精品解析：山东省临沂市郯城县2024-2025学年八年级上学期期中考试数学试卷

2024−2025学年度上学期阶段性质量监测 八年级数学试题 本试卷共6页．满分120分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答题前，考生务必用毫米黑色签字笔将自己的姓名、考生号和座号填写在答题卡和试卷规定的位置上． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案写在试卷上无效． 3．非选择题必须用毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效． 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求． 1. “致中和，天地位焉，万物育焉”，对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，常被用于建筑、器物、绘画、标识等作品的设计上，下列图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 用一条长为的细绳围成一个等腰三角形，若其中有一边长为，则该等腰三角形的腰长为（ ） A. B. C. 或 D. 或 3. 如图，将五边形沿虚线裁去一个角，得到六边形，则下列说法正确的是（ ） ①周长变大； ②周长变小； ③外角和增加； ④六边形的内角和为． A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④ 4. 下列说法正确的是（ ） A. 三角形的高不在三角形内就在三角形外 B. 两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形全等 C. 如果两个三角形全等，则它们必是关于某条直线成轴对称的图形 D. 如果两个三角形关于某条直线成轴对称，那么它们是全等三角形 5. 如图，用直尺和圆规作一个角等于已知角，能得出的依据是（　　） A. B. C. D. 6. 如图，在中，，，是斜边上的高，，，垂足分别是E、F，则图中与（除外）相等的角的个数是（ ） A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 7. 如图，，，添加下列哪一个条件不能使（ ） A. B. ， C. D. 8. 如图，在中，平分，于点，是线段的中点，若，，，则的长是（ ） A. B. C. D. 9. 在平面直角坐标系xOy中，已知点，在y轴上确定点P，使为等腰三角形，则符合条件的有（ ）个． A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 10. 如图，三角形纸片中，，．将点C放在直线l上，过点A作于点D；三角形纸片中，顶点P放在直线l上，，．点M与点B重合，过点N作于点H．若，，，则（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 等腰三角形的一个内角是 ，则它的底角是________． 12. 如图，在中，点D是的中点，分别以点A、C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点F，直线交于点E，连接，若，的周长为，则的周长为________． 13. 在平面直角坐标系中，点关于y轴对称的点的坐标为________． 14. 如图，是四边形的对称轴，如果，有下列结论：；；；，其中正确的结论是______把你认为正确的结论的序号都填上． 15. 如图，在中，，现把沿斜向上折叠得，折叠后产生的夹角、．则________． 16. 如图，弹性小球从点出发，沿箭头方向不停地运动，每当小球碰到长方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第1次碰到长方形的边时的点为，第2次碰到矩形的边时的点为，…，第次碰到矩形的边时的点为，点的坐标是______． 三、解答题：本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤． 17. 如图，在中，是边上的高，，． （1）求的度数； （2）若是的角平分线，交于点，求的度数． 18. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别为，，． （1）请在图中作出关于轴对称的； （2）求的面积． （3）请在x轴上找一点P，使得最小，写出点P的坐标________． 19. 在数学实验课上，老师让同学们以“三角形纸片的折叠为主题”开展数学活动操作发现：对折，使点C落在边上的点E处，得到折痕，把纸片展平，如图1，发现四边形满足：，，查阅资料得知，像这样的有两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”． 初步应用： （1）如图1，在中，若，，那么________ 性质探究：借助学习几何图形的经验，通过观察、实验、猜测、证明等方法，同学们对筝形的性质进行了研究，如图2，求证： （2）； （3），． 20. 如图，A，F，E，C四点在同一条直线上，，，交于点O，且．求证：． 21. 如图1，中，，，于D，平分，交于E，交于F． （1）如图1，求证：是等边三角形； （2）如图1，若，则的长为________． （3）取的中点为G，连接，如图2，求证：． 22. 研究三角形的角平分线： （1）尺规作图：如图1，作的平分线，不写作法，只保留作图痕迹； （2）如图2，与的平分线相交于点，若，则的度数是________； （3）如图3，作外角，的角平分线交于点，试探索，之间的数量关系． 23. 已知：，为的平分线，分别是边、上一点，且，求证：． 方法1：（）已知，，那么________． （）要证，是否需要证明它们所在的三角形全等，又知道为的平分线，可过做辅助线，过作，，垂足分别为，． （）补全图形，并尝试写出证明过程． 方法2：除了方法外，还可以在角平分线两侧构造全等三角形，在射线上取，连接，并思考是否为等腰三角形，补齐图形并尝试写出证明过程． 24. 如图1，点、分别是边长为的等边边、上的动点，点从顶点沿方向运动，点从顶点沿方向同时出发，且它们的速度都为． （1）如图1，连接、交于点，则在、运动的过程中，的大小是否发生变化；若变化，说明理由，若不变，求出的度数； （2）如图1，当运动时间为多少时是直角三角形？ （3）如图2，若点、在运动到终点后继续在射线、上运动，直线、交点为，则的大小变化吗？若变化，请说明理由；若不变，写出它的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024−2025学年度上学期阶段性质量监测 八年级数学试题 本试卷共6页．满分120分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答题前，考生务必用毫米黑色签字笔将自己的姓名、考生号和座号填写在答题卡和试卷规定的位置上． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案写在试卷上无效． 3．非选择题必须用毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效． 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求． 1. “致中和，天地位焉，万物育焉”，对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，常被用于建筑、器物、绘画、标识等作品的设计上，下列图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的定义． 根据轴对称图形的定义依次判断即可．“把一个图形沿着某条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，则这个图形叫做轴对称图形”．判断一个图形是否是轴对称图形，关键是看能否找到对称轴． 【详解】解：选项A、能找到一条直线，沿着直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，故选项A是轴对称图形，符合题意； 选项B、C、D找不到沿着直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的直线，故不是轴对称图形，不符合题意； 故选：A 2. 用一条长为的细绳围成一个等腰三角形，若其中有一边长为，则该等腰三角形的腰长为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的知识点是等腰三角形的性质、三角形的三边关系，解题关键是熟练掌握三角形的三边关系，分情况讨论解题．先根据题意得出两种情况：为腰长时和为底边长时，再根据三角形三边关系判断该情况是否成立，满足三角形三边关系的即为正确答案． 【详解】解：依题得：该三角形是等腰三角形，则有以下两种情况： ①该等腰三角形的腰长为，则底边长为， ，即不符合三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边， 该情况舍去； ②该等腰三角形的底边长为， 则腰长为， 此时三角形三边长分别为，，，满足三角形三边关系， 该情况成立； 综上，该等腰三角形的腰长应为． 故选：B． 3. 如图，将五边形沿虚线裁去一个角，得到六边形，则下列说法正确的是（ ） ①周长变大； ②周长变小； ③外角和增加； ④六边形的内角和为． A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④ 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了多边形的有关知识，解题关键是熟练掌握多边形的内角和定理和外角的性质． 根据三角形两边之和大于第三边，判断周长的大小，从而判断①②，再根据多边形外角性质：多边形的外角和都为，与边数无关判断③，最后根据多边形的内角和定理判断④即可． 【详解】解：∵将五边形沿虚线裁去一个角，得到六边形， ∴该六边形的周长比原五边形的周长小， ∴①的说法错误，②的说法正确； ∵多边形的外角和与边数无关，都是， ∴③的说法错误； ∵五边形的边数增加了1， ∴根据多边形内角和定理可知六边形的内角和为． ∴④的说法正确； 综上可知：说法正确的是②④， 故选：D． 4. 下列说法正确的是（ ） A. 三角形的高不在三角形内就在三角形外 B. 两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形全等 C. 如果两个三角形全等，则它们必是关于某条直线成轴对称的图形 D. 如果两个三角形关于某条直线成轴对称，那么它们是全等三角形 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形的相关概念，全等三角形的判定与性质，轴对称图形的定义．选项A根据三角形的高线的定义判断即可；选项B根据全等三角形的判定方法判断即可；选项C根据全等三角形和轴对称图形的定义判断即可；选项D根据轴对称的性质以及全等三角形的定义判断即可． 【详解】解：A、三角形的高不在三角形内就在三角形外或在三角形的边上，原说法错误，故本选项不符合题意； B、两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等，原说法错误，故本选项不符合题意； C、如果两个三角形全等，它们不一定是关于某条直线成轴对称的图形，原说法错误，故本选项不符合题意； D、如果两个三角形关于某条直线成轴对称，那么它们是全等三角形，说法正确，故本选项符合题意． 故选：D． 5. 如图，用直尺和圆规作一个角等于已知角，能得出的依据是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、作图—基本作图，连接，，由作图得出，，，利用证明，即可得出，熟练掌握三角形全等的判定与性质是解此题的关键． 【详解】解：如图，连接，， 由作图可得：，，， ， ， 能得出的依据是， 故选：D． 6. 如图，在中，，，是斜边上的高，，，垂足分别是E、F，则图中与（除外）相等的角的个数是（ ） A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 【答案】A 【解析】 【分析】题目主要考查垂直的定义及直角三角形两个锐角互余，余角的性质，找准各角之间的关系是解题关键．根据垂直的定义得出直角三角形两个锐角互余，利用等量代换求解即可． 【详解】解：∵是斜边上的高，，，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴图中与(除外)相等的角的个数是3， 故选：A． 7. 如图，，，添加下列哪一个条件不能使（ ） A. B. ， C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是熟练运用全等三角形的判定．分别根据全等三角形的判定方法进行逐项分析，判断，即可解题． 【详解】解：A 、， ， 即， ，， ，不符合题意； B 、，，，， ，不符合题意； C、时，“” 不能使，符合题意； D、，，， ，不符合题意； 故选：C． 8. 如图，在中，平分，于点，是线段的中点，若，，，则的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查三角形角平分线的性质，中线的知识，解题的关键是掌握三角形角平分线的性质，过点作交于点，根据角平分线的性质，则，根据是线段的中点，则，再根据，即可解答． 【详解】解：过点作交于点， ∵平分，于点， ∴， ∵是线段的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故选：D． 9. 在平面直角坐标系xOy中，已知点，在y轴上确定点P，使为等腰三角形，则符合条件的有（ ）个． A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】如果为等腰三角形的腰，有两种可能，以为圆心为半径的圆弧与轴有两个交点，以为圆心为半径的圆弧与轴有一个交点；如果为等腰三角形的底，只有一种可能，作线段的垂直平分线，与轴有一个交点；符合条件的点一共4个． 【详解】解：分情况进行讨论： 当为等腰三角形的腰时，以为圆心为半径的圆弧与轴有两个交点，以为圆心为半径的圆弧与轴有一个交点； 当为等腰三角形的底时，作线段的垂直平分线，与轴有一个交点． 符合条件的点一共4个． 故选：B． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定及坐标与图形的性质；针对线段在等腰三角形中的地位，分类讨论用画圆弧的方式，找与轴的交点，比较形象易懂． 10. 如图，三角形纸片中，，．将点C放在直线l上，过点A作于点D；三角形纸片中，顶点P放在直线l上，，．点M与点B重合，过点N作于点H．若，，，则（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质．过点作于点，依次证明，，，据此计算即可得到结论． 【详解】解：如图，过点作于点，则， ∵， ∴， ∵于点， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∵于点， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 故选：C． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 等腰三角形的一个内角是 ，则它的底角是________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的两底角相等，三角形内角和性质，分类讨论，是解题的关键． 分顶角为和底角为两种情况，结合三角形内角和定理可求得底角． 【详解】解：当顶角为时， 则底角为：； 当底角为时， 则底角为； 故答案为：或． 12. 如图，在中，点D是的中点，分别以点A、C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点F，直线交于点E，连接，若，的周长为，则的周长为________． 【答案】11 【解析】 【分析】本题主要考查了作垂线（尺规作图），线段垂直平分线的性质等知识点，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 根据线段中点的定义可得，由作图过程可知，是的垂直平分线，于是可得，根据​的周长为，可得，进而可求出​的周长． 【详解】解：∵点D​是的中点， ∴， 由作图过程可知，是的垂直平分线， ∴， ∵​的周长为， ∴， ∴， ∴​的周长为： ， 故答案为：． 13. 在平面直角坐标系中，点关于y轴对称的点的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查点关于坐标轴对称的问题．解题关键在于关于y轴对称纵坐标不变，横坐标变为原来相反数可得出答案． 根据点关于y轴对称纵坐标不变，横坐标变为原来相反数可得出答案． 【详解】在平面直角坐标系中，点关于y轴对称的点的坐标为． 故答案为：． 14. 如图，是四边形的对称轴，如果，有下列结论：；；；，其中正确的结论是______把你认为正确的结论的序号都填上． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查轴对称以及菱形的基本性质，注意：对称轴垂直平分对应点的连线，对应角相等，对应边相等．根据轴对称的基本性质可知． 【详解】解：因为是四边形的对称轴，， 则，，， 则， ， ， 所以四边形是菱形． 根据菱形的性质，可以得出以下结论： ，故正确； ，故正确； ，故错误； ，故正确． 故正确的有：． 15. 如图，在中，，现把沿斜向上折叠得，折叠后产生的夹角、．则________． 【答案】##60度 【解析】 【分析】本题考查的是图形折叠的性质．由图形翻折变换的性质可知，，，写出，，再根据三角形内角和定理求解即可． 【详解】由图形翻折变换的性质可知，，， ， ， ，， ， ， ， ， ． 故答案为：． 16. 如图，弹性小球从点出发，沿箭头方向不停地运动，每当小球碰到长方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第1次碰到长方形的边时的点为，第2次碰到矩形的边时的点为，…，第次碰到矩形的边时的点为，点的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了点的坐标规律探索，根据题意画出小球的轨迹示意图，进而得到每6次碰撞为一个循环，小球的坐标依次为，，，，，，再求出2024除以6的余数即可得到答案． 【详解】解：根据题意可知小球的运动轨迹如下： 由图可知小球第一次碰到，第二次碰到，第三次碰到，第四次碰到，第五次碰到，第六次碰到， ∴每6次碰撞为一个循环，小球的坐标依次为，，，，，， ∵， ∴点的坐标是， 故答案为：． 三、解答题：本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤． 17. 如图，在中，是边上的高，，． （1）求的度数； （2）若是的角平分线，交于点，求的度数． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先由三角形内角和定理可求得的度数，再由直角三角形的两锐角互余可求得的度数； （2）先由角平分线的性质可求得的度数，再由外角的性质可求得的度数． 【小问1详解】 解：，，， ， 是边上的高， ， ； 【小问2详解】 解：是的角平分线， ， 是的一个外角， ． 18. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别为，，． （1）请在图中作出关于轴对称的； （2）求的面积． （3）请在x轴上找一点P，使得最小，写出点P的坐标________． 【答案】（1） 如图，即为所求作： （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了作图-轴对称变换，轴对称-最短路线问题，解决本题的关键是掌握轴对称性质． （1）根据轴对称性质即可画出关于y轴对称的； （2）利用割补法求解即可； （3）作B关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，此时的值最小，然后写出点P的坐标即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：的面积为：； 【小问3详解】 解：如图，点P即为所求，． 故答案为：． 19. 在数学实验课上，老师让同学们以“三角形纸片的折叠为主题”开展数学活动操作发现：对折，使点C落在边上的点E处，得到折痕，把纸片展平，如图1，发现四边形满足：，，查阅资料得知，像这样的有两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”． 初步应用： （1）如图1，在中，若，，那么________ 性质探究：借助学习几何图形的经验，通过观察、实验、猜测、证明等方法，同学们对筝形的性质进行了研究，如图2，求证： （2）； （3），． 【答案】（1） （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】（1）可证，可得，即可求解； （2）可证； （3）由线段垂直平分线的性质可得点在的垂直平分线上，点在的垂直平分线上，可证垂直平分线段，即可求解． 本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 【小问1详解】 ， ． 在和中， ， ， ， ， 【小问2详解】 证明： 在和中， ， ∴． 【小问3详解】 （方法不唯一） 证明：∵， ∴点A在的垂直平分线上， ∵， ∴点在的垂直平分线上， ∴垂直平分线段， 即，． 20. 如图，A，F，E，C四点在同一条直线上，，，交于点O，且．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】先证明，再证明即可． 本题考查了三角形全等的判定和性质，熟练掌握三角形全等的判定是解题的关键． 【详解】证明：∵， ∴， 在和中 ∴ ∴， ∵， ∴ ∴， ∵， ∴ 在和中 ∴． 21. 如图1，中，，，于D，平分，交于E，交于F． （1）如图1，求证：是等边三角形； （2）如图1，若，则的长为________． （3）取的中点为G，连接，如图2，求证：． 【答案】（1）见解析 （2） （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质，角平分线的定义，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定等知识．熟练掌握以上知识点是关键． （1）根据直角三角形两个锐角互余可得，根据一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线求出，根据直角三角形两个锐角互余可得，即可证明； （2）根据Rt中，可得，同理，即可求解； （3）由（1）是等边三角形，得到，再由 证明，进而利用证明． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∵平分， ， ， ， ， ， ， ， ∴是等边三角形． 【小问2详解】 解：中， ， ， 由（1）可得， ， ． 【小问3详解】 由（1）得是等边三角形，且G为的中点， ，， ， ， ∵平分， ， ， ， ，则 在和中， ， （AAS）． 22. 研究三角形的角平分线： （1）尺规作图：如图1，作的平分线，不写作法，只保留作图痕迹； （2）如图2，与的平分线相交于点，若，则的度数是________； （3）如图3，作外角，的角平分线交于点，试探索，之间的数量关系． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的尺规作图，与角平分线有关的三角形的角的计算和三角形的内角和定理，外角定理等知识．熟练掌握是解答本题的关键． （1）按照尺规作角平分线作即可； （2）先求出，进而求出，即可求出；； （3）先求出，进而求出，即可求出． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ， 与的平分线相交于点， ，， ， ， 故答案为： 【小问3详解】 解：，理由如下： ，， ， ，的角平分线交于点 ，， ， ． 23. 已知：，为的平分线，分别是边、上一点，且，求证：． 方法1：（）已知，，那么________． （）要证，是否需要证明它们所在的三角形全等，又知道为的平分线，可过做辅助线，过作，，垂足分别为，． （）补全图形，并尝试写出证明过程． 方法2：除了方法外，还可以在角平分线两侧构造全等三角形，在射线上取，连接，并思考是否为等腰三角形，补齐图形并尝试写出证明过程． 【答案】方法：（）； （）如图， （）证明：∵平分，，． ∴，． ∵， ∴． 又∵， ∴ 在和中 ∴ ∴ 方法： 在上截取，连接， ∵平分， ∴， 在和中 ， ∴， ∴，， 由（）得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】[方法]（）由，，求得，于是得到问题的答案； （）作，，垂足分别为，，则，由角平分线的性质得，再证明，即可根据“”证明得； [方法]在上截取，连接，再证明，而，， 即可根据“”证明，得，，则，所以，即可证明； 此题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定等知识，掌握知识点的应用及正确地作出辅助线是解题的关键. 【详解】解：方法：（）∵，， ∴， 故答案为：； （） 略 （） 略 方法： 略 24. 如图1，点、分别是边长为的等边边、上的动点，点从顶点沿方向运动，点从顶点沿方向同时出发，且它们的速度都为． （1）如图1，连接、交于点，则在、运动的过程中，的大小是否发生变化；若变化，说明理由，若不变，求出的度数； （2）如图1，当运动时间为多少时是直角三角形？ （3）如图2，若点、在运动到终点后继续在射线、上运动，直线、交点为，则的大小变化吗？若变化，请说明理由；若不变，写出它的度数． 【答案】（1）不变， （2）当运动时间为秒或秒时，是直角三角形 （3）不变， 【解析】 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形外角的性质、三角形的内角和定理、含角的直角三角形的性质等知识点，熟练掌握知识点推理、数形结合、分类讨论是解题的关键． （1）根据等边三角形的性质，得出，，根据“点从顶点沿方向运动，点从顶点沿方向同时出发，且它们的速度都为”，得出，利用证明，得出，根据三角形外角的性质和等量代换即可得出； （2）根据等边三角形的性质，点从顶点沿方向运动，点从顶点沿方向同时出发，且它们的速度都为，得出，当运动时间为，则，，结合“在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半”，分类讨论，①当时，则，得出求解；②当时，则，得出求解；最后综合得出答案即可； （3）根据等边三角形的性质，求出，根据“点从顶点沿方向运动，点从顶点沿方向同时出发，且它们的速度都为”，得出，推出，利用证明，得出，根据对顶角，结合三角形的内角和定理得出，，推出即可． 【小问1详解】 解：不变，， ∵是等边三角形， ∴， ∵点从顶点沿方向运动，点从顶点沿方向同时出发，且它们的速度都为， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵点从顶点沿方向运动，点从顶点沿方向同时出发，且它们的速度都为，等边边长为， ∴，当运动时间为，则，， ①当时， ∵， ∴， ∴， ， 解得：； ②当时， ∵， ∴， ∴， ， 解得：； ∴当运动时间为秒或秒时，是直角三角形； 【小问3详解】 解：不变，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∵点从顶点沿方向运动，点从顶点沿方向同时出发，且它们的速度都为， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵，，， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $