精品解析：江苏省南京市2024-2025学年高一上学期期末考试数学试题

2024-2025【南京市】高一上期末考试 一、单选题 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 2. “”是“”的（ ） A. 必要且不充分条件 B. 充分且不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 3. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 4. 将函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变）得到的图象所对应的函数是（ ） A. B. C. D. 5. 已知，，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 7. 根据国际标准，室内二氧化碳浓度应不超过1000ppm，在这个范围内，室内空气质量良好，人体健康不受到影响.已知某室内二氧化碳浓度与开窗通风的时长（分钟）之间的关系式为.经测定，该室内初始时刻的二氧化碳浓度为2000ppm，要使该室内的二氧化碳浓度达到国际标准，则需要开窗通风的时长至少约为（ ） （参考数据：，） A. 6分钟 B. 8分钟 C. 10分钟 D. 12分钟 8. 若命题“，”是真命题，则实数的取值集合为（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 若，则（ ） A. B. C. D. 10. 在平面直角坐标系中，点，角的终边与单位圆（圆心在原点，半径为1的圆）交于点（，不重合），下列说法正确的是（ ） A. 若，则点和点关于轴对称 B. 若，则点和点关于轴对称 C. 若点和点关于直线对称，则 D. 若和相互垂直，则 11. 函数满足：.已知当时，，则（ ） A. B. 为周期函数 C. 为偶函数 D. 方程恰有3个解 三、填空题 12. 已知函数的图象经过定点，则_____. 13. 已知函数且，则_____，使得成立的的取值范围是_____. 14. 已知函数图象的一个对称中心是，一条对称轴是直线，且在区间上有且仅有两个零点，则_____. 四、解答题 15. 已知，. （1）求的值； （2）用，表示. 16. 已知. （1）若，且，求的值； （2）若，求的值. 17. 已知函数的定义域为，函数. （1）判断的奇偶性，并加以证明； （2）若. ①用函数单调性的定义证明：在上单调递减； ②解关于的不等式. 18. 已知函数图象上相邻的一个最高点和一个最低点分别为，. （1）求的解析式； （2）求在上的单调增区间； （3）设，证明：函数在上必有零点. 19. 设函数在非空数集上的取值集合为.若，则称为上的“函数”. （1）判断是否为上的“函数”，并说明理由； （2）若为上的“函数”，证明：； （3）若存在实数，使得为上的“函数”，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025【南京市】高一上期末考试 一、单选题 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据交集、补集的定义可求. 【详解】由题设可得，故， 故选：B. 2. “”是“”的（ ） A. 必要且不充分条件 B. 充分且不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据充分、必要条件的定义计算即可. 【详解】显然由不能推出，此时可以为0，即不满足充分性； 而可以推出，满足必要性. 故选：A 3. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由对数有意义列出不等式，求解得函数的定义域. 【详解】函数有意义，则，即，解得， 所以所求的定义域为. 故选：D 4. 将函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变）得到的图象所对应的函数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的图象横坐标缩短到原来的 倍，就是变为原来的2倍进行变换，即可得到答案． 【详解】将函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的纵坐标不变， 就是变为原来的2倍进行变换，即得到函数的解析式为：. 故选：D. 5. 已知，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用诱导公式及同角公式计算得解. 【详解】由，则， 得. 故选：D 6. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用指数函数、对数函数单调性及诱导公式、三角函数值符号比较大小. 【详解】依题意，，，， 所以. 故选：B 7. 根据国际标准，室内二氧化碳浓度应不超过1000ppm，在这个范围内，室内空气质量良好，人体健康不受到影响.已知某室内二氧化碳浓度与开窗通风的时长（分钟）之间的关系式为.经测定，该室内初始时刻的二氧化碳浓度为2000ppm，要使该室内的二氧化碳浓度达到国际标准，则需要开窗通风的时长至少约为（ ） （参考数据：，） A. 6分钟 B. 8分钟 C. 10分钟 D. 12分钟 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定的信息求出函数关系式，再建立不等式求解即得. 【详解】依题意，时，，则，解得， 因此，由，得，解得， 则，， 所以需要开窗通风的时长至少约为10分钟. 故选：C 8. 若命题“，”是真命题，则实数的取值集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】变形给定的不等式，将不等式恒成立问题，借助单调性转化为两个函数在上必有相同零点求解. 【详解】当时，，方程必有一个正根， 函数在上单调递增， 命题“，”是真命题， 则函数在上必有相同零点， 否则存在使得， 因此函数在上的零点是函数的零点， 即，而，解得， 所以实数的取值集合为. 故选：A 【点睛】关键点点睛：等价转化不等式，借助函数单调性将不等式恒成立问题转化为两个函数有正零点问题是求解的关键. 二、多选题 9. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据给定条件，利用不等式的性质、结合基本不等式逐项判断即可. 【详解】对于A，由，得，A正确； 对于B，由，得，B错误； 对于C，由，得，则，，C正确； 对于D，由，得，则，D错误. 故选：AC 10. 在平面直角坐标系中，点，角的终边与单位圆（圆心在原点，半径为1的圆）交于点（，不重合），下列说法正确的是（ ） A. 若，则点和点关于轴对称 B. 若，则点和点关于轴对称 C. 若点和点关于直线对称，则 D. 若和相互垂直，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据给定条件，结合选项的条件求出点的坐标判断ABC；用表示终边过点的角，再利用正切函数的定义及诱导公式求出判断D. 【详解】设点，且，不重合，则， 对于A，由，得，则，点与点关于轴对称，A正确； 对于B，由，得，则或，而点与点关于原点对称，B错误； 对于C，由点和点关于直线对称，得，则，C正确； 对于D，由和相互垂直，得终边过点的角为或， 则，， 或，，D正确. 故选：ACD 11. 函数满足：.已知当时，，则（ ） A. B. 为周期函数 C. 为偶函数 D. 方程恰有3个解 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据函数周期、偶函数的定义，结合赋值法，数形结合思想逐一判断即可. 【详解】A：在中，令中， 有，所以本选项不正确； B：由， 所以由， 所以是周期为的周期函数，因此本选项正确； C：时，，而， 显然当时，函数为偶函数， 又因为函数的周期为，所以函数是实数集上的偶函数，因此本选项正确； D：因为函数的周期为，且为偶函数， 所以函数图象如下图所示： 由数形结合思想可知：函数的图象与一次函数的图象有三个交点， 因此方程恰有3个解，所以本选项正确， 故选：BCD 【点睛】关键点点睛：本题的关键是判断函数的奇偶性和周期性，运用转化思想和数形结合思想判断方程解的个数问题. 三、填空题 12. 已知函数的图象经过定点，则_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用对数函数图象恒过定点求出即可. 【详解】对任意，当，即时，恒成立， 因此函数的图象过定点，则， 所以. 故答案为： 13. 已知函数且，则_____，使得成立的的取值范围是_____. 【答案】 ①. ## ②. 【解析】 【分析】利用代入法，结合函数解析式、幂函数和指数函数的单调性进行求解即可. 【详解】由， 因为函数在时单调递增，有， 函数在时单调递增，有， 所以函数是实数集上的增函数， 因此由， 故答案为：； 14. 已知函数图象的一个对称中心是，一条对称轴是直线，且在区间上有且仅有两个零点，则_____. 【答案】18 【解析】 【分析】根据给定条件，结合正弦函数的对称性列式求出及的表达式，再利用零点个数求出范围，求出值并验证得解. 【详解】依题意，，解得， ，而，则， ，由，得， 由在区间上有且仅有两个零点，得，解得， 于是，或，当时，，，不符合要求， 当时，，，符合题意， 所以. 故答案为：18 【点睛】易错点睛：本题利用给定的信息求出的值，不注意验证即可得出错误答案，在不只一个结果时，验证是必须的. 四、解答题 15. 已知，. （1）求的值； （2）用，表示. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）逆用指数运算法则计算即可. （2）化指数式为对数式，再利用换底公式及对数运算法则求解. 【小问1详解】 由，，得. 【小问2详解】 由，，得， 所以. 16. 已知. （1）若，且，求的值； （2）若，求的值. 【答案】（1） （2）2 【解析】 【分析】（1）解法1由平方关系得到，从而解出即可；解法2由同角的三角函数关系解出，从而求出结果； （2）解法1由同角的三角函数关系和商数关系计算即可；解法2由已知得到，再由同角的三角函数关系化简得到； 【小问1详解】 解法1：， 因为， 所以，即， 从而， 因为，， 又因为，所以，因此， 从而， 故． 解法2：由及， 解得，， 或，， 因为，所以，， 所以，因此． 【小问2详解】 解法1：， 所以， 假设，则由上式知，与矛盾， 所以， 从而． 则 解法2：，所以， 又，所以，即， 因此． 17. 已知函数的定义域为，函数. （1）判断的奇偶性，并加以证明； （2）若. ①用函数单调性的定义证明：在上单调递减； ②解关于的不等式. 【答案】（1） 是R上的奇函数． 显然定义域为R，对于任意的，都有，， 所以是R上的奇函数. （2）①证明见解析；②. 【解析】 【分析】（1）利用奇偶性函数的定义判定证明. （2）①利用减函数的定义，结合指数函数单调性推理得证；②利用奇函数性质及单调性脱去法则“g”，再解析指数不等式. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①由，得， 任取， 由，且函数在R上单调递增，得，即， 因此，即， 所以在上单调递减. ②由（1）及①知，是上单调递减的奇函数， 不等式， 则有，即， 因此，解得， 所以原不等式的解集为. 18. 已知函数图象上相邻的一个最高点和一个最低点分别为，. （1）求的解析式； （2）求在上的单调增区间； （3）设，证明：函数在上必有零点. 【答案】（1） （2）和 （3）， 当时，， 则，且在上的图象为一条连续不间断的曲线， 所以根据函数零点存在原理，函数在上必有零点. 【解析】 【小问1详解】 因为图象上相邻的一个最高点和一个最低点分别为，， 所以该函数的最小正周期为，且， 又因为， 所以由， 把代入解析式中，得， 又因为，所以令，即，因此； 【小问2详解】 由， 因为， 所以令，得，即，而， 所以； 令，得，即，而， 所以 所以函数在上的单调增区间为，和； 【小问3详解】 略 【点睛】关键点点睛：本题的关键是在利用函数零点存在原理时特殊点的选取. 19. 设函数在非空数集上的取值集合为.若，则称为上的“函数”. （1）判断是否为上的“函数”，并说明理由； （2）若为上的“函数”，证明：； （3）若存在实数，使得为上的“函数”，求实数的取值范围. 【答案】（1）是上的“函数”，理由如下： 当时，，所以 因为， 所以是上的“函数”； （2）证明:由， 因为是正实数集上的增函数，是实数集上的减函数， 所以函数是上的减函数，于是有，且， 因为为上的“函数”， 所以，则有 当且仅当时取等号，而，所以 （3） 【解析】 【分析】（1）根据正弦函数的单调性，结合题中定义进行判断求解即可； （2）运用对数型函数单调性的性质，结合题中定义、基本不等式、对数的运算性质进行运算证明即可； （3）根据二次函数单调性，结合题中定义分类讨论进行求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 二次函数的对称轴为， 当时，则函数的值域为， 若为上的“函数”， 则有，即， 而，所以，即存在，使得为上的“函数”， 当时，函数的最小值为， 最大值为中大的数，记为 于是有，即， 而，所以； 当时，则函数的值域为， 若为上的“函数”，则有 即， 而，所以，综上所述：实数的取值范围为 【点睛】关键点点睛：本题的关键之一是正确理解题中定义，之二是根据二次函数的对称轴与所给区间相对位置分类讨论. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $