精品解析：湖南省衡阳市衡南县2024-2025学年高一上学期期末考试数学试题（A卷）

衡南县高一期末考试试卷 数学（A卷） 时量：120分钟 总分：150分 注意事项：请考生把答案写在答题卡上．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息． 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“”的否定为（ ） A. B. C. D. 3. 下列各组函数表示同一个函数的是（ ） A. B. C. D. ． 4. 若，则下列不等式不能成立的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数，若的值域为，则实数的取值范围（ ） A. B. C. D. 7. 已知，则（ ） A. B. C. D. 8. 设函数在区间上的最大值为，最小值为，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 若将的图象向左平移个单位长度，所得图象与原图象重合，则的最小值为4 B. 若，则的最小值为1 C. 若在上单调递减，则的取值范围为 D. 若在上无零点，则的取值范围为 10. 若则下列大小关系错误的是（ ） A. B. C. D. 11. 函数，则下列说法正确的是（ ） A. 是偶函数 B. 是奇函数 C. 是奇函数 D. 是奇函数 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 函数的定义域是________． 13. 某科创公司新开发了一种溶液产品，但这种产品含有的杂质，按市场要求杂质含量不得超过，现要进行过滤，已知每过滤一次杂质含量减少，要使产品达到市场要求，对该溶液过滤的最少次数为______． （参考数据：，） 14. 关于x的不等式恰有2个整数解，则实数a的取值范围是___________. 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知函数． （1）求函数的最大值，并求自变量的取值集合； （2）求该函数的单调递增区间． 16. 已知定义在的函数，对任意的，都有，且当时，． （1）证明：当时，； （2）判断函数的单调性并加以证明； （3）如果对任意的恒成立，求实数的取值范围． 17. 某公司生产一种产品，每年需投入固定成本0.5万元，此外每生产100件这样的产品，还需增加投入0.25万元，经市场调查知这种产品年需求量为500件，产品销售数量为件时，销售所得的收入为万元. （1）该公司这种产品的年生产量为件，生产并销售这种产品所得到的利润关于当年产量的函数为，求； （2）当该公司的年产量为多少件时，当年所获得利润最大？ 18. 已知函数，且是奇函数，且过点． （1）求实数和的值； （2）设，是否存在正实数，使关于的不等式对恒成立，若存在，求出的范围；若不存在，请说明理由． 19. 已知集合，其中为整数，由中元素可构成两个点集和，其中中有个元素，中有个元素．新定义1个性质：若对任意的，必有，则称集合具有性质． （1）已知集合与集合，判断它们是否具有性质，若有，则直接写出其对应的集合；若无，请说明理由； （2）集合具有性质，若，求：集合最多有几个元素？ （3）试判断：集合具有性质是的什么条件，并证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 衡南县高一期末考试试卷 数学（A卷） 时量：120分钟 总分：150分 注意事项：请考生把答案写在答题卡上．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息． 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据交集的定义和运算即可求解. 【详解】由题意知，点满足，点不满足， 所以. 故选：C 2. 命题“”的否定为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用全称量词命题的否定直接判断得解. 【详解】命题“”是全称量词命题，其否定是存在量词命题， 所以所求的否定是. 故选：B 3. 下列各组函数表示同一个函数的是（ ） A. B. C. D. ． 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的定义判断． 【详解】选项A中，定义域不相同，一个是，一个是R，不是同一函数， 选项B中，对应法则不相同，一个是，一个是，不是同一函数， 选项C中，两者定义域与对应法则都相同，是同一函数， 选项D中，对应法则不相同，不是同一函数 故选：C． 4. 若，则下列不等式不能成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据条件，结合结合作差法比较大小得到答案. 【详解】因为，所以，，，， 对于A，，所以，故A成立； 对于B，，所以成立，故B成立； 对于C，，所以，故C成立； 对于D，，结合B选项，，又因为， 所以，所以，故D不成立， 故选：D. 5. 已知，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，，将所求式子变形，利用基本不等式求解. 【详解】由， ，， ， 当且仅当即时等号成立. 故选：B. 6. 已知函数，若的值域为，则实数的取值范围（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先分析函数的取值情况，从而判断，再结合得到，再分和两种情况讨论，当时结合函数在上的单调性，得到从而求出c的取值范围. 【详解】对于函数， 当时，，当时，， 而，有， 依题意，，又，解得，则. 当时，函数在上的取值集合为，不符合题意； 当，函数在上单调递增， 则，∴，解得， ∴实数的取值范围是. 故选：A 7. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】结合二倍角公式和正切函数的性质化简即可得到答案. 【详解】因为， 所以， 因为， 所以， 因为 所以， 即，其余选项无法确定， 故选：B. 8. 设函数在区间上的最大值为，最小值为，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出函数的对称轴，利用正弦函数图象及性质可得区间的端点对应图象上的点关于对称轴对称使得最小，由此求出即可得答案. 【详解】函数中，由，解得， 因此函数的图象对称轴为，周期为， 由正弦函数图象性质知，要使在区间的最大值与最小值的差最小， 当且仅当图象上的点关于的图象对称轴对称， 由的任意性及函数的周期性，不妨取的图象对称轴和， 当对称轴为时，，，， ，； 当对称轴为时，，，， ，， 所以的最小值为. 故选：B 【点睛】关键点点睛：确定函数在区间上的图象关于函数的图象对称轴对称是求解问题的关键. 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 若将的图象向左平移个单位长度，所得图象与原图象重合，则的最小值为4 B. 若，则的最小值为1 C. 若在上单调递减，则的取值范围为 D. 若在上无零点，则的取值范围为 【答案】BC 【解析】 【分析】由题意利用函数的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，得出结论． 【详解】对于A， 若将图象向左平移个单位，所得图象与原来的图象重合， 则，， ，，故的最小值为8，故A错误； 对于B，若，且最小，则函数的图象关于直线对称， ，，即，则的最小值为1，故B正确； 对于C，若在内单调递减，由，所以， 则，，解得，， 令，可得的取值范围为，故C正确； 对于D，若在内无零点，则，，解得，， 令，可得的取值范围；令，可得的取值范围， 故的取值范围为，故D错误， 故选：BC． 10. 若则下列大小关系错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用作差法，结合指数函数的图像与性质可得结果. 【详解】∵，， ∴ 又，∴， ∴， ， 又 ∴ 综上： 故选：BCD. 11. 函数，则下列说法正确的是（ ） A. 是偶函数 B. 是奇函数 C. 是奇函数 D. 是奇函数 【答案】BC 【解析】 【分析】根据函数奇偶性的定义判断函数的奇偶性，再逐项判断四个选项中函数的奇偶性即可. 【详解】因为函数的定义域为R， 又，所以函数为偶函数， 由恒成立，可知函数的定义域为， 又 ， 所以，即函数为奇函数， 对于A，因为， 所以函数既不是奇函数，也不是偶函数，故A错误； 对于B，因为函数的定义域为，又， 所以函数为奇函数，故B正确； 对于C，由指数函数，的值域可知，恒成立； 所以函数的定义域为，又， 所以函数是奇函数，故C正确； 对于D，令，则函数的定义域为，又， 所以函数为偶函数，即函数为偶函数，故D错误. 故选：BC． 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 函数的定义域是________． 【答案】． 【解析】 【分析】求得使函数式有意义的自变量范围即可． 【详解】由题意，解得， 故答案为：． 13. 某科创公司新开发了一种溶液产品，但这种产品含有的杂质，按市场要求杂质含量不得超过，现要进行过滤，已知每过滤一次杂质含量减少，要使产品达到市场要求，对该溶液过滤的最少次数为______． （参考数据：，） 【答案】 【解析】 【分析】设至少需要过滤次，得到，结合对数的运算和参考数据，求得，即可求解. 【详解】设至少需要过滤次，可得，即， 两边取对数，可得，所以， 又因为，所以，所以使产品达到市场要求的过滤次数最少为次． 故答案为：. 14. 关于x的不等式恰有2个整数解，则实数a的取值范围是___________. 【答案】或. 【解析】 【分析】对二次不等式作差，利用平方差因式分解，分析集合的端点范围，结合不等式恰有两个整数解求另一端点的范围，从而得到实数的取值范围. 【详解】由恰有两个整数解，即恰有两个整数解， 所以，解得或， ①当时，不等式的解集为， 因为，所以两个整数解为，则， 即，解得； ②当时，不等式的解集为， 因为，所以两个整数解为，则， 即，解得， 综上所述，实数的取值范围为或 故答案为：或. 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知函数． （1）求函数的最大值，并求自变量的取值集合； （2）求该函数的单调递增区间． 【答案】（1）最大值为，自变量的取值集合为 （2） 【解析】 【分析】（1）利用二倍角公式对解析式化简，根据三角函数最大值以及最大值点的求解方法求解即可； （2）根据三角函数的单调区间的求法求解. 【小问1详解】 根据题意， ， 当时，即时， 函数取得最大值，最大值为，自变量的取值集合. 【小问2详解】 令，解得， 所以函数的单调递增区间为. 16. 已知定义在的函数，对任意的，都有，且当时，． （1）证明：当时，； （2）判断函数的单调性并加以证明； （3）如果对任意的恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）证明：在中， 令，得，所以， 又令得，所以， 当时，，，所以； （2）在上是减函数．证明如下： 任取且，因此有，， 所以， 即，所以在上是减函数； （3）． 【解析】 【分析】（1）利用赋值法，令求得，再令后可证明； （2）由单调性的定义证明； （3）由单调性变形不等式，然后由基本不等式求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由题意， 由得， 由（2）在上是减函数，所以，， 又，当且仅当时等号成立， 所以．所以的范围是， 17. 某公司生产一种产品，每年需投入固定成本0.5万元，此外每生产100件这样的产品，还需增加投入0.25万元，经市场调查知这种产品年需求量为500件，产品销售数量为件时，销售所得的收入为万元. （1）该公司这种产品的年生产量为件，生产并销售这种产品所得到的利润关于当年产量的函数为，求； （2）当该公司的年产量为多少件时，当年所获得利润最大？ 【答案】（1）； （2）当该公司的年产量为475件时，当年获得的利润最大. 【解析】 【分析】（1）根据销售这种产品所得的年利润=销售所得的收入-销售成本，建立函数关系即可； （2）利用配方法，求得当时，，在时取得最大值，当时，，故当该公司的年产量为475件时，获得的利润最大． 【小问1详解】 当时， ， 当时， ， 故； 【小问2详解】 当时， ， 故当时，； 当时，. 故当该公司的年产量为475件时，当年获得的利润最大. 18. 已知函数，且是奇函数，且过点． （1）求实数和的值； （2）设，是否存在正实数，使关于的不等式对恒成立，若存在，求出的范围；若不存在，请说明理由． 【答案】（1），； （2）存在，． 【解析】 【分析】（1）由奇函数性质求得，再代入已知点坐标求得； （2）利用换元法得函数，再分类讨论和，结合函数的单调性转化为不等式问题，利用参变分离求得参数取值范围． 【小问1详解】 是奇函数，且定义域为，则，， 此时，，满足是奇函数， 所以，又图象过点， 所以，解得（负值舍去）． 【小问2详解】 由（1）知，， 因为，令，这是单调增函数，所以， ， 记， 因为在时恒成立，所以在时恒成立， ①若，则在时恒成立， 即为，所以在时恒成立，， 记，， 设，则， 由得，所以，即， 所以在时是增函数，，得， 所以满足题意； ②当时，则， 即且在时恒成立， 在区间上是增函数，同理在区间上也是增函数， 所以的最大值是，的最小值是， 所以且，无解． 综上所述，存在正数，使得函数在上恒成立． 【点睛】方法点睛：本题考查函数不等式恒成立问题，解题时需要利用函数性质进行转化．在与同时出现在一个函数中时，常常利用换元法，设，把函数转化为关于的多项式函数（多为二次函数）进行求解． 19. 已知集合，其中为整数，由中元素可构成两个点集和，其中中有个元素，中有个元素．新定义1个性质：若对任意的，必有，则称集合具有性质． （1）已知集合与集合，判断它们是否具有性质，若有，则直接写出其对应的集合；若无，请说明理由； （2）集合具有性质，若，求：集合最多有几个元素？ （3）试判断：集合具有性质是的什么条件，并证明． 【答案】（1）由于，不符合定义，故不具有性质； 集合具有性质，对应集合，； （2）4950 （3）充分不必要条件，理由如下： 当集合具有性质时， ①对于，根据定义可知：， 又因为集合具有性质，则， 如果，是中的不同元素，那么，中至少有一个不成立， 于是，中至少有一个不成立， 故和也是中不同的元素， 可见的元素个数不多于的元素个数，即， ②对于，根据定义可知：， 又因为集合具有性质，则， 如果，是中的不同元素，那么，中至少有一个不成立， 于是，中至少有一个不成立， 故和也是中不同的元素，可见的元素个数不多于的元素个数，即， 由①②可知. 若，则， ， 满足，而集合不具有性质. 所以集合具有性质是的充分不必要条件. 【解析】 【分析】（1）根据定义做出判断，直接写出集合，. （2）利用定义，探讨出与的关系式，代入求值. （3）利用充分条件、必要条件的定义，结合集合与集合个数的大小关系，推理得证. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由题意可知集合A的元素构成有序数对，共有个， 因为，所以，共有k个， 又因为时，，所以时，， 所以集合的元素个数不超过个， 取，则中元素的个数为4950个， 故中元素的个数最多4950. 【小问3详解】 略 【点睛】方法点睛：新定义问题的方法和技巧：（1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解；（2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻；（3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律；（4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $