第6讲-22.1-22.2多边形与平行四边形【进阶优等生系列】 2024-2025学年沪教版（上海） 八年级数学第二学期 培优课

2024-2025春季培优课 【进阶优等生系列】【2024-2025春季培优课】 八年级第二学期第6讲 22.1-22.2多边形与平行四边形 目录 1、 【进门测试】共10题； 2、 【知识精讲】共7个知识点； 3、 【典例解析】共13例题； 4、 【过关演练】共10题； 5、 【拓展进阶】共3题； 6、 【温故知新】共21题：A组11题，B组10题； 【进门测试】 10min. 【检测学生的知识基础水平，就一周知识的遗忘及掌握情况，有针对性的简要复习，解决遗留的知识点问题，及时纠正学生的理解错误。】 1．以线段a＝7，b＝8，c＝9，d＝10为边作四边形，可以作（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个 【分析】根据四边形具有不稳定性，可知四条线段组成的四边形可有无数种变化． 【解答】解：四条线段组成的四边形可有无数种变化． 故选：D． 【点评】本题主要考查四边形的不稳定性，理清题意，熟记四边形的不稳定性是解答本题的关键． 2．一个多边形共有9条对角线，那么这个多边形的边数为 　6　． 【分析】根据n边形共有条对角线列出方程，解方程即可． 【解答】解：设多边形有n条边， 则＝9， 解得n1＝6，n2＝﹣3（舍去）， 即这个多边形的边数为6． 故答案为6． 【点评】本题考查了多边形的对角线，这类根据多边形的对角线，求边数的问题一般都可以化为求一元二次方程的解的问题，求解中舍去不符合条件的解即可． 3．在四边形ABCD中，AB＝AD，对角线AC平分∠BAD，AC＝8，S四边形ABCD＝16，那么对角线BD＝　4　． 【分析】根据角平分线的定义可得∠BAO＝∠DAO，根据SAS可证△BAO≌△DAO，再根据全等三角形的性质可得∠BOA＝∠DOA，可得AC⊥BD，再根据对角线互相垂直的四边形面积公式计算即可求解． 【解答】解：∵对角线AC平分∠BAD， ∴∠BAO＝∠DAO， 在△BAO与△DAO中， ， ∴△BAO≌△DAO（SAS）， ∴∠BOA＝∠DOA， ∴AC⊥BD， ∵AC＝8，S四边形ABCD＝16， ∴BD＝16×2÷8＝4． 故答案为：4． 【点评】考查了多边形的对角线，角平分线，全等三角形的判定与性质，四边形面积，关键是根据SAS证明△BAO≌△DAO． 4．如果一个多边形的内角和等于900°，那么这个多边形的边数是（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 【分析】n边形的内角和为（n﹣2）180°，由此列方程求n的值． 【解答】解：设这个多边形的边数是n， 则（n﹣2）180°＝900°， 解得n＝7， 故选：B． 【点评】本题考查根据多边形的内角和计算公式求多边形的边数，解答时要会根据公式进行正确运算、变形和数据处理． 5． 若一个多边形的内角和的比一个四边形的内角和多90°，那么这个多边形的边数是 . 【分析】设这个多边形的边数是n，由题意“一个多边形的内角和的比一个四边形的内角和多90°”列出方程，解方程即可． 【解答】解：设这个多边形的边数是n， 由题意得：（n﹣2）×180°＝360°+90°， 解得：n＝12， 答：这个多边形的边数是12． 【点评】本题考查了多边形的内角和，熟练掌握多边形内角和定理是解题的关键． 6．我们知道：三角形的内角和为180°，所以在求四边形的内角和时，我们可以将四边形分割成两个三角形，这样其内角和就是180°×2＝360°；同理五边形的内角和是　540　度；那么n边形的内角和是　（180n﹣360）　度；如果有一个n边形的内角和是1620°，那么n的值是　11　． 【分析】利用从同一顶点作出的对角线把多边形分成三角形的个数规律，再利用三角形的内角和等于180°可得五边形的内角和n边形的内角和；由个n边形的内角和是1620°，利用多边形的内角和公式可得n． 【解答】解：180°×（5﹣2）＝540°； 180°（n﹣2）＝（180n﹣360）°； ∵（n﹣2）×180°＝1620°， ∴n﹣2＝9， ∴n＝11， 故答案为：540；（180n﹣360）；11． 【点评】本题主要考查了多边形内角和公式的推导，关键是理解从同一顶点作出的对角线把多边形分成三角形的个数规律． 7．客厅的地面是长6米、宽4.8米的长方形，如果要用完整的地砖铺满客厅的地面，那么下列规格的地砖（单位：厘米）中，可以选择（　　） A．48×48 B．50×50 C．60×60 D．80×80 【分析】先换算6米＝600厘米，4.8米＝480厘米，再找600和480的公约数即可得到结论． 【解答】解：6米＝600厘米，4.8米＝480厘米， 600和480的最大公约数是120， 选项中只有60是120的因数． 故选：C． 【点评】本题考查了图形的密铺，找到600和480 的公约数是解题的关键． 8．商店出售有下列形状的地板砖： ①正三角形；②正方形；③正六边形；④正八边形． （1）若只选购其中一种地砖镶满地面，可供选择的有　正方形、正三角形、正六边形　 （2）若只选购其中两种地砖镶满地面，可供选择的有　正三角形和正六边形，正方形和正三角形，正方形和正八边形　． 【分析】几何图形镶嵌成平面的条件是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角．据此作答． 【解答】解：（1）∵使用其中的一种规格的地砖，那么有：正方形、正三角形、正六边形，一共3种方案； （2）∵使用其中两种地砖镶满地面，那么有：正三角形和正六边形，正方形和正三角形，正方形和正八边形，一共3种方案； 故答案为：（1）正方形、正三角形、正六边形；（2）正三角形和正六边形，正方形和正三角形，正方形和正八边形． 【点评】此题主要考查了平面镶嵌，用一种正多边形的镶嵌应符合一个内角度数能整除360°．任意多边形能进行镶嵌，说明它的内角和应能整除360°． 9．下面性质中，平行四边形不一定具备的是（　　） A．对角互补 B．邻角互补 C．对角相等 D．对角线互相平分 【分析】根据平行四边形的性质：平行四边形的对角相等，对角线互相平分，对边平行，即可得平行四边形的邻角互补；所以B、C、D正确． 【解答】解：∵平行四边形的对角相等，对角线互相平分，对边平行，即可得平行四边形的邻角互补； ∴B、C、D正确． 故选：A． 【点评】此题考查了平行四边形的性质：平行四边形的对角相等，对角线互相平分，对边平行，即平行四边形的邻角互补． 10．在平行四边形ABCD中，∠BAD＝50°，则∠ABC＝　130°　． 【分析】由平行四边形的性质可得∠BAD+∠ABC＝180°，即可求解． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠BAD+∠ABC＝180°， ∵∠BAD＝50°， ∴∠ABC＝130°， 故答案为130°． 【点评】本题考查了平行四边形的性质，掌握平行四边形的邻角互补是解题的关键． 【知识精讲】 10min. 【梳理本节课的知识框架及逻辑，针对重点知识点进行深入的剖析和讲解，让学生掌握知识点的同时，学会构建属于自己的知识体系。】 一．多边形 （1）多边形的概念：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形． （2）多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线． （3）正多边形的概念：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形． （4）多边形可分为凸多边形和凹多边形，辨别凸多边形可用两种方法：①画多边形任何一边所在的直线整个多边形都在此直线的同一侧．②每个内角的度数均小于180°，通常所说的多边形指凸多边形． （5）重心的定义：平面图形中，多边形的重心是当支撑或悬挂时图形能在水平面处于平稳状态，此时的支撑点或者悬挂点叫做平衡点，或重心． 常见图形的重心（1）线段：中点（2）平行四边形：对角线的交点（3）三角形：三边中线的交点（4）任意多边形． 二．多边形的对角线 （1）多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线． （2）n边形从一个顶点出发可引出（n﹣3）条对角线．从n个顶点出发引出（n﹣3）条，而每条重复一次，所以n边形对角线的总条数为：n（n﹣3）2（n≥3，且n为整数） （3）对多边形对角线条数公：n（n﹣3）2的理解：n边形的一个顶点不能与它本身及左右两个邻点相连成对角线，故可连出（n﹣3）条．共有n个顶点，应为n（n﹣3）条，这样算出的数，正好多出了一倍，所以再除以2． （4）利用以上公式，求对角线条数时，直接代入边数n的值计算，而计算边数时，需利用方程思想，解方程求n． 三．多边形内角与外角 （1）多边形内角和定理：（n﹣2）•180° （n≥3且n为整数） 此公式推导的基本方法是从n边形的一个顶点出发引出（n﹣3）条对角线，将n边形分割为（n﹣2）个三角形，这（n﹣2）个三角形的所有内角之和正好是n边形的内角和．除此方法之和还有其他几种方法，但这些方法的基本思想是一样的．即将多边形转化为三角形，这也是研究多边形问题常用的方法． （2）多边形的外角和等于360°． ①多边形的外角和指每个顶点处取一个外角，则n边形取n个外角，无论边数是几，其外角和永远为360°． ②借助内角和和邻补角概念共同推出以下结论：外角和＝180°n﹣（n﹣2）•180°＝360°． 四．平面镶嵌（密铺） （1）平面图形镶嵌的定义：用形状，大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接．彼此之间不留空隙，不重叠地铺成一片，这就是平面图形的镶嵌． （2）正多边形镶嵌有三个条件限制：①边长相等；②顶点公共；③在一个顶点处各正多边形的内角之和为360°． 判断一种或几种图形是否能够镶嵌，只要看一看拼在同一顶点处的几个角能否构成周角，若能构成360°，则说明能够进行平面镶嵌，反之则不能． （3）单一正多边形的镶嵌：正三角形，正四边形，正六边形． （4）两种正多边形的镶嵌：3个正三角形和2个正方形、四个正三角形和1个正六边形、2个正三角形和2个正六边形、1个正三角形和2个正十二边形、1个正方形和2个正八边形等． （5）用任意的同一种三角形或四边形能镶嵌成一个平面图案． 五．平行四边形的性质 （1）平行四边形的概念：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形． （2）平行四边形的性质： ①边：平行四边形的对边相等． ②角：平行四边形的对角相等． ③对角线：平行四边形的对角线互相平分． （3）平行线间的距离处处相等． （4）平行四边形的面积： ①平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积． ②同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等． 六．平行四边形的判定 （1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形．符号语言：∵AB∥DC，AD∥BC∴四边行ABCD是平行四边形． （2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形．符号语言：∵AB＝DC，AD＝BC∴四边行ABCD是平行四边形． （3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 符号语言：∵AB∥DC，AB＝DC∴四边行ABCD是平行四边形． （4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形． 符号语言：∵∠ABC＝∠ADC，∠DAB＝∠DCB∴四边行ABCD是平行四边形． （5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．符号语言：∵OA＝OC，OB＝OD∴四边行ABCD是平行四边形． 七．平行四边形的判定与性质 平行四边形的判定与性质的作用 平行四边形对应边相等，对应角相等，对角线互相平分及它的判定，是我们证明直线的平行、线段相等、角相等的重要方法，若要证明两直线平行和两线段相等、两角相等，可考虑将要证的直线、线段、角、分别置于一个四边形的对边或对角的位置上，通过证明四边形是平行四边形达到上述目的． 运用定义，也可以判定某个图形是平行四边形，这是常用的方法，不要忘记平行四边形的定义，有时用定义判定比用其他判定定理还简单． 凡是可以用平行四边形知识证明的问题，不要再回到用三角形全等证明，应直接运用平行四边形的性质和判定去解决问题． 【典例解析】 40min. 【根据相关知识点，进行典型题型的讲解，让学生由浅入深地掌握在考试过程中，相关知识点的出现命题形式及考试答题思路。】 例1.如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，P是AD上不与A、D重合的一动点，PE⊥AC，PF⊥BD，E、F为垂足，则PE+PF的值为 ． 【答案】过点D作DH⊥AC于点H，连接PO ∵矩形ABCD中，AB=3，AD=4， ∴AC=5，AO=DO ( H )∵DH⊥AC ， ∴． ∵， ∴ ∴ 例2.如图所示：点O是矩形ABCD的对角新AC与BD的交点，E、F、G、H分别是AO、BO、CO、DO上的一点，且AE=BF=CG=DH.求证：四边形EFGH是矩形. 【答案】通过对角线先证平行四边形再证矩形. 例3.已知：矩形ABCD中，延长BC至E，使BE=BD，F为DE中点，连接AF、CF． ( A B C D E F ) 求证：AF⊥CF． 【答案】联结 ∵BE=BD，F为DE中点，∴ ∴ ∵，F为DE中点，∴ ∴， ∴ ∵，， ∴，∴ ∵，∴， 即，∴AF⊥CF ( A B C D E F G H M N )例4. 将矩形ABCD的四个角向内折起，恰好拼成一个既无缝隙又无重叠的四边形EFGH，若EH=3，EF=4，求的值． 【答案】由翻折的性质可得：，． ∵， ∴．同理可证得：，． ∴四边形是矩形，∴． ∵，，∴． ∵，，∴，∴． ∵，，， ∴， ∴． 又∵，∴ 在直角△中，，由勾股定理可得：． ∵，∴ 又∵， ∴， ∴． 例5.如图，菱形ABCD的边长为4 cm，且∠ABC＝60°，E是BC的中点，P点在BD上，则PE+PC的最小值为________． 【答案】联结与的交点即为所求作的点． ∵∠ABC＝60°， ∴△为等边三角形 ∵E是BC的中点， ∴ ∵ ∴ 例6.如图所示：以等腰Rt△ABC的斜边AB为边作菱形ABDE，使D、E、C三点在同一直线上，求∠CAE. 【答案】15° 提示：过点C作CF⊥AB，过点E作EG⊥AB 例7.如图所示：在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，BE平分∠ABC交AD于点M，AN平分∠DAC,交BC于点N,BE、AN相交于点O. 求证：四边形AMNE是菱形. 【答案】通过△AOM≌△AOE 先证平行四边形再证菱形. 例8.如图，菱形ABCD的边长为2，BD＝2，E，F分别是边AD，CD上的两个动点且满足AE+CF＝2． （1）判断△BEF的形状，并说明理由； （2）设△BEF的面积为S，求S的取值范围． 【答案】（1）∵菱形ABCD的边长为2，BD =2， ∴都为等边三角形． ∴，． ∵，又， ∴． ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴是正三角形； （2） 设，则 当时，取最小值为时，； 当与重合时，取最大值为2，； ∴． 例9.如图所示:正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,E是OB延长线上一点，CE=BD， 求∠ECB的度数. 【答案】15 提示：联结AE. 例10.已知：Q为正方形ABCD的CD边的中点，P为CD上一点，且∠BAP=2∠QAD． 求证：AP=PC+BC． 【答案】延长到，使得，连接交BC于F． ∵，CD=AB， ∴CE=AB ∵∠ECF=∠B，∠CFE=∠AFB ∴△ABF≌△ECF ∴BF=CF，即 ∵Q为正方形ABCD的CD边的中点， ∴．∵BC=CD，∴DQ=BF ∵DQ=BF，∠B=∠D，AB=AD， ∴△ABF≌△ADQ， ∴∠QAD=∠BAF， ∵∠BAP =∠BAF+∠PAF，∠BAP = 2∠QAD，∠QAD=∠BAF，∴∠BAF=∠PAF ∵AB∥CD，∴∠BAF=∠E， ∴∠E=∠PAF， ∴PE=AP ∵PE=PC+CE，CE=BC， ∴ 例11．已知：如图，△ABC和△ADE都是等边三角形，点D在BC边上，EF∥BC交AC于点F，联结BE． 求证：四边形BEFC为平行四边形． 【分析】证△ABE≌△ACD（SAS），得∠EBA＝∠DCA＝60°，再证∠EBC+∠BCA＝180°，则BE∥CF，然后由EF∥BC，即可得出结论． 【解答】证明：∵△ABC和△ADE都是等边三角形， ∴AE＝AD，AB＝AC，∠BCA＝∠EAD＝∠BAC＝∠ABC＝60°， ∴∠EAD﹣∠BAD＝∠BAC﹣∠BAD， 即∠EAB＝∠DAC， 在△ABE和△ACD中， ， ∴△ABE≌△ACD（SAS）， ∴∠EBA＝∠DCA＝60°， ∴∠EBC＝∠EBA+∠ABC＝120°， ∴∠EBC+∠BCA＝180°， ∴BE∥CF， 又∵EF∥BC， ∴四边形BEFC为平行四边形． 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定、等边三角形的性质、平行线的判定等知识；熟练掌握平行四边形的判定，证明△ABE≌△ACD是解题的关键． 例12．如图，已知在平行四边形ABCD中，∠BAD的角平分线AE交CD于点F，交BC的延长线于点E． （1）求证：BE＝CD； （2）若BF恰好平分∠ABE，连接AC、DE，求证：四边形ACED是平行四边形． 【分析】（1）根据平行四边形的性质得出AD∥BC，AB＝CD，根据平行线的性质得出∠DAE＝∠AEB，求出∠BAE＝∠AEB，根据等腰三角形的判定得出即可； （2）根据等腰三角形的性质得出AF＝EF，求出△ADF≌△ECF，根据全等三角形的性质得出DF＝CF，再根据平行四边形的判定得出即可． 【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AB＝CD， ∴∠DAE＝∠AEB， ∵AE平分∠BAD， ∴∠BAE＝∠DAE， ∴∠BAE＝∠AEB， ∴BE＝AB， ∴BE＝CD； （2）∵BE＝AB，BF平分∠ABE， ∴AF＝EF， 在△ADF和△ECF中， ， ∴△ADF≌△ECF（ASA）， ∴DF＝CF， 又∵AF＝EF， ∴四边形ACED是平行四边形． 【点评】本题考查了平行四边形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，等腰三角形的判定和平行线的性质等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键． 例13．如图，在△ACB中，∠ABC＝90°，点D是斜边AC上的一点，DA＝DB，点F是AB的中点，过点C作CE∥BD交FD的延长线于点E． （1）求证：四边形CBDE是平行四边形； （2）联结BE、AE，如果∠CBE＝45°，求证：AB＝3BC． 【分析】（1）由等腰直角三角形的性质得出DF⊥AB，进而得出EF∥BC，由平行四边形的判定则可得出结论； （2）由三角形中位线定理得出DF＝BC，得出EF＝DF+DE＝BC，由角平分线的定义证得BF＝EF，则可得出结论． 【解答】证明：（1）∵DA＝DB， ∴△ADB是等腰三角形， ∵点F是AB的中点， ∴DF⊥AB， ∴∠AFD＝90°， ∵∠ABC＝90°， ∴∠AFD＝∠ABC， ∴EF∥BC， ∵EC∥DB， ∴四边形CBDE是平行四边形； （2）∵DF⊥AB，点F是AB的中点， ∴EF垂直平分AB， ∴DF＝BC， ∵四边形CBDE是平行四边形， ∴BC＝DE， ∴EF＝DF+DE＝BC， ∵BE平分∠ABC， ∴∠FBE＝45°， ∴∠FBE＝∠FEB＝45°， ∴BF＝EF， ∴BF＝BC， ∴AB＝2BF＝3BC． 【点评】本题考查了平行四边形的性质，垂直平分线的判定与性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． 【过关演练】 30min. 【结合针对性的有效练习，让学生达到知识点在考试中的熟练应用，适应考试题型的变化，进一步的明确考试逻辑，精准把握考点。】 1．如图，已知▱ABCD中，AB＝4，AD＝7．如果作∠ABC与∠BCD的平分线分别交AD于点E、F，那么EF的长是 　1　． 【分析】依据平行四边形的性质以及角平分线的定义，即可推理得到△ABE、△CDF是等腰三角形，进而得出DE和AF的长，再根据线段的和差关系即可得出EF的长． 【解答】解：如图所示，∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE＝∠CBE， ∵AD∥BC， ∴∠AEB＝∠CBE， ∴∠ABE＝∠AEB， ∴AE＝AB＝4， 又∵AD＝7， ∴DE＝AD﹣AE＝7﹣4＝3， 同理可得AF＝3， ∴EF＝AD﹣DE﹣AF＝7﹣3﹣3＝1， 故答案为：1． 【点评】本题主要考查了平行四边形的性质的运用，判定△ABE和△CDF是等腰三角形是解决问题的关键． 2．如图，在平行四边形ABCD中，已知对角线AC与BD相交于点O，AB＝10，AD＝6，∠DBC＝90°，求DO的长． 【分析】由平行四边形的性质得出OB＝OD，AD∥BC，由勾股定理求出BD，即可求出OD即可． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OB＝OD，AD∥BC， ∵∠DBC＝90°， ∴∠ADB＝90°， 在Rt△ADB中， ∵AB＝10，AD＝6， ∴BD＝＝＝8， ∴OD＝BD＝4． 【点评】本题考查平行四边形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活应用平行四边形的性质解决问题． 3．在四边形ABCD中，AD∥BC，添加下列选项中的一个条件，不能得到四边形ABCD是平行四边形，这个选项是（　　） A．AD＝BC B．AB∥CD C．AB＝CD D．∠A＝∠C 【分析】根据平行四边形的判定方法逐一进行选择判断． 【解答】解：A、由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，能推导出四边形ABCD是平行四边形，故本选项不符合题意； B、两组对边分别平行的四边形是平行四边形，能推导出四边形ABCD是平行四边形，故本选项正不符合题意； C、一组对边平行而另一组对边相等不能推导出四边形ABCD是平行四边形，故本选项符合题意； D、∵AD∥BC， ∴∠A+∠B＝180°． ∵∠A＝∠C， ∴∠C+∠B＝180°． ∴CD∥AB． ∴四边形ABCD是平行四边形． 故本选项不符合题意；故选：C． 【点评】本题考查了平行四边形的判定，属于基础题型，关键要记准平行四边形的判定方法． 4．如图，如果M，N分别是平行四边形ABCD的两条对边的中点，那么图中有　6　个平行四边形． 【分析】由平行四边形的判定方法即可得出结论． 【解答】解：∵M，N分别是平行四边形ABCD的两条对边的中点， ∴AM＝BM＝DN＝CN，AB∥CD，AD∥BC，MN∥BC， ∴四边形AMND、四边形BCNM、四边形AMCN、四边形BNDM、四边形MQNP是平行四边形， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴图中有6个平行四边形； 故答案为：6． 【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的判定与性质是解决问题的关键． 5．已知在四边形ABCD中，AD＝BC，∠D＝∠DCE．求证：四边形ABCD是平行四边形． 【分析】由内错角相等，两直线平行得到AD与BC平行，再由四边形一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可得证． 【解答】证明：∵∠D＝∠DCE， ∴AD∥BC， ∵AD＝BC， ∴四边形ABCD是平行四边形． 【点评】此题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定方法是解本题的关键． 6.如图所示:正方形ABCD的边长为12，点P在BC上，BP=5，EF⊥AP,垂足为Q，且EF与AB、CD分别相交于点E、F，求EF的长度. 【答案】13 提示：过点B作BG//EF. 7．如图，在平行四边形ABCD中，E、F是对角线AC所在直线上的两点，且AE＝CF．求证：四边形EBFD是平行四边形． 【分析】连接BD交AC于点O，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，可证四边形EBFD是平行四边形． 【解答】证明：如图，连接BD交AC于点O， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OC，OB＝OD， 又∵AE＝CF， ∴OA﹣AE＝OC﹣CF， 即OE＝OF， ∴四边形EBFD是平行四边形． 【点评】此题主要考查平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定是解题的关键． 8.如图所示：在梯形ABCD中，AD//BC,AB=CD,BC=2AD,,DE⊥BC，垂足为点F，且点F是DE的中点，联结AE，交边BC于点G.求证：四边形DGEC是正方形. 【答案】联结BE、AC 先证平行四边形然后菱形最后正方形. 9.已知：如图边长为的正方形的对角线、交于点，、分 别为、上的点，且． 求证：（1）． （2）、分别在、延长线上，，四边形与正方形 重合部分的面积等于． 【答案】（1）∵，， ∴∴ ∵，∴， 即； （2）∵，∴ ∴四边形与正方形重合部分的面积等于 ． 10.如图所示：在正方形ABCD中，点P在BD上，PE⊥BC，PF⊥CD，垂足分别为点E、F. 求证：AP=EF. 【答案】联结CP,通过△APD≌△CPD,先证CFPE为矩形 然后即可证. 【拓展进阶】 20min. 【知识点的延伸拓展，整体拔高学生知识结构，寻求考试中的难题高分突破途径。需要结合实际情况（班级水平、教学进度等）进行选择性教学，提高班和培优班必选。】 1．如图，▱ABCD中，AE⊥BC与E，AF⊥CD于F，H是△AEF三条高的交点，已知AE＝a，EC＝b，EF＝c，则AH＝　　． 【分析】过点C作CM⊥AD于点M，连结ME，MF，构造平行四边形ECFH，矩形AECM，平行四边形AHFM，利用平行四边形的性质推知FM⊥EF，利用勾股定理求出FM，即可得解． 【解答】解：如图，连结AC，过点C作CM⊥AD于点M，连结ME，MF， ∵EH⊥AF，AF⊥CD， ∴EH∥CF， 同理，FH∥EC， ∴四边形ECFH是平行四边形， ∴FH＝EC， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∵AE⊥BC，CM⊥AD， ∴∠AEC＝90°，AE∥CM， ∴四边形AECM是矩形， ∴AM＝EC，AC＝EM， ∴AM∥FH，AM＝FH， ∴四边形AHFM是平行四边形， ∴AH∥FM，AH＝FM， ∵H是△AEF三条高的交点， ∴AH⊥EF， ∴FM⊥EF， 在Rt△AEC中，AE＝a，EC＝b， ∴AC2＝AE2+EC2＝a2+b2， ∴EM2＝a2+b2， 在Rt△EFM中，EF＝c， ∴FM＝＝， ∴AH＝， 故答案为：． 【点评】此题考查了平行四边形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． 2．AB∥CD，AB＝15，CD＝10，AD＝3，CB＝4，求S四边形ABCD． 【分析】过D作DF∥CB交AB于F，作DE⊥AB于E，则四边形BCDF是平行四边形，得BF＝CD＝10，DF＝CB＝4，则AF＝AB﹣BF＝5，设AE＝x，则EF＝AF﹣AE＝5﹣x，由勾股定理得出方程，解方程即可解决问题． 【解答】解：过D作DF∥CB交AB于F，作DE⊥AB于E，如图所示： ∵AB∥CD， ∴四边形BCDF是平行四边形， ∴BF＝CD＝10，DF＝CB＝4， ∴AF＝AB﹣BF＝15﹣10＝5， 设AE＝x，则EF＝AF﹣AE＝5﹣x， 由勾股定理得：DE2＝AD2﹣AE2＝DF2﹣EF2， 即32﹣x2＝42﹣（5﹣x）2， 解得：x＝， ∴DE＝＝＝， ∴S四边形ABCD＝（AB+CD）•DE＝（15+10）×＝30． 【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、勾股定理以及梯形面积公式等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． 3．如图，在直角坐标系xOy中，点A（2，0）和点B（﹣2，0），直线BC与y轴正半轴交于点C（0，b），过点A作AD⊥BC，垂足为D，联结OD． （1）求OD的长； （2）当∠ODA＝30°时，求点C的坐标； （3）在（2）的条件下，已知点E在直角坐标平面内，如果以A、C、D、E为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点E的坐标． 【分析】（1）根据直角三角形斜边中线等于斜边一半，即可解决问题． （2）首先证明∠CBO＝60°，在Rt△OBC中，根据OC＝OB•tan60°计算即可． （3）点E有三种可能，利用平行四边形的性质，以及中点坐标公式即可解决问题． 【解答】解：（1）如图，∵AD⊥BC， ∴∠ADB＝90°， ∵A（2，0），B（﹣2，0）， ∴OA＝OB＝2， ∴OD＝AB＝2． （2）∵∠ODA＝30°，OD＝OA， ∴∠ODA＝∠OAD＝30°， ∴∠OBD＝60°， 在Rt△OBC中，OC＝OB•tan60°＝2， ∴C（0，2）． （3）∵四边形ADCE1是平行四边形，∴CM＝AM，DM＝ME1， ∵C（0，2），A（2，0）， ∴M（1，）， ∴E1（3，），同法可得E2（﹣3，3），E3（1，﹣）． 【点评】本题考查平行四边形的判定、坐标与图形的性质、锐角三角函数、直角三角形斜边中线定理、中点坐标公式等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，考虑问题要全面，不能漏解，属于中考常考题型． 【温故知新】 40min. 【针对本节课内容进行学习总结，帮助学生养成良好的学习总结归纳习惯，并对新知识点进行引入，引导学生良好地完成下一节课的课前预习。】 题组A 基础过关练 1．下列条件中不能判定一定是平行四边形的有（　　） A．一组对角相等，一组邻角互补 B．一组对边平行，另一组对边相等 C．两组对边相等 D．一组对边平行，且一条对角线平分另一条对角线 【分析】平行四边形的五种判定方法分别是：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．根据平行四边形的判定逐一验证． 【解答】解：A、能用两组对角相等的四边形是平行四边形判定平行四边形； B、不能判定平行四边形，如等腰梯形； C、能用两组对边相等的四边形是平行四边形判定平行四边形； D、能用两组对边分别平行的四边形是平行四边形判定平行四边形； 故选：B． 【点评】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握相关的定理是解题关键． 2．点A、B、C、D在同一平面内，若从①AB∥CD②AB＝CD③BC∥AD④BC＝AD这四个条件中选两个，不能推导出四边形ABCD是平行四边形的选项是（　　） A．①② B．①④ C．②④ D．①③ 【分析】根据平行四边形的判定方法逐一进行选择判断． 【解答】解：A、由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，能推导出四边形ABCD是平行四边形，故本选项正确； B、一组对边平行而另一组对边相等不能推导出四边形ABCD是平行四边形，故本选项错误； C、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，能推导出四边形ABCD是平行四边形，故本选项正确； D、两组对边分别平行的四边形是平行四边形，能推导出四边形ABCD是平行四边形，故本选项正确． 故选：B． 【点评】本题考查了平行四边形的判定，属于基础题型，关键要记准平行四边形的判定方法． 3．如果平行四边形ABCD两条对角线的长度分别为AC＝8cm，BD＝12cm，那么BC边的长度可能是（　　） A．BC＝2cm B．BC＝6cm C．BC＝10cm D．BC＝20cm 【分析】根据平行四边形的对角线互相平分确定对角线的一半的长，然后利用三角形的三边关系确定边长的取值范围，从该范围内找到一个合适的长度即可． 【解答】解：设平行四边形ABCD的对角线交于O点， ∴OA＝OC＝4，OB＝OD＝6， ∴6﹣4＜BC＜6+4 ∴2＜BC＜10， ∴6cm符合， 故选：B． 【点评】考查了三角形的三边关系及平行四边形的性质，解题的关键是确定对角线的一半并根据三边关系确定边长的取值范围，难度不大． 4．如果一个五边形的每一个内角都相等，那么它的一个内角的度数等于 　108　度． 【分析】根据n边形的外角和为360°得到正五边形的每个外角的度数360°÷5＝72°，然后利用邻补角的定义即可得到正八边形的每个内角为180°﹣72°＝108°． 【解答】解：由题意知，此五边形为正五边形， ∵正五边形的外角和为360°， ∴正五边形的每个外角的度数为：360°÷5＝72°， ∴正五边形的每个内角的度数为：180°﹣72°＝108°． 故答案为：108． 【点评】本题考查了多边形内角与外角，熟记n边形的外角和为360°是解题的关键． 5．通过画出多边形的对角线，可以把多边形内角和问题转化为三角形内角和问题，如果从某个多边形的一个顶点出发的对角线共有9条，那么该多边形的内角和是　1800　度． 【分析】由多边形的一个顶点出发的对角线共有（n﹣3）条可求出边数，然后求内角和． 【解答】解：∵多边形的一个顶点出发的对角线共有（n﹣3）条， ∴n﹣3＝9， ∴n＝12， ∴该多边形的边数是12， ∴内角和＝（12﹣2）×180°＝1800°， 故答案是：1800． 【点评】本题运用了多边形的内角和定理，关键是要知道多边形的一个顶点出发的对角线共有（n﹣3）条． 6．已知三条线段的长分别为5厘米、4.5厘米、4厘米，以其中两条为对角线，另一条为一边，可以画出　1　个平行四边形． 【分析】由三角形两边之和大于第三边，可以知道这样的三角形有多少个，就能确定平行四边形的个数． 【解答】解：根据平行四边形的对角线互相平分，且根据三角形三边之间的关系可知，分三种情况讨论： （1）可用5cm，4.5cm的两条线段为对角线，4cm的线段为边作一平行四边形，两对角线的一半分别是2.5cm和2.25cm，2.5+2.25＞4，因而能构成平行四边形； （2）可用4.5cm，4cm的两条线段为对角线，5cm的线段为边作一平行四边形，两对角线的一半分别是2cm和2.25cm，根据2.25+2＜5，故不能构成平行四边形； （3）可用5cm，4cm的两条线段为对角线，4.5cm的线段为边作一平行四边形，两对角线的一半分别是2.5cm和2cm，根据2.5+2＝4.5，故不能构成． 则可以画出形状不同的平行四边形个数为1个． 故答案为：1． 【点评】此题综合考查了平行四边形的判定和三角形三边之间的关系，解题的关键是将平行四边形的判定与三角形是三边关系结合起来． 7．以不共线的三个已知点为顶点画平行四边形，可以画出　3　个平行四边形． 【分析】不在同一直线上的三点为A、B、C，连接AB、BC、CA，分别以其中一条线段为对角线，另两边为平行四边形的边，可构成三个平行四边形． 【解答】解：已知三点为A、B、C，连接AB、BC、CA， ①以AB为平行四边形的对角线，BC、CA为两边可以画出▱ACBD； ②以CB为平行四边形的对角线，BA、CA为两边可以画出▱ACEB； ③以CA为平行四边形的对角线，BA、CB为两边可以画出▱ABCF； 可构成的平行四边形有三个：▱ACBD，▱ACEB，▱ABCF． 故答案为：3． 【点评】本题考查了画平行四边形的方法，关键是首先确定平行四边形的对角线与两边，再画出图形． 8．在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，若BD＝10，AC＝14，那么BC的取值范围为　2＜BC＜12　． 【分析】根据平行四边形的性质可得BO、CO的长，然后再根据三角形的三边关系可得BC的取值范围． 【解答】解：如图： ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴BO＝BD，CO＝AC， ∵BD＝10，AC＝14， ∴BO＝5，CO＝7， ∴2＜BC＜12， 故答案为：2＜BC＜12． 【点评】此题主要考查了平行四边形的性质，以及三角形三边关系，关键是掌握平行四边形的对角线互相平分． 9．小明家装修新房，客厅的地面长是6米，宽4.8米的长方形，准备用整块的正方形地砖铺满客厅的地面，市场上地砖有30×30，40×40，60×60，80×80（单位：厘米×厘米）四种尺寸，小明家想选尺寸较大的地砖，该选哪一种？，并计算需要多少块地砖可以铺满客厅． 【分析】小明家装修新房，准备用整块正方形的地砖铺满客厅的地面，那么正方形地砖的边长应是客厅的地面长和宽的公因数，而且在这些公因数中要选最大的，在这四种尺寸中边长30，40，60的都是客厅的地面长和宽的公因数，其中最大的是60，所以选60×60的正方形地砖，然后求出块数即可． 【解答】解：∵用整块正方形的地砖铺满客厅的地面， ∴正方形地砖的边长应是客厅的地面长和宽的公因数，而且是最大的， ∴符合要求的是选60×60的正方形地砖； ∵6m＝600cm，4.8m＝480cm， ∴（600÷60）×（480÷60）＝10×8＝80（块）， 需要80块地砖可以铺满客厅 【点评】本题主要考查了平面镶嵌，关键是找到符合要求的公因数． 10．如图，平行四边形ABCD中，AD＝2AB，E为AD的中点，CE的延长线交BA的延长线于点F． （1）求证：FB＝AD． （2）若∠DAF＝70°，求∠EBC的度数． 【分析】（1）证△DEC≌△AEF（AAS），得出DC＝FA，进而得出结论； （2）由平行四边形的对边平行证出∠CBF＝∠DAF＝70°，∠AEB＝∠EBC，由等腰三角形的性质得出∠AEB＝∠ABE，即可得出答案． 【解答】（1）证明∵E为AD的中点， ∴DE＝AE， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AB＝DC， ∴∠EDC＝∠EAF， 在△DEC和△AEF中，， ∴△DEC≌△AEF（ASA）， ∴DC＝FA， ∵AD＝2AB， ∴AB＝DE＝EA＝FA， ∴FB＝AD； （2）解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴DA∥CB， ∴∠CBF＝∠DAF＝70°，∠AEB＝∠EBC， 又∵AE＝AB， ∴∠AEB＝∠ABE， ∴∠EBC＝∠ABE＝35°． 【点评】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识；熟练掌握平行四边形的性质和等腰三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键． 11．如图，平行四边形ABCD中，AE⊥BC，CF⊥AD，DN＝BM． 求证：（1）BE＝FD； （2）EF与MN互相平分． 【分析】（1）证明△ABE≌△CDF（AAS）可得结论． （2）连接EM，EN，NF，FM，证明ME＝FN，FM＝NE，推出四边形MENF是平行四边形即可解决问题． 【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，∠B＝∠D， ∵AE⊥BC，CF⊥AD， ∴∠AEB＝∠CFD， ∴△ABE≌△CDF（AAS）， ∴BE＝DF． （2）连接EM，EN，NF，FM． ∵DN＝BM，∠D＝∠B，DF＝BE， ∴△BEM≌△DFN（SAS）， ∴ME＝FN， 同法可证FM＝EN， ∴四边形MENF是平行四边形， ∴EF与MN互相平分． 【点评】本题考查平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 题组B 能力提升练 1．当一个凸四边形的一条对角线把原四边形分割成两个等腰三角形时，我们称这个四边形为“等腰四边形”，其中这条对角线称为这个四边形的“等腰线”．如果凸四边形ABCD是“等腰四边形”，对角线BD是该四边形的“等腰线”，其中∠ABC＝90°，AB＝BC＝CD≠AD，那么∠BAD的度数为　75°　． 【分析】根据“等腰四边形”的定义画出图形，对角线BD是该四边形的“等腰线”，所以△CBD和△ABD为等腰三角形，由于AB＝BC＝CD≠AD，△ABD中分两种情形：①AB＝BD，②AD＝BD．当AB＝BD时，由于AB＝BC＝CD，可得△BDC为等边三角形，∠ABC＝90°，则∠ABD＝30°，结论可得；当AD＝BD时，过点D作DE⊥AB，根据等腰三角形的三线合一，BE＝AB，过点D作DF⊥CB，交CB延长线于点F，根据四边形EBFD为矩形，DF＝＝CD，可得∠DCB＝30°，由于∠ABC＝90°，∠FDB可得，从而∠BAD可求． 【解答】解：∵凸四边形ABCD是“等腰四边形”，对角线BD是该四边形的“等腰线”， ∴△CBD和△ABD为等腰三角形． 由于AB≠AD，在△ABD中分两种情形：①AB＝BD，②AD＝BD． 当①AB＝BD时，如下图： ∵AB＝BC＝CD，AB＝BD． ∴BC＝CD＝BD． ∴△BDC为等边三角形． ∴∠DBC＝60°． ∵∠ABC＝90°， ∴∠ABD＝30°． ∵AB＝BD， ∴∠BAD＝∠BDA＝＝75°． 当②AD＝BD时，如下图， 过点D作DE⊥AB，过点D作DF⊥CB，交BC延长线于点F， ∵AD＝BD，DE⊥AB， ∴BE＝AB． ∵DE⊥AB，DF⊥CB，∠ABC＝90°， ∴四边形EBFD为矩形． ∴DF＝BE＝AB． ∵AB＝CD， ∴DF＝CD． 在Rt△DCF中，sin∠DCF＝＝， ∴∠DCF＝30°． ∵BC＝CD， ∴∠DBC＝∠BDC＝＝15°． ∵∠ABC＝90°， ∴∠ABD＝75°． ∵AD＝BD， ∴∠BAD＝∠ABD＝75°． 综上，∠BAD＝75°． 故答案为：75°． 【点评】本题主要考查了等腰三角形，多边形的对角线，等腰直角三角形等知识点．本题是阅读题，正确理解题意是解题的关键． 2．已知O是平行四边形ABCD的对角线AC与BD的交点．AC＝24，BD＝38，AD＝28，那么△OBC的周长等于 　59　． 【分析】由平行四边形的性质可求得OB、OC，则可求得答案． 【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴BO＝BD＝19，CO＝AC＝12，BC＝AD＝28， ∴BO+CO+BC＝19+12+28＝59，即△OBC的周长为59， 故答案为：59． 【点评】本题主要考查平行四边形的性质，掌握平行四边形的对角线互相平分是解题的关键． 3．在平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD交直线BC于点E，BE：EC＝2：1，且AB＝6，那么这个四边形的周长是　30或18　． 【分析】首先根据题意作图，由AE平分∠BAD交直线BC于点E，可知点E在边BC上或者在其延长线上；分别求解即可求得答案． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠AEB＝∠DAE， ∵AE平分∠BAD， ∴∠BAE＝∠DE， ∴∠BAE＝∠AEB， ∴BE＝AB＝6， 如图1，∵BE：EC＝2：1， ∴EC＝3， ∴AD＝BC＝9，AB＝CD＝6， ∴这个四边形的周长是：9+6+9+6＝30； 如图2，∵BE：EC＝2：1， ∴EC＝3， ∴AD＝BC＝3，AB＝CD＝6， ∴这个四边形的周长是：3+6+3+6＝18； ∴这个四边形的周长是：30或18． 故答案为：30或18． 【点评】此题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定与性质以及角平分线的定义．此题难度适中，注意掌握分类讨论思想与数形结合思想的应用． 4．如图，▱ABCD的周长为30cm，AC，BD相交于点O，OE⊥AC交AD于E，则△DCE的周长为　15　cm． 【分析】根据平行四边形性质得出AD＝BC，AB＝CD，OA＝OC，根据线段垂直平分线得出AE＝CE，求出CD+DE+EC＝CD+AD，代入求出即可． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC，AB＝CD，OA＝OC， ∵EO⊥AC， ∴AE＝CE， ∵AB+BC+CD+AD＝30， ∴CD+AD＝15， ∴△DCE的周长是：CD+DE+CE＝CD+DE+AE＝CD+AD＝15， 故答案为：15． 【点评】本题考查了平行四边形性质、线段垂直平分线性质等知识；熟练掌握线段垂直平分线性质，求出AE＝CE是解题的关键． 5．在平面直角坐标系xOy中，已知四边形ABCD是平行四边形，点A（1，0）、B（0，2）、C（3，3），那么点D的坐标为 　（4，1）　． 【分析】由平行四边形的性质可得：BC＝AD，BC||AD．通过点的坐标得到：点B先向右平移3个单位长度再向上平移1个单位长度得到点C，所以点A先向右平移3个单位长度再向上平移1个单位长度得到点D，根据平移法则即可得解． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴BC＝AD，BC||AD， ∵点B（0，2）、C（3，3）， ∴点B先向右平移3个单位长度再向上平移1个单位长度得到点C， ∴点A先向右平移3个单位长度再向上平移1个单位长度得到点D， ∵点A坐标为（1，0）， ∴点D坐标为（4，1）． 故答案为：（4，1）． 【点评】本题考查了坐标与图形的性质，利用平行四边形的性质：平行四边形的对边平行且相等． 6．如图，已知∠A＝50°，∠D＝40° （1）求∠1度数； （2）求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数． 【分析】（1）根据三角形的外角的性质即可得到结论； （2）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠1＝∠A+∠C，∠2＝∠B+∠D，然后利用三角形的内角和定理列式计算即可得解． 【解答】解：（1）∠1＝∠A+∠D＝90°； （2）∵∠1＝∠A+∠D，∠2＝∠B+∠E，∠1+∠2+∠C＝180°， ∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°． 【点评】本题考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，三角形的内角和定理，熟记性质并准确识图是解题的关键． 7．如图，以BC为底边的等腰△ABC，点D，E，G分别在BC，AB，AC上，且EG∥BC，DE∥AC，延长GE至点F，使得BE＝BF． （1）求证：四边形BDEF为平行四边形； （2）当∠C＝45°，BD＝4时，联结DF，求线段DF的长． 【分析】（1）由等腰三角形的性质得出∠ABC＝∠C，证出∠AEG＝∠ABC＝∠C，四边形CDEG是平行四边形，得出∠DEG＝∠C，证出∠F＝∠DEG，得出BF∥DE，即可得出结论； （2）证出△BDE、△BEF是等腰直角三角形，由勾股定理得出BF＝BE＝BD＝2，作FM⊥BD于M，连接DF，则△BFM是等腰直角三角形，由勾股定理得出FM＝BM＝BF＝2，得出DM＝6，在Rt△DFM中，由勾股定理求出DF即可． 【解答】（1）证明：∵△ABC是等腰三角形， ∴∠ABC＝∠C， ∵EG∥BC，DE∥AC， ∴∠AEG＝∠ABC＝∠C，四边形CDEG是平行四边形， ∴∠DEG＝∠C， ∵BE＝BF， ∴∠BFE＝∠BEF＝∠AEG＝∠ABC， ∴∠F＝∠DEG， ∴BF∥DE， ∴四边形BDEF为平行四边形； （2）解：∵∠C＝45°， ∴∠ABC＝∠BFE＝∠BEF＝45°， ∴△BDE、△BEF是等腰直角三角形， ∴BF＝BE＝BD＝2， 作FM⊥BD于M，连接DF，如图所示： 则△BFM是等腰直角三角形， ∴FM＝BM＝BF＝2， ∴DM＝6， 在Rt△DFM中，由勾股定理得：DF＝＝2， 即D，F两点间的距离为2． 【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、等腰三角形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质和勾股定理是解决问题的关键． 8．如图，▱ABCD中，E、F是直线AC上两点，且AE＝CF． 求证：（1）BE＝DF； （2）BE∥DF 【分析】（1）利用平行四边形的性质借助全等三角形的判定与性质得出即可； （2）利用全等三角形的性质结合平行线的判定方法得出即可． 【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC，AD∥BC， ∴∠DAC＝∠BCA， ∴∠DAF＝∠BCE， ∵AE＝CF， ∴AF＝EC， 在△FAD和△ECB中， ， ∴△FAD≌△ECB（SAS）， ∴BE＝DF； （2）∵△FAD≌△ECB， ∴∠F＝∠E， ∴BE∥DF． 【点评】此题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质，得出△FAD≌△ECB是解题关键． 9．在平行四边形ABCD中，分别以AD、BC为边向内作等边△ADE和等边△BCF，连接BE、DF．求证：四边形BEDF是平行四边形． 【分析】由题意先证∠DAE＝∠BCF＝60°，再由SAS证△DCF≌△BAE，继而题目得证． 【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴CD＝AB，AD＝CB，∠DAB＝∠BCD． 又∵△ADE和△CBF都是等边三角形， ∴DE＝BF，AE＝CF． ∠DAE＝∠BCF＝60°． ∵∠DCF＝∠BCD﹣∠BCF， ∠BAE＝∠DAB﹣∠DAE， ∴∠DCF＝∠BAE． ∴△DCF≌△BAE（SAS）． ∴DF＝BE． ∴四边形BEDF是平行四边形． 【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握性质定理和判定定理是解题的关键．平行四边形的五种判定方法与平行四边形的性质相呼应，每种方法都对应着一种性质，在应用时应注意它们的区别与联系． 10．已知：如图，在△ABC中，M是边AB的中点，D是边BC延长线上的一点，且CD＝BC，作DN∥CM交AC于点N．求证：四边形MCDN是平行四边形． 【分析】直接利用全等三角形的判定与性质进而得出MC＝ND，再利用平行四边形的判定方法得出答案． 【解答】证明：取BC的中点E，连接ME． ∵点M是AB的中点，点E是BC的中点， ∴ME∥AC， ∴∠1＝∠2， 又 EC＝BC，CD＝BC， ∴EC＝CD， 又∵DN∥CM， ∴∠3＝∠D． 在△MEC和△NCD中 ， ∴△MEC≌△NCD（SAS）， ∴MC＝ND． 又∵MC∥ND． ∴四边形MCDN是平行四边形． 【点评】此题主要考查了平行四边形的判定以及全等三角形的判定与性质，正确得出△MEC≌△NCD是解题关键． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$2024-2025春季培优课 【进阶优等生系列】【2024-2025春季培优课】 八年级第二学期第6讲 22.1-22.2多边形与平行四边形 目录 1、 【进门测试】共10题； 2、 【知识精讲】共7个知识点； 3、 【典例解析】共13例题； 4、 【过关演练】共10题； 5、 【拓展进阶】共3题； 6、 【温故知新】共21题：A组11题，B组10题； 【进门测试】 10min. 【检测学生的知识基础水平，就一周知识的遗忘及掌握情况，有针对性的简要复习，解决遗留的知识点问题，及时纠正学生的理解错误。】 1．以线段a＝7，b＝8，c＝9，d＝10为边作四边形，可以作（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个 2．一个多边形共有9条对角线，那么这个多边形的边数为 　 　． 3．在四边形ABCD中，AB＝AD，对角线AC平分∠BAD，AC＝8，S四边形ABCD＝16，那么对角线BD＝　 　． 4．如果一个多边形的内角和等于900°，那么这个多边形的边数是（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 5． 若一个多边形的内角和的比一个四边形的内角和多90°，那么这个多边形的边数是 . 6．我们知道：三角形的内角和为180°，所以在求四边形的内角和时，我们可以将四边形分割成两个三角形，这样其内角和就是180°×2＝360°；同理五边形的内角和是　　度；那么n边形的内角和是 　 　 度；如果有一个n边形的内角和是1620°，那么n的值是　 　． 7．客厅的地面是长6米、宽4.8米的长方形，如果要用完整的地砖铺满客厅的地面，那么下列规格的地砖（单位：厘米）中，可以选择（　　） A．48×48 B．50×50 C．60×60 D．80×80 8．商店出售有下列形状的地板砖： ①正三角形；②正方形；③正六边形；④正八边形． （1）若只选购其中一种地砖镶满地面，可供选择的有　 　 （2）若只选购其中两种地砖镶满地面，可供选择的有　 　． 9．下面性质中，平行四边形不一定具备的是（　　） A．对角互补 B．邻角互补 C．对角相等 D．对角线互相平分 10．在平行四边形ABCD中，∠BAD＝50°，则∠ABC＝　 　． 【知识精讲】 10min. 【梳理本节课的知识框架及逻辑，针对重点知识点进行深入的剖析和讲解，让学生掌握知识点的同时，学会构建属于自己的知识体系。】 一．多边形 （1）多边形的概念：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形． （2）多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线． （3）正多边形的概念：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形． （4）多边形可分为凸多边形和凹多边形，辨别凸多边形可用两种方法：①画多边形任何一边所在的直线整个多边形都在此直线的同一侧．②每个内角的度数均小于180°，通常所说的多边形指凸多边形． （5）重心的定义：平面图形中，多边形的重心是当支撑或悬挂时图形能在水平面处于平稳状态，此时的支撑点或者悬挂点叫做平衡点，或重心． 常见图形的重心（1）线段：中点（2）平行四边形：对角线的交点（3）三角形：三边中线的交点（4）任意多边形． 二．多边形的对角线 （1）多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线． （2）n边形从一个顶点出发可引出（n﹣3）条对角线．从n个顶点出发引出（n﹣3）条，而每条重复一次，所以n边形对角线的总条数为：n（n﹣3）2（n≥3，且n为整数） （3）对多边形对角线条数公：n（n﹣3）2的理解：n边形的一个顶点不能与它本身及左右两个邻点相连成对角线，故可连出（n﹣3）条．共有n个顶点，应为n（n﹣3）条，这样算出的数，正好多出了一倍，所以再除以2． （4）利用以上公式，求对角线条数时，直接代入边数n的值计算，而计算边数时，需利用方程思想，解方程求n． 三．多边形内角与外角 （1）多边形内角和定理：（n﹣2）•180° （n≥3且n为整数） 此公式推导的基本方法是从n边形的一个顶点出发引出（n﹣3）条对角线，将n边形分割为（n﹣2）个三角形，这（n﹣2）个三角形的所有内角之和正好是n边形的内角和．除此方法之和还有其他几种方法，但这些方法的基本思想是一样的．即将多边形转化为三角形，这也是研究多边形问题常用的方法． （2）多边形的外角和等于360°． ①多边形的外角和指每个顶点处取一个外角，则n边形取n个外角，无论边数是几，其外角和永远为360°． ②借助内角和和邻补角概念共同推出以下结论：外角和＝180°n﹣（n﹣2）•180°＝360°． 四．平面镶嵌（密铺） （1）平面图形镶嵌的定义：用形状，大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接．彼此之间不留空隙，不重叠地铺成一片，这就是平面图形的镶嵌． （2）正多边形镶嵌有三个条件限制：①边长相等；②顶点公共；③在一个顶点处各正多边形的内角之和为360°． 判断一种或几种图形是否能够镶嵌，只要看一看拼在同一顶点处的几个角能否构成周角，若能构成360°，则说明能够进行平面镶嵌，反之则不能． （3）单一正多边形的镶嵌：正三角形，正四边形，正六边形． （4）两种正多边形的镶嵌：3个正三角形和2个正方形、四个正三角形和1个正六边形、2个正三角形和2个正六边形、1个正三角形和2个正十二边形、1个正方形和2个正八边形等． （5）用任意的同一种三角形或四边形能镶嵌成一个平面图案． 五．平行四边形的性质 （1）平行四边形的概念：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形． （2）平行四边形的性质： ①边：平行四边形的对边相等． ②角：平行四边形的对角相等． ③对角线：平行四边形的对角线互相平分． （3）平行线间的距离处处相等． （4）平行四边形的面积： ①平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积． ②同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等． 六．平行四边形的判定 （1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形．符号语言：∵AB∥DC，AD∥BC∴四边行ABCD是平行四边形． （2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形．符号语言：∵AB＝DC，AD＝BC∴四边行ABCD是平行四边形． （3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 符号语言：∵AB∥DC，AB＝DC∴四边行ABCD是平行四边形． （4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形． 符号语言：∵∠ABC＝∠ADC，∠DAB＝∠DCB∴四边行ABCD是平行四边形． （5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．符号语言：∵OA＝OC，OB＝OD∴四边行ABCD是平行四边形． 七．平行四边形的判定与性质 平行四边形的判定与性质的作用 平行四边形对应边相等，对应角相等，对角线互相平分及它的判定，是我们证明直线的平行、线段相等、角相等的重要方法，若要证明两直线平行和两线段相等、两角相等，可考虑将要证的直线、线段、角、分别置于一个四边形的对边或对角的位置上，通过证明四边形是平行四边形达到上述目的． 运用定义，也可以判定某个图形是平行四边形，这是常用的方法，不要忘记平行四边形的定义，有时用定义判定比用其他判定定理还简单． 凡是可以用平行四边形知识证明的问题，不要再回到用三角形全等证明，应直接运用平行四边形的性质和判定去解决问题． 【典例解析】 40min. 【根据相关知识点，进行典型题型的讲解，让学生由浅入深地掌握在考试过程中，相关知识点的出现命题形式及考试答题思路。】 ( H )例1.如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，P是AD上不与A、D重合的一动点，PE⊥AC，PF⊥BD，E、F为垂足，则PE+PF的值为 ． 例2.如图所示：点O是矩形ABCD的对角新AC与BD的交点，E、F、G、H分别是AO、BO、CO、DO上的一点，且AE=BF=CG=DH.求证：四边形EFGH是矩形. ( A B C D E F )例3.已知：矩形ABCD中，延长BC至E，使BE=BD，F为DE中点，连接AF、CF．求证：AF⊥CF． ( A B C D E F G H M N )例4. 将矩形ABCD的四个角向内折起，恰好拼成一个既无缝隙又无重叠的四边形EFGH，若EH=3，EF=4，求的值． 例5.如图，菱形ABCD的边长为4 cm，且∠ABC＝60°，E是BC的中点，P点在BD上，则PE+PC的最小值为________． 例6.如图所示：以等腰Rt△ABC的斜边AB为边作菱形ABDE，使D、E、C三点在同一直线上，求∠CAE. 例7.如图所示：在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，BE平分∠ABC交AD于点M，AN平分∠DAC,交BC于点N,BE、AN相交于点O. 求证：四边形AMNE是菱形. 例8.如图，菱形ABCD的边长为2，BD＝2，E，F分别是边AD，CD上的两个动点且满足AE+CF＝2． （1）判断△BEF的形状，并说明理由； （2）设△BEF的面积为S，求S的取值范围． 例9.如图所示:正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,E是OB延长线上一点，CE=BD，求∠ECB的度数. 例10.已知：Q为正方形ABCD的CD边的中点，P为CD上一点，且∠BAP=2∠QAD． 求证：AP=PC+BC． 例11．已知：如图，△ABC和△ADE都是等边三角形，点D在BC边上，EF∥BC交AC于点F，联结BE． 求证：四边形BEFC为平行四边形． 例12．如图，已知在平行四边形ABCD中，∠BAD的角平分线AE交CD于点F，交BC的延长线于点E． （1）求证：BE＝CD； （2）若BF恰好平分∠ABE，连接AC、DE，求证：四边形ACED是平行四边形． 例13．如图，在△ACB中，∠ABC＝90°，点D是斜边AC上的一点，DA＝DB，点F是AB的中点，过点C作CE∥BD交FD的延长线于点E． （1）求证：四边形CBDE是平行四边形； （2）联结BE、AE，如果∠CBE＝45°，求证：AB＝3BC． 【过关演练】 30min. 【结合针对性的有效练习，让学生达到知识点在考试中的熟练应用，适应考试题型的变化，进一步的明确考试逻辑，精准把握考点。】 1．如图，已知▱ABCD中，AB＝4，AD＝7．如果作∠ABC与∠BCD的平分线分别交AD于点E、F，那么EF的长是 　　． 2．如图，在平行四边形ABCD中，已知对角线AC与BD相交于点O，AB＝10，AD＝6，∠DBC＝90°，求DO的长． 3．在四边形ABCD中，AD∥BC，添加下列选项中的一个条件，不能得到四边形ABCD是平行四边形，这个选项是（　　） A．AD＝BC B．AB∥CD C．AB＝CD D．∠A＝∠C 4．如图，如果M，N分别是平行四边形ABCD的两条对边的中点，那么图中有　　个平行四边形． 5．已知在四边形ABCD中，AD＝BC，∠D＝∠DCE．求证：四边形ABCD是平行四边形． 6.如图所示:正方形ABCD的边长为12，点P在BC上，BP=5，EF⊥AP,垂足为Q，且EF与AB、CD分别相交于点E、F，求EF的长度. 7．如图，在平行四边形ABCD中，E、F是对角线AC所在直线上的两点，且AE＝CF．求证：四边形EBFD是平行四边形． 8.如图所示：在梯形ABCD中，AD//BC,AB=CD,BC=2AD,,DE⊥BC，垂足为点F，且点F是DE的中点，联结AE，交边BC于点G.求证：四边形DGEC是正方形. 9.已知：如图边长为的正方形的对角线、交于点，、分 别为、上的点，且． 求证：（1）． （2）、分别在、延长线上，，四边形与正方形 重合部分的面积等于． 10.如图所示：在正方形ABCD中，点P在BD上，PE⊥BC，PF⊥CD，垂足分别为点E、F. 求证：AP=EF. 【拓展进阶】 20min. 【知识点的延伸拓展，整体拔高学生知识结构，寻求考试中的难题高分突破途径。需要结合实际情况（班级水平、教学进度等）进行选择性教学，提高班和培优班必选。】 1．如图，▱ABCD中，AE⊥BC与E，AF⊥CD于F，H是△AEF三条高的交点，已知AE＝a，EC＝b，EF＝c，则AH＝　 　． 2．AB∥CD，AB＝15，CD＝10，AD＝3，CB＝4，求S四边形ABCD． 3．如图，在直角坐标系xOy中，点A（2，0）和点B（﹣2，0），直线BC与y轴正半轴交于点C（0，b），过点A作AD⊥BC，垂足为D，联结OD． （1）求OD的长； （2）当∠ODA＝30°时，求点C的坐标； （3）在（2）的条件下，已知点E在直角坐标平面内，如果以A、C、D、E为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点E的坐标． 【温故知新】 40min. 【针对本节课内容进行学习总结，帮助学生养成良好的学习总结归纳习惯，并对新知识点进行引入，引导学生良好地完成下一节课的课前预习。】 题组A 基础过关练 1．下列条件中不能判定一定是平行四边形的有（　　） A．一组对角相等，一组邻角互补 B．一组对边平行，另一组对边相等 C．两组对边相等 D．一组对边平行，且一条对角线平分另一条对角线 2．点A、B、C、D在同一平面内，若从①AB∥CD②AB＝CD③BC∥AD④BC＝AD这四个条件中选两个，不能推导出四边形ABCD是平行四边形的选项是（　　） A．①② B．①④ C．②④ D．①③ 3．如果平行四边形ABCD两条对角线的长度分别为AC＝8cm，BD＝12cm，那么BC边的长度可能是（　　） A．BC＝2cm B．BC＝6cm C．BC＝10cm D．BC＝20cm 4．如果一个五边形的每一个内角都相等，那么它的一个内角的度数等于 　 　度． 5．通过画出多边形的对角线，可以把多边形内角和问题转化为三角形内角和问题，如果从某个多边形的一个顶点出发的对角线共有9条，那么该多边形的内角和是　 　度． 6．已知三条线段的长分别为5厘米、4.5厘米、4厘米，以其中两条为对角线，另一条为一边，可以画出　 　个平行四边形． 7．以不共线的三个已知点为顶点画平行四边形，可以画出　　个平行四边形． 8．在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，若BD＝10，AC＝14，那么BC的取值范围为　 　． 9．小明家装修新房，客厅的地面长是6米，宽4.8米的长方形，准备用整块的正方形地砖铺满客厅的地面，市场上地砖有30×30，40×40，60×60，80×80（单位：厘米×厘米）四种尺寸，小明家想选尺寸较大的地砖，该选哪一种？，并计算需要多少块地砖可以铺满客厅． 10．如图，平行四边形ABCD中，AD＝2AB，E为AD的中点，CE的延长线交BA的延长线于点F． （1）求证：FB＝AD． （2）若∠DAF＝70°，求∠EBC的度数． 11．如图，平行四边形ABCD中，AE⊥BC，CF⊥AD，DN＝BM． 求证：（1）BE＝FD； （2）EF与MN互相平分． 题组B 能力提升练 1．当一个凸四边形的一条对角线把原四边形分割成两个等腰三角形时，我们称这个四边形为“等腰四边形”，其中这条对角线称为这个四边形的“等腰线”．如果凸四边形ABCD是“等腰四边形”，对角线BD是该四边形的“等腰线”，其中∠ABC＝90°，AB＝BC＝CD≠AD，那么∠BAD的度数为　 　． 2．已知O是平行四边形ABCD的对角线AC与BD的交点．AC＝24，BD＝38，AD＝28，那么△OBC的周长等于 　 　． 3．在平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD交直线BC于点E，BE：EC＝2：1，且AB＝6，那么这个四边形的周长是　 　． 4．如图，▱ABCD的周长为30cm，AC，BD相交于点O，OE⊥AC交AD于E，则△DCE的周长为　 　cm． 5．在平面直角坐标系xOy中，已知四边形ABCD是平行四边形，点A（1，0）、B（0，2）、C（3，3），那么点D的坐标为 　 　． 6．如图，已知∠A＝50°，∠D＝40° （1）求∠1度数； （2）求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数． 7．如图，以BC为底边的等腰△ABC，点D，E，G分别在BC，AB，AC上，且EG∥BC，DE∥AC，延长GE至点F，使得BE＝BF． （1）求证：四边形BDEF为平行四边形； （2）当∠C＝45°，BD＝4时，联结DF，求线段DF的长． 8．如图，▱ABCD中，E、F是直线AC上两点，且AE＝CF． 求证：（1）BE＝DF； （2）BE∥DF 9．在平行四边形ABCD中，分别以AD、BC为边向内作等边△ADE和等边△BCF，连接BE、DF．求证：四边形BEDF是平行四边形． 10．已知：如图，在△ABC中，M是边AB的中点，D是边BC延长线上的一点，且CD＝BC，作DN∥CM交AC于点N． 求证：四边形MCDN是平行四边形． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$