值，即可得函数图象所过的定点；（2）求对数型函数图象所过的定点时，只要令真数为1，求出对应的的值，即可得函数图象所过的定点 例11．已知函数（且），则必过的定点P的坐标为 ． 例12．已知函数，且的图象恒过点，则（    ） A． B． C．1 D．2 变式6-1．已知函数的图象经过定点，则 . 变式6-2．已知，函数的图象经过点，则的最小值为（   ） A． B．6 C． D．8 变式6-3．已知函数图像恒过定点，且点在函数图象上，则的最小值为（   ） A．4 B．1 C．2 D． 考点07 指对函数的单调性问题 【方法点拨】（1）关于指数型函数且的单调性由两点决定，一是底数还是；二是的单调性．它由两个函数复合而成，然后利用复合函数单调的性质解题； （2）求形如的函数的单调区间，一定树立定义域优先意识，即由，先求定义域，接下来的步骤与指数型函数一致 例13．函数单调递增，且，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 例14．函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 变式7-1．已知关于x的函数在上单调递增，则实数a的取值范围（   ） A． B． C． D． 变式7-2．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 变式7-3．已知在R上是增函数，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 考点08 指对比较大小 【方法点拨】（1）同底的利用指对数函数的单调性；（2）同真的利用对数函数的图象或用换底公式转化； （3）底数和真数都不同，找中间量；（4）若底数为同一参数，则根据底数对指对数函数单调性的影响，对底数进行分类讨论 例15．设，，，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 例16．（多选）下列不等式中，正确的有（    ） A． B． C． D． 变式8-1．设，则（    ） A． B． C． D． 变式8-2．若，，，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 变式8-3．设是定义域为的偶函数，且在单调递减，则（    ） A． B． C． D． 考点09 指对函数解不等式 【方法点拨】（1）形如，的不等式：可借助指对数函数的单调性求解．如果的值不确定，需分和两种情况讨论． （2）形如，的不等式：注意将化为以为底的指数幂或对数的形式，再借助指对函数的单调性求解． 例17．已知函数． (1)求的定义域； (2)求不等式的解集． 例18．已知函数则满足的的取值范围是 . 变式9-1．设常数，已知. (1)当时，求函数的单调递增区间； (2)当时，求的解集. 变式9-2．（1）若，求值：. （2）若（，且），求的取值范围. 变式9-3．设（且），求的取值范围． 考点10 指对函数的综合问题 例19．已知函数，. (1)解关于的不等式； (2)，，求实数的取值范围. 例20．已知函数，， (1)解方程：； (2)设，求函数在区间上的最大值的表达式. 变式10-1．已知，． (1)当时，解不等式； (2)若关于x的方程的解集中恰好有一个元素，求实数a的值； 变式10-2．已知函数，且． (1)若的值域为，求的取值范围； (2)若，求方程的解集； (3)当时，求图象的对称轴方程和不等式的解集． 变式10-3．函数（其中，为常数，且，）的图象经过点，. (1)求函数的解析式； (2)若不等式在区间上有解，求实数的取值范围. 1．（2024-25高一上·吉林长春·期中）已知，，则（   ） A． B． C． D． 2．（2024-25高一上·天津红桥·期末）设，则（   ） A． B． C． D． 3．（2024-25高一上·湖南·阶段练习）“”是“为指数函数”的（    ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（2024-25高一上·四川达州·期末）已知，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．（2024-25高一上·江苏常州·阶段练习）设函数则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 6．（2024-25高一上·江苏常州·阶段练习）已知函数的定义域为，若存在，满足，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（2024-25高一上·福建莆田·阶段练习）（多选）已知函数（，且）的图象如图所示，则下列选项正确的是（    ）    A． B． C． D．的图象不经过第四象限 8．（2024-25高一上·湖南衡阳·期末）（多选）函数，则下列说法正确的是（   ） A．是偶函数 B．是奇函数 C．是奇函数 D．是奇函数 9．（2024-25高一上·上海松江·期中）已知，则 ．（用的代数式子表示） 10．（2024-25高一上·江西南昌·阶段练习）已知函数的定义域为，为偶函数，对任意的，当时，，则关于的不等式的解集为 .（用区间表示） 11．（2024-25高一上·河北衡水·阶段练习）已知函数，若对任意的，总存在，使得成立，则实数a的取值范围为 12．（2024-25高一上·黑龙江大庆·期中）计算： (1)； (2)； (3)若，求的值． 13．（2024-25高一上·山西·阶段练习）已知函数． (1)当时，求在区间上的值域； (2)当时，解不等式． 14．（2024-25高一上·江苏常州·阶段练习）已知二次函数，且关于的不等式的解集为. (1)求实数a，b的值； (2)若不等式对恒成立，求实数m的取值范围. 15．（2024-25高一上·江苏常州·阶段练习）已知函数，其中，a为常数，且. (1)当时，求在区间上的最值及取最值时的值； (2)若的最小值为，求实数的值. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$