精品解析：四川省成都市锦江区嘉祥外国语学校2024-2025学年上学期期末考试八年级数学模拟试题

2024-2025学年四川省成都市锦江区嘉祥外国语学校八年级（上）期末数学模拟试卷 一.选择题（每小题4分，共32分） 1. 在下列实数中，属于无理数的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列条件中，不能判断是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. ，， 3. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 4. 在平面直角坐标系中，点在轴上，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 5. 下列不等式变形正确的是（ ） A. 由，得 B. 由，得 C. 由，得 D. 由，得 6. 如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，离地米，当人体进入感应器的感应范围内时，感应门就会自动打开．一个身高1.6米的学生正对门，缓慢走到离门1.2米的地方时（米），感应门自动打开，则人头顶离感应器的距离等于（ ） A. 1.2米 B. 1.3米 C. 1.5米 D. 2米 7. 如图，直线经过点和； 直线过点A，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 8. 关于一次函数，下列结论正确的是（ ） A. 图象不经过第二象限 B. 图象与轴的交点是 C. 将一次函数的图象向上平移3个单位长度后，所得图象的函数表达式为 D. 点和在一次函数的图象上，若，则 二、填空题（每小题4分，共20分） 9. 的算术平方根是________；的立方根是________． 10. 如果不等式的解集为，则必须满足的条件是________． 11. 如图，长方体的高为9cm，底面是边长为6cm的正方形，一只蚂蚁从顶点A开始，爬向顶点B，那么它爬行的最短路程为 _____________cm． 12. 已知点，在一次函数的图象上，若，则________．（填“”，“”或“”） 13. 如图，在矩形纸片中，，，将矩形纸片折叠，使点B与点D重合，点A折叠至点E处，则的长为________． 三、解答题（共5小题，共48分） 14. 计算． （1）； （2）． （3）解一元一次不等式组： 15. 已知的算术平方根是3，的立方根是2，是的整数部分. （1）求的值； （2）求的平方根． 16. 丁荷、丁信中学举办国学知识竞赛，设定满分10分，学生得分均为整数．在初赛中，小荷、小信两组（每组10人）学生成绩如下（单位：分） 小荷组：5，6，6，6，6，6，7，9，9，10． 小信组：5，6，6，6，7，7，7，7，9，10． 组别 平均数 中位数 众数 方差 小荷组 7 6 2.6 小信组 7 （1）以上成绩统计分析表中_____，____，_____； （2）小明同学说：“这次竞赛我得了7分，在我们小组中属中游略偏上！”观察上面表格判断，小明可能是____组的学生； （3）从平均数和方差看，若从小荷、小信两组学生中选择一个成绩较为稳定的小组参加决赛，应选哪个组？并说明理由． 17. 已知：如图，在中，，，的周长为30． （1）证明：是直角三角形； （2）过点作于点，点为边上的一点，且，过点作交的角平分线于点． ①证明：； ②求线段的长． 18. 如图，直线过点，且与轴交于点，与轴交于点． （1）求直线的函数表达式及点的坐标； （2）如图，作直线，点P在直线上，当的面积为面积的倍时，求点的坐标； （3）如图，点为第二象限内的一点，连接，以为边在的左侧作等边，当，时，求线段的长． 四、填空题（20分） 19. 比较大小：______（填“”、“”或“”）． 20. 已知，，则的值为________． 21. 若方程组中未知数x、y满足，关于x的不等式组有且只有3个整数解，则所有满足条件的整数a的和为________． 22. 如图，在中，，，点是边上的动点，，点关于直线的对称点为点，连接，，直线与直线交于点．若，，则线段________． 23. 凸四边形是指四边形内任意两点间的线段全部位于该四边形内部，且四个内角均小于180度的四边形．在平面直角坐标系中，已知凸四边形的边，且点，点，点B在x轴的正半轴，如果对角线把四边形分割成了两个等腰三角形，那么点C的坐标为________． 五、解答题（30分） 24. 科幻电影《流浪地球》的成功标志着中国电影工业化迈向了新的台阶．某企业眼光独到，准备生产一批乐高模型投放市场，计划生产“笨笨”、“”两种产品共件，需购买价格为元/千克的A种材料和价格为元/千克的B种材料．通过调研，获得以下信息： 信息1：生产一件“笨笨”需A种材料4千克，B种材料1千克； 信息2：生产一件“”需A种材料3千克，B种材料4千克． 根据以上信息，解决下列问题： （1）现工厂用于购买A、B两种材料的资金不能超过元，且生产“”不少于件，请问有哪几种符合条件的生产方案？ （2）在（1）的条件下，若生产一件“笨笨”需加工费元，生产一件“”需加工费元，应选择哪种生产方案，才能使生产这批产品的成本最低？ 25. 如图1，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴交于点、，直线关于轴对称的直线与轴交于点． （1）求直线的解析式； （2）如果一条对角线将凸四边形分成两个等腰三角形，那么这个四边形称为“等腰四边形”，这条对角线称为“界线”．在平面内是否存在一点，使得四边形是以为“界线”的“等腰四边形”，且？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由； （3）如图2，点在直线上，横坐标为，直线与轴正半轴交于点，与轴交于点，当常数等于多少时，为定值？ 26. 如图，和都是直角三角形，，，． （1）如图1．，，求的长度； （2）如图2，延长交于点F，取中点G，若，求的面积； （3）如图3，在（2）的条件下，连接并延长，过点C作于点M，延长交延长线于点N．直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年四川省成都市锦江区嘉祥外国语学校八年级（上）期末数学模拟试卷 一.选择题（每小题4分，共32分） 1. 在下列实数中，属于无理数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了对无理数的意义的理解和运用，无理数是指无限不循环小数，有①开方开不尽的根式，②含的，③一些有规律的数，但无限循环的数．无理数就是无限不循环小数，理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称，即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项． 【详解】解：， 有理数是，，；无理数的是； 故选：D． 2. 下列条件中，不能判断是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. ，， 【答案】A 【解析】 【分析】根据勾股定理的逆定理，三角形的内角和定理判断即可． 【详解】解：， 设， ， ， ， 故不是直角三角形，符合题意； ， ， ， ， 故是直角三角形，不符合题意； ， ， 故是直角三角形，不符合题意； ，，， ， 故是直角三角形，不符合题意． 故选：A． 【点睛】此题考查了勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 3. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式的加减法对A、B进行判断；根据二次根式的乘法法则对C进行判断；根据二次根式的除法法则对D进行判断． 【详解】A、与不能合并，所以A选项错误； B、＝3，所以B选项错误； C、＝＝，所以C选项错误； D、＝4，所以D选项正确． 故选：D． 【点睛】考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化简为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径． 4. 在平面直角坐标系中，点在轴上，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了点的坐标，解决本题的关键是掌握好坐标轴上的点的坐标的特征：轴上的点的纵坐标为．根据轴上点的纵坐标等于零，求出，即可得答案． 【详解】解：点在轴上， ， 解得：， ， 点的坐标为， 故选：A． 5. 下列不等式变形正确的是（ ） A. 由，得 B. 由，得 C. 由，得 D. 由，得 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题关键．不等式的基本性质：（1）等式的两边同时加上或减去同一个数或字母，不等号方向不变；（2）等式的两边同时乘以或除以同一个正数，不等号方向不变；（3）等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号方向改变．据此逐项分析判断即可． 【详解】解：A. 由，若，则可得，故本选项变形错误，不符合题意； B. 由，得，故本选项变形错误，不符合题意； C. 由，若，则可得，故本选项变形错误，不符合题意； D. ，因为，所以可得，故本选项变形正确，符合题意． 故选：D． 6. 如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，离地米，当人体进入感应器的感应范围内时，感应门就会自动打开．一个身高1.6米的学生正对门，缓慢走到离门1.2米的地方时（米），感应门自动打开，则人头顶离感应器的距离等于（ ） A. 1.2米 B. 1.3米 C. 1.5米 D. 2米 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是作出辅助线，构造直角三角形，利用勾股定理求得线段的长度．过点D作于点E，构造，利用勾股定理求得的长度即可． 【详解】解：如图，过点D作于点E， ∵米，米，米， ∴（米）． 在中，由勾股定理得到：（米）, 故选：B． 7. 如图，直线经过点和； 直线过点A，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一次函数与不等式，找到直线在轴下方且在直线上方的部分对应的自变量的范围即可． 【详解】解：由图象可知：的解集为； 故选A． 8. 关于一次函数，下列结论正确的是（ ） A. 图象不经过第二象限 B. 图象与轴的交点是 C. 将一次函数的图象向上平移3个单位长度后，所得图象的函数表达式为 D. 点和在一次函数的图象上，若，则 【答案】C 【解析】 【分析】根据一次函数的图象与性质，逐项判断即可作答． 【详解】A．，，一次函数图象经过第一、二、四象限，故本项原说法错误； B．图象与轴的交点是，故本项原说法错误； C．将一次函数的图象向上平移3个单位长度后，所得图象的函数表达式为，故本项说法正确； D.点和在一次函数的图象上，若，则，故本项原说法错误； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了一次函数的图象与性质，掌握一次函数的图象与性质，是解答本题的关键． 二、填空题（每小题4分，共20分） 9. 的算术平方根是________；的立方根是________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】此题考查立方根，算术平方根的定义，解题关键在于掌握一个正数正的平方根叫做这个数的算术平方根．根据算术平方根和立方根的定义求解即可． 【详解】解：的算术平方根是， 的立方根是， 故答案为：，． 10. 如果不等式的解集为，则必须满足的条件是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查不等式的性质，解题的关键是熟知不等式两边同时乘以或除以一个负数不等号要改变方向是解题的关键．根据不等式的性质，发现不等号方向改变了，说明两边同时乘或除了一个负数，由此求出的范围即可． 【详解】解：不等式的解集为， ， 解得：， 故答案为：． 11. 如图，长方体的高为9cm，底面是边长为6cm的正方形，一只蚂蚁从顶点A开始，爬向顶点B，那么它爬行的最短路程为 _____________cm． 【答案】15 【解析】 【分析】将立体图形展开，有两种不同的展开法，连接AB，利用勾股定理求出AB的长，找出最短即可解答． 【详解】解：有两种情况，如图， （1） （2） 由于 则蚂蚁爬行的最短路程为15cm 故答案为：15． 【点睛】本题考查立体图形的平面展开图—最短路线问题，利用勾股定理求出斜边的长是解题的关键． 12. 已知点，在一次函数的图象上，若，则________．（填“”，“”或“”） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一次函数的性质，掌握一次函数的性质是解题的关键．根据得到随的增大而增大，即可得出答案． 【详解】解：一次函数，且， 随的增大而增大， 点，都在一次函数的函数图象上，， ， 故答案为：． 13. 如图，在矩形纸片中，，，将矩形纸片折叠，使点B与点D重合，点A折叠至点E处，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查矩形中的折叠问题，解题的关键是掌握矩形的性质和翻折的性质； 设，根据翻折性质和勾股定理可得，即可解得答案， 【详解】∵在矩形纸片中，，， 设，则， 将矩形纸片折叠，使点B与点D重合，点A折叠至点E处， ∴，，， 在中 ， 即 解得． 故答案为∶． 三、解答题（共5小题，共48分） 14. 计算． （1）； （2）． （3）解一元一次不等式组： 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，解不等式组，掌握二次根式的混合运算法则和不等式组的解法是解题的关键． （1）化简二次根式，求出立方根，根据加减法即可求解． （2）先算乘除，再算加减即可求解； （3）先求出每个不等式的解集，再取两个不等式解的公共部分即可得到不等式组的解集． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 ； 【小问3详解】 解：， 解不等式①： 解不等式②： 不等式组的解集为． 15. 已知的算术平方根是3，的立方根是2，是的整数部分. （1）求的值； （2）求的平方根． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据算术平方根、立方根以及估算无理数的方法即可求出的值； （2）根据第（1）问求出的的值，先求得的值，即可求出的平方根． 【小问1详解】 ∵的算术平方根是3， ∴， ∴， 解得：， ∵的立方根是2，， ∴， 解得：， ∵ ∴ ∵是的整数部分， ∴. ∴； 【小问2详解】 ∵； ∴， ， ， ∴16的平方根为. 【点睛】本题主要考查算术平方根、平方根、立方根以及无理数的估算，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 16. 丁荷、丁信中学举办国学知识竞赛，设定满分10分，学生得分均为整数．在初赛中，小荷、小信两组（每组10人）学生成绩如下（单位：分） 小荷组：5，6，6，6，6，6，7，9，9，10． 小信组：5，6，6，6，7，7，7，7，9，10． 组别 平均数 中位数 众数 方差 小荷组 7 6 2.6 小信组 7 （1）以上成绩统计分析表中_____，____，_____； （2）小明同学说：“这次竞赛我得了7分，在我们小组中属中游略偏上！”观察上面表格判断，小明可能是____组的学生； （3）从平均数和方差看，若从小荷、小信两组学生中选择一个成绩较为稳定的小组参加决赛，应选哪个组？并说明理由． 【答案】（1）6，7，7 （2）小荷 （3）应选小信组，理由： ， 两组平均数都是7，平均数相同；方差越小成绩越稳定，因为 （小信方差更小），小信组成绩更稳定， 因此应选小信组参加决赛． 【解析】 【分析】（1）因为中位数是将数据排序后中间位置的数，小荷组有10个数据，所以取第5和第6个数据的平均值计算；将小信组所有成绩求和再除以10计算；统计小信组各成绩出现的次数，找出出现次数最多的数得到． （2）因为中游略偏上意味着成绩大于小组的中位数，所以对比7分与两组中位数的大小关系，判断小明所属小组． （3）因为方差反映数据的波动程度，方差越小数据越稳定，所以比较两组方差的大小，选择方差较小的小组． 【小问1详解】 10个数据从小到大排列后，中位数是第5、第6个数的平均数，小荷组第5、6个数都是6， ∴． 小信组总分为， ∴． 小信组中出现次数最多（共4次）， ∴众数． 【小问2详解】 小荷组中位数为，，符合“中游略偏上”， 小信组中位数为，等于中位数，仅为中游，不符合描述， ∴小明是小荷组的学生． 【小问3详解】 略 17. 已知：如图，在中，，，的周长为30． （1）证明：是直角三角形； （2）过点作于点，点为边上的一点，且，过点作交的角平分线于点． ①证明：； ②求线段的长． 【答案】（1） 证明：，，的周长为30， ， ，， ， 是直角三角形． （2） ①证明：， ， 于点， ， ， ， ， ， 是的平分线， ， ， ． ② 【解析】 【分析】此题重点考查勾股定理的逆定理、等腰三角形的判定与性质等知识，正确地求出的长，并且推导出是解题的关键． （1）由，，的周长为30，求得，则，所以是直角三角形； （2）①由，得，由于点，得，则，由，得，所以，而，则，所以； ②由，，且，得，则，由，，证明，则，所以． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①略 ②解：，，且， ， ， ，， ， ， ， ， ， 线段的长为． 18. 如图，直线过点，且与轴交于点，与轴交于点． （1）求直线的函数表达式及点的坐标； （2）如图，作直线，点P在直线上，当的面积为面积的倍时，求点的坐标； （3）如图，点为第二象限内的一点，连接，以为边在的左侧作等边，当，时，求线段的长． 【答案】（1），； （2）或； （3） 【解析】 【分析】（）由待定系数法求出函数表达式，进而求解； （）取，过点作直线，则的面积为面积的倍，在的上方取，过点作，则此时的面积为 面积的倍，即可求解； （）证明，得到，则，则 ，即可求解． 【小问1详解】 解：设的表达式为：， 将点的坐标代入上式得：，则， 则直线的表达式为：， 令，则，即点； 【小问2详解】 解：由点的坐标得，直线的表达式为：， 取，过点作直线， 则的面积为面积的倍，则点， 则直线的表达式为：， 在的上方取，过点作， 则此时的面积为面积的倍，则点， 则直线的表达式为：， 分别将和的表达式和联立得：或， 解得：或， 则点或； 【小问3详解】 解：在上截取，连接，作轴于点，设交于点， ∵，则为等边三角形， ∵为等边三角形，则， ∵，， ∴， ∵，， ∴， 则，，， 则， ∵，， ∴， 则，则， 则，则， 则． 【点睛】本题考查了一次函数性质，三角形全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，平行线的性质，面积的计算，掌握知识点的应用和分类求解是解题的关键． 四、填空题（20分） 19. 比较大小：______（填“”、“”或“”）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查实数比较大小，根据无理数的估算方法，比较大小即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 20. 已知，，则的值为________． 【答案】12 【解析】 【分析】先把进行变形，得到，再把x，y的值代入即可求出答案． 【详解】，， ； 故答案为：12． 【点睛】本意考查了完全平方公式及运用，熟练掌握知识点是解题的关键； 21. 若方程组中未知数x、y满足，关于x的不等式组有且只有3个整数解，则所有满足条件的整数a的和为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，不等式组的整数解，解二元一次方程组等知识点，能求出a的整数解是解此题的关键． 先根据方程组得出，然后求出不等式组的解集，根据不等式组有且只有3个整数解确定，得到整数a为，，求和即可． 【详解】解：关于x，y的方程组 得 ∵， ∴， ∴， 关于x的不等式组， 解不等式得：， 解不等式得：， ∴不等式组的解集为， ∵关于x的不等式组有且只有3个整数解， ∴， 解得：， ∵， ∴， ∴整数a为，，其和为， 故答案为：． 22. 如图，在中，，，点是边上的动点，，点关于直线的对称点为点，连接，，直线与直线交于点．若，，则线段________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了轴对称的性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是掌握相关知识．过点作于，由，可得，根据对称的性质可得：，，推出，再根据等腰三角形的性质求出，设，可求出，得到是等腰直角三角形，求出 ，即可求解． 【详解】解：如图，过点作于， ，， ， 点关于直线的对称点为点， ，， ， ， ， 设， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 故答案为：． 23. 凸四边形是指四边形内任意两点间的线段全部位于该四边形内部，且四个内角均小于180度的四边形．在平面直角坐标系中，已知凸四边形的边，且点，点，点B在x轴的正半轴，如果对角线把四边形分割成了两个等腰三角形，那么点C的坐标为________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理、等腰三角形的判定和性质，熟练掌握相它们的性质是解题的关键． 根据题意易知是等腰三角形，所以只需要讨论是等腰三角形的情况即可，由，所以分两种情况讨论，①当时，②当时，作出符合题意的图形，再利用等腰三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵凸四边形的边，且点，点，点B在x轴的正半轴， ， ∴是等腰三角形， 我们只需要讨论是等腰三角形的情况即可， ∵， 分两种情况讨论∶ ①当时，如图，过C作轴于点F， ， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴； ②当时，如图，过C作轴于点E，作轴于点G， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， ； 综上所述，点C的坐标为或． 故答案为∶ 或． 五、解答题（30分） 24. 科幻电影《流浪地球》的成功标志着中国电影工业化迈向了新的台阶．某企业眼光独到，准备生产一批乐高模型投放市场，计划生产“笨笨”、“”两种产品共件，需购买价格为元/千克的A种材料和价格为元/千克的B种材料．通过调研，获得以下信息： 信息1：生产一件“笨笨”需A种材料4千克，B种材料1千克； 信息2：生产一件“”需A种材料3千克，B种材料4千克． 根据以上信息，解决下列问题： （1）现工厂用于购买A、B两种材料的资金不能超过元，且生产“”不少于件，请问有哪几种符合条件的生产方案？ （2）在（1）的条件下，若生产一件“笨笨”需加工费元，生产一件“”需加工费元，应选择哪种生产方案，才能使生产这批产品的成本最低？ 【答案】（1）方案1：生产“笨笨”件，“” 件， 方案2：生产“笨笨”件，“” 件， 方案3：生产“笨笨”件，“” 件， 方案4：生产“笨笨”件，“” 件； （2）选择方案4：生产“笨笨”件，“” 件最划算； 【解析】 【分析】（1）设生产“笨笨”x件，则生产“” 件，根据资金及“”不少于件列不等式组列式求解即可得到答案； （2）根据（1）的方案，求出费用比较即可得到答案； 【小问1详解】 解：设生产“笨笨”x件，则生产“” 件，由题意可得， ， 解得：（取整数）， 故x可取：，，，， ∴有4种方案如下： ①方案1：生产“笨笨”件，“” 件， ②方案2：生产“笨笨”件，“” 件， ③方案3：生产“笨笨”件，“” 件， ④方案4：生产“笨笨”件，“” 件； 【小问2详解】 解：由（1）得， 方案1费用：（元）， 方案2费用：（元）， 方案3费用：（元）， 方案4费用：（元）， ∵， ∴选择方案4：生产“笨笨”件，“” 件最划算； 【点睛】本题考查不等式的实际应用及择优方案问题，解题的关键是正确找到不等关系列不等式组． 25. 如图1，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴交于点、，直线关于轴对称的直线与轴交于点． （1）求直线的解析式； （2）如果一条对角线将凸四边形分成两个等腰三角形，那么这个四边形称为“等腰四边形”，这条对角线称为“界线”．在平面内是否存在一点，使得四边形是以为“界线”的“等腰四边形”，且？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由； （3）如图2，点在直线上，横坐标为，直线与轴正半轴交于点，与轴交于点，当常数等于多少时，为定值？ 【答案】（1） （2）存在，或 （3） 【解析】 【分析】（1）先求出点，可得点，再利用待定系数法解答，即可求解； （2）当点D在y轴上时，根据题意可得垂直平分，从而得到点D与点B关于x轴对称，可求出点D的坐标；当时，过点D作轴于点H，设，则，根据勾股定理求出s的值，即可求出点D的坐标； （3）先求出点M的坐标为，可设直线的解析式为，从而得到点，，继而得到，设（其中A为定值），，即可求解． 【小问1详解】 解：对于直线， 当时，，当时，， ∴点， ∵直线关于轴对称的直线与轴交于点． ∴点， 设直线的解析式为， 把点代入，得： ，解得：， ∴直线的解析式为； 【小问2详解】 解：存在， 如图， 当点D在y轴上时， ∵，， ∴垂直平分， ∴点D与点B关于x轴对称， ∴点D的坐标为， 此时均为等腰三角形，符合题意； 当时，过点D作轴于点H，设，则， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴，， ∴点D的坐标为； 综上所述，点D的坐标为或； 【小问3详解】 解：对于直线， 当时，， ∴点M的坐标为， 可设直线的解析式为， 当时，，当时，， ∴点，， ∴，， ∴， 设（其中A为定值）， ∴， 即， ∴且， 解得：． 【点睛】本题考查的是一次函数的综合运用，涉及到新定义、一次函数的性质、待定系数法求函数表达式，数据处理是本题的难点． 26. 如图，和都是直角三角形，，，． （1）如图1．，，求的长度； （2）如图2，延长交于点F，取中点G，若，求的面积； （3）如图3，在（2）的条件下，连接并延长，过点C作于点M，延长交延长线于点N．直接写出的值． 【答案】（1） （2）4 （3） 【解析】 【分析】（1）利用等腰直角三角形性质和勾股定理即可求得答案； （2）过点作，交的延长线于点，过点作于，先证得三点在同一条直线上，再证得是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，进而证得，，，再得出是等腰直角三角形，再利用三角形面积公式即可求得答案； （3）过点作于点，过点作于点，运用勾股定理求得，再运用面积法可得，再证得，得出，再由，即可求得答案． 【小问1详解】 ∵，， ∴是等腰直角三角形， ， 在Rt中， ， ； 【小问2详解】 如图，过点作，交的延长线于点，过点作于， 则， ， ∴三点在同一条直线上， ∵， ∴是等腰直角三角形， ， ∵点是的中点，， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ∴是等腰直角三角形， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， 即， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ∴， ， ， ∴是等腰直角三角形， ， ； 【小问3详解】 如图，过点作于点，过点作于点， 由（2）知：， ， 在Rt中， ， ， ∴ 垂直平分线段， ， ， ， ∵于点， ∴， ， ， 在Rt中， ， 在和中， ， ， ， ， ， 即， ． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，三角形面积，全等三角形的判定和性质等，添加辅助线构造全等三角形是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $