精品解析：2025年上海市奉贤区九年级中考一模数学试卷

2024 学年第一学期九年级数学练习 （完卷时间 100 分钟， 满分 150 分） 考生注意： 1． 本试卷含三个大题， 共 25 题． 答题时， 考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答， 在草稿纸、本试卷上答题一律无效． 2． 除第一、二大题外， 其余各题如无特别说明， 都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤． 一、选择题（本大题共 6 题， 每题 4 分， 满分 24 分）下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上 1. 在测量过程中，常常会遇到仰角和俯角，图中是俯角的角是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据俯角的定义解答即可．本题考查了仰角，俯角，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：根据题意，是俯角的是． 故选：C． 2. 下列多项式中，是完全平方式的为（　　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用配方法分别转化为完全平方式的形式即可求解． 【详解】A选项=，故正确 B选项=，故错误 C选项=，故错误 D选项=，故错误 故选：A 【点睛】本题考查配方法的运用，熟练添加常数项，即一次项系数一半的平方是解决问题的关键，添加之后要注意再减去添加的常数项，进行等价转化． 3. 已知函数，其中常数、，那么这个函数的图象不经过的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的性质，由一次函数的解析式得出其图象经过一、二、三象限，不经过第四象限，从而得解，熟练掌握一次函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵一次函数，其中常数、， ∴其图象经过一、二、三象限，不经过第四象限， 故选：D． 4. 下列哪个选项中的矩形与图中的矩形不是相似形（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据相似多边形的定义，对应边成比例且对应角相等的两个多边形相似，解答即可． 本题考查了多边形相似，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：∵原始矩形的长与宽的比值为，且四个角都是直角， A中矩形的长与宽的比值为，且四个角都是直角，与原始矩形相似， 此选项不符合题意； B中矩形的长与宽的比值为，且四个角都是直角，与原始矩形不相似， 此选项符合题意； C中矩形的长与宽的比值为，且四个角都是直角，与原始矩形相似， 此选项不符合题意； D中矩形的长与宽的比值为，且四个角都是直角，与原始矩形相似， 此选项不符合题意； 故选：B． 5. 如图，E是平行四边形ABCD的BA边的延长线上的一点，CE交AD于点F，下列各式中，错误的是( ). A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质得到AB∥CD，AB=CD；AD∥BC，再根据平行线分线段成比例得到==，用AB等量代换CD，得到==；再利用AF∥BC，根据平行线分线段成比例得=，由此可判断A选项中的比例是错误的． 【详解】解：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AB∥CD，AB=CD；AD∥BC， ∴==，而AB=CD， ∴==； 又∵AF∥BC， ∴=． 故选A． 6. 在同一坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】对的符号分类讨论即可确定正确的选项． 【详解】当时，一次函数经过一、二、三象限，二次函数开口向上，顶点在y轴的负半轴，B不符合，C符合要求； 当时，一次函数经过一、二、四象限，二次函数开口向上，顶点在y轴的正半轴，A、D选项均不符合； 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的图象及一次函数的图象的知识，解题的关键是能够对系数的符号进行分类讨论，难度较小． 二、填空题（本大题共 12 题， 每题 4 分， 满分 48 分） 7. 已知，那么=________． 【答案】 【解析】 【分析】根据可得，代入原式即可求解. 【详解】解：∵， ∴， 那么． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了比例的性质，根据比例式用同一个未知数得出x，y的值或者用其中一个未知数表示另一个未知数进而求解是解题关键． 8. 函数的定义域是____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义条件、求函数的定义域，根据分式有意义的条件得出，求解即可． 【详解】解：要使分式有意义，则分母， 即， ∴函数的定义域是， 故答案为：． 9. 已知一个斜坡的坡角为，坡度为，那么____________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用—坡度、坡角问题，由题意可设斜坡的垂直高度为，则水平宽度为，由勾股定理可得斜坡长度，再由余弦的定义求解即可． 【详解】解：∵坡度， ∴设斜坡的垂直高度为，则水平宽度为， ∴由勾股定理可得斜坡长度为， ∴， 故答案为：． 10. 已知正比例函数，如果y的值随着x的增大而增大，那么m的取值范围是_____． 【答案】## 【解析】 【分析】根据正比例函数y的值随着x的增大而增大，得出，即可求出的取值范围． 【详解】解：∵正比例函数，y的值随着x的增大而增大， ∴， 解得：． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了正比例函数的性质，解题的关键是熟练掌握正比例函数的性质，正比例函数，当时，y的值随着x的增大而增大，当时，y的值随着x的增大而减小． 11. 已知是单位向量，向量与的方向相反，且长度为，那么用表示是____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数与向量相乘，熟练掌握向量的定义、表示方法及运算法则是解题的关键． 根据向量的表示方法进行解答即可． 【详解】解：∵的长度为，向量是单位向量， ∴， 又∵向量与的方向相反， ∴， 故答案为：． 12. 在平面直角坐标系的第一象限内有一点，射线与x轴正半轴的夹角为，如果，那么点P坐标为____________． 【答案】 【解析】 【分析】过点P作轴于点M，利用三角函数的定义，勾股定理，点的坐标的意义解答． 本题考查了正弦函数的应用，勾股定理，坐标的确定，熟练掌握正弦函数，勾股定理是解题的关键． 【详解】解：如图，过点P作轴于点M， ∵，， ∴， ∴， ∴点． 故答案：． 13. 如果点M把线段分割成和两段，其中是与的比例中项，那么的值为____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据黄金分割点的定义即点把线段分成两条线段，较长线段是较短线段和全长线段的比例中项，这个点就是线段的黄金分割点，列式判断即可． 本题考查了一元二次方程的实际应用及黄金分割点的定义，熟练掌握黄金分割是解题的关键． 【详解】解：根据题意，，则， ∵是与的比例中项， ∴， 整理，得 解得 ∴，（舍去）， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 一个边长为10厘米的正方形，如果它的边长减少x厘米，则正方形的面积随之减少y平方厘米，那么y关于x的函数解析式是____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题列出二次函数，先计算出原正方形的面积，再计算出边长减少后的正方形的面积，作差即可得解． 【详解】解：原正方形面积为（平方厘米）， 边长减少厘米后，新正方形边长为厘米，面积为平方厘米， 则， 故答案为：． 15. 如图，点是的角平分线的中点，点、分别在、边上，线段过点，且，那么和的面积比是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，先证，推出，再证，则． 【详解】解：点是的中点， ， 是的角平分线， ， 又，即， ， ； ，， ， ， 和的面积比是， 故答案为：． 16. 等腰三角形中， 分别是边上的中线，且 ，那么 _____． 【答案】3 【解析】 【分析】设与交于Q，连接并延长交于点，由题意得，点为的重心，则为中点，，则为等腰直角三角形，设，则，即可求解． 【详解】解：设与交于Q，连接并延长交于点， 由题意得，点为的重心， ∴为中点， ∵， ∴， ∵，为中点 ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴设，则， ∴， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了求一个角的正切值，等腰三角形的性质，重心的性质，直角三角形的性质等知识，熟练掌握知识点是解题的关键． 17. 二次函数的图象经过点，其中m、n为常数，那么的值为____________． 【答案】##0.6 【解析】 【分析】根据得抛物线的对称轴为直线，，抛物线变形为，把代入得；把代入，得到，解答即可． 本题考查了抛物线的对称轴的意义，图象于点的关系，对称点坐标与对称轴的关系，熟练掌握抛物线的性质是解题的关键． 【详解】解：∵是抛物线图象上的点， ∴抛物线的对称轴为直线，， ∴， ∴抛物线变形为， 把代入得； 把代入，得， ∴． 故答案为：． 18. 如图，和中，，点M在边上，点N在边上，分割所得的两个三角形分别与分割所得的两个三角形相似，那么线段的长是____________． 【答案】4或 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的判定，牢记相似三角形判定方法是解题关键，分两种情况讨论分别根据相似三角形性质分别求解即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， 如图，分的两个三角形与分的两个三角形相似， 当时，有， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理，，则有， ∴，即， 又， ∴； 同理，当分的两个三角形相似存在 当时，有， ∴， 同理，当时，， ∴， 又， ∴， ∴； 综上，的长是4或． 三、解答题（本大题共7题， 满分78分） 19. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了特殊角的三角函数值的混合运算和二次根式的运算，根据特殊角的三角函数值逐个求解，再利用二次根式运算，最后根据有理数加减运算求解即可得到答案． 【详解】解： ． 20. 新定义：若一个点的纵坐标是横坐标的3倍，那么称这个点为三倍点．已知反比例函数的图象经过点，二次函数的图象经过点A及反比例函数图象上的三倍点，求二次函数的解析式． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了求二次函数解析式，反比例函数解析式，解题的关键是熟练掌握待定系数法．先求出反比例函数解析式为，然后再求出反比例函数图象上的三倍点，然后用待定系数法求出二次函数解析式即可． 【详解】解：设反比例函数解析式为 ， ∵经过点， ∴， ∴反比例函数为， 设三倍点坐标为，代入反比例函数得 ， 解得：或， 则三倍点为或， 把，，代入二次函数得： 解得， ∴二次函数解析式为：． 21. 如图，，与相交于点，点F在上，． （1）求的长； （2）设，用含的式子表示． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质以及平面向量的加减运算． （1）根据可得，得出根据得出，进而根据相似三角形的性质，即可得出结论； （2）根据（1）可得，则，根据相似三角形的性质可得，结合平面向量的加减运算即可得出结论即可求得答案． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴． ， ∵与高相同， ∴． ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴． ∴ 【小问2详解】 ∵，，， ∴， ∵ ∴ ∴ ∴ 又∵，则， ∴ ∴， ∴ 22. 桔槔是古代汉族的一种农用工具，也是一种原始的汲水工具，它的工作原理基于杠杆原理，通过一根竖立的支架加上一根杠杆，当中是支点，末端悬挂一个重物，前段悬挂水桶．当人把水桶放入水中打满水以后，由于杠杆末端的重力作用，便能轻易把水提拉至所需处．这种工具可以省力地进行汲水，减轻劳动者的劳动强度． 如图所示，线段代表固定支架，点D、点C分别代表重物和水桶，线段是无弹力、固定长度的麻绳，绳长米，木质杠杆米． （1）当水桶C的位置低于地面米（如图1所示），支架与绳子之间的距离是米，且，求这个桔槔支架的高度； （2）向上提水桶C上升到地面上方米（如图2所示），求此时重物D相对于（1）中的位置下降的高度． 【答案】（1）米 （2）米 【解析】 【分析】（1）过点A作于点N，利用余切函数的定义，平行线的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，余弦函数，解直角三角形的即可． （2）如图2，过点A作于点Q，过点C作于点P，过点O作于点K，则米，四边形是矩形，解直角三角形解答即可． 【小问1详解】 解：如图1，过点A作于点N， ∵，， ∴（米）， ∴（米）， ∴， ∵，米， ∴，米， ∴米， 设与地面的交点为G， 则米，四边形是矩形， ∴， ∵米， ∴米， ∴米． 【小问2详解】 解：如图2，过点A作于点Q，过点C作于点P， 过点O作于点K， 则米，四边形是矩形， ∴米， ∵米， ∴米， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴米， 根据（1）得（米）， ∴此时重物D相对于（1）中的位置下降的高度为米． 【点睛】本题考查了余切函数，余弦函数，勾股定理，矩形的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握三角函数的应用是解题的关键． 23. 已知，如图，在中，点D在边上，点M、N在边上，是线段与的比例中项，分别交于点E、F． （1）求证：； （2）若点O为边的中点，连接，且，求证：． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据，证明，得到，，结合可以证明，继而得到，证明，结合证明，等量代换即可证明． （2）在上截取，连接，证明，再三角形相似，平行线的判定证明，解答即可． 【小问1详解】 证明：∵是线段与的比例中项， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 证明：在上截取，连接， ∵点O为边的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， ∴． 【点睛】本题考查了三角形相似的判定和性质，三角形中位线定理，平行线的判定和性质，比例中项的意义，熟练掌握三角形相似的判定和性质是解题的关键． 24. 在直角坐标平面中，直线向下平移5个单位后，正好经过抛物线的顶点C，抛物线与y轴交于点B． （1）求点C的坐标； （2）点M在抛物线对称轴上，且位于C点下方，当时，求点M的坐标； （3）将原抛物线顶点C平移到直线上，记作点，新抛物线与y轴的交点记作点，当时，求的长． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）先求出点的横坐标为，再求出直线平移后的解析式，然后将代入计算即可得解； （2）求出，由题意可得点的横坐标为，作轴于，轴于，则，，，，可证得为等腰直角三角形，于是可得，进而证得，于是可得，解直角三角形即可求出，进而得出点的纵坐标为，于是得解； （3）用待定系数法求出，得到抛物线的解析式为，设，则新抛物线的解析式为，求出，得到，点在直线上，作轴于，则，，可证得为等腰直角三角形，于是可得，进而可得，求解即可得出答案． 【小问1详解】 解：∵抛物线， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴点的横坐标为， 将直线向下平移5个单位后得到的解析式为， ∵直线向下平移5个单位后，正好经过抛物线的顶点C， ∴在中，当时，，即； 小问2详解】 解：在中，令，则，即：， ∵点M在抛物线对称轴上， ∴点的横坐标为， 如图，作轴于，轴于， 则，，，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴，即：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点的纵坐标为，即：点的纵坐标为， ∴； 【小问3详解】 解：将代入，得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为， 设，则新抛物线的解析式为， 在中，当时，， ∴， ∴， 如图，点在直线上，作轴于， 则，， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， 解得：或， 当时，， 当时，， 综上所述，的长为或． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，二次函数的图象与性质，一次函数的平移，二次函数图象的平移，等腰直角三角形的判定与性质，解直角三角形的相关计算，求一次函数的函数值等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，同时添加适当的辅助线是解题的关键． 25. 如图，矩形中，，点E在射线上，点F在射线上，且，射线与对角线交于点G，与射线交于点M． （1）当点E在线段上时，求的正切值； （2）当G是中点时，求的值； （3）当，且与相似时，直接写出的长． 【答案】（1）； （2）； （3）当，且与相似时，的长为或． 【解析】 【分析】（1）先证明，推出，得到，再证明，得到，再利用正切函数的定义即可求解； （2）证明点四点共圆，得到点是矩形的中心，再证明四边形是菱形，设，则，再设，则，在中，利用勾股定理求得，据此求解即可； （3）分两种情况讨论，当点E在线段上时，设，则，证明，推出，再证明，利用相似三角形的性质列式计算可求得的长；当点E在延长线上时，证明，利用相似三角形的性质列式计算可求得的长． 【小问1详解】 解：∵矩形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，又， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：连接，，， 由（1）得， ∴点四点共圆， ∴， ∵G是中点， ∴点是矩形的中心， ∴点三点共线， ∴， ∵矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵，即， ∴平行四边形是菱形， ∴， 设，则， 再设，则， 在中，，即， 解得， ∴； 【小问3详解】 解：∵， ∴，当点E在线段上时， ∵， ∴当时，， ∵点四点共圆， ∴， ∴， 设， 由（1）得， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 整理得， 解得， ∴； 当点E在延长线上时， ∵， ∴当时，， 同理点四点共圆， ∴， ∵， ∴，， 设， 同理得， ∵， ∴， ∴，即， 整理得， 解得， ∴； 综上，当，且与相似时，的长为或． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，四点共圆，解一元二次方程，勾股定理，解直角三角形．正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024 学年第一学期九年级数学练习 （完卷时间 100 分钟， 满分 150 分） 考生注意： 1． 本试卷含三个大题， 共 25 题． 答题时， 考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答， 在草稿纸、本试卷上答题一律无效． 2． 除第一、二大题外， 其余各题如无特别说明， 都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤． 一、选择题（本大题共 6 题， 每题 4 分， 满分 24 分）下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上 1. 在测量过程中，常常会遇到仰角和俯角，图中是俯角的角是（ ） A. B. C. D. 2. 下列多项式中，是完全平方式的为（　　　） A. B. C. D. 3. 已知函数，其中常数、，那么这个函数的图象不经过的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 4. 下列哪个选项中的矩形与图中的矩形不是相似形（ ） A. B. C. D. 5. 如图，E是平行四边形ABCD的BA边的延长线上的一点，CE交AD于点F，下列各式中，错误的是( ). A. B. C. D. 6. 在同一坐标系中，一次函数与二次函数图象可能是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共 12 题， 每题 4 分， 满分 48 分） 7. 已知，那么=________． 8. 函数的定义域是____________． 9. 已知一个斜坡的坡角为，坡度为，那么____________． 10. 已知正比例函数，如果y的值随着x的增大而增大，那么m的取值范围是_____． 11. 已知是单位向量，向量与的方向相反，且长度为，那么用表示是____________． 12. 在平面直角坐标系的第一象限内有一点，射线与x轴正半轴的夹角为，如果，那么点P坐标为____________． 13. 如果点M把线段分割成和两段，其中是与的比例中项，那么的值为____________． 14. 一个边长为10厘米的正方形，如果它的边长减少x厘米，则正方形的面积随之减少y平方厘米，那么y关于x的函数解析式是____________． 15. 如图，点是的角平分线的中点，点、分别在、边上，线段过点，且，那么和的面积比是________． 16. 等腰三角形中， 分别是边上中线，且 ，那么 _____． 17. 二次函数的图象经过点，其中m、n为常数，那么的值为____________． 18. 如图，和中，，点M在边上，点N在边上，分割所得的两个三角形分别与分割所得的两个三角形相似，那么线段的长是____________． 三、解答题（本大题共7题， 满分78分） 19. 计算： 20. 新定义：若一个点的纵坐标是横坐标的3倍，那么称这个点为三倍点．已知反比例函数的图象经过点，二次函数的图象经过点A及反比例函数图象上的三倍点，求二次函数的解析式． 21. 如图，，与相交于点，点F在上，． （1）求的长； （2）设，用含的式子表示． 22. 桔槔是古代汉族的一种农用工具，也是一种原始的汲水工具，它的工作原理基于杠杆原理，通过一根竖立的支架加上一根杠杆，当中是支点，末端悬挂一个重物，前段悬挂水桶．当人把水桶放入水中打满水以后，由于杠杆末端的重力作用，便能轻易把水提拉至所需处．这种工具可以省力地进行汲水，减轻劳动者的劳动强度． 如图所示，线段代表固定支架，点D、点C分别代表重物和水桶，线段是无弹力、固定长度的麻绳，绳长米，木质杠杆米． （1）当水桶C的位置低于地面米（如图1所示），支架与绳子之间的距离是米，且，求这个桔槔支架的高度； （2）向上提水桶C上升到地面上方米（如图2所示），求此时重物D相对于（1）中的位置下降的高度． 23. 已知，如图，在中，点D在边上，点M、N在边上，是线段与比例中项，分别交于点E、F． （1）求证：； （2）若点O为边中点，连接，且，求证：． 24. 在直角坐标平面中，直线向下平移5个单位后，正好经过抛物线的顶点C，抛物线与y轴交于点B． （1）求点C的坐标； （2）点M在抛物线对称轴上，且位于C点下方，当时，求点M的坐标； （3）将原抛物线顶点C平移到直线上，记作点，新抛物线与y轴的交点记作点，当时，求的长． 25. 如图，矩形中，，点E在射线上，点F在射线上，且，射线与对角线交于点G，与射线交于点M． （1）当点E在线段上时，求的正切值； （2）当G是中点时，求值； （3）当，且与相似时，直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$