精品解析：安徽省宿州市萧县2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试题

萧县2024—2025学年度第一学期期中质量检测九年级数学试卷 时间：120分钟；满分：150分 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 菱形，矩形、正方形都具有的性质是（ ） A. 邻边相等 B. 四个角都是直角 C. 对角线互相垂直 D. 对角线互相平分 2. 若关于x的方程是一元二次方程，则m的值为（ ） A. B. 2 C. D. 0 3. 翻花绳是中国民间流传的儿童游戏，这是一种利用绳子玩的玩意，只需灵巧的手指，就可翻转出许多的花样． 如图1就是其中一种花样，可以抽象为图2，在矩形 中，，的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 在一个不透明的袋子里装有5个红球和若干个白球，它们除颜色外其余完全相同，通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.2附近，则估计袋中的白球大约有( )个 A. 10 B. 15 C. 20 D. 25 5. 如图所示，丽丽家有一个菱形中国结装饰，对角线相交于点，测得，过点作于点，则的长为（ ） A. B. C. D. 6. 老师设计了接力游戏，用合作的方式完成配方法解一元二次方程，规则：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后解出方程．过程如图所示： 接力中，自己负责的一步出现错误的是（ ） A. 只有甲 B. 甲和丙 C. 乙和丙 D. 丙和丁 7. 如图，点A，B都在格点上（网格小正方形的边长为1），点C是线段AB与网格线的交点，则AC 的长为（ ） A. B. C. 2 D. 3 8. 对于实数定义新运算：，若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围（ ） A. B. C. 且 D. 且 9. 某品牌汽车将汽车倒车镜设计为整个车身黄金分割点的位置（如图），若车头与倒车镜的水平距离为1.58米，倒车镜到车尾部分的水平距离较长，则该车车身总长约为（ ） A. 4.14米 B. 2.56米 C. 6.70米 D. 3.82米 10. 在平面直角坐标系中，正方形的位置如图所示，点的坐标为，点的坐标为，延长交轴于点，作正方形，延长交轴于点，作正方形按这样的规律进行下去，第2019个正方形的面积为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 某市中考体育考试考查5个项目，具体规定是：项目必考，再从，，，四项中随机抽考两项，小明参加了本次体育考试，则小明的考试项目恰好是，，的概率是______． 12. 根据图中的程序，当输入一元二次方程x2﹣2x=0的解x时，输出结果y=_____． 13. 现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高速发展，我市某家快递公司，今年1月份与3月份完成投送的快递件数分别为万件和万件．如果按此平均速度增长，该公司4月份投递的快递总件数将达到______万件． 14. 如图，点G是矩形的边的中点，点H是边上的动点，将矩形沿折叠，点A，B的对应点分别是点E，F，且点E在矩形内部，过点E作分别交，于点M，N，连接．（1）若，则_________°；（2）若，，当G，E，C三点在同一条直线上时，的长为_________． 三、解答题（本大题共2题，每题8分，满分16分） 15. 解方程： （1）； （2）. 16. 北京举行了第届冬季奥林匹克运动会，成为奥运史上第一个举办过夏季奥林匹克运动会和冬季奥林匹克运动会的城市．下图分别是冬奥会吉祥物“冰墩墩”、吉祥物“雪容融”、会徽“冬梦”、会徽“飞跃”．王老师制作了张正面分别印有这四个图案的卡片（卡片的形状、大小、颜色和质地等都相同），并将这张卡片背面朝上洗匀． （1）小刚从这张卡片中任意抽出一张卡片，再从剩下的卡片中任意抽出一张卡片，请利用树状图求抽出的两张卡片上的图案都是吉祥物的概率． （2）小杰从这张卡片中任意抽出一张卡片，放回洗匀后，再从中任意抽出一张卡片，请利用树状图求抽出的两张卡片上的图案都是吉祥物的概率． 四、（本大题共2题，每小题8分，满分16分） 17. 根据龙湾风景区的旅游信息，某公司组织一批员工到该风景区旅游，支付给旅行社28000元.你能确定参加这次旅游的人数吗？ 18. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点都位于格点上，按要求完成下列任务． （1）画出关于直线的轴对称图形． （2）以点为位似中心，在网格中出画出，使得与位似，且位似比为． 五、（本大题共2题，每小题10分，满分20分） 19. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根； （2）如果方程的两个实数根为，且为整数，求整数m所有可能的值． 20. 如图，小明设计如下的正方形图案，外一层是空心圆，内部全是实心圆，归纳图案中的规律，完成下列任务． （1）图案4中，空心圆有______个；图案中实心圆有______个时，空心圆有______个； （2）此类图案中是否存在实心圆比空心圆多8个，请你作出判断并说明理由． 六、（本题满分12分） 21. 深化素质教育，促进学生全面发展，合肥市50中开展了丰富多彩的社团活动．为了了解七年级新生对选择社团的意向，对该校600名七年级新生进行了抽样调查． 调查问卷 1．你最喜欢的社团 （单选） A．机器人社团 B．足球、篮球社团 C．模拟联合国 D．民乐社团 秦奋同学根据有效问卷绘制了如图所示的两幅统计图（不完整），请根据图中信息，解答下列问题： （1）求扇形统计图中的值，并补全条形统计图； （2）在扇形统计图中，“B．足球、篮球社团”部分所占圆心角的度数为 ； （3）在社团招新生时，七（2）班的甲同学从他喜欢的A．机器人社团、B．足球、篮球社团、C．模拟联合国中随机选择了一个社团，乙同学也从他喜欢的A．机器人社团、C．模拟联合国、D．民乐社团中随机选择了一个社团，求他们进入了同一社团的概率． 七、（本题满分12分） 22. 我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用． 例如：已知可取任何实数，试求二次三项式的最小值． 解： 无论取何实数，都有， ，即的最小值为2． 试利用配方法解决下列问题： （1）直接写出的最小值 ； （2）比较代数式与的大小，并说明理由； （3）如图，在四边形中，．若，求四边形面积的最大值． 八、（本题满分14分） 23. 如图，在正方形中，点F是的中点，连接并延长，与的延长线交于点E，作的平分线交的延长线于点G，分别交，于点H，M． （1）如图1，求的值； （2）如图1，求证：； （3）如图2，连接，，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 萧县2024—2025学年度第一学期期中质量检测九年级数学试卷 时间：120分钟；满分：150分 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 菱形，矩形、正方形都具有的性质是（ ） A. 邻边相等 B. 四个角都是直角 C. 对角线互相垂直 D. 对角线互相平分 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了菱形，矩形、正方形的性质，根据矩形、菱形、正方形都是平行四边形进行判定即可． 【详解】矩形、菱形、正方形都是平行四边形，所以一定都具有的性质是平行四边形的性质，即对角线互相平分． 故选：D． 2. 若关于x的方程是一元二次方程，则m的值为（ ） A. B. 2 C. D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，正确掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 根据一元二次方程的定义，列出关于m的一元二次方程和一元一次不等式，即可求解． 【详解】解：∵是一元二次方程， ∴，， 解得， 故选：A． 3. 翻花绳是中国民间流传的儿童游戏，这是一种利用绳子玩的玩意，只需灵巧的手指，就可翻转出许多的花样． 如图1就是其中一种花样，可以抽象为图2，在矩形 中，，的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质、平行四边形的判定与性质等知识点，灵活运用相关判定、性质定理是解答本题的关键．由余角的性质得，求出，然后根据中间的四边形是平行四边形即可求解． 【详解】如图， 四边形 是矩形， ， ，， ， ， ， ， ， ， 故选B． 4. 在一个不透明的袋子里装有5个红球和若干个白球，它们除颜色外其余完全相同，通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.2附近，则估计袋中的白球大约有( )个 A. 10 B. 15 C. 20 D. 25 【答案】C 【解析】 【分析】由摸到红球的频率稳定在0.2附近得出口袋中得到红色球的概率，进而求出白球个数即可． 【详解】设白球个数为x个， ∵摸到红色球的频率稳定在0.2左右， ∴口袋中得到红色球的概率为0.2， ∴， 解得：x=20， 经检验x=20是原方程的根， 故白球的个数为20个． 故选C． 【点睛】此题主要考查了利用频率估计概率，根据大量反复试验下频率稳定值即概率得出是解题关键． 5. 如图所示，丽丽家有一个菱形中国结装饰，对角线相交于点，测得，过点作于点，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质、勾股定理，熟练掌握性质定理是解题的关键． 根据菱形的性质得出，，，再根据勾股定理即可得出，然后再利用三角形面积公式即可得出答案． 【详解】解： 四边形为菱形， ，，，， ， 在中， 故答案为A． 6. 老师设计了接力游戏，用合作的方式完成配方法解一元二次方程，规则：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后解出方程．过程如图所示： 接力中，自己负责的一步出现错误的是（ ） A. 只有甲 B. 甲和丙 C. 乙和丙 D. 丙和丁 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程．熟练掌握配方法解一元二次方程是解题的关键． 根据配方法解一元二次方程判断作答即可． 【详解】解：由题意知，甲中， 丙中， ∴甲和丙出现了错误， 故选：B． 7. 如图，点A，B都在格点上（网格小正方形的边长为1），点C是线段AB与网格线的交点，则AC 的长为（ ） A. B. C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】如图，利用勾股定理求出的长，再利用平行线分线段对应成比例，进行求解即可． 【详解】解：如图：， ∴， 在中，， 则：， ∵， ∴， ∴； 故选B． 【点睛】本题考查勾股定理，以及平行线分线段对应成比例．熟练掌握平行线分线段对应成比例，是解题的关键． 8. 对于实数定义新运算：，若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】C 【解析】 【分析】本题属于新定义题目，考查一元二次方程的根的判别式．根据新定义运算法则列方程，然后根据一元二次方程的概念和一元二次方程的根的判别式列不等式求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， 即， ∵关于的方程有两个不相等的实数根， ∴，， 解得：且，故C正确． 故选：C． 9. 某品牌汽车将汽车倒车镜设计为整个车身黄金分割点的位置（如图），若车头与倒车镜的水平距离为1.58米，倒车镜到车尾部分的水平距离较长，则该车车身总长约为（ ） A. 4.14米 B. 2.56米 C. 6.70米 D. 3.82米 【答案】A 【解析】 【分析】设整个车身长为，点C表示倒车镜位置，根据黄金分割确定的长，继而确定车身长，对照选项判断即可． 【详解】解：如图，设整个车身长为，点C表示倒车镜位置， 根据题意，米， ∴米， ∴车长米， 故选A． 【点睛】本题考查了线段的黄金分割点，准确理解黄金分割点的意义并正确计算是解题的关键． 10. 在平面直角坐标系中，正方形的位置如图所示，点的坐标为，点的坐标为，延长 交轴于点，作正方形，延长交轴于点，作正方形按这样的规律进行下去，第2019个正方形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由正方形的面积得，由正方形的性质结合相似三角形的判定方法得，由相似三角形的性质得，可求，同理可求，即可求解． 【详解】解： 点的坐标为，点的坐标为， ，， ， ， ， 四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 同理可求：， ， ， 第2019个正方形的面积为． 故选：A． 【点睛】本题考查了规律探究，正方形的性质，相似三角形的判定及性质，勾股定理等；能由正方形的性质，相似三角形的判定及性质找出规律是解题的关键． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 某市中考体育考试考查5个项目，具体规定是：项目必考，再从，，，四项中随机抽考两项，小明参加了本次体育考试，则小明的考试项目恰好是，，的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是用列表法或树状图法求概率．注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率所求情况数与总情况数之比．首先根据题意列出表格，然后由表格求得所有等可能的结果与恰好选中、两项的情况，再利用概率公式即可求得答案． 【详解】解：列表得： 选考1 选考2 B C D E B C D E 项目必考，再从、、、四项中随机抽考两项， 共有12种等可能的结果，恰好选中、两项的有2种情况， （小明的考试项目恰好是，、． 故答案为：． 12. 根据图中的程序，当输入一元二次方程x2﹣2x=0的解x时，输出结果y=_____． 【答案】﹣4或2 【解析】 【分析】先求出x的值，再根据程序代入求出即可． 【详解】x2-2x=0， 解得：x1=0，x2=2， 当x=0≤1时，y=x-4=-4； 当x=2＞1时，y=-x+4=2； 故答案为-4或2． 13. 现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高速发展，我市某家快递公司，今年1月份与3月份完成投送的快递件数分别为万件和万件．如果按此平均速度增长，该公司4月份投递的快递总件数将达到______万件． 【答案】 【解析】 【分析】设该公司每月的投递总件数的平均增长率为x，结合题意依据增长模型建立方程，求得增长率，从而可求解． 【详解】解：设该公司每月的投递总件数的平均增长率为x， 根据题意得：， 解得：或（不合题意，舍去）， 按此平均速度增长，则该公司4月份投递的快递总件数将达到： （万件）， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用中的增长率问题，一般形式为，a为起始时间的有关数量，b为终止时间的有关数量．根据数量关系得出关于x的一元二次方程是解题的关键． 14. 如图，点G是矩形的边的中点，点H是边上的动点，将矩形沿折叠，点A，B的对应点分别是点E，F，且点E在矩形内部，过点E作分别交，于点M，N，连接．（1）若，则_________°；（2）若，，当G，E，C三点在同一条直线上时，的长为_________． 【答案】 ①. 63 ②. 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质，等腰三角形的判定及性质，矩形的判定及性质，勾股定理等；（1）由折叠得，，由等腰三角形的性质得，由外角的性质得， 由即可求解；（2）过作交于，由勾股定理得求出，由折叠及平行线的性质得，由勾股定理得，即可求解； 掌握折叠的性质，熟练利用勾股定理求解是解题的关键． 【详解】解：（1） 四边形是矩形， ， 由折叠得：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）如图，过作交于， 四边形是矩形， ， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， 是的中点， ， ∴ ， 由折叠得： ， ， ， ， ， ， ； 故答案为：． 三、解答题（本大题共2题，每题8分，满分16分） 15. 解方程： （1）； （2）. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用配方法解方程； （2）先移项得到，然后利用因式分解法解方程． 【小问1详解】 ， ， ，即， ∴， ∴； 【小问2详解】 ， ， ∴或， ∴ 【点睛】本题考查了因式分解法解一元二次方程：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了配方法． 16. 北京举行了第届冬季奥林匹克运动会，成为奥运史上第一个举办过夏季奥林匹克运动会和冬季奥林匹克运动会的城市．下图分别是冬奥会吉祥物“冰墩墩”、吉祥物“雪容融”、会徽“冬梦”、会徽“飞跃”．王老师制作了张正面分别印有这四个图案的卡片（卡片的形状、大小、颜色和质地等都相同），并将这张卡片背面朝上洗匀． （1）小刚从这张卡片中任意抽出一张卡片，再从剩下的卡片中任意抽出一张卡片，请利用树状图求抽出的两张卡片上的图案都是吉祥物的概率． （2）小杰从这张卡片中任意抽出一张卡片，放回洗匀后，再从中任意抽出一张卡片，请利用树状图求抽出的两张卡片上的图案都是吉祥物的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个参与者取胜的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． （1）用树状图列举出所有情况，看所求的情况占总情况的多少即可； （2）用树状图列举出所有情况，看所求的情况占总情况的多少即可． 【小问1详解】 用A，B，C，D分别表示 “冰墩墩”、 “雪容融”、 “冬梦”、 “飞跃”． 画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中抽取的2张卡片上的图案都是吉祥物的结果有2种， ∴抽取的2张卡片上的图案都是吉祥物的概率为． 【小问2详解】 用A，B，C，D分别表示 “冰墩墩”、 “雪容融”、 “冬梦”、 “飞跃”． 画树状图如下： 共有16种等可能的结果，其中抽取的2张卡片上的图案都是吉祥物的结果有4种， ∴抽取的2张卡片上的图案都是吉祥物的概率为． 四、（本大题共2题，每小题8分，满分16分） 17. 根据龙湾风景区的旅游信息，某公司组织一批员工到该风景区旅游，支付给旅行社28000元.你能确定参加这次旅游的人数吗？ 【答案】参加旅游的人数40人. 【解析】 【分析】首先设有人参加这次旅游，判定，然后根据题意列出方程，再判定出符合题意的解即可. 【详解】设有人参加这次旅游 ∵ ∴参加人数 依题意得： 解得：， 当时，，符合题意. 当时，，不符合题意 答：参加旅游的人数40人. 【点睛】此题主要考查一元二次方程的实际应用，解题关键是理解题意，列出方程. 18. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点都位于格点上，按要求完成下列任务． （1）画出关于直线的轴对称图形． （2）以点为位似中心，在网格中出画出，使得与位似，且位似比为． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查作图——轴对称变换及位似变换，正确利用网格，根据轴对称及位似图形的性质找出对应点是解题关键． （1）根据轴对称的性质分别找出点A、B、C的对应点，，，顺次连接即可得答案； （2）连接并延长到，根据网格特征使，同理找出点B、C的对应点B2、C2，顺次连接即可得答案． 【小问1详解】 如图，即为所求： 【小问2详解】 如图，即为所求： 五、（本大题共2题，每小题10分，满分20分） 19. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根； （2）如果方程的两个实数根为，且为整数，求整数m所有可能的值． 【答案】（1）证明见解析 （2），，， 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程等知识． （1）计算一元二次方程根的判别式，即可得到无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根； （2）利用公式法求出方程的解为或，根据得到，把变形为，根据为整数， m为整数即可得到或，即可求出m的值． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∴无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根； 【小问2详解】 解：， ∵， ∴方程都有两个不相等的实数根， ∴， ∴或， ∵， ∴， ∴， ∵为整数， ∴也为整数， ∵m为整数， ∴或， ∴整数m所有可能的值为，，，． 20. 如图，小明设计如下的正方形图案，外一层是空心圆，内部全是实心圆，归纳图案中的规律，完成下列任务． （1）图案4中，空心圆有______个；图案中实心圆有______个时，空心圆有______个； （2）此类图案中是否存在实心圆比空心圆多8个，请你作出判断并说明理由． 【答案】（1）20；， （2）存在，第6个图案中实心圆比空心圆多8个，见解析 【解析】 【分析】（1）分别计算各图案中空心圆和实心圆的数量，得到规律：图案中实心圆有个，空心圆有个，再求图案4中空心圆的个数即可； （2）根据题意列方程解答． 【小问1详解】 解：图案1空心圆有个，实心圆有1个， 图案2空心圆有个，实心圆有个， 图案3空心圆有个，实心圆有个， ∴图案中实心圆有个，空心圆有个， ∴图案4中，空心圆有个， 故答案为：20；， 【小问2详解】 存在，理由如下： 根据题意，得：， 整理，得， 解得（舍去）或， 故第6个图案中实心圆比空心圆多8个． 【点睛】此题考查了图形类规律探究，一元二次方程的应用，正确理解图形的变化规律得到计算规律，以及掌握一元二次方程的解法是解题的关键． 六、（本题满分12分） 21. 深化素质教育，促进学生全面发展，合肥市50中开展了丰富多彩的社团活动．为了了解七年级新生对选择社团的意向，对该校600名七年级新生进行了抽样调查． 调查问卷 1．你最喜欢的社团 （单选） A．机器人社团 B．足球、篮球社团 C．模拟联合国 D．民乐社团 秦奋同学根据有效问卷绘制了如图所示的两幅统计图（不完整），请根据图中信息，解答下列问题： （1）求扇形统计图中的值，并补全条形统计图； （2）在扇形统计图中，“B．足球、篮球社团”部分所占圆心角的度数为 ； （3）在社团招新生时，七（2）班的甲同学从他喜欢的A．机器人社团、B．足球、篮球社团、C．模拟联合国中随机选择了一个社团，乙同学也从他喜欢的A．机器人社团、C．模拟联合国、D．民乐社团中随机选择了一个社团，求他们进入了同一社团的概率． 【答案】（1）＝20， 条形统计图如图： ． （2）144° （3） 【解析】 【分析】本题考查的是从条形图与扇形图中获取信息，求解扇形的圆心角，利用画树状图求解随机事件的概率，掌握以上基础知识是解本题的关键； （1）由C类人数除以其占比可得总人数，再求解A类人数，补全图形即可； （2）由B类的占比乘以即可得到圆心角； （3）先画树状图得到所有等可能的结果数与符合条件的结果数，再利用概率公式计算即可． 【小问1详解】 解：总人数（人）． A类人数（人）． ∵， ∴； 【小问2详解】 ∵， ∴“B．足球、篮球社团”部分所占圆心角的度数为； 【小问3详解】 画树状图如下： 共有9种等可能结果，其中甲乙进入同一社团的有2种结果． 所以（甲乙进入同一社团）． 七、（本题满分12分） 22. 我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用． 例如：已知可取任何实数，试求二次三项式的最小值． 解： 无论取何实数，都有， ，即的最小值为2． 试利用配方法解决下列问题： （1）直接写出的最小值 ； （2）比较代数式与的大小，并说明理由； （3）如图，在四边形中，．若，求四边形面积的最大值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了配方法的应用，利用配方法把二次式变形为一个完全平方式和常数的和是解题的关键． （1）原式配方后得到，然后利用完全平方式的非负性即可得出答案； （2）将两式相减后利用配方法即可判断； （3）利用，由可得，代入后配方得，于是得解． 【小问1详解】 解：， 无论取何实数，都有， ，即的最小值为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：， ； 【小问3详解】 解： 四边形的面积为： ， 四边形面积的最大值为． 八、（本题满分14分） 23. 如图，在正方形中，点F是的中点，连接并延长，与的延长线交于点E，作的平分线交的延长线于点G，分别交，于点H，M． （1）如图1，求的值； （2）如图1，求证：； （3）如图2，连接，，求证：． 【答案】（1） （2） 证明：由（1）可知，，， ∵，， ∴， ∴，即， 解得， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； （3） ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， 由（2）可知， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）首先证明为等腰三角形，易得，设，结合点F是的中点，可得，利用勾股定理解得，进而可得，即可获得答案； （2）首先证明，由相似三角形的性质可解得，易得，利用“”证明，易得，然后利用“”证明即可； （3）首先证明，结合相似三角形的性质可得，由（2）可知，结合相似三角形的性质可得，可证明，然后利用“”证明，由全等三角形的性质即可证明结论． 【小问1详解】 解：∵四边形为正方形， ∴，，， ∴， ∵为的平分线， ∴， ∴， ∴， 设， ∵点F是的中点， ∴， 在中，可有， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】本题主要考查了正方形的性质、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、平行线的性质、角平分线定义等知识，熟练运用全等三角形的判定与性质和相似三角形的判定与性质是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $