精品解析：江西省赣州市章贡区2024-2025学年九年级上学期数学期中考试

2024-2025学年第一学期期中考试 九年级数学试题卷 命题人：李红 审卷人：郭元军 说明：1．本试题卷共有六个大题，23个小题，满分120分，考试时间为120分钟． 2．请按试题序号在答题卡相应位置作答，答在试题卷或其它位置无放． 一、单项选择题（本大题6小题，每小题3分，共18分） 1. 2024年6月5日，是二十四节气的芒种，二十四节气是中国劳动人民独创的文化遗产，能反映季节的变化，指导农事活动．下面四幅图片分别代表“芒种”、“白露”、“立夏”、“大雪”，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可．本题主要考查了中心对称图形，解题的关键在于能够熟练掌握中心对称图形的定义． 【详解】解：A．不是中心对称图形，故A选项不合题意； B．不是中心对称图形，故B选项不合题意； C．不是中心对称图形，故C选项不合题意； D．是中心对称图形，故D选项合题意； 故选：D． 2. 方程的解为（ ） A. B. C. D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法，因式分解法，配方法和公式法是解题的关键．本题利用直接开平方法求解即可． 【详解】解：， 解得：， 故选：B． 3. 抛物线向左平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度，所得的抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了抛物线平移，熟练掌握函数图像平移法则“左加右减、上加下减”是解决问题的关键．根据函数图像平移法则“左加右减、上加下减”，将题中文字描述转化为数学符号即可解决问题． 【详解】解：抛物线向左平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度，所得的抛物线的解析式为：，即 故选：C． 4. 某班同学毕业时，都将自己的照片向本班其他同学送一张留念，全班一共送了张，如果全班有名同学，根据题意，列出方程为(　　) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】如果全班有名同学，那么每名同学要送出张，共有名学生，那么总共送的张数应该是张，即可列出方程． 【详解】解：全班有名同学， 每名同学要送出张； 又是互送照片，根据题意，列出方程为． 故选：C． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，计算全班共送多少张，首先确定一个人送出多少张是解题关键． 5. 平面坐标系中，点的坐标为，将线段绕点顺时针旋转，则点的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查坐标系下的旋转．过点和点分别作轴的垂线，证明，得到，，据此求解即可． 【详解】解：过点和点分别作轴的垂线，垂足分别为， ∵点的坐标为， ∴，， ∵将线段绕点顺时针旋转得到， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴点的坐标为， 故选：B． 6. 抛物线的顶点为，抛物线与轴的交点位于轴上方．以下结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质以及二次函数图像与系数的关系．根据二次函数的解析式结合二次函数的性质，画出草图，逐一分析即可得出结论． 【详解】解：根据题意画出函数的图像，如图所示： ∵开口向上，与轴的交点位于轴上方， ∴，， ∵抛物线与轴有两个交点， ∴， ∵抛物线的顶点为， ∴， 观察四个选项，选项C符合题意， 故选：C． 二、填空题（本大题6小题，每小题3分，共18分） 7. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了关于原点对称的点的特征，熟练掌握相关知识是解题关键．根据“平面直角坐标系中任意一点，关于原点的对称点是，即关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数”解答即可． 【详解】解：在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是． 故答案为：． 8. 已知是一元二次方程的一个根，则的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义，把代入一元二次方程即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵是一元二次方程的一个根， ∴， ∴， 故答案为：． 9. 抛物线经过，，三点，则，，的大小关系是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 根据二次函数的图象与性质，直接代入求值，进行比较即可． 【详解】解：∵抛物线经过，，三点， ∴， ∴， 故答案为：． 10. 若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，代入求值，解题的关键是掌握如果一元二次方程的两根为，，则+． 根据题意得，，即可得． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∴， 故答案为：3． 11. 已知抛物线与轴的一个交点坐标为，与轴的另一个交点坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据函数表达式可求出对称轴为，根据对称轴等于即可求解，本题主要考查二次函数对称轴，二次函数与轴交点的关系，掌握对称轴的计算方法是解题的关键． 【详解】解：已知抛物线， ∴对称轴为， ∵抛物线与轴的一个交点坐标为，设另一个交点坐标为， ∴，解得，， ∴另一个交点坐标为， 故答案为：． 12. 如图，与都是等边三角形，连接，，，，若将绕点顺时针旋转，当点、、在同一条直线上时，线段的长为________． 【答案】或 【解析】 【分析】此题是几何变换综合题，主要考查了旋转的性质、等边三角形的判定和性质、勾股定理、含度的直角三角形的性质，构造出直角三角形是解答本题的关键． 分两种情况：当点在的延长线上时，当点在的延长线上时，分别画出图形，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：，是等边三角形， ，， 是等边三角形，， ， 当点在的延长线上时，如图，过点作于，则， 在中，，， ， 根据勾股定理得，， ， 在中，根据勾股定理得，； 当点在的延长线上时，如图，过点作于，则， 在中，，， ， 根据勾股定理得，， ， 在中，根据勾股定理得，， 综上所述，或， 故答案为：或． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. （1）解方程：； （2）如图，在中，，，如果绕点顺时针旋转至，使点落在边上，连接，求的度数． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）利用配方法求解； （2）利用旋转的性质得到，，再结合等边对等角和三角形的内角和定理即可求解． 【详解】（1）解： ， 解得：； （2）解：由旋转可知，， ∴． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握知识点是解题的关键． 14. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求a的取值范围； （2）求当a为正整数时方程的根． 【答案】（1）a的取值范围为 （2）若a为正整数时，方程的根为1和3 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式，解一元一次不等式和解一元二次方程，能根据根的判别式和已知得出不等式是解题的关键． （1）根据判别式即可求出答案； （2）根据a的范围可知，代入原方程后根据一元二次方程的解法即可求出答案． 【小问1详解】 解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：， ∴a的取值范围为． 【小问2详解】 解：∵a为正整数， ∴， ∴原方程为， 即， 解得：，， ∴若a为正整数时，方程的根为1和3． 15. 已知抛物线的部分图象如图所示，顶点，与轴右侧交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）当时，请观察函数图象，直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了求二次函数解析式，与不等式的关系，二次函数的图象与性质． （1）已知顶点坐标，将抛物线的解析式设为顶点式的形式，然后利用待定系数法求出的值即可得出答案，根据顶点坐标确定，的值，并掌握待定系数法是解题关键； （2）先求出抛物线与轴的交点，即可得到时，的取值范围． 【小问1详解】 解：设抛物线的解析式为， ∵顶点为， ∴， ∵抛物线经过点， ∴，解得， ∴即; 【小问2详解】 解：当时，， 因式分解，得， ． 抛物线与轴的交点分别为，， 由图象得，当时，． 16. 如图，在正方形网格中，的顶点在格点上，请仅用无刻度直尺完成以下作图（保留作图痕迹）． （1）在图1中，作关于点对称的； （2）在图2中，作绕点顺时针旋转一定角度后，顶点仍在格点上的． 【答案】（1）如图1所示； （2）如图2所示． 【解析】 【分析】（1）分别作出A，B，C三点关于O点对称的点，，，然后顺次连接即可得； （2）计算得出AB=，AC=5，再根据旋转作图即可． 【详解】（1）略 （2）根据勾股定理可计算出AB=，AC=5． 【点睛】本题考查复杂-应用与设计，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题． 17. 学校要建一个矩形花圃，其中一边靠墙（墙足够长），另外三边用篱笆围成．已知篱笆长80m．设垂直于墙的边长为． （1）则________m（用含的代数式表示），矩形的面积________（用含的代数式表示）； （2）当为何值时，围成的矩形花圃的面积最大，并求出这个最大值． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的实际应用： （1）根据可求出，由矩形的面积公式即可表示出面积； （2）根据求根据二次函数的性质确定函数的最大值即可． 【小问1详解】 解：∵篱笆长， ∴米，米， ∴米． ∴， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：∵且， ∴， ， 有最大值， ∴当时，取得最大值，此时， 即当时，的最大值为． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 杭州亚运会的三个吉祥物“琮琮”“宸宸”“莲莲”组合名为“江南忆”，出自唐朝诗人白居易的名句“江南忆，最忆是杭州”，它融合了杭州的历史人文、自然生态和创新基因．吉祥物一开售，就深受大家的喜爱．某商店以每件35元的价格购进某款亚运会吉祥物，以每件58元的价格出售．经统计，4月份的销售量为256件，6月份的销售量为400件． （1）求该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率； （2）经市场预测，7月份的销售量将与6月份持平，现商场为了减少库存，采用降价促销方式，调查发现，该吉祥物每降价1元，月销售量就会增加20件，当该吉祥物降价多少元时，月销售利润达8400元？ 【答案】（1） （2）8元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率为，根据4月份的销售量为256件，6月份的销售量为400件．列出一元二次方程，解之取其正值即可； （2）设该吉祥物售价为元，则每件的销售利润为元，月销售量为件，根据月销售利润达8400元，列出一元二次方程，解之取满足题意的值即可，再求降价即可． 【小问1详解】 解：设该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率为，则6月份的销售量为， 根据题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率为； 【小问2详解】 解：设该吉祥物售价为元，则每件的销售利润为元，月销售量为（件， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， ∴降价了元， 答：该款吉祥物降价元8元时，月销售利润达8400元． 19. 小明进行实心球训练，他尝试利用数学模型来研究实心球的运动情况，建立了如图所示的平面直角坐标系，实心球从y轴上的点A处出手，运动路径可看作抛物线，在点B处达到最高位置，落在x轴上的点C处．小明某次试投时的数据如图所示． （1）根据图中信息，求出实心球路径所在抛物线的表达式． （2）若实心球投掷距离（实心球落地点C与出手点A的水平距离OC的长度）不小于9.6m，成绩为满分，请通过计算，判断小明此次试投的成绩是否能达到满分． 【答案】（1） （2）小明此次试投的成绩能达到满分，理由： 令，即， 解得或（舍去）， ， ， 所以，小明此次试投的成绩能达到满分． 【解析】 【分析】（1）由题意得，抛物线的顶点坐标为，点A的坐标为，设抛物线解析式为，利用待定系数法代入求解即可； （2）令，即，解方程求解即可得出结论． 【小问1详解】 由题意得，抛物线的顶点坐标为，点A的坐标为， 设抛物线解析式为， ∵抛物线经过点A， ， 解得， ∴抛物线解析式为； 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，正确理解题意，熟练掌握待定系数法及二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键． 20. 如图，将矩形绕着点按顺时针方向旋转得到矩形，点与点对应，点恰好落在边上，交于点， （1）求证：； （2）连接交于，已知，，求的长． 【答案】（1） 证明：如图，连接， 由旋转性质得， ， 四边形是矩形， ，， ， ， 平分． ∵， ， ∴； （2）6 【解析】 【分析】（1）连接，结合旋转的性质，矩形的性质可得平分，即可求证； （2）连接，先证明四边形是平行四边形，可得，再由勾股定理可得，从而求出． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接， ∵四边形为矩形，且矩形绕着点按顺时针方向旋转得到矩形， ， ， 四边形是平行四边形， ，， 由勾股定理得，， ． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，图形的旋转，平行四边形的判定和性质，勾股定理，角平分线的判定． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 如果关于的一元二次方程有两个实数根，其中一个实数根是另一个实数根的2倍，那么称这样的方程是“倍根方程”．例如一元二次方程的两个根是，，则方程是“倍根方程”． （1）通过计算，判断是不是“倍根方程”； （2）若关于的方程是“倍根方程”，求代数式的值； （3）已知关于的一元二次方程（是常数）是“倍根方程”，请直接写出的值为： ________． 【答案】（1）是 （2）26或5 （3） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，代数式求值，一元二次方程根与系数的关系：若是一元二次方程的两根时，，．也考查了阅读理解能力． （1）利用因式分解法解方程得到，然后根据新定义进行判断； （2）利用因式分解法解方程得到，再根据新定义解得或，然后把或代入所求的代数式中运算即可； （3）设方程的根的两根分别为，根据根与系数的关系得，然后求出α，再计算对应的m的值． 【小问1详解】 解：， ， 或， 所以， 则方程是“倍根方程”； 【小问2详解】 解：， 或， 解得， ∵是“倍根方程”， ∴或， 当时，； 当时，， 综上所述，代数式的值为26或5； 【小问3详解】 解：根据题意，设方程的根的两根分别为， 根据根与系数的关系得 ， 解得 或（舍去）， ∴m的值为； 故答案为：． 22. 九（1）班同学在数学老师的指导下；以“角形的旋转”，为主题，开展数学活动． 【操作判断】（1）如图1，在等边三角形中，将绕点旋转，得到，连接，则________度．若是的中点，连接，则与的数量关系是________． 【迁移探究】（2）如图2，（1）中的其他条件不变，当绕点逆时针旋转，得到，求出此时的度数及与的数量关系． 【拓展应用】（3）如图3，在Rt中，，，将绕点逆时针旋转，得到，与，与为对应点，连接，为的中点，连接，当时，求的长． 【答案】（1）90，；（2），；（3）的长为1或 【解析】 【分析】（1）由旋转的性质可得也是等边三角形，点A，B，D在同一直线上，利用等腰三角形的性质、平行线的性质可证；利用三角形中位线定理可得； （2）先根据旋转的性质证明是等腰直角三角形，推出，进而得出，再根据等腰直角三角形的性质即可求解； （3）分点E在下方和点E在上方两种情况，参照（2）中方法分别求解即可． 【详解】（1）解：∵为等边三角形， ，， ∵绕点A旋转，得到， ，，点A，B，D在同一直线上， ∵， ， ，即， ∵， ， ， ， ， ∵F是的中点，， ． 故答案为：90，； （2）解：由旋转的性质，可知 ，，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵F是的中点， ∴， ∴； （3）解：分以下两种情况进行讨论： ①如图3﹣1．当点E在下方时， 根据题意，得为等腰直角三角形， ∴． ∵， ∴， ∵，F是的中点， ∴， ∴； ②如图3﹣2，当点E在上方时， 同理，可得，． 综上所述，的长为1或． 【点睛】本题考查旋转的性质，解直角三角形，等边三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形中位线定理等，解题的关键是掌握旋转前后对应边相等、对应角相等，第三问注意分情况讨论． 六、解答题（本大题共12分） 23. 如图1，在矩形中，已知，点是的中点．动点从点出发，以每秒1个单位的速度沿向点运动，同时动点从点出发，以每秒2个单位的速度沿折线运动，当一个点到达点时，另一点也随之停止运动．连接，，设动点运动的时间为秒，的面积为，图2中的曲线是动点在线段上时与的函数图象． （1）填空： ①__________； ②当时，直接写出S与t的函数解析式为__________． （2）经探究，发现当点在线段上运动时，是关于的二次函数．请求出此时与的函数解析式，并直接写出自变量的取值范围． （3）在整个运动过程中，若存在某3个时刻，，，使得S的值相等． ①求出S的取值范围； ②当时，求S的值． 【答案】（1）①6；②； （2），自变量t的取值范围为； （3）①；② 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象及性质，从函数图象获取信息，矩形的性质以及求一次函数的解析式，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键． （1）①由图2可得时，点在点处，从而可得，即可得解；②由中点得，进而求得当点在上运动时，点在上运动，由，的高为8，利用三角形的面积公式即可得解； （2）根据三角形形的面积公式可得是关于的二次函数； （3）由（1）（2）得，10①对于，当时，，当时，，从而可得；②得，从而根据时刻，，，使得的值相等构造方程求解即可得，进而代入求解即可． 【小问1详解】 解：①由图2可得时，点在点处， ， 故答案为：6， ②点是的中点， ， 动点从点出发，以每秒1个单位的速度沿向点运动，同时动点从点出发，以每秒2个单位的速度沿折线运动， ， 当点在上运动时，点在上运动， ，的高为8， 当时，， 故答案为：； 【小问2详解】 解：如图，当点在线段上运动时， ，， 此时， ， 自变量的取值范围为； 【小问3详解】 解：由（1）（2）得， ①如图，， 对于，当时，， ， 当时， ； ②， ， ， 解得：或（舍去）， 把，代入得： ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年第一学期期中考试 九年级数学试题卷 命题人：李红 审卷人：郭元军 说明：1．本试题卷共有六个大题，23个小题，满分120分，考试时间为120分钟． 2．请按试题序号在答题卡相应位置作答，答在试题卷或其它位置无放． 一、单项选择题（本大题6小题，每小题3分，共18分） 1. 2024年6月5日，是二十四节气的芒种，二十四节气是中国劳动人民独创的文化遗产，能反映季节的变化，指导农事活动．下面四幅图片分别代表“芒种”、“白露”、“立夏”、“大雪”，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 方程的解为（ ） A. B. C. D. ， 3. 抛物线向左平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度，所得的抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 4. 某班同学毕业时，都将自己的照片向本班其他同学送一张留念，全班一共送了张，如果全班有名同学，根据题意，列出方程为(　　) A. B. C. D. 5. 平面坐标系中，点的坐标为，将线段绕点顺时针旋转，则点的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 6. 抛物线的顶点为，抛物线与轴的交点位于轴上方．以下结论正确的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题6小题，每小题3分，共18分） 7. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是______． 8. 已知是一元二次方程的一个根，则的值是______． 9. 抛物线经过，，三点，则，，的大小关系是________． 10. 若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为________． 11. 已知抛物线与轴的一个交点坐标为，与轴的另一个交点坐标为________． 12. 如图，与都是等边三角形，连接，，，，若将绕点顺时针旋转，当点、、在同一条直线上时，线段的长为________． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. （1）解方程：； （2）如图，在中，，，如果绕点顺时针旋转至，使点落在边上，连接，求的度数． 14. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求a的取值范围； （2）求当a为正整数时方程的根． 15. 已知抛物线的部分图象如图所示，顶点，与轴右侧交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）当时，请观察函数图象，直接写出的取值范围． 16. 如图，在正方形网格中，的顶点在格点上，请仅用无刻度直尺完成以下作图（保留作图痕迹）． （1）在图1中，作关于点对称的； （2）在图2中，作绕点顺时针旋转一定角度后，顶点仍在格点上的． 17. 学校要建一个矩形花圃，其中一边靠墙（墙足够长），另外三边用篱笆围成．已知篱笆长80m．设垂直于墙的边长为． （1）则________m（用含的代数式表示），矩形的面积________（用含的代数式表示）； （2）当为何值时，围成的矩形花圃的面积最大，并求出这个最大值． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 杭州亚运会的三个吉祥物“琮琮”“宸宸”“莲莲”组合名为“江南忆”，出自唐朝诗人白居易的名句“江南忆，最忆是杭州”，它融合了杭州的历史人文、自然生态和创新基因．吉祥物一开售，就深受大家的喜爱．某商店以每件35元的价格购进某款亚运会吉祥物，以每件58元的价格出售．经统计，4月份的销售量为256件，6月份的销售量为400件． （1）求该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率； （2）经市场预测，7月份的销售量将与6月份持平，现商场为了减少库存，采用降价促销方式，调查发现，该吉祥物每降价1元，月销售量就会增加20件，当该吉祥物降价多少元时，月销售利润达8400元？ 19. 小明进行实心球训练，他尝试利用数学模型来研究实心球的运动情况，建立了如图所示的平面直角坐标系，实心球从y轴上的点A处出手，运动路径可看作抛物线，在点B处达到最高位置，落在x轴上的点C处．小明某次试投时的数据如图所示． （1）根据图中信息，求出实心球路径所在抛物线的表达式． （2）若实心球投掷距离（实心球落地点C与出手点A的水平距离OC的长度）不小于9.6m，成绩为满分，请通过计算，判断小明此次试投的成绩是否能达到满分． 20. 如图，将矩形绕着点按顺时针方向旋转得到矩形，点与点对应，点恰好落在边上，交于点， （1）求证：； （2）连接交于，已知，，求的长． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 如果关于的一元二次方程有两个实数根，其中一个实数根是另一个实数根的2倍，那么称这样的方程是“倍根方程”．例如一元二次方程的两个根是，，则方程是“倍根方程”． （1）通过计算，判断是不是“倍根方程”； （2）若关于的方程是“倍根方程”，求代数式的值； （3）已知关于的一元二次方程（是常数）是“倍根方程”，请直接写出的值为： ________． 22. 九（1）班同学在数学老师的指导下；以“角形的旋转”，为主题，开展数学活动． 【操作判断】（1）如图1，在等边三角形中，将绕点旋转，得到，连接，则________度．若是的中点，连接，则与的数量关系是________． 【迁移探究】（2）如图2，（1）中的其他条件不变，当绕点逆时针旋转，得到，求出此时的度数及与的数量关系． 【拓展应用】（3）如图3，在Rt中，，，将绕点逆时针旋转，得到，与，与为对应点，连接，为的中点，连接，当时，求的长． 六、解答题（本大题共12分） 23. 如图1，在矩形中，已知，点是的中点．动点从点出发，以每秒1个单位的速度沿向点运动，同时动点从点出发，以每秒2个单位的速度沿折线运动，当一个点到达点时，另一点也随之停止运动．连接，，设动点运动的时间为秒，的面积为，图2中的曲线是动点在线段上时与的函数图象． （1）填空： ①__________； ②当时，直接写出S与t的函数解析式为__________． （2）经探究，发现当点在线段上运动时，是关于的二次函数．请求出此时与的函数解析式，并直接写出自变量的取值范围． （3）在整个运动过程中，若存在某3个时刻，，，使得S的值相等． ①求出S的取值范围； ②当时，求S的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $