精品解析：江西省新余市分宜县2024-2025学年九年级上学期期中联考数学试卷

2024−2025学年第一学期分宜县初中学校联考九年级数学测试卷 一、选择题 1. 关于的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 没有实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 有两个实数根 2. 已知x＝1是一元二次方程x2﹣2mx+1＝0的一个解，则m的值是（　　） A. 1 B. 0 C. 0或1 D. 0或﹣1 3. 抛物线 与x轴的交点是和，这条抛物线的对称轴是（　　） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 4. 抛物线向左平移8个单位，再向下平移9个单位后，所得抛物线关系式是（    ） A -9   B. +9 C. -9   D. +9 5. 若点A的坐标为（6，3）O为坐标原点，将OA绕点O按顺时针方向旋转90°得到OA′，则点A′的坐标是（　　） A. （3，﹣6） B. （﹣3，6） C. （﹣3，﹣6） D. （3，6） 6. 如图，观察二次函数的图像，下列结论：①，②，③，④． 其中正确的是（ ） A. ①② B. ①④ C. ②③ D. ③④ 二、填空题 7. 抛物线的顶点坐标是_____． 8. 一元二次方程一个根为，则另一个根为______． 9. 若关于x的方程是一元二次方程，则m的值为________． 10. 已知抛物线过、、四点．则_______（用“<”，“>”或“=”填空）． 11. 抛物线关于轴对称的图象的解析式为____________． 12. 关于x的函数y=ax2+（a+2）x+a+1的图象与x轴只有一个公共点，则实数a的值为_____． 三、计算题（5X6=30分） 13 解方程： （1） （2） 14. 已知抛物线y=x2+bx+c经过点（1，-4）和（-1，2）.求抛物线解析式. 15. 若是一元二次方程的两根，不解方程求的值. 16. 如图，已知抛物线y=ax2+bx－3的对称轴为直线x=1，交x轴于A，B两点，交y轴于C点，其中B点的坐标为(3，0)． (1)直接写出A点的坐标； (2)求二次函数y=ax2+bx－3的解析式． 17. 如图，三个顶点的坐标分别为． （1）请画出向右平移5个单位长度后得到； （2）请画出关于原点对称的； （3）在x轴上求作一点P，使周长最小，并直接写出点P的坐标． 四、解答题（本大题3小题，每小题8分，共24分 18. 已知关于的一元二次方程的两个实数根、的值分别是平行四边形的两边、的长． 如果，试求四边形的周长； 当为何值时，四边形是菱形？ 19. 已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为，． 求证：该一元二次方程总有两个实数根； 若，判断动点所形成的函数图象是否经过点，并说明理由． 20. 已知：如图，在中，，以为边向形外作等边三角形，把绕着点按顺时针方向旋转后得到，若，，求的度数与的长． 21. 某商店经销一种销售成本为每千克40元水产品．根据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能销售500千克；销售单价每涨1元，月销售量就减少10千克．针对这种水产品的销售情况，请解答以下问题： (1)当销售单价定为每千克55元时，计算月销售量和月销售利润； (2)设销售单价为每千克x元，月销售利润为y元，求y与x之间的函数关系式； (3)当销售单价定为每千克多少元时，月销售利润最大，最大利润是多少？ 22. 已知二次函数的图象如图所示，它与x轴的一个交点坐标为，另一交点为B，与y轴的交点坐标为． （1）求出b，c的值，并写出此二次函数的解析式； （2）求出顶点D的坐标以及面积； 23. 如图，已知抛物线（）与 轴交于点和点，与轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）在（1）中抛物线的对称轴上是否存在点，使得的周长最小？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． （3）设抛物线的对称轴与轴交于点，问在对称轴上是否存在点，使为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024−2025学年第一学期分宜县初中学校联考九年级数学测试卷 一、选择题 1. 关于的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 没有实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 有两个实数根 【答案】B 【解析】 【分析】求出△的值即可判断． 【详解】解：一元二次方程x2−x＋1＝0中， △＝12−4×1×1=-3＜0， ∴原方程无解． 故选B． 【点睛】本题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系： （1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根； （2）△＝0⇔方程有两个相等的实数根； （3）△＜0⇔方程没有实数根． 2. 已知x＝1是一元二次方程x2﹣2mx+1＝0的一个解，则m的值是（　　） A. 1 B. 0 C. 0或1 D. 0或﹣1 【答案】A 【解析】 【分析】本题根据一元二次方程的根的定义、一元二次方程的定义求解．把x=1代入方程式即可求解． 【详解】解：把x=1代入方程x2-2mx+1=0，可得1-2m+1=0，得m=1， 故选：A． 【点评】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．把求未知系数的问题转化为方程求解的问题． 3. 抛物线 与x轴的交点是和，这条抛物线的对称轴是（　　） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了抛物线的对称性，根据抛物线的对称性，可得二次函数与x轴的交点是关于抛物线的对称轴对称的，利用两个交点的坐标，求出中点，即可求出对称轴，掌握抛物线的对称性是解题的关键． 【详解】∵抛物线与x轴的公共点是和， ∴抛物线的对称轴为直线， 即为直线． 故选：A． 4. 抛物线向左平移8个单位，再向下平移9个单位后，所得抛物线关系式是（    ） A. -9   B. +9 C. -9   D. +9 【答案】A 【解析】 【详解】抛物线y=x2向左平移8个单位，所得抛物线解析式为y=（x+8）2，再向下平移9个单位后，所得抛物线解析式为y=（x+8）2－9. 故选A. 【点睛】本题考查抛物线如果上下平移一定单位，那么直接在解析式后面加减对应单位，上加下减；抛物线若左右平移一定单位，那么首先将抛物线解析式写成顶点式，再在括号里面加减对应单位，左加右减. 5. 若点A的坐标为（6，3）O为坐标原点，将OA绕点O按顺时针方向旋转90°得到OA′，则点A′的坐标是（　　） A. （3，﹣6） B. （﹣3，6） C. （﹣3，﹣6） D. （3，6） 【答案】A 【解析】 【详解】 由图知A点的坐标为（6，3）， 根据旋转中心O，旋转方向顺时针，旋转角度90°，画图， 点A′的坐标是（3，﹣6）．故选A． 6. 如图，观察二次函数的图像，下列结论：①，②，③，④． 其中正确的是（ ） A. ①② B. ①④ C. ②③ D. ③④ 【答案】C 【解析】 【详解】解：由图像可知当x=1时，y＜0，∴，故①不正确； 由图像可知，∴，又∵开口向上，∴a＞0，∴，∴， 故②正确； 由图像可知二次函数与x轴有两个交点，∴方程有两个不相等的实数根， ∴△＞0，即，故③正确； 由图像可知抛物线开口向上，与y轴的交点在x轴的下方，∴a＞0，c＜0，∴， 故④不正确； 综上可知正确的为②③， 故选：C． 二、填空题 7. 抛物线的顶点坐标是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是配方法求抛物线顶点坐标，把二次函数解析式转化成顶点式形式，然后写出顶点坐标即可． 【详解】解：∵， ， ， ∴顶点坐标为． 故答案为：． 8. 一元二次方程的一个根为，则另一个根为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根，因式分解法解一元二次方程．熟练掌握因式分解法解一元二次方程是解题的关键． 由题意得，，解得，，则，解方程即可． 【详解】解：∵是的根， ∴， 解得，， ∴， ∴， ∴或， 解得，或， 故答案为：． 9. 若关于x的方程是一元二次方程，则m的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，由一元二次方程的定义可得，，求解即可，熟练掌握一元二次方程的定义是解此题的关键． 【详解】解：∵关于x的方程是一元二次方程， ∴，， 解得：， 故答案：． 10. 已知抛物线过、、四点．则_______（用“<”，“>”或“=”填空）． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，主要利用了二次函数的增减性和对称性．比较抛物线上两点纵坐标的大小，关键是确定对称轴，开口方向，两点与对称轴的远近，根据二次函数性质比较即可． 【详解】解：∵抛物线与x轴交于两点， ∴抛物线对称轴为， ∵，点B离对称轴较近，且抛物线开口向下， ∴． 11. 抛物线关于轴对称的图象的解析式为____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化——轴对称， 的图象与性质等知识点，熟练掌握坐标与图形变化——轴对称是解题的关键． 设抛物线关于轴对称的图象上的任意点坐标为，则点关于轴对称的点为，它在抛物线的图象上，因而有，即，于是得解． 【详解】解：设抛物线关于轴对称的图象上的任意点坐标为， 则点关于轴对称的点为，它在抛物线的图象上， ， 即：， 抛物线关于轴对称的图象的解析式为， 故答案为：． 12. 关于x的函数y=ax2+（a+2）x+a+1的图象与x轴只有一个公共点，则实数a的值为_____． 【答案】0或 【解析】 【详解】解：①当a=0时，函数解析式化为y=2x+1，此一次函数与x轴只有一个公共点； ②当a≠0时，函数y=ax2+（a+2）x+a+1为二次函数．∵关于x的函数y=ax2+（a+2）x+a+1的图象与x轴只有一个公共点，∴△=（a+2）2﹣4a（a+1）=﹣3a2+4=0，解得：a=±． 综上所述：a=0或±． 故答案为0或±． 三、计算题（5X6=30分） 13. 解方程： （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，根据方程灵活选取解题方法是解题的关键． （1）利用配方法求解，即可解题； （2）利用因式分解法解该一元二次方程，即可解题． 【小问1详解】 解： ，； 【小问2详解】 解： 或， 解得，． 14. 已知抛物线y=x2+bx+c经过点（1，-4）和（-1，2）.求抛物线解析式. 【答案】y=x2-3x-2 【解析】 【分析】把点（1，-4）和（-1，2）分别代入二次函数y=x2+bx+c得到关于b与c方程组，解方程组求出b、c的值，从而得到函数的解析式． 【详解】把点（1，-4）和（-1，2）分别代入y=x2+bx+c得， ， 解方程组得:， ∴抛物线解析式为y=x2-3x-2． 【点睛】本题考查了利用待定系数法求二次函数的解析式：主要过程为：设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0），然后把图象上三个点的坐标分别代入得到关于a、b、c的方程组，解方程组求出a、b、c的值，从而确定函数的解析式． 15. 若是一元二次方程的两根，不解方程求的值. 【答案】 【解析】 【分析】欲求，首先根据根与系数的关系求得两根之积或两根之和，代入数值计算即可． 【详解】解：是一元二次方程的两根， ，， . 【点睛】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法． 16. 如图，已知抛物线y=ax2+bx－3的对称轴为直线x=1，交x轴于A，B两点，交y轴于C点，其中B点的坐标为(3，0)． (1)直接写出A点的坐标； (2)求二次函数y=ax2+bx－3的解析式． 【答案】（1）（－1，0）；（2） 【解析】 【分析】（1）由抛物线y=ax2+bx-3对称轴为直线x=1，交x轴于A、B两点，其中B点的坐标为（3，0），根据二次函数的对称性，即可求得A点的坐标； （2）利用待定系数法，将A（-1，0）、B（3，0）两点的坐标代入y=ax2+bx-3，即可求得二次函数y=ax2+bx-3的解析式． 【详解】（1）∵抛物线对称轴为直线， 交轴于A、B两点，其中B点坐标为（3，0）， ∴A点横坐标为：， ∴A点坐标为：（－1，0） （2）将A（－1，0），B（3，0）代入得 解得： 故抛物线解析式为： 17. 如图，三个顶点的坐标分别为． （1）请画出向右平移5个单位长度后得到； （2）请画出关于原点对称的； （3）在x轴上求作一点P，使的周长最小，并直接写出点P的坐标． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）． 【解析】 【分析】（1）直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案； （2）直接利用关于原点对称点的性质得出对应点位置进而得出答案； （3）利用轴对称求最短路线的方法得出P点位置． 【详解】解：（1）如图所示：，即为所求； （2）如图所示：，即为所求； （3）如图所示，此时的周长最小，P点坐标为：． 四、解答题（本大题3小题，每小题8分，共24分 18. 已知关于的一元二次方程的两个实数根、的值分别是平行四边形的两边、的长． 如果，试求四边形的周长； 当为何值时，四边形是菱形？ 【答案】（1）6；（2）时，四边形是菱形； 【解析】 【分析】（1）把代入原方程可求得m的值，从而可得原方程为，继而根据根与系数的关系可得，由此即可求得平行四边形的周长； （2）若四边形ABCD是菱形，则方程有两个相等的实数根，由根的判别式可得关于m的方程，解方程即可求得m的值. 【详解】把，代入原方程得 ， 解得：， 则方程为， 则， 四边形的周长； ∵四边形是菱形， ∴， ∴， 解得：， 当时，四边形是菱形． 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，菱形的性质等，熟练掌握根与系数的关系、根的判别式是解题的关键. 19. 已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为，． 求证：该一元二次方程总有两个实数根； 若，判断动点所形成的函数图象是否经过点，并说明理由． 【答案】证明见解析动点所形成的函数图象经过点 【解析】 【分析】（1）先求出该一元二次方程的△的值，再根据一元二次方程根的情况与判别式△的关系进行说明即可； （2）根据x1+x2=-和n=x1+x2-5，表示出n，再把点A（4，5）代入，即可得出答案． 【详解】∵， ∴该一元二次方程总有两个实数根； 动点所形成的函数图象经过点，理由如下： ∵，， ∴， ∵当时，， ∴动点所形成的函数图象经过点． 【点睛】本题考查了根的判别式、根与系数的关系、函数图象上点的坐标特征等，解题的关键是掌握根的判别式、根与系数的关系的表达式；一元二次方程根的情况与判别式△的关系：△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；△=0⇔方程有两个相等的实数根；△＜0⇔方程没有实数根． 20. 已知：如图，在中，，以为边向形外作等边三角形，把绕着点按顺时针方向旋转后得到，若，，求的度数与的长． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，等边三角形的判定和性质； （1）由旋转的性质易证为等边三角形，即得出，从而可求出； （2）由旋转的性质易证，．又易证A、C、E三点共线，结合等边三角形的性质即可得． 小问1详解】 解：∵是把绕着点D按顺时针方向旋转后得到的， ∴，， ∴为等边三角形， ∴， ∴； ∵是把绕着点D按顺时针方向旋转后得到的， ∴，． ∵为等边三角形， ∴． ∵， ∴， ∴，即、、三点共线， ∵为等边三角形， ∴． 21. 某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品．根据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能销售500千克；销售单价每涨1元，月销售量就减少10千克．针对这种水产品的销售情况，请解答以下问题： (1)当销售单价定为每千克55元时，计算月销售量和月销售利润； (2)设销售单价为每千克x元，月销售利润为y元，求y与x之间的函数关系式； (3)当销售单价定为每千克多少元时，月销售利润最大，最大利润是多少？ 【答案】（1）月销售量为450千克，月销售利润为：6750元；（2）；（3）当售价是70元时，利润最大为9000元． 【解析】 【分析】（1）根据“销售单价每涨1元，月销售量就减少10千克”，可知：月销售量=500-（销售单价﹣50）×10．由此可得出售价为55元/千克时的月销售量，然后根据利润=每千克的利润×销售的数量来求出月销售利润； （2）方法同（1）只不过将55元换成了x元，求的月销售利润变成了y； （3）得出（2）的函数关系式后根据函数的性质即可得出函数的最值以及相应的自变量的值． 【详解】解：（1）∵当销售单价定为每千克55元时，则销售单价涨（55-50）元，少销售量是千克， ∴月销售量为：（千克）， 所以月销售利润为：（元）； （2）当销售单价定为每千克x元时，月销售量为：千克． 每千克的销售利润是：元， 所以月销售利润为：， ∴y与x函数解析式为：； （3）由（2）的函数可知： 因此：当时，元， 即：当售价是70元时，利润最大为9000元． 22. 已知二次函数的图象如图所示，它与x轴的一个交点坐标为，另一交点为B，与y轴的交点坐标为． （1）求出b，c的值，并写出此二次函数的解析式； （2）求出顶点D的坐标以及面积； 【答案】（1），； （2）， 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数综合面积问题，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）作轴于M，将二次函数解析式化为顶点式即可得出，求出，再根据计算即可得解． 【小问1详解】 解：将与代入二次函数解析式得， 解得：， 二次函数解析式为：； 【小问2详解】 解：作轴于M，如图所示： ∵， ∴顶点， 令，则， 解得：，， ∴，， ∴，． ∵顶点 ，，， ∴，，， ∴， ∴． 23. 如图，已知抛物线（）与 轴交于点和点，与轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）在（1）中抛物线的对称轴上是否存在点，使得的周长最小？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． （3）设抛物线的对称轴与轴交于点，问在对称轴上是否存在点，使为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由 【答案】（1） （2）存在， （3）存在，或或或 【解析】 【分析】（1）将、坐标代入抛物线的解析式，用待定系数法即可求出二次函数的解析式． （2）连接交对称轴直线于点，则点即为所求，待定系数法求直线的解析式，进而令，即可求解； （3）根据题意，分以下三种情况进行讨论：①；②；③；即可利用等腰三角形的性质求解． 【小问1详解】 解：将点、代入， 得 解得 抛物线的解析式为， 【小问2详解】 解：如图所示，连接交对称轴直线于点，连接， ∵关于对称轴对称， ∴在上时，，此时的周长最小 由，当时， ∴， 设直线的解析式为，代入， ∴ 解得； ∴直线的解析式为， 抛物线的对称轴为直线， ∴当时， ∴ 【小问3详解】 解：存在，理由如下：抛物线的解析式为，其对称轴为， ， ， ， ①当时：如图， 作于点D，则， ， 此时点P的坐标为； ②当时： ，， ，， ， ， 此时点P的坐标为或； ③当时：如图， 作于点D，设，则． 在中，由勾股定理得， 即， 解得． 此时点P的坐标为． 综上所述：点P坐标为或或或． 【点睛】本题考查了求二次函数的解析式、二次函数的图象与性质，二次函数与几何综合及等腰三角形的存在性问题；正确的画出对应图形，并结合每种对应情况进行分类讨论是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$