四川省绵阳南山中学实验学校2024-2025学年高二上学期数学期末模拟试题（七）

绵阳南山中学实验学校高2023级高二（上）期末模拟试题（七） 数 学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 3. 考试结束后，将答题卡交回。 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．向量，，，则 A．9 B．3 C．1 D． 2．甲、乙两人独自破译密码，两个人都成功地破译密码的概率为0.3，甲成功且乙没有成功破译密码的概率为0.2，则甲成功破译密码的概率为 A．0.6 B．0.5 C．0.06 D． 3．已知椭圆 的左焦点是双曲线 的左顶点，则双曲线的渐近线为 A． B． C． D． 4．有两位射击运动员在一次射击测试中各射靶10次，每次命中的环数如下： 甲： 乙： 则下列结论正确的是 A．甲成绩的平均数较小 B．乙成绩的中位数较小 C．乙成绩的极差较大 D．乙比甲的成绩稳定 5．已知四面体，所有棱长均为2，点E，F分别为棱AB，CD的中点，则 A．1 B．2 C．-1 D．-2 6．已知直线过点，且纵截距为横截距的两倍，则直线l的方程为 A． B． C．或 D．或 7.已知圆，直线，若直线与轴交于点，过直线上一点作圆的切线，切点为，且，则的取值范围是 A． B． C． D． 8．已知抛物线x2＝4y上有一条长为6的动弦AB，则AB的中点到x轴的最短距离为 A. B. C.1 D.2 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.南山实验组织全体学生参加了主题为“奋斗百年路，启航新征程”的知识竞赛，随机抽取了200名学生进行成绩统计，发现抽取的学生的成绩都在50分至100分之间，进行适当分组后（每组的取值区间均为左闭右开），如图所示，画出频率分布直方图，下列说法正确的是 A．成绩在区间内的学生有46人 B．图中的值为 C．估计全校学生成绩的中位数约为86.67 D．估计全校学生成绩的分位数为90 10．正方体中，P， Q， R分别是棱的中点，则下列结论正确的是 A．P，Q，R，C四点共面 B．平面PQR C．平面 D．和平面PQR所成角的正弦值为 11．已知椭圆的左、右焦点分别为、，上项点为B，直线与椭圆C相交于M、N两点，点，则下列选项正确的是 A．四边形的周长为12 B．当时，的面积为 C．直线，的斜率之积为 D．若点P为椭圆C上的一个动点，则的最小值为 三、填空题：本大题共 3 小题，每小题5 分，共 15 分。 12．已知双曲线的左焦点为，则左焦点到双曲线的渐近线的距离为 ． 13.已知向量，满足，，且.则在上的投影向量的坐标为 ． 14．已知圆，圆，，分别是圆，上的动点，为直线上的动点，则的最小值为 ． 四、解答题：本大题共5小题，共77分。解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知圆C的方程为：． (1)若直线与圆C相交于A、B两点，且，求实数a的值； (2)过点作圆C的切线，求切线方程． 16．（15分）在中国共产主义青年团成立100周年之际，某校举办了“强国有我，挑战答题”的知识竞赛活动，已知甲、乙两队参加，每队3人，每人回答且仅回答一个问题，答对者为本队赢得1分，答错得0分.假设甲队中3人答对的概率分别为，，，乙队中每人答对的概率均为，且各人回答问题正确与否互不影响. (1)分别求甲队总得分为1分和2分的概率； (2)求活动结束后，甲、乙两队共得4分的概率. 17．（15分）若椭圆过抛物线的焦点，且与双曲线有相同的焦点． (1)求椭圆E的方程； (2)不过原点O的直线与椭圆E交于A、B两点，求面积的最大值以及此时直线l的方程． 18．（17分）如图，在直三棱柱中，分别为的中点． (1)求异面直线与所成角的余弦值； (2)求点到平面的距离； (3)求平面与平面夹角的余弦值． 19．（17分）已知抛物线，为坐标原点，焦点在直线上． (1)求抛物线的标准方程； (2)过点作动直线与抛物线交于，两点，直线，分别与圆交于点，两点（异于点），设直线，斜率分别为，． ①求证：为定值； ②求证：直线恒过定点． 绵阳南山中学实验学校高2023级高二（上）期末模拟试题（七） 数学参考答案 1、 选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的.） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 A B C D D D A D BC BC AD 三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．） 12.2 13. 14．10 四、解答题 15．【解答】（1）圆的方程为：， 则圆的圆心为，半径为2， 直线与圆相交于、两点，且， 则，解得或； （2）当切线的斜率不存在时，直线，与圆相切， 切线的斜率存在时，可设切线为，即， 由切线的定义可知，，解得， 故切线方程为， 综上所述，切线方程为或． 16．【解答】（1）解：依题意记甲队总得分为分为事件，甲队总得分为分为事件， 则， ， 所以甲队总得分为分的概率为，分的概率为； （2）解：依题意甲队总得分为分的概率为， 得分的概率为，得分的概率为，得分的概率为； 乙队总得分为分的概率为，得分的概率为， 得分的概率为，得分的概率为； 则活动结束后，甲、乙两队共得4分的概率. 17．【解析】：（1）抛物线的焦点为，所以， 因为双曲线的焦点坐标为， 所以则， 所以椭圆E的方程为. （2）设， 联立可得， 因为直线与椭圆E交于A、B两点， 所以解得， 由韦达定理可得， 由弦长公式可得， 点到直线的距离为， 所以 当且仅当即时取得等号， 所以面积的最大值为，此时直线的方程为. 18．【解析】：（1）由题意可知两两垂直，如图所示建立空间直角坐标系， 则， 即， 所以， 即异面直线与所成角的余弦值为； （2）由上易知， 设面的一个法向量为，则有， 取，即， 所以点到平面的距离为； （3）由上可知， 设面的一个法向量为，则有， 取，即， 设平面与平面夹角为， 则， 即平面与平面夹角的余弦值. 19．【解析】：（1）易知直线与x轴交于， 即焦点坐标为，所以，， 则抛物线方程为． （2）①设直线方程为，，， 联立方程组，得， 所以，又， 所以，即， 则． ②设直线方程为，， 联立方程组，得， 所以，， ． 整理得，，所以直线过定点． 第 1 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 $$