精品解析：黑龙江省哈尔滨市第七十三中学校2024-2025学年高二上学期1月期末考试数学试题

哈田中（哈73中）2024—2025学年度上学期 高二学年期末考试 数学 考试时间：120分钟 卷面分值：150分 命题人：王欣 审题人：杨永强 注意事项： 1.答题前，务必将自己的姓名､考号填写在答题卡规定的位置上. 2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号. 3.答非选择题时，必须将答案书写在专设答题页规定的位置上. 4.所有题目必须在答题卡上作答.在试题卷上答题无效. 5.考试结束后，只交试卷答题页. 一､单项选择题（本题含8小题，每题5分，共40分.每题只有一个选项符合题意） 1. 已知集合，，则 A. B. C. D. 2. ，则（ ） A. B. C. D. i 3. 设a、b、c是实数，则“”是“”的( ). A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C 充要条件 D. 既非充分也非必要条件 4. 下列四个函数中，在区间上单调递增的函数是 （　　） A. B. C. D. 5. 已知等比数列的各项均为正数，若，则（ ） A. 4 B. C. D. 6. 在等差数列中，，则（ ） A. 8 B. 12 C. 16 D. 20 7. 在抛物线上，横坐标为的点到焦点的距离为，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知双曲线的左焦点为，点为坐标原点，点为双曲线渐近线上一点且满足，过作轴的垂线交渐近线于点，已知，则该渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 二､多项选择题（本题含3小题，每题6分，共18分.在每题给出的四个选项中，有多个选项符合题意，全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分） 9. （多选）如图，在平行六面体中，和交点为，设，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 圆：与圆：没有公共点，则值可能是（ ） A. B. C. 2 D. 4 11. 已知等差数列前项和为，若，则（ ） A. 公差 B. C. 的最大值为 D. 满足的的最小值为16 三､填空题（本题含3小题，每题5分，共15分） 12. 函数的图象过定点__________. 13. 已知是角终边上的一点，则角的正切值是__________. 14. 已知点，是轴上的动点，且满足，的外心在轴上的射影为，则的最小值为__________________. 四､解答题（本题含5小题，共77分，解答题写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 某学校高二年级学生共400人，将其体育达标测试成绩（单位：分）按区间，，，，分组，由此绘制的频率分布直方图如图所示．规定成绩不低于80分为优秀． （1）求成绩优秀的学生人数； （2）从成绩优秀的学生中按组分层抽样选出5人，再从这5人中选出2人，求这2人的成绩都在区间的概率． 16. 在等差数列中，． （1）求数列的通项公式； （2）设，求． 17. 如图，在正方体中，． （1）求证：； （2）求点到平面的距离． 18. 已知双曲线．请从①②③中选取两个作为条件补充到题中，并完成下列问题．①；②离心率为2；③与椭圆焦点相同． （1）求C的方程； （2）直线与C交于A，B两点，求的值． 19. 已知椭圆的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形. （1）求椭圆C的标准方程； （2）设斜率为k的直线与椭圆C交于两点，O为坐标原点，若的面积为定值，判断是否为定值，如果是，求出该定值；如果不是，说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 哈田中（哈73中）2024—2025学年度上学期 高二学年期末考试 数学 考试时间：120分钟 卷面分值：150分 命题人：王欣 审题人：杨永强 注意事项： 1.答题前，务必将自己的姓名､考号填写在答题卡规定的位置上. 2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号. 3.答非选择题时，必须将答案书写在专设答题页规定的位置上. 4.所有题目必须在答题卡上作答.在试题卷上答题无效. 5.考试结束后，只交试卷答题页. 一､单项选择题（本题含8小题，每题5分，共40分.每题只有一个选项符合题意） 1. 已知集合，，则 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先解不等式求解集合B，再利用交集的定义求解即可. 【详解】因为, ，所以 ，故选C. 【点睛】本题主要考查了集合的交集运算，属于基础题. 2. ，则（ ） A. B. C. D. i 【答案】C 【解析】 【分析】利用复数的四则运算即可得解. 【详解】. 故选：C. 3. 设a、b、c是实数，则“”是“”的( ). A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据题中条件，利用充分条件和必要条件的定义判断即可. 【详解】，当时，不成立，即充分性不成立； 当时，，，即必要性成立. 故选：B. 4. 下列四个函数中，在区间上单调递增的函数是 （　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】分别画出各个函数的图象,由单调函数图象特征可知,选项B正确. 故选B. A． B. C. D. 本题主要考查函数的单调性的判断和证明,增函数的图象特征,属于基础题 5. 已知等比数列的各项均为正数，若，则（ ） A 4 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用等比中项的性质即可求解. 【详解】因为等比数列的各项均为正数，所以，所以. 故选：B 6. 在等差数列中，，则（ ） A. 8 B. 12 C. 16 D. 20 【答案】B 【解析】 【分析】根据等差数列的等差中项计算即可. 【详解】由题意，数列为等差数列，结合等差数列的性质得，， 则，所以. 故选：B. 7. 在抛物线上，横坐标为的点到焦点的距离为，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由抛物线方程可求得准线方程，进而根据其定义得知，求得． 【详解】解：抛物线的准线方程为， 由抛物线的定义知， 解得． 故选：D． 8. 已知双曲线的左焦点为，点为坐标原点，点为双曲线渐近线上一点且满足，过作轴的垂线交渐近线于点，已知，则该渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设两点的坐标，然后利用两点间距离公式列方程求解即可. 【详解】，故点在的垂直平分线上， 则点的横坐标为，且过作轴的垂线交渐近线于点， 故设点， 不妨设均在上，则， ，， ，即，， ，故渐近线方程为. 故选：D. 二､多项选择题（本题含3小题，每题6分，共18分.在每题给出的四个选项中，有多个选项符合题意，全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分） 9. （多选）如图，在平行六面体中，和的交点为，设，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】利用向量的线性运算逐项计算可判断正误. 【详解】选项，故A正确； 选项，故B错误； 选项，故C正确； 选项，故D错误. 故选：AC. 10. 圆：与圆：没有公共点，则的值可能是（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】BD 【解析】 【分析】圆与圆没有公共点，则两圆外离或内含，从而得到不等式，求出答案. 【详解】圆：的圆心为，半径为1， 圆：的圆心为，半径为3， 圆与圆没有公共点，则两圆外离或内含， 所以或，即或， 所以或或， 不满足要求，满足要求. 故选：BD. 11. 已知等差数列前项和为，若，则（ ） A 公差 B. C. 的最大值为 D. 满足的的最小值为16 【答案】AC 【解析】 【分析】根据求出与公差的关系即可判断AB；再根据等差数列前项和公式即可判断CD. 【详解】因为， 则，即， 则，故A正确； ，故B错误； 由，得， , 因为， 所以数列是递减数列，且当时，，当时，， 所以的最大值为，故C正确； ， 令，解得， 所以满足的的最小值为，故D错误. 故选：AC. 三､填空题（本题含3小题，每题5分，共15分） 12. 函数的图象过定点__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用求解即可. 【详解】当时，， 所以函数的图象过定点. 故答案为：. 13. 已知是角终边上一点，则角的正切值是__________. 【答案】2 【解析】 【分析】由正切函数的定义求解． 【详解】因为点是角终边上的上点，所以， 故答案为：2 14. 已知点，是轴上的动点，且满足，的外心在轴上的射影为，则的最小值为__________________. 【答案】3 【解析】 【分析】先确定点的轨迹为抛物线，再结合抛物线的定义即可求解. 【详解】设点，则）根据点是的外心,， 而，则 所以 从而得到点的轨迹为，焦点为 由抛物线的定义可知， 因为，， 即，当点P在线段BF上时等号成立. 所以的最小值为3， 故答案为：3 四､解答题（本题含5小题，共77分，解答题写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 某学校高二年级学生共400人，将其体育达标测试成绩（单位：分）按区间，，，，分组，由此绘制的频率分布直方图如图所示．规定成绩不低于80分为优秀． （1）求成绩优秀的学生人数； （2）从成绩优秀的学生中按组分层抽样选出5人，再从这5人中选出2人，求这2人的成绩都在区间的概率． 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图求出成绩在内的学生人数以及成绩在内的学生人数，进而可以求出结果； （2）首先根据分层抽样确定与的人数，然后列举法列出基本事件，再根据古典概型的概率公式即可求解. 【详解】（1）由直方图知： 成绩在内的学生人数：人， 成绩在内的学生人数：人， ，所以成绩优秀的人数为人； （2）从成绩优秀的学生中按组分层抽样选出5人，则成绩在内的学生有人，记为1,2,3，成绩在内的学生有，记为4,5，所以基本事件有（1,2），（1,3），（1,4），（1,5），（2,3），（2,4），（2,5），（3,4），（3,5）,（4,5）共10种情况，其中符合题意的有（4,5）1种情况，所以这2人的成绩都在区间的概率. 16. 在等差数列中，． （1）求数列的通项公式； （2）设，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据，利用等差数列的通项公式求解； （2）由（1）得到，令，得，则当时，，当时，，利用等差数列的前项和公式求解即可. 【小问1详解】 设公差为， ∵， ∴， ∴，. 【小问2详解】 设数列的前项和为， 则由（1）可得，，. 由（1）知，令，得， ∴当时，；当时，， 则， 所以. 17. 如图，在正方体中，． （1）求证：； （2）求点到平面的距离． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）以A为坐标原点，AD为x轴，AB为y轴，为z轴建立如图所示的坐标系，求得两直线的方向向量坐标，通过计算数量积为，从而可证； （2）求得和平面的法向量，利用点面距离的向量公式即可求解. 【小问1详解】 证明：以A为坐标原点，AD为x轴，AB为y轴，为z轴建立如图所示的坐标系． ∵，，，， ∴，， ∴，∴； 【小问2详解】 ∵，，∴， 设面法向量为， ∵，， ∵，，∴， 令，则，，∴， 设到面的距离为d， ∴. 18. 已知双曲线．请从①②③中选取两个作为条件补充到题中，并完成下列问题．①；②离心率为2；③与椭圆的焦点相同． （1）求C的方程； （2）直线与C交于A，B两点，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）选①②，可得，解得即可；选①③，可得，解得即可；选②③，可得，解得，即可； （2）联立，消掉y，整理得，利用韦达定理、弦长公式可得答案. 【小问1详解】 选①②，可得，，解得，所以C的方程为； 选①③，可得，，解得，所以C的方程为； 选②③，可得，，解得，，所以C的方程为； 【小问2详解】 设，，联立，消掉y，整理得， 所以，因为， 所以． 19. 已知椭圆的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形. （1）求椭圆C的标准方程； （2）设斜率为k的直线与椭圆C交于两点，O为坐标原点，若的面积为定值，判断是否为定值，如果是，求出该定值；如果不是，说明理由. 【答案】（1） （2）是定值，定值为6 【解析】 【分析】（1）根据题意条件，可直接求出的值，然后再利用条件中、的关系，借助即可求解出、的值，从而得到椭圆方程； （2）根据已知条件设出、所在的直线方程，然后与椭圆联立方程，分别表示出根与系数的关系，再表示出弦长关系，再计算点到直线的距离，把面积用和的式子表示出来，通过给出的面积的值，找到和的等量关系，将等量关系带入到利用跟与系数关系组合成的中即可得到答案. 【小问1详解】 由题意：， 由知：， 故椭圆C的标准方程为， 【小问2详解】 设：，① 椭圆.② 联立①②得：， ，即 ∴， O到直线l的距离， ∴ ， ∴，即， ∴ . 故为定值6. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$